S I L O G I S M E
A. Kalimat Ekuivalen
Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tidak dapat sekaligus benar dan salah.
Contoh:
1. Ambon adalah Ibu Kota Provinsi Maluku (pernyataan yang bernilai benar)
2. Ambon adalah Ibu Kota Provinsi Maluku Utara (pernyataan yang bernilai salah)
Pernyataan dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup.
a. Pernyataan Tertutup
Pernyataan yang telah diketahui nilai kebenarannya Contoh:
• 2 adalah bilangan ganjil (pernyataan tersebut telah diketahui bernilai salah maka termasuk pernyataan tertutup).
b. Pernyataan Terbuka
Pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya variabel (peubah).
Contoh:
• 𝑝(𝑥) = 2𝑥 + 2 > 5, 𝑥 ∈ 𝑅
Saat 𝑥 = 1 maka 𝑝(1) = 2(1) + 2 > 5 bernilai salah Saat 𝑥 = 2 maka 𝑝(2) = 2(2) + 2 > 5 bernilai benar Pernyataan Kuantor
Pernyataan kuantor adalah kalimat yang menunjukkan nilai kuantitas. Ada dua jenis pernyataan kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
1. Kuantor universal
Kuantor ini ditandai dengan adanya kata semua, seluruh, setiap Ingkaran dari kuantor universal adaah kuantor eksistensial.
Contoh:
p : Semua mahasiswa Universitas ABC angkatan 2017 lulus
~𝑝 : Sebagian mahasiswa Universitas ABC angkatan 2017 tidak lulus
2. Kuantor eksistensi
Kuantor ini ditandai dengan adanya kata sebagian, beberapa, ada Ingkaran dari kuantor eksistensi adalah kuantor universal.
Contoh:
p : Sebagian karyawan menggunakan seragam
~𝑝 : Semua karyawan tidak menggunakan seragam
Pernyataan Majemuk adalah pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan yang dibentuk menjadi satu pernyataan menggunakan kata penghubung seperti dan, atau, maka, dan jika dan hanya jika.
Kata Hubung Lambang Istilah
dan ˄ Konjungsi
atau ˅ Disjungsi
maka → Implikasi
Jika dan hanya jika ↔ Biimplikasi
Pernyataan yang menggunakan penghubung konjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun juga bernilai benar. Berikut ini adalah tabel kebenaran pernyataan yang menggunakan penghubung konjungsi.
p q p˄q
B B B
B S S
S B S
S S S
Pernyataan yang menggunakan penghubung disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun juga bernilai salah.
Berikut ini adalah tabel kebenaran pernyataan yang menggunakan penghubung disjungsi.
p q p˅q
B B B
B S B
S B B
S S S
Pernyataan yang menggunakan penghubung implikasi akan bernilai salah jika konklusi salah dan hipotesa benar. Dalam hal ini p disebut sebagai hipotesa dan q disebut sebagai konklusi.
Berikut ini adalah tabel kebenaran pernyataan yang menggunakan penghubung implikasi.
p q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Pernyataan yang menggunakan penghubung biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun bernilai sama, sama-sama benar atau sama-sama salah. Berikut ini adalah tabel kebenaran pernyataan yang menggunakan penghubung biimplikasi.
p q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Bentuk ekuivalen pernyataan majemuk adalah bentuk lain dari sebuah pernyataan majemuk yang bernilai sama. Notasi ekuivalen dapat ditulis dengan simbol ≡. Berikut ini adalah tabel ekuivalen pernyataan majemuk.
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝˅𝑞 𝑝˄𝑞 ≡ 𝑞˅𝑝 𝑝˅𝑞 ≡ 𝑞˄𝑝 𝑝 → ~𝑞 ≡ 𝑞 → ~𝑝
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝 𝑝˅(𝑞˄𝑟) ≡ (𝑝˅𝑞)˄(𝑝˅𝑟) 𝑝˄(𝑞˅𝑟) ≡ (𝑝˄𝑞)˅(𝑝˄𝑟) 𝑝 → (𝑝˅𝑞)(~𝑝˄~𝑞) → ~𝑝
𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞)(𝑞 → 𝑝)
Contoh Soal
1. Buatlah ingkaran pernyataan berkuantor universal berikut ini!
a. Semua orang Indonesia berkulit sawo matang
b. Setiap siswa kelas Sembilan SMP Agung nan Jaya diterima di SMA Karya Makmur
Jawab:
a. Semua orang Indonesia berkulit sawo matang
Kata semua dapat diganti menjadi sebagian, ada, atau beberapa dan sisipkan kata tidak atau bukan pada objek yang ada di kalimat.
Ingkaran : Ada orang Indonesia yang tidak berkulit sawo matang
b. Setiap siswa kelas sembilan SMP Agung nan Jaya diterima di SMA Karya Makmur
Kata setiap dapat diganti menjadi sebagian, ada, atau beberapa dan sisipkan kata tidak atau bukan pada objek yang ada di kalimat.
Ingkaran : Sebagian siswa kelas Sembilan SMP Agung nan Jaya tidak diterima di SMP Karya Makmur
2. Buatlah ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial berikut ini!
a. Beberapa pegawai pada perusahaan tambang adalah Wanita b. Ada mahasiswa yang mewakili kampus dalam Olimpiade Sains
Nasional Jawab:
a. Beberapa pegawai pada perusahaan tambang adalah Wanita Kata beberapa dapat diganti menjadi semua, setiap, dan tiap- tiap lalu sisipkan kata tidak atau bukan pada objek yang ada di kalimat.
Ingkaran : Semua pegawai pada perusahaan tambang bukan Wanita
b. Ada mahasiswa yang mewakili kampus dalam Olimpiade Sains Nasional
Kata ada dapat diganti menjadi semua, setiap, dan tiap-tiap lalu sisipkan kata tidak atau bukan pada objek yang ada di kalimat.
Ingkaran : Setiap mahasiswa tidak mewakili kampus dalam Olimpiade Sains Nasional.
B. Negasi/Ingkaran
Ingkaran pernyataan majemuk adalah negasi dari pernyataan majemuk. Ingkaran atau negasi adalah kebalikan dari sebuah pernyataan. Jika sebuah pernyataan bernilai benar maka negasinya bernilai salah, begitupun sebaliknya. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan ~𝑝 . Berikut ini adalah tabel ingkaran pernyataan majemuk.
Ingkaran Konjungsi ~(𝑝˄𝑞) ≡ ~𝑝˅~𝑞
Ingkaran Disjungsi ~(𝑝˅𝑞) ≡ ~𝑝˄~𝑞
Ingkaran Implikasi ~(𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝˄~𝑞 Ingkaran Biimplikasi ~(𝑝 ↔ 𝑞) ≡ (𝑝˄~𝑞)˅(𝑞˄~𝑝)
C. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Konvers, invers, dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi.
Berikut ini adalah tabel konvers, invers, dan kontraposisi dari sebuah pernyataan dengan penghubung implikasi.
Konvers dari 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝
Invers dari 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 → ~𝑞
Kontraposisi dari 𝑝 → 𝑞 ~𝑞 → ~𝑝
Contoh Soal:
Buatlah konvers, invers, dan kontraposisi dari kalimat berikut:
a. Jika Aldo rajin belajar maka ia akan memperoleh beasiswa
b. Jika Nindy bangun pagi tepat waktu maka ia dapat menggunakan sepeda ke sekolah
Jawab
a. Jika Aldo rajin belajar maka Aldo akan memperoleh beasiswa Konvers: Jika Aldo memperoleh beasiswa maka Aldo rajin belajar Invers: Jika Aldo tidak rajin belajar maka Aldo tidak akan memperoleh beasiswa
Kontraposisi: Jika Aldo tidak memperoleh beasiswa maka Aldo tidak rajin belajar
b. Jika Nindy bangun pagi tepat waktu maka Nindy dapat menggunakan sepeda ke sekolah
Konvers: Jika Nindy dapat menggunakan sepeda ke sekolah maka Nindy bangun pagi tepat waktu
Invers: Jika Nindy tidak bangun pagi tepat waktu maka Nindy tidak dapat menggunakan sepeda ke sekolah
Kontraposisi: Jika Nindy tidak dapat menggunakan sepeda ke sekolah maka Nindy tidak bangun pagi tepat waktu
D. Modul Tollens, Ponen, dan Silogisme
Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Ada beberapa cara dalam penarikan kesimpulan, yaitu.
a. Modus Ponens Premis 1 𝑝 → 𝑞 Premis 2 𝑝
∴ 𝑞 (kesimpulan)
b. Modus Tollens
Premis 1 𝑝 → 𝑞 Premis 2 ~𝑞
∴ ~𝑝 (kesimpulan)
c. Silogisme
Premis 1 𝑝 → 𝑞 Premis 2 𝑞 → 𝑟
∴ 𝑝 → 𝑟 (kesimpulan)
Contoh Soal:
Buatlah kesimpulan dari premis berikut ini:
a. Premis 1:
Jika Kiki rajin belajar maka Nenek akan memberikan boneka beruang
Premis 2:
Kiki rajin belajar
b. Premis 1:
Jika libur sekolah tiba maka Dina dan kedua orang tuanya berkunjung ke rumah kakek
Premis 2:
Dina dan kedua orang tuanya tidak berkunjung ke rumah kakek
c. Premis 1:
Jika hujan terus turun maka sawah akan tergenang air Premis 2:
Jika sawah tergenang air maka petani mengalami kerugian
Jawab:
a. Modus Ponens
Premis 1 Jika Kiki rajin belajar maka Nenek akan memberikan boneka beruang
Premis 2 Kiki rajin belajar
∴ Nenek akan memberikan boneka beruang
b. Modus Tollens
Premis 1 Jika libur sekolah tiba maka Dina dan kedua orang tuanya berkunjung ke rumah kakek Premis 2 Dina dan kedua orang tuanya tidak
berkunjung ke rumah kakek ∴ Libur sekolah belum tiba
c. Silogisme
Premis 1 Jika hujan terus turun maka sawah akan tergenang air
Premis 2 Jika sawah tergenang air maka petani akan mengalami kerugian
∴ Jika hujan terus turun maka petani akan mengalami kerugian
