Trigonometri

TRIGONOMETRI

Presented by

Khabibatul M Siti Wulandari

Indah Tri R Ilmiawan BU

Syamsul Hadi Den Markindo

STANDART KOMPETENSI

5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

KOMPETENSI DASAR

5.1 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

5.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

5.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya

PENGERTIAN TRIGONOMETRI

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan

sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada

ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi

beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari

geometri.

SUB BAB TRIGONOMETRI

• SUDUT DAN SATUANNYA

• NILAI TRIGONOMETRI SUDUT

• IDENTITAS TRIGONOMETRI

• RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI PADA

SEGITIGA

SUDUT DAN SATUANNYA

• Sudut adalah suatu besaran yang dibangun oleh sinar yang diputar dengan pusat

perputaran suatu titik tertentu dari suatu posisi awal ke suatu posisi terminal.

• Satuan sudut ada dua yaitu : 1. Satuan Derajat

2. Satuan Radian

SATUAN DERAJAT

Besar sudut satu putaran = 360^o Berarti, besar sudut

o

A

SATUAN RADIAN

Pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r

diketahui panjang busur MN sama dengan panjang jari- jari. Besar sudut θ, yaitu sudut pusat lingkarang yang menghadap ke busur MN, didefinisikan sebagai ukuran satu radian.

o θ = 1 rad

r

N

M

r

r

Secara umum :

o θ = 1 rad

r r

N M

S

Panjang busur MN = 2πr(keliling lingkaran) berarti

sudut MON merupakan sudut satu putaran dan besarnya 2π radian.

Hubungan satuan derajat dan radian

Satuan besar sudut dapat menggunakan derajat atau radian. Kedua satuan itu terdapat hubungan yang menarik.

Besar sudut

1 putaran = 2π radian

2π radian = 360^o

½ putaran → π radian = 180^o

Besar sudut

1 putaran = 360^o

360^o = 2π radian

½ putaran → 180^o = π radian

NILAI TRIGONOMETRI SUDUT

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Secara umum, pada segitiga siku-siku yang sebangun,

perbandingan sisi-sisi menurut salah satu sudutnya bernilai tetap. Perbandingan antara sepanjang sisi pada segitiga siku- siku yang sebangun itulah yang disebut perbandingan

trigonometri.

Depan Miring

Samping

C

B A

α

Perbandingan trigonomentri pada segitiga ABC :

Dari pembahasan di atas, tampak bahwa batasan sudut α adalah 0o < α < 90o

C

B A

α

β

Segitiga ABC siku-siku di B A + B + C = 180^o

α + 90^o + β = 180^o α + β = 90^o

β = 90^o – α

jadi, β merupakan sudut penyiku α.

SUDUT PENYIKU

PERBANDINGAN

TRIGONOMETRI PADA

SEGITIGA DALAM SUMBU KARTESIUS

r x miring

sisi

A dgn berhadapan yang

sisi  

r y miring

sisi

A dgn an berdamping yang

sisi  

Sb y

Sb x

r y

x

1. Sinus  =

2. Cosinus  =

3. Tangan  = x

y A

dgn an berdamping yang

sisi

A dgn berhadapan yang

sisi 







SUDUT ISTIMEWA

Untuk  30⁰

Sin 30⁰ = Cos 30⁰= Tg 30⁰ =

2

 1 AC AB

2 3 1 2

3  AC 

BC

3 3 1 3

1  BC 

AB

SUDUT ISTIMEWA

A B

C

60⁰

30⁰

2

1

3

SUDUT ISTIMEWA

Untuk  45⁰

45⁰

45⁰

A B

C

Sin 45⁰ = Cos 45⁰ =

Tg 45⁰ =

2 2 1 2

1 AC

BC  

2 2 1 2

1 AC

AB  

1 1 1 AB

BC  

1

2

1

Sin 60⁰ = Cos 60⁰ =

Tg 60⁰ =

2

 1 AC

AB

1

 3 AB BC

2 3 1 2

3  AC 

BC

Untuk  60⁰

A B

C

60⁰

30⁰

2

1

3

SUDUT ISTIMEWA

KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA

2 2 1

2 2 1

3 3 1

  0 0

^OO

30 30

^OO

45 45

^OO

60 60

^OO

90 90

^OO

Sin Sin 0 0 1 1

Cos Cos 1 1 0 0

Tg Tg 0 0 1 1  

Ctg Ctg   1 1 0 0

2

1 2

2

1 2

2 1

2 1

3 3

1

3

3

Hitunglah hasilnya!

a. Sin 30^o + Cos 30^o + Tan 30^o

b. 4 Tan 45^o – 2 Cos 60^o + ³ Sin 60^o Jawab :

a. Sin 30^o + Cos 30^o + Tan 30^o

6 3 5 3

6

3 2 3

3 3

3 3 3 1

2 1 2

1

 



 







b. 4 Tan 45^o – 2 Cos 60^o + ³Sin 60^o

2 4 1

2 1 3

4

2 3 . 1 2 3

. 1 2 1

. 4















PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI BERBAGAI KUADRAN

0

0 180

90   0⁰   90⁰

0

0 270

180   ^{2700    3600}

Sudut di Kuadran I = 

Sin bernilai (+) Cos bernilai (+)

anbernilai (+)



Sudut di Kuadran II = β = (180 - ) Hanya Sin bernilai (+)

Sudut di Kuadran III =γ =(180 + ) Hanya Tan bernilai (+)

Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 -

Hanya Cos bernilai (+)

Sudut di Kuadran I

Sin ⍺ = ( bernilai positif ) Cos ⍺ = ( bernilai positif )

Tan ⍺ = ( bernilai positif )

r y

r x

x y

Sin ( 90 - ⍺)° = = cos ⍺ Cos ( 90 - ⍺)° = = sin ⍺

Tan ( 90 - ⍺)° = = cotan ⍺ r

rx y

x y

Sudut di Kuadran II

Sin ⍺ = ( bernilai positif )

Cos ⍺ = ( bernilai negatif )

Tan ⍺ = ( bernilai negatif )

r y

r

 x

x y



Sin (180 - ⍺)° = = sin ⍺

Cos(180 - ⍺)° = = - cos ⍺

Tan (180 - ⍺)° = = -tan ⍺ r

y

r

 x

y

x

Sudut di Kuadran III

Sin ⍺ = (bernilai negatif)

Cos ⍺ = (bernilai negatif)

Tan ⍺ = (bernilai positif) r

 y

r

 x

x y





Sin (180 + ⍺)° = = - sin ⍺

Cos (180 + ⍺)° = = - cos

⍺

Tan (180 + ⍺)° = = tan ⍺ r

 y

r

 x

x y





Sudut di Kuadran IV

Sin ⍺ = (bernilai negatif)

Cos ⍺ = (bernilai positif)

Tan ⍺ = (bernilai negatif)

r

 y

r x

x

 y

Sin (360 - ⍺)° = = - sin ⍺ Cos (360 - ⍺)° = = cos ⍺ Tan (360 - ⍺)° = = - tan ⍺

r

 y

r x

x

 y

Segitiga siku-siku OPP’ tidak berubah apabila putaran

jarum jam OP diputar satu putaran, baik searah putaran jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam.

Sehingga nilai perbandingan trigonometri sudut α sama dengan nilai perbandingan trigonometri sudut α + k . 360^o di mana k sembarang bilangan bulat positif

maupun negative.

Jadi, untuk k bilangan bulat berlaku hubungan : Sin α = sin (α + k . 360^o)

cos α = cos (α + k . 360^o) tan α = tan (α + k . 360^o)

Rumus Trigonometri Sudut Yang Lebih Besar dari 360^o atau Sudut Negatif

Hitunglah!

Sin 135^o – Cos 225^o + Tan 240^o Jawab :

= Sin (180 - 45)^o – Cos (180 + 45)^o + Tan (180 + 60)^o

= Sin 45^o – (- Sin 45^o) + Tan 60^o

3 2

3 2 2

2 1 2

1











Identitas Identitas

Trigonometri

Trigonometri

Dua buah fungsi f dan g dikatakan sama identik jika

untuk setiap x di mana kedua fungsi

didefinisikan. Persamaan seperti di atas

disebut suatu identitas.

Identitas berbanding terbalik

Identitas hasil bagi

Sifat-sifat periodik

Sifat-sifat genap-ganjil

Identitas Pythagoras

Menunjukkan suatu identitas: dengan berdasarkan dasar-dasar identitas dan sejumlah manipulasi aljabar,

ditunjukkan bahwa ruas kiri dan ruas

kanan suatu identitas adalah sama.

Ditunjukkan identitas :

http://mediapemb.blogspot.com

Ditunjukkan identitas :

Ditunjukkan identitas :

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA 1. RUMUS LUAS SEGITIGA

A

C B

t c b

a

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Apabila alas segitiga adalah BC = a.

Maka tinggi segitiga dapat dicari sebagai berikut.

b C Sin b t

C t

Sin      Luas segitiga ABC

adalah

SinC b

a L

b SinC L

t a L



















2 1 2 1

2. RUMUS SINUS DAN RUMUS COSINUS

Perhatikan segitiga ABC berikut.

a. Pada ∆ADC

b t

b t

* sin

sin











b. Pada ∆BDC





sin

* sin

a t

a t







Dari (i) dan (ii) diperoleh:













sin sin

sin sin

sin

* sin

*

b a

b a

b a









 C

A B

t c b

a

 



Rumus Cosinus







cos cos

cos

b c

BD AD

AB BD

b b AD

c

















a. Pada ∆ADC:

CD² = AC² - AD² t² = b² – (b cos α)² b. Pada ∆BDC:

CD² = CB² – BD²

t² = a² – (c – b cos α)²

. . . (iii)

. . . (iv)

Dari (iii) dan (iv) diperoleh:

a² – (c – b cos α)² = b² – b² cos² α

>> a² = b² – b² cos² α + (c – b cos α)²

>> a² = b² – b² cos² α + c² – 2bc cos α + b² cos² α

>> a² = b² + c² – 2bc cos α

Secara umum, pda segitig ABC sembarang berlaku rumus sinus dan rumus cosinus sebagai berikut

Rumus Sinus

Rumus Cosinus







sin sin sin

c b

a  

a² = b² + c² – 2bc cos α b² = a² + c² – 2ac cos β c² = a² + b² – 2ab cos λ

SOAL-SOAL LATIHAN

CONTOH SOAL :

Pada segitiga ABC, diketahui

a = 6, b = 4 dan sudut C = 120

⁰

Tentukan panjang c

PENYELESAIAN :

c

²

= a

²

+ b

²

– 2.a.b.cos C

c

²

= (6)

²

+ (4)

²

– 2.(6).(4).cos 120

⁰

c

²

= 36 + 16 – 2.(6).(4).( – ½ )

c

²

= 52 + 24 c

²

= 76

c =√76 = 2√19

CONTOH SOAL : CONTOH SOAL :

Pada segitiga ABC, diketahui c = 6, sudut B = 60

⁰

dan sudut

C = 45

⁰

.

Tentukan panjang b !

0

PENYELESAIAN : PENYELESAIAN :

2 6 3

45 6 60

21 12

0 0







b

Sin Sin

b

SinC c SinB

b

6 2 3

6 6

2 2 2

3 6

2 6 3

21 12









 

b

b

b