TUGAS II
METODE STATISTIKA
Oleh
Nama : Elisabeth Evelin Karuna
NPM : F1F019025
Dosen Pengampu : Dr. Fanani Haryo Widodo, M.Sc.
PROGRAM STUDI STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BENGKULU
2022
HOMEWORK 2. STATISTICAL METHODS A. Concept Questions
This section consists of some true/false questions regarding concepts of statistical inference. Indicate whether a statement is true or false and, if false, indicate what is required to make the statement true.
1. In a hypothesis test, the 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 is 0.043. This means that the null hypothesis would be rejected at 𝛼 = 0.05.
Answer :
TRUE. Kita dapat menolak 𝐻0 (null hypothesis) jika 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼. Jadi, jika 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.043 < 𝛼 = 0.05, maka 𝐻0 ditolak.
2. If the null hypothesis is rejected by a one-tailed hypothesis test, then it will also be rejected by a two-tailed test.
Answer :
TRUE. Kita dapat menolak 𝐻0 (null hypothesis) jika 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼. Jadi, jika 𝐻0 ditolak pada uji satu arah, maka 𝐻0 juga ditolak pada uji dua arah. Hal ini dikarenakan, pada uji satu arah ataupun uji dua arah 𝐻0 (null hypothesis) ditulis dalam bentuk persamaan (=).
3. If a null hypothesis is rejected at the 0.01 level of significance, it will also be rejected at the 0.05 level of significance.
Answer :
TRUE. Kita akan menolak 𝐻0 (null hypothesis) jika 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼. Jadi, jika 𝛼 = 1% = 0.01, maka 𝑝𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 0.01. Hal ini ini mengindikasikan bahwa, jika pada 𝛼 = 1% = 0.01 saja kita menolak 𝐻0, maka pada 𝛼 = 5% = 0.05 juga kita akan menolak 𝐻0.
4. If the test statistic falls in the rejection region, the null hypothesis has been proven to be true.
Answer :
TRUE. Jika statistik uji berada didaerah penolakan (wilayah kritis) pada tingkat
signifikansi yang dipilih, maka kita akan menolak 𝐻0. Artinya, dengan kesalahan type 1, dapat kita ketahui bahwa kita menolak 𝐻0 padahal 𝐻0 terbukti benar.
Jika nilai statistik uji tidak berada didaerah penolakan (wilayah kritis), maka tidak ada cukup bukti untuk menolak 𝐻0, artinya kita gagal menolak 𝐻0 pada tingkat signifikansi yang dipilih.
5. The risk of a type II error is directly controlled in a hypothesis test by establishing a specific significance level.
Answer :
FALSE. Tingkat kesalahan tipe I sering juga disebut kesalahan penentuan level of significant atau tingkat signifikansi. Dalam praktiknya, pada kesalahan tipe I tingkat signifikansi telah ditetapkan oleh peneliti terlebih dahulu sebelum hipotesis diuji. Sedangkan, pada kesalahan tipe II kesalahan dalam penerimaan hipotesis biasanya disebut dengan Beta Risk (𝛽) dan nilai 1 – 𝛽 disebut taraf uji.
6. If the null hypothesis is true, increasing only the sample size will increase the probability of rejecting the null hypothesis.
Answer :
TRUE. Jika hipotesis nol benar, hanya ada dua kemungkinan. Kita akan menolak akan memilih untuk menerima hipotesis nol dengan probabilitas 1 − 𝛼 dimana 𝐻0 dengan probabilitas alfa (𝛼), atau kita akan memilih untuk menerima hipotesis nol dengan probabilitas 1 − 𝛼 dimana 𝐻0 benar. Ketika kita meningkatkan ukuran sampel, mengurangi kesalahan standar, atau meningkatkan perbedaan antara statistik sampel dan parameter hipotesis, maka nilai p menurun, sehingga membuat kemungkinan bahwa kita menolak hipotesis nol semakin besar.
7. If the null hypothesis is false, increasing the level of significance (𝛼) for a specified sample size will increase the probability of rejecting the null hypothesis.
Answer :
FALSE. Bila hipotesis nol salah maka nilai 𝛽 akan mencapai maksimum, bilamana nilai parameter yang sesungguhnya dekat dengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya dengan nilai yang dihipotesiskan, makin kecil
nilai 𝛽.
8. If we decrease the confidence coefficient for a fixed n, we decrease the width of the confidence interval.
Answer :
FALSE. Meningkatkan ukuran sampel (𝑛) akan mengurangi lebar interval kepercayaan, karena standar errornya semakin berkurang atau semakin kecil.
9. If a 95% confidence interval on µ was from 50.5 to 60.6, we would reject the null hypothesis that µ = 60 at the 0.05 level of significance.
Answer :
FALSE. Pada taraf signifikansi 0.05 𝐻0 ∶ µ = 60 akan diterima, karena dari interval kepercayaan 95% diketahui bahwa nilai µ (rata-rata) berada pada interval 50.5 sampai 60.6, yang mana nilai µ = 60 ini berada pada interval tersebut.
10. If the sample size is increased and the level of confidence is decreased, the width of the confidence interval will increase.
Answer :
FALSE. Meningkatkan ukuran sampel (𝑛) akan mengurangi lebar interval kepercayaan, karena standar errornya semakin berkurang atau semakin kecil. Untuk mendapatkan tingkat kepercayaan (level of confidence) yang lebih tinggi, kita perlu membuat interval kepercayaan (confidence interval) yang lebih luas.
B. PRACTICE EXERCISES
The following exercises are designed to give the reader practice in doing statistical inferences through small examples.
1. From extensive research it is known that the population of a particular species of fish has a mean length µ = 171 mm and a standard deviation 𝜎 = 44 mm. The lengths are known to have a normal distribution. A sample of 100 fish from such a population yielded a mean length 𝑦̅ = 167 mm. Compute the 0.95 confidence interval for the mean length of the sampled population. Assume the standard deviation of the population is also 44 mm.
Answer :
Diketahui : µ = 171 mm 𝜎 = 44 mm 𝑦̅ = 167 mm 𝑛 = 100 𝛼 = 0.05
Ditanya : Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata panjang populasi sampel ? Penyelesaian :
𝑦̅ − 𝑧𝛼 2( 𝜎
√𝑛) < 𝜇 < 𝑦̅ + 𝑧𝛼 2( 𝜎
√𝑛) 167 − 𝑧0.05
2
( 44
√100) < 𝜇 < 167 + 𝑧0.05 2
( 44
√100) 167 − 𝑧0.025(44
10) < 𝜇 < 167 ∓ (44 10) 167 − (1.96)(4.4) < 𝜇 < 167 + (1.96)(4.4)
167 − 8.624 < 𝜇 < 167 + 8.624 158.376 < 𝜇 < 175.624
Jadi, pada interval kepercayaan 95% rata-rata panjang populasi sampel berada pada interval nilai 158.376 sampai 175.624.
2. Using the data in Exercise 1 and using a 0.05 level of significance, test the null hypothesis that the population sampled has a mean of µ = 171. Use a two-tailed alternative.
Answer : a) Hipotesis
𝐻0: µ = 171 𝐻1: µ ≠ 171
b) Besaran yang diperlukan µ = 171 mm
𝜎 = 44 mm 𝑦̅ = 167 mm 𝑛 = 100 𝛼 = 0.05 c) Statistik uji
𝑧 = 𝑌̅ − µ
𝜎/√𝑛= 167 − 171 44/√100 = −4
4.4= −0.91 Dimana :
𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑧𝛼
2 = 𝑧0.05 2
= 1.96
d) Kriteria penolakan Tolak 𝐻0 jika |𝑧| > 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 Terima 𝐻0 jika |𝑧| < 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 e) Kesimpulan
Berdasarkan hasil yang ada, dapat dilihat bahwa didapatkan nilai |𝑧| =
|−0.91| = 0.91 < 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 1.96, maka 𝐻0 gagal ditolak. Artinya pada taraf nyata pengujian 5% dapat dikatakan bahwa sampel populasi memiliki rata-rata µ = 171.
3. What sample size is required for a maximum error of estimation of 10 for a population whose standard deviation is 40 using a confidence interval of 0.95? How much larger must the sample size be if the maximum error is to be 5?
Answer :
Diketahui : 𝜎 = 40 𝛼 = 0.05 𝐸1 = 10 , 𝐸2 = 5 Ditanya : 𝑛1 dan 𝑛2 ? Penyelesaian :
Ukuran Sampel (𝑛1) untuk 𝐸1 = 10 𝑛1 =
𝑧𝛼 2
2(𝜎2) 𝐸2
= 𝑧0.05
2
2(40)2 (10)2
=(1.96)2(1600) 100
=(3.8416)(1600) 100
= 61.465 ≈ 62
Ukuran Sampel (𝑛2) untuk 𝐸2 = 5 𝑛2 =
𝑧𝛼
2 2(𝜎2)
𝐸2
= 𝑧0.05
2
2(40)2 (5)2
=(1.96)2(1600) 25
=(3.8416)(1600) 25
= 245.86 ≈ 246
Jadi, ukuran sampel yang diperlukan untuk kesalahan estimasi maksimum 10 adalah 𝑛1 = 62 dan ukuran sampel yang diperlukan untuk kesalahan estimasi
maksimum 5 adalah 𝑛2 = 246.
4. The following sample was taken from a normally distributed population with a known standard deviation 𝜎 = 4. Test the hypothesis that the mean µ = 20 using a level of significance of 0.05 and the alternative that 𝜇 > 20 :
23, 32, 22, 31, 27, 25, 21, 24, 20, 18.
Answer : a) Hipotesis
𝐻0: µ = 20 𝐻1: µ > 20
b) Besaran yang diperlukan µ = 20
𝜎 = 4 𝑦̅ = 24.3 𝑛 = 10 𝛼 = 0.05 c) Statistik uji
𝑧 = 𝑌̅ − µ
𝜎/√𝑛= 24.3 − 20
4/√10 = 4.3
1.26= 3.41 Dimana :
𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙= 𝑧𝛼 = 𝑧0.05= 1.645 d) Kriteria penolakan
Tolak 𝐻0 jika |𝑧| > 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 Terima 𝐻0 jika |𝑧| < 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 e) Kesimpulan
Berdasarkan hasil yang ada, dapat dilihat bahwa didapatkan nilai |𝑧| = |3.41| = 3.41 > 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙= 1.645, maka 𝐻0 ditolak. Artinya pada taraf nyata pengujian 5%
dapat dikatakan bahwa sampel populasi memiliki rata-rata µ > 20.
