RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA

(1)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA (PEMINATAN) KELAS /SEMESTER : XII /GENAP

PROGRAM : MIPA

PENYUSUN : YULI MULYANA, S.Pd.

DISTRIBUSI PELUANG BINOMIAL

SMA NEGERI 1 BANYUMAS

(2)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Sekolah : SMA Negeri 1 Banyumas Mata pelajaran : Matematika (Peminatan) Materi Pokok : Distribusi Peluang Binomial Kelas/Semester : XII / Genap

Alokasi Waktu : 1 × 45 menit

A. Kompetensi Inti, Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi KI SPIRITUAL (KI 1) DAN KI SOSIAL (KI 2)

KI1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

KI2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), bertanggung jawab, responsif, dan pro-aktif dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak di lingkungan, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan kawasan internasional.

KI PENGETAHUAN (KI 3) KI KETERAMPILAN (KI 4) KI3: Memahami, menerapkan,

menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan

humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan,

kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

KI4: Menunjukkan keterampilan menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri, kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah konkret dan abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu menggunakan metoda sesuai dengan kaidah keilmuan.

KOMPETENSI DASAR DARI KI 3 KOMPETENSI DASAR DARI KI 4 3.5 Menjelaskan dan menentukan

distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi peluang binomial

4.5 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulan INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

(IPK) DARI KD 3.5

INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (IPK) DARI KD 4.5 3.5.3 Menurunkan rumus distribusi peluang

binomial

4.5.2 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

(3)

B. Tujuan Pembelajaran

Melalui pembelajaran menggunakan discovery based-learning, peserta didik dapat merumuskan distribusi peluang binomial dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan distribusi peluang binomial dengan sikap religiositas (beriman, bertaqwa, peduli lingkungan), mandiri (Percaya diri, disipilin, rasa ingin tahu, tanggung jawab, berpikir kritis, dan kreatif), Gotong Royong (kerjasama, toleransi), dan Integritas (konsisten, jujur).

C. Materi

Distribusi Peluang Binomial

(4)

D. Pendekatan, Metode dan Model Pembelajaran Pendekatan : saintifik

Metode : diskusi kelompok, tanya jawab, penugasan Model : discovery based-learning

E. Media/Alat

Media/Alat: Lembar Kerja, Alat Peraga, Penggaris, Papan Tulis/White Board, LCD F. Sumber Belajar

1. Buku Matematika (Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam) Kelas XII, Karangan: Muklis, dkk. Penerbit Intan Pariwara Tahun 2018.

2. Buku Matematika (Peminatan) Kelas XII, Karangan: Martin Kangenan, Penerbit Yrama Widya Tahun 2016.

3. Internet, diantaranya dengan alamat website: http://www.aksiomaid.com G. Kegiatan Pembelajaran

Tahapan/

Sintak Uraian

Kegiatan Pembelajaran

Nilai-Nilai Karakter

(1) (2) (3)

Pendahuluan (10 menit)

1. Memberi salam, dan berdoa’ sebelum belajar;

2. Mengkondisikan suasana belajar yang menyenangkan dengan menanyakan apa yang dirasakan peserta didik dengan ekspresi wajah (mengecek kehadiran peserta didik);

3. Mendiskusikan kompetensi yang sudah dipelajari dan dikembangkan sebelumnya berkaitan dengan distribusi peluang diskrit 4. Menyampaikan kompetensi yang akan dicapai

dan manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari serta memotivasi dengan memperkenalkan atlet bridge;

5. Menyampaikan garis besar cakupan materi penerapan distribusi peluang binomial, dan kegiatan yang akan dilakukan;

6. Menyampaikan metode pembelajaran dan teknik penilaian yang akan digunakan saat membahas materi penerapan distribusi peluang binomial

7. Membagi peserta didik menjadi 6 Kelompok (dengan setiap anggota kelompok berjumlah 6 orang).

Religiositas (Beriman, bertaqwa, dan peduli lingkungan), Mandiri (disiplin, rasa ingin tahu)

(5)

Tahapan/

Sintak

Uraian

(1) (2) (3)

Kegiatan Inti (30 menit) Memberi

Stimulus (Stimulation)

1. Guru menyajikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan distribusi peluang binomial

Sebuah tes terdiri atas 10 pertanyaan pilihan ganda dengan empat pilihan. Seorang siswa dapat memilih jawaban dapat dipilih secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang siswa menjawab 6 pertanyaan dengan benar?

2. Siswa memeriksa kriteria percobaan binomial dari masalah di atas sehingga penyelesaiannya dapat dengan menggunakan rumus distribusi peluang binomial

Mandiri (Percaya diri, rasa ingin tahu, berpikir kritis, tanggung jawab), Gotong Royong (Kerjasama), dan Integritas (konsisten, jujur)

Mengidentifi- kasi masalah (Problem Statement)

1. Siswa bekerjasama dalam kelompok mengidentifikasi masalah di atas. Peluang sukses (p), peluang gagal (q), banyak percobaan (n), dan banyak sukses yang terjadi (x) dalam n kali percobaan

2. Guru menanyakan kombinasi yang tepat, dan hasil bilangan berpangkat

Gotong Royong (kerjasama, toleransi), Integritas (jujur) dan Mandiri (rasa ingin tahu, kritis, kerja keras,

tanggung jawab) Mengumpul-

kan data (Data Collecting)

1. Siswa bekerja sama dalam kelompok dan berbagi tugas untuk mencari informasi atau data pendukung guna memperkuat rumusan penyelesaian masalah yang telah kembangkan dari berbagai sumber.

2. Siswa bekerjasama dalam kelompok menyelesaikan masalah yang diberikan.

3. Guru meminta siswa menggali kembali pemahamannya yang berkaitan dengan fungsi distribusi kumulatif variabel acak diskrit

Gotong royong (kerjasama), Integritas (jujur) dan Mandiri (rasa ingin tahu, percaya diri, kreatif, kritis, tanggung jawab)

Data Processing (mengolah data)

Siswa berdiskusi dalam kelompok menyelesaikan masalah yang disajikan guru Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 1 bola biru , dari kantong tersebut di ambil sebuah bola berturut- turut lima kali dengan pengembalian.

a. Tentukan peluang terambilnya 3 kali bola merah

b. Jika X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil dari lima pengambilan tersebut, buatlah distribusi peluangnya

Mandiri (Percaya diri, rasa ingin tahu, tanggung jawab,

berpikir kritis), Gotong Royong

(6)

Tahapan/

Sintak

Uraian

(1) (2) (3)

Verification (memverifik asi)

1. Siswa bekerjasama dengan anggota kelompoknya melakukan verifikasi, syarat percobaan binomial dan kriteria yang diketahui dan ditanyakan

2. Menafsirkan kesimpulan dari masalah yang berkaitan dengan distribusi peluang binomial 3. Perwakilan kelompok mempresentasikan

hasil diskusi kelompoknya, dan membandingkan dengan hasil diskusi antar kelompok

Gotong royong (kerjasama), Mandiri (rasa ingin tahu, tanggung jawab, percaya diri, kritis), Integritas

Generalizatio n(menyimpul kan)

Siswa dengan bimbingan guru membuat kesimpulan berkaitan dengan materi penerapan distribusi peluang binomial berdasarkan hasil rangkuman pada saat diskusi kelas.

Gotong royong (kerjasama), Integritas (jujur) dan Mandiri (kritis, disiplin) Penutup (5 menit)

1. Guru memfasilitasi siswa dalam merumuskan kesimpulan tentang syarat dan grafik fungsi distribusi peluang, melalui reviu indikator yang hendak dicapai pada hari itu.

2. Guru melakukan penilaian untuk mengetahui tingkat ketercapaian indikator.

3. Guru Melakukan refleksi pembelajaran Bersama peserta didik

4. Guru menyampaikan bahwa pertemuan berikutnya mengenai distribusi peluang binomial kumulatif

5. Guru menutup pembelajaran dengan memberi Salam

Mandiri (disiplin, kritis, percaya diri)

H. Penilaian

1. Teknik Penilaian:

a) Penilaian Sikap : Observasi/pengamatan b) Penilaian Pengetahuan : Tes Tertulis

c) Penilaian Keterampilan : portofolio 2. Bentuk Penilaian :

1. Observasi : Lembar Pengamatan Aktivitas Peserta Didik 2. Tes tertulis : Uraian dan Lembar Kerja

3. Unjuk kerja : Lembar Penilaian dan Rubrik Penilaian 4. Portofolio : Lembar Penilaian dan Rubrik Penilaian 3. Instrumen Penilaian (terlampir)

4. Remedial

- Pembelajaran remedial dilakukan bagi siswa yang capaian KD nya belum tuntas

- Tahapan pembelajaran remedial dilaksanakan melalui remedial teaching (klasikal), atau tutor sebaya, atau tugas dan diakhiri dengan tes.

(7)

ketuntasan, maka remedial dilakukan dalam bentuk tugas tanpa tes tertulis kembali.

5. Pengayaan

- Bagi siswa yang sudah mencapai nilai ketuntasan diberikan pembelajaran pengayaan sebagai berikut:

➢ Siwa yang mencapai nilai n(ketuntasan)  n  n(maksimum) diberikan materi masih dalam cakupan KD dengan pendalaman sebagai

pengetahuan tambahan

➢ Siwa yang mencapai nilai n  n(maksimum) diberikan materi melebihi cakupan KD dengan pendalaman sebagai pengetahuan tambahan.

Banyumas, 7 Januari 2022 Mengetahui

Kepala SMA Negeri 1 Banyumas Guru Mata Pelajaran

Shobirin Slamet, S.Pd Yuli Mulyana, S. Pd

NIP. 19710719 199501 1 001 NIP. 19920627 202012 2 012

(8)

Lampiran Materi Pembelajaran

Konsep Variabel Acak

DISTRIBUSI PELUANG BINOMIAL

Untuk memahami apa yang dimaksud dengan variabel acak, caba Anda lakukan kegiatan berikut.

Lakukan secara berpasangan!

Dari percobaan pada kegiatan di atas, ada empat kemungkinan hasil percobaan yang muncul, di antaranya

• AA (Angka-angka)

• GA (gambar-angka)

• AG (angka-gambar)

• GG (gambar-gambar)

Atau ditulis dalam bentuk hinpunan yang disebut ruang sampel 𝑆 = {𝐺𝐺, 𝐺𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐺}.

Misalkan X = banyak sisi gambar yang terlihat pada percobaan, maka a. Nilai 𝑋 = 0 jika muncul AA

b. Nilai 𝑋 = 1 jika muncul AG atau GA c. Nilai 𝑋 = 2 jika muncul GG

Perhatikan bahwa X memiliki nilai tidak tunggal. Sesuatu yang memiliki nilai tidak tunggal atau suatu besaran yang bisa mengambil nilai-nilai berbeda disebut variabel.

Misalnya, jumlah roda sepeda dan jumlah hari dalam satu minggu adalah konstanta, sedangkan bilangan real yang kuadratnya lebih kecil dari 25 dan jumlah orang yang menunggu di pemberhentian bus adalaha variabel. sedangkan suatu besaran yang hanya bisa memiliki satu nilai tunggal disebut konstanta, sedangkan

Variabel ada dua macam yaitu variabel diskrit dan variabel kontinu. Variabel diskrit memiliki nilai-nilai yang dapat dihitung (berhingga, sedangkan variabel kontinu memiliki nilai-nilai yang tidak bisa dihitung (tak berhingga).

Variabel yang nilainya ditentukan dalam percobaan disebut variabel acak.

Variabel acak adalah variabel yang menghubungkan kemungkinan hasil acak (ruang sampel) dari sebuah percoabaan dengan nilai berupa bilangan real, di mana hanya ada satu nilai untuk setiap titik sampel. Variabel acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, Y dan Z, sedangkan nilai variabel acak dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya x,y dan z. sedangkan peluang kejadian X nilainya kurang atau sama dengan x ditulis 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥).

Variabel acak diperoleh dari hasil menghitung/membilang dan nilainya berupa bilangan bulat. X = banyak sisi gambar yang terlihat pada percobaan melambungkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali merupakan contoh variabel acak diskrit. Variabel acak kontinu diperoleh dari hasil mengukur dan nilainya berupa bilangan real. Misalnya hasil penimbangan berat badan , hasil pengukuran tinggi badan, dan hasil pencatatan waktu yang diperlukan peserta lomba lari mencapai garis finish.

Lemparkan dua uang logam Rp500,- secara bersamaan. Dapatkan Anda menentukan kemungkinan permukaan uang logam yang kan muncul? Jelaskan jawaban Anda!

Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban teman Anda! Diskusikan dan buat kesmpulan bersama!

(9)

Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi peluang variabel acak diskrit meruapakan suatu cara untuk menyajikan nilai peluang nilai-nilai variabel acak diskrit. Peluang nilai variabel acak 𝑋 dinotasikan dengan 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥). Distribusi peluang variabel acak diskrit dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, grafik atau fungsi. Distribusi peluang disebut juga distribusi probabilitas atau fungsi peluang atau fungsi probabilitas.

Contoh. Pada percobaan melambungkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali. Jika 𝑋 adalah variabel acak diskrit yang menyatakan banyak sisi gambar yang muncul.

a. Tentukan ruang sampel percobaan

b. Buatlah tabel distribusi peluang variabel acak 𝑋 c. Gambar grafik distribusi peluang variabel acak 𝑋 d. Tuliskan fungsi distribusi peluang variabel acak 𝑋 Jawab.

a. Ruang sampel 𝑆 = {𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐴𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐺𝐺}

Banyak anggota ruang sampel S adalah 𝑛(𝑆) = 8 b.

Nilai 𝑥 Titik sampel Banyaknya

0 𝐴𝐴𝐴 𝑛1 =1

1 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐴 𝑛2 =3 2 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐴𝐺, 𝐺𝐺𝐴 𝑛3 =3

3 𝐺𝐺𝐺 𝑛41

Dari tabel di atas diperoleh

𝑛₁ 1

𝑃(𝑋 = 0) = = 𝑛(𝑆) 8

𝑛2 3

𝑃(𝑋 = 0) = = 𝑛(𝑆) 8

𝑛3 3

𝑃(𝑋 = 0) = = 𝑛(𝑆) 8

𝑛₄ 1

𝑃(𝑋 = 0) = = 𝑛(𝑆) 8

Sehingga dapat dibuat tabel distribusi peluang variabel acak 𝑋 𝑋 = 𝑥 0 1 2 3 Jumlah

𝑃(𝑋) 1 8

3 8

1 8

1

(10)

c. Gambar grafik distribusi peluang variabel acak 𝑋

d. fungsi distribusi peluang variabel acak 𝑋

𝑓(𝑥) =

0, untuk x yang lain 1 , untuk x = 0,3 8 3

, untuk x = 1,2 8

Sifat-sifat distribusi peluang

Misalkan 𝑥 adalah variabel acak diskrit yang bernilai 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 dan 𝑓(𝑥𝑖) merupakan peluang nilai-nilai variabel acak 𝑋 dengan 𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛 maka 𝑓(𝑥_𝑖) memenuhi dua sifat berikut

a. 0 ≤ 𝑓(𝑥_𝑖) ≤ 1 untuk 𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛

𝑛 𝑥=1 𝑓(𝑥_𝑖) = 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯ + 𝑓(𝑛) = 1

Contoh. Diketahui distribusi peluang variabel acak diskrit 𝑋 berikut.

𝑿 = 𝒙 3 4 5 6

𝒇(𝒙) 1 3

𝑘 9

2𝑘 + 1 18

1 6 a. Tentukan nilai 𝑘

b. Hitunglah nilai 𝑃(𝑋 ≥ 5) b. ∑

𝗅

(11)

Distribusi Peluang Kumulatif Variabel Acak diskrit

Peluang variabel aacak 𝑋 yang kurang dari atau sama dengan suatu nilai 𝑥, ditulis dengan 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Nilai 𝐹(𝑥) dinamakan peluang kumulatif. Misalkan 𝑥 = 𝑐 merupakan salah satu nilai variabel acak 𝑥 yang memiliki peluang 𝑓(𝑥), maka nilai 𝐹(𝑐) dinyatakan dengan:

𝑐

𝐹(𝑐) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑐) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯ + 𝑓(𝑐)

𝑥=0

Contoh . pada percobaan melambungkan melambungkan sekeping uang logam sebanyak tiga kali. Jika 𝑋 adalah variabel acak diskrit yang menyatakan banyak sisi gambar yang muncul.

a. Tentukan fungsi distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋 b. Buatlah Tabel distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋 c. Gambar grafik distribusi peluang kumulatif variabel acak 𝑋 Distribusi Binomial

Sering dalam berbagai macam permasalahan peluang hanya memiliki dua kemungkinan hasil atau dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Sebagai contoh, ketika suatu koin dilempar, maka kita akan mendapat angka atau gambar. Ketika seorang bayi lahir, maka seorang bayi tersebut merupakan bayi laki-laki atau perempuan.

Dalam permainan bola basket, tim yang bermain bisa menang atau kalah. Kondisi-kondisi lainnya dapat disederhanakan untuk menghasilkan dua kemungkinan. Sebagai contoh, suatu pengobatan medis dapat diklasifikasikan sebagai efektif atau tidak efektif, tergantung hasilnya. Seseorang dapat dikategorikan memiliki tekanan darah normal atau tidak normal, tergantung dari pengukuran tekanan darahnya. Pertanyaan- pertanyaan pilihan ganda, walaupun memiliki empat atau lima pilihan jawaban, dapat diklasifikasikan menjadi benar atau salah. Kondisi-kondisi yang telah dicontohkan tersebut dinamakan percobaan binomial

Variabel acak binomial merupakan variabel acak yang nilai-nilainya ditentukan oleh hasil percobaan binomial. Percobaan binomial merupakan percobaan yang memenuhi empat syarat berikut.

a. Percobaan dilakukan secara berulang-ulang sebanyak 𝑛 kali, dengan 𝑛 bilangan bulat positif

b. Percobaan bersifat saling bebas (independent) atau dengan pengembalian, artinya hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain

c. Setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu kejadian yang diharapkan yang disebut sukses dan kejadian yang tidak diharapkan disebut gagal

d. Peluang kejadian tetap pada setiap percobaan.

Oleh karena dalam setiap percobaan hanya memiliki dua macam kejadian, maka jumlah peluang kejadian dalam setiap percobaan sama dengan satu. Misalkan peluang sukses 𝑝 dan peluang gagal 𝑞 maka 𝑝 + 𝑞 = 1.

Percobaan binomial disebut juga dengan percobaan Bernoulli, diberi sesuai dengan nama penemunya James Bernoulli seorang matematikawan Swiss.

(12)

Contoh. Percobaan melemparkan satu dadu sekali. Jika kejadian mendapatkan mata daduu 5 adalah sukses, maka kejadian tidak mendapatkan dadu 5 adalah gagal.

𝑃(𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠) = 𝑝 = ¹ dan 𝑃(𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙)

6 = 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − ¹= ⁵

6 6

Contoh. Sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 4 bola putih. Dari kotak diambil sebuah bola kemudian dikembalikan lagi. Pengambilan bola diulang sebanyak 3 kali. Pada setiap pengambilan dilakukan pencatatan terhadap banyak bola merah yang terambil. Jika 𝑋 merupakan banyak bola merah yang terambil, berikan alasan mengapa variabel 𝑋 merupakan variabel acak.

Jawab.

Variabel acak 𝑋 adalah suatu variabel acak binomial karena ia memenuhi semua karakteristik yang dinyatakan di atas.

a. Percobaan dilakukan secara berulang-ulang yaitu pengambilan bola diulang sebanyak 3 kali

b. Percobaan bersifat saling bebas (independent) atau dengan pengembalian yaitu setelah bola diambil bola dikembalikan lagi ke kotak

c. Percobaan memiliki dua macam kejadian yaituterambil bola merah (sukses) dan terambil bola bukan merah (gagal)

d. Bola yang diambil dikembalikan lagi, maka peluang termabil bola merah dalam setiap percobaan adalah sama yaitu ²

6

Jika peluang nilai-nilai variabel acak binomial didaftar dalambentuk tabel atau grafik, diperoleh distribusi peluang variabel acak binomial. distribusi peluang variabel acak binomial disebut distribusi binomial. Peluang suatu nilai vaiabel acak binomial dinamakan peluang binomial. Secara umum persamaan peluang binomial 𝑥 kejadian yang diharapak dari 𝑛 percobaan binomial dinyatakan:

Keterangan:

Variabel acak 𝑋 yang peluangnya berdistirbusi binomial dilambangkan dengan 𝑏(𝑥; 𝑛; 𝑝) dibaca x berdistribusi Binomial dengan banyaknya kejadian n dan peluang berhasilnya p. kadang dituliskan dalam bentuk 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)

𝐶(𝑛, 𝑥) disebut koefisien binomial

𝑥 = banyaknya kejadian yang diharapkan 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑝 = peluang kejadian yang diharapkan

𝑞 = peluang kejadian tidak diharapakn 𝑞 = 1 − 𝑝

Persamaan di atas dinamakan fungsi distribusi binomial. Peluang paling banyak 𝑥 kejadian yang diharapkan dinamakan fungsi distribusi binomial kumulatif. Misalkan 𝑥 = 𝑡, maka peluang paling banyak 𝑡 kejadian yang diharapkan dinyatakan dengan:

𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡)

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑏(𝑥; 𝑛; 𝑝) = 𝐶(𝑛, 𝑥)𝑝^𝑥. 𝑞^𝑛−𝑥

(13)

𝑡

𝐹(𝑡) = ∑ 𝐶(𝑛, 𝑥)𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥

𝑥=0

𝐹(𝑡) = 𝐶(𝑛, 𝑥)𝑝⁰𝑞^𝑛−0 + 𝐶(𝑛, 𝑥)𝑝¹𝑞^𝑛−1 + 𝐶(𝑛, 𝑥)𝑝²𝑞^𝑛−2 + ⋯ + 𝐶(𝑛, 𝑡)𝑝^𝑡𝑞^𝑛−𝑡 Contoh. Tentukan 𝑏 (3,8, ¹)

2

Jawab

Contoh. jika 𝑋~𝐵 (4, a. 𝑃(𝑋 = 2) b. 𝐹(2) Jawab.

3) maka tentukan

4

Penerapan Distribusi Binomial

Contoh. Sebuah tes terdiri atas 10 pertanyaan pilihan ganda dengan empat pilihan.

Seorang siswa dapat memilih jawaban dapat dipilih secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang siswa menjawab 6 pertanyaan dengan benar?

Jawab.

𝑝 = peluang menjawab pertanyaan dengan benar 𝑝 = ¹

4

1 3 𝑞 = 1 − =

4 4

𝑛 = 10, karena tes terdiri atas 10 pertanyaan 𝑥 = 6

1 ⁶ 𝑃(𝑋 = 6) = 𝐶(10,6) ( )

4

3 ¹⁰⁻⁶ . ( )

4

(14)

𝑃(𝑋 = 6) = 10! 1 ⁶ 3 ⁴ ( ) ( ) 6! 4! 4 4 𝑃(𝑋 = 6) = 10.9.8.7.6

4.3.2.1 . 810

1 3⁴ 4⁶.

4⁴

𝑃(𝑋 = 6) = 210.

4¹⁰ 𝑃(𝑋 = 6) = 0,016

Jadi, peluang siswa menjawab tepat 6 pertanyaan dari 10 pertanyaan yang diberikan oleh 0,016

Contoh. sebuah dadu dilemparkan sebanyak 12 kali. Tentukanlah peluang munculnya mata dadu 6 sebanyak 3 kali.

Jawab.

𝑝 = peluang muncul mata dadu 6, 𝑝 = ¹

6

1 5 𝑞 = 1 − =

6 6

𝑛 = 12, karena dadu dilemparkan sebanyak 12 kali 𝑥 = 3, diharapkan sukses 3 kali

1 ³ 𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶(12,3) ( )

6

5 ¹²⁻³ . ( )

6

𝑃(𝑋 = 3) = 12! 1 ³ 5 ⁹ ( ) ( ) 3! 9! 6 6 𝑃(𝑋 = 3) = 220 × 1

𝑃(𝑋 = 3) = 0,197

216 × 0,1938

Jadi, peluang munculnya mata dadu 6 sebanyak 3 kali adalah 0,197

Contoh. Dalam suatu pertandingan, peluang Ronaldo dapat mencetak gol adalah ⁵, jika

6

ronaldo diberi kesempatan menendang sebanyak 5 kali. Tentukan besar peluang Ronaldo mencetak 4 kali gol!

Jawab

𝑝 =

5 6

5

𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 −

6

𝑛 = 5

(15)

RPP Matematika (Peminatan) - Kelas XII 𝑥 = 4

(16)

5 ⁴ 𝑃(𝑋 = 4) = 𝐶(5,4). ( )

6

1 ⁵⁻⁴ . ( )

6

𝑃(𝑋 = 4) = 5! 5 ⁴ ( ) 4! .1! 6

1 ¹ . ( )

6 5⁴ 5⁵ 3125 𝑃(𝑋 = 4) = 5.

6⁵= 6⁵=

7776

Contoh. Peluang seorang pasien yang tidak dipasang kawat gigi adalah 0,2. Pada suatu hari di klinik dokter gigi ada 4 orang pasien. Hitunglah peluang dari pasien tersebut jika 2 orang belum dipasang kawat gigi.

Jawab.

𝑝 = 0,2

𝑞 = 1 − 0,2 = 0,8 𝑛 = 4

𝑥 = 2

𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶(4,2). (0,2)². (0,8)⁴⁻² 𝑃(𝑋 = 2) = 4!

2! .2! × 0,04 × 0,64 𝑃(𝑋 = 2) = 6 × 0,0256

𝑃(𝑋 = 2) = 0,1536

Contoh. Pada mata kuliah tertentu peluang seorang dosen datang pada setiap pertemuannya adalah 0,9 . Dari 16 kali tatap muka, maka tentukan peluang dosen tersebut minimal tidak masuk dua kali

Jawab.

𝑝 = 0,9

𝑞 = 1 − 0,9 = 0,1 𝑛 = 16

𝑥 = 14 minimal tidak masuk dua kali sama maknanya dengan maksimal 14 kali masuk 𝑃(𝑋 ≤ 14) = 1 − 𝑃(𝑋 > 4) (peluang saling komplemen)

𝑃(𝑋 ≤ 14) = 1 − 𝑃(15) − 𝑃(16)

𝑃(𝑋 ≤ 14) = 1 − 𝐶(16,15). (0,9)¹⁵. (0,1)¹⁶⁻¹⁵ − 𝐶(16,16). (0,9)¹⁶. (0,1)¹⁶⁻¹⁶ 𝑃(𝑋 ≤ 14) = 1 − 16!

15! .1! × 0,2059 × 0,1 − 16!

16! .0! × 0,1853 × 1 𝑃(𝑋 ≤ 14) = 1 − 0,3294 − 0,1853

(17)

RPP Matematika (Peminatan) - Kelas XII 𝑃(𝑋 ≤ 14) = 0,4852

(18)

Lampiran Penilaian Sikap

INSTRUMEN PENILAIAN SIKAP Nama Satuan pendidikan : SMA Negeri 1 Banyumas Tahun Pelajaran : 2022/2023

Kelas/Semester : XII / Semester II

Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan)

No Waktu Nama Kejadian/

Perilaku Butir

Sikap Pos/

Neg Tindak Lanjut 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

NIP. 19710719 199501 1 001 NIP. 19920627 202012 2 012

(19)

Lampiran Penilaian Pengetahuan

(20)

KISI-KISI TES TERTULIS Satuan Pendidikan : SMA Negeri 1 Banyumas Kelas/Semester : XII/2

Tahun Pelajaran : 2022/2023

Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan)

Kompetensi Dasar : 3.5 Menjelaskan dan menentukan distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi peluang binomial

IPK :

3.2.1. Membuat tabel distribusi peluang variabel acak diskrit

3.2.2. Merumuskan fungsi distribusi peluang variabel acak diskrit

3.2.3. Menjelaskan syarat fungsi distribusi peluang (fungsi kepadatan peluang) variabel acak diskrit

3.2.4. Menggambar grafik distribusi peluang variabel acak diskrit

3.2.5. Merumuskan fungsi distribusi peluang kumulatif variabel acak diskrit

3.2.6. Menjelaskan ciri-ciri percobaan binomial

3.2.7. Menentukan distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi peluang binomial

No Kompetensi

Dasar Materi Indikator Soal Level Koginitif No

Soal Bentuk Soal 1 3.5 Menjelaskan

dan

menentukan distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi peluang binomial

Distribusi peluang variabel acak diskrit

Menentukan grafik fungsi distribusi peluang acak diskrit

Penerapan(C3) 1 Uraian

2 3.5 Menjelaskan dan

Distribusi peluang variabel acak diskrit

Menggunakan syarat distibusi peluang acak diskrit untuk menentukan variabel

Pemahaman(C2) 2 Uraian

Distribusi kumulatif peluang variabel acak diskrit

Menentukan fungsi distribusi kumulatif variabel acak diskrit

Penerapan (C3) 3 Uraian

(21)

Percobaan

Binomial Menjelaskan alasan percobaan

merupakan percobaan binomial

Pemahaman

(C2) 4 Uraian

Distribusi Peluang Binomial

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan distribusi binomial

Analisis (C4) 5 Uraian

(22)

1. Jika sebuah dadu dilambungkan sebanyak dua kali. Jika X adalah variabel acak yang menyatakan pasangan kedua mata dadu yang terlihat berjumlah genap

a. Buatlah tabel distribusi peluang variabel acak X b. Tuliskan fungsi distribusi peluang variabel acak X c. Gambar grafik distribusi peluang variabel acak X

2. Dketahui distribusi peluang variabel acak diskrit X diberikan pada tabel berikut 𝑋 = 𝑥 1 2 3 4

𝑃(𝑋) 1 5

𝑘 15

2𝑘 15

𝑘 5 a. Tentukan nilai k

b. Hitung nilai 𝑃(2 ≤ 𝑋 < 4)

3. Diketahui fungsi peluang variabel acak X ditentukan dengan 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

𝑓(𝑥) ^𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 1,2 𝑎𝑡𝑎𝑢 3

15

𝑥−12

15 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 4,5 𝑎𝑡𝑎𝑢 6 Tentukan nilai 𝐹(5)

4. Sebuah koin seribu dilantunkan 6 kali. Berikan alasan mengapa variabel acak X yang menampilkan banyak muncul sisi gambar dalam 6 kali lantunan termasuk variabel acak binomial

5. Jika 𝐵~ (6, ¹) =

2

15 berapa kali kejadian sukses dan hitunglah 𝑃(𝑋 = 3)

64

= {

(23)

NO JAWABAN SKOR 1. a.

1 1

3

3 Ruang sampel 𝑆 = {(1,1), (1,2), … , (6,6)}

Banyak anggota ruang sampel S adalah 𝑛(𝑆) = 36

Nilai 𝑥 Titik sampel Banyaknya P(X=x)=f(x)

2 (1,1) 1 1

36

4 (1,3),(2,2),(3,1) 3 3

36

6 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 5 5

36

8 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 5 5

36

10 (4,6),(5,5),(6,4) 3 3

36

12 (6,6) 1 1

36

b.

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 ﻟ 1

I36 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 2,12 𝑓(𝑥) = 3

❪ 36 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 4,10 I 5

𝗅 36 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 6,8

5

c.

7

(24)

2. ⁴

𝑎. ∑ 𝑓(𝑥_𝑖) = 1

𝑥=1

𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) = 1 1 𝑘 2𝑘 𝑘

+ + + = 1 5 15 15 5 3 + 𝑘 + 2𝑘 + 3𝑘 = 15 6𝑘 + 3 = 15

6𝑘 = 15 − 3 𝑘 = 12

6 𝑘 = 2

1 1 1 1 1 1 1 1 b.

𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 𝑃(4) + 𝑃(3) 𝑘 2𝑘 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = +

15 15 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 3𝑘

15 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 3.2

15 6 2 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = =

15 5

1 1 1 1

1 3

𝒇(𝒙) = 𝑷(𝑿) 𝑃(1) = 1

15 𝑃(2) = 2

15 𝑃(3) = 3

15 𝑃(4) = 2

15 𝑃(5) = 3

15 𝑃(6) = 4

15

𝑭(𝑿) 𝐹(1) = 1

15 𝐹(2) = 2

15 𝐹(3) = 6

15 𝐹(4) = 8

15 𝐹(5) = 11

15 𝐹(6) = 1

1

(25)

ﻟ 1 0, 15 ,

3 , I 15 6 𝐹(𝑥) = ,

❪15 8 15 , 11 I 15 , 𝗅 1, Nilai 𝐹(5) = ¹¹

15

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 ≤ 𝑥 < 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 ≤ 𝑥 < 3

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 3 ≤ 𝑥 < 4 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 4 ≤ 𝑥 < 5

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 5 ≤ 𝑥 < 6 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 , 𝑥 ≥ 6

5

2

4

Variabel acak

𝑋

adalah suatu variabel acak binomial karena ia memenuhi semua karakteristik percobaan binomial.

a. Percobaan dilakukan secara berulang-ulang yaitu melantunkan koin sebanyak 6 kali

b. Percobaan bersifat saling bebas (independent) yaitu pelantunan pertama tidak mempengaruhi pelantunan berikutnya

c. Percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu munculnya sisi gambar (sukses) dan muncul sisi bukan gambar (gagal)

d. Pada setiap lantunan, maka peluang muncul sisi gambar dalam setiap percobaan adalah sama yaitu

¹

2

1

5

a.

1

^𝑥

1

^6−𝑥

15

𝐶(6, 𝑥). ( ) . ( )

=

2 2 64

6! 1

⁶

15 (6 − 𝑥)! 𝑥! . ( ) = 2 64 6.5.4.3.2.1 1 15 (6 − 𝑥)! 𝑥! .

64 = 64

6.5.4.3.2.1 = (6 − 𝑥)!

𝑥! .15

6.4.2.1 = (6 − 𝑥)! 𝑥!

(6.4). (2.1) = (6 − 𝑥)! 𝑥!

(1.2.3.4). (2.1) = (6 − 𝑥)! 𝑥!

𝑥 = 2 atau x = 4

1 1

1 1 1 1 1 1

b.

1

³

1

³ 𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶(6,3). ( ) . ( )

2 2

1

(26)

6.5.4.3! 1

𝑃(𝑋 = 3) =

×

3.2.1.3! 64

𝑃(𝑋 = 3) = 4 ×

1

64 4 1

𝑃(𝑋 = 3) =

= 64 16

1

1 1

Skor Maksimum ⁷⁵

NIP. 19710719 199501 1 001 NIP. 19920627 202012 2 012 Nilai Siswa = Skor Perolehan

Skor Maksimum 𝑥 100 = Skor Perolehan 75 𝑥 100

(27)

Lampiran Peniaian Keterampilan

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 1 Banyumas Mata Pelajaran : Matematika (peminatan) Kelas/Semester : XII/ Genap

Tahun Pelajaran : 2022/2023

Kompetensi Dasar : 4.5 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulan

Indikator Pencapaian Kompetensi

: o Mengidentifikasi fakta atau informasi dalam masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

o Merumuskan fungsi distribusi peluang masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

o Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

o Menarik kesimpulan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan

Tes Tertulis

(28)

(acak)

o Menafsirkan kesimpulan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

o Menentukan nilai harapan distibusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

Rumusan Butir Soal

1. Peluang seorang bayi tidak diimunisasi polio adalah 0,2. Pada suatu hari di Puskesmas Sayang Bunda ada 4 orang bayi. Tentukan peluang paling sedikit 3 bayi belum diimunisasi polio (nyatakan hasil dalam pecahan desimal)

2. Pengalaman menunjukkan bahwa pada setiap penstensilan kertas koran dari 1.500 yang distensil telah terjadi kerusakan sebanyak 150 lembar. Bila distensil sebanyak 12 lembar, tentukan peluang banyaknya kertas yang rusak sebanyak 2 lembar (nyatakan hasil dalam bilangan berpangkat)

3. Seorang siswa menebak jawaban 10 pertanyaan bentuk pilihan ganda yang terdiri dari 5 pilihan. Jika peluang siwa menebak jawaban separuh pertanyaan dengan benar hasilnya adalah 𝑎 × 4^𝑏 × 5^𝑐. Tentukan nila 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

(29)

1. 𝑛 = 4 𝑥 = 3 𝑝 = 0,2

𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,2 = 0,8

Rumus fungsi distribusi peluang binomial 𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝐶(4, 𝑥) × 0,2^𝑥 × 0,8^𝑥

peluang paling sedikit 3 bayi belum diimunisasi polio

𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑓(3) = 𝐶(4,3). (0,2)³. (0,8)¹ + 𝐶(4,4). (0,2)⁴. (0,8)⁰

4! 4!

𝑃(3) = . (0,008). (0,8) + . (0,0016). (1)

3! .1! 4! .0!

𝑃(3) = 4 × 0,0064 + 1 × 0,016 𝑃(3) = 0,0256 + 0,0016 𝑃(3) = 0,0272

2

1

2 2 1 1 1

2. 𝑛 = 12 𝑥 = 2

150 1 𝑝 = =

1500 10

1 9 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − =

10 10

1 ² 9 ¹⁰ 𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶(12,2) × ( ) × ( )

10 10

10! 1 9¹⁰ 𝑃(𝑋 = 2) = × ×

2! 8! 10² 10¹⁰ 12.11.10! 9¹⁰ 𝑃(𝑋 = 2) = ×

2.1.10! 10¹² 9¹⁰ 𝑃(𝑋 = 2) = 66 ×

10¹²

2

2 2 2 2

3 𝑛 = 10 𝑥 = = 5 10

2 𝑝 = 1

5

1 4 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − =

5 5

1 ⁵ 4 ⁵ 𝑃(𝑋 = 5) = 𝐶(10,5) × ( ) × ( )

2

(30)

10.9.8.7.6.5! 4⁵ 𝑃(𝑋 = 5) = ×

5.4.3.2.1.5! 5¹⁰ 4⁵

𝑃(𝑋 = 5) = 252 × 5¹⁰ 𝑃(𝑋 = 5) = 252 × 4⁵ × 5⁻¹⁰ Nilai 𝑎 = 252, 𝑏 = 5 dan 𝑐 = −10

Nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 252 + 5 + (−10) = 247

2 2

2

Skor Maksimum 32

NIP. 19710719 199501 1 001 NIP. 19920627 202012 2 012 Nilai Siswa = Skor Perolehan

Skor Maksimum 𝑥 100 = Skor Perolehan 32 𝑥 100

(31)

(32)

PORTOFOLIO

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 1 Banyumas Mata Pelajaran : Matematika (peminatan) Kelas/Semester : XII/ Genap

Tahun Pelajaran : 2022/2023

Kompetensi Dasar : 4.5 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulan

Indikator Pencapaian

Kompetensi : o Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

o Menarik kesimpulan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

o

Menafsirkan kesimpulan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak)

Deskripsi Kegiatan

Format Penilaian portofolio No. Indikator

Hasil Penilaian (Kurang) 1 2

(Cukup) 3

(Baik) 4

(Sangat baik) 1. Membuat rangkuman

kegiatan

2. Memperoleh masalah distribusi peluang binomial

3. Membuat kesimpulan dari masalah yang diperoleh 4. Tampilan

Keterangan : 1 = Kurang ; 2 = Cukup ; 3 = Baik ; 4 = Sangat Baik Rubrik penilaian portofolio

No. Indikator Rubrik

1 Membuat rangkuman

kegiatan • Nilai 1 jika rangkuman kurang sesuai dengan kegiatan

1. Buatlah rangkuman kegiatan-kegiatan yang telah Anda kerjakan dan selesaikan pada bab ini

2. Carilah lima contoh masalah baik dari buku atau internet mengenai masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan

3. Susunlah rangkuman, contoh masalah serta jawaban Anda dalam bentuk laporan portofolio, kemudian kumpulkan kepada guru Anda

(33)

• Nilai 2 jika rangkuman cukup sesuai dengan kegiatan

• Nilai 3 jika rangkuman sesuai dengan kegiatan

• Nilai 4 jika rangkuman sangat sesuai dengan kegiatan

2. masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan

• Nilai 1 jika artikel kurang relevan

• Nilai 2 jika artikel cukup relevan

• Nilai 3 jika artikel relevan

• Nilai 4 jika artikel sangat relevan 3. Membuat kesimpulan dari

masalah yang diperoleh

• Nilai 1 jika artikel kurang relevan

• Nilai 2 jika artikel cukup relevan

• Nilai 3 jika artikel relevan

• Nilai 4 jika artikel sangat relevan 4. Tampilan fisik portofolio • Nilai 1 jika tampilan kurang rapi

• Nilai 2 jika tampilan cukup rapi

• Nilai 3 jika tampilan rapi

• Nilai 4 jika tampilan sangat rapi

NIP. 19710719 199501 1 001 NIP. 19920627 202012 2 012

(34)