ارﺷﺪ ﯽ ﮐﺎرﺷﻨﺎﺳ ﻧﺎﻣﻪ ﺑﺮاي درﯾﺎﻓﺖ درﺟﻪ ﭘﺎﯾﺎن ﺟﺒﺮ ﮔﺮاﯾﺶ

(1)

هﺪ ﺸاد مﻮﻋ

ﯽ زﻮ آ هو د رﺎﮐ و تﺎﯿ ﺎﯾر

نﺎﯾﺎﭘ ﻪﺟرد ﺖﻓﺎﯾرد ياﺮﺑ ﻪﻣﺎﻧ ﺳﺎﻨﺷرﺎﮐ

ﯽ ﺪﺷرا

رد ﻪﺘﺷر ﺾﺤﻣ ﯽﺿﺎﯾر ﺶﯾاﺮﮔ

ﺮﺒﺟ

لوﺪﻣﺮﯾز نﺎﮔود لوﺪﻣ و لوا يﺎﻫ

يﺎﻫ ﻢﻫ اﺰﺠﻣ

رﮕﺷھوژﭘ :

ﺎھوﺳ یوﺳوﻣ ﮫﺟﯾدﺧ ﺎﻣﻧھار دﺎﺗﺳا :

رﺗﮐد روﭘ نﻣﮭﺑ لﺎﻣﮐ

روﺎﺷﻣ دﺎﺗﺳا :

ﯽﻣﺳﺎﻗ ردﺎﻗ رﺗﮐد روﯾرﮭﺷ 97

(2)

(3)

ناوﻧﻋ :روآدﯾدﭘ مﺎﻧ و لوﺪﻣﺮﯾز نﺎﮔود

لوﺪﻣ و لوا يﺎﻫ ﻢﻫ يﺎﻫ

اﺰﺠﻣ ﺎﻫﻮﺳ يﻮﺳﻮﻣ ﻪﺠﯾﺪﺧ–

دﺎﺗﺳا ﺎﻣﻧھار : رﺗﮐد

روﭘ نﻣﮭﺑ لﺎﻣﮐ

دﺎﺗﺳا :روﺎﺷﻣ رﺗﮐد

ﯽﻣﺳﺎﻗ ردﺎﻗ

ﺦﯾرﺎﺗ :عﺎﻓد 06

/ 06 / 1397

دادﻌﺗ ﺣﻔﺻ :تﺎ 58

.ص

نﺎﯾﺎﭘ هرﺎﻣﺷ :ﮫﻣﺎﻧ

مﺎﻧ ﺎﭘ هرﺎﻣﺷ / هورﮔ ﯾ

نﺎ ﮫﻣﺎﻧ

:هدﯾﮑﭼ نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا رد ،ﻪﻣﺎﻧ

ﻪﻘﻠﺣ ﯽﻣﺎﻤﺗ هﺪــﺷ ضﺮﻓ ﺮﻔــﺻ ﺮﯿﻏ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﻫ

.ﺪﻧا ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

و هدﻮﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي

ﮏﯾ - ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﻪﺑ ﺎﻣ .ﺪﺷ ﺎﺑ لوﺪﻣ لوﺪﻣﺮﯾز زا نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ ي

لوﺪﻣﺮﯾز ﯽﻨﻌﯾ ) لوا يﺎﻫ زا مود يﺎﻫ

ﯽﻣ ( ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﻢﯾزادﺮﭘ

نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ -

لوﺪﻣ لوﺪﻣ ﯽﻨﻌﯾ ) ﯽﺑﺮﺿ يﺎﻫ ﻢﻫ يﺎﻫ

لوﺪﻣﺮﯾز زا ( ﻒﯿﻌﺿ ﯽﺑﺮﺿ ﺪﻨﭼ ﯽﺳرﺮﺑ ﻪﺑ و هدﺮﮐ ﯽﻓﺮﻌﻣ ار مود يﺎﻫ

ﯽﻣ هرﺎﺑ ﻦﯾا رد ﻪﺠﯿﺘﻧ .ﻢﯾزادﺮﭘ

لوﺪﻣ زا هداﻮﻧﺎﺧ ﻦﯾا ﻦﯿﺑ دﻮﺟﻮﻣ ﻂﺑاور زا ﯽﺧﺮﺑ ﯽــﺳرﺮﺑ ﻪﺑ ﺲﭙــﺳ هداﻮﻧﺎﺧ ﺎﺑ ﺎﻫ

لوﺪﻣ ي ﻢﻫ يﺎﻫ

ﻢﯿﻫاﻮﺧ اﺰﺠﻣ .ﺖﺧادﺮﭘ

هژاو :یدﯾﻠﮐ یﺎھ لوﺪﻣﺮﯾز

يﺎﻫ يﻮﻧﺎﺛ لوﺪﻣﺮﯾز ، ﻞﯾﻮﺤﺗ ًﻼﻣﺎﮐ يﺎﻫ

لوﺪﻣ ،ﺮﯾﺬﭘﺎﻧ ﻢﻫ يﺎﻫ

اﺰﺠﻣ .

(4)

بﻟﺎطﻣ تﺳرﮭﻓ

-1

ﻢــــــــﯿــــــــﻫﺎــــــــﻔــــــــﻣ و ﻒــــــــﯾرﺎــــــــﻌــــــــﺗ

...ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ...

...

1

-1 -1 ﯽـــــــــﻄـــــــــﺧﺮـــــــــﺒـــــــــﺟ زا ﯽـــــــــﻤـــــــــﯿـــــــــﻫﺎـــــــــﻔـــــــــﻣ

...

....

...

2

-1 -2 هوﺮـــــــــــﮔ زا ﯽـــــــــــﻤـــــــــــﯿـــــــــــﻫﺎـــــــــــﻔـــــــــــﻣ

ﺎـــــــــــﻫ

...

. ...

...

..

3

-1 - 3 ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﻤﯿﻫﺎﻔﻣ ... ﺎﻫ

...

5

-2 لوﺪــــــــــــﻣ

و ﺎــــــــــــﻫ لوﺪــــــــــــﻣﺮــــــــــــﯾز

-

...ﺎﻫ ..

..

...

....

...

. ...

...

14

-2 -1 لوﺪـــــــــــــــﻣ

لوﺪـــــــــــــــﻣﺮـــــــــــــــﯾز و ﺎـــــــــــــــﻫ

...

15

-2 -2 طﺮـــــــــــﺷ لوﺪـــــــــﻣ يور يﺮـــــــــﯿـــــــــﺠـــــــــﻧز يﺎـــــــــﻫ

ﺎـــــــــﻫ

...

24

- 3 وﺪﻣﺮﯾز زا نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ ل

لوا يﺎﻫ لوﺪﻣ و

ﻢﻫ يﺎﻫ اﺰﺠﻣ ...

...

28

-3 - 1 لوﺪﻣﺮﯾز زا نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ لوا يﺎﻫ

...

....

...

29

-3 - 2 لوﺪﻣ زا نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ ﻒﯿﻌﺿ ﯽﺑﺮﺿ يﺎﻫ

...

..

...

50

-4 ...ﻊﺑﺎﻨﻣ ...

..

...

..

...

57

(5)

ب

ﻪﻣﺪﻘﻣ

لﺎﺳ رد ﯽﻤﺳﺎﯾ رﺎﺑ ﻦﯿﻟوا ياﺮﺑ لوﺪﻣﺮﯾز زا نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ ،2001

ﯽﻨﻌﯾ ) لوا يﺎﻫ لوﺪﻣﺮﯾز

( مود يﺎﻫ

لوﺪﻣ زا سﻼﮐ ﻦﯾا زا ﺖﯿﺻﻮﺼﺧ ﻦﯾﺪﻨﭼ و هدﺮﮐ ﯽﻓﺮﻌﻣ ار ﯽﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ار ﺎﻫ

ﺪﻨﮐ )

Yassemi, 2001

ياﺮﺑ .(

ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ ﯽﻣ هرﺎﺑ ﻦﯾا رد ﺮﺘﺸﯿﺑ ي ) ﻊﺟﺮﻣ ﻪﺑ ﺪﯿﻧاﻮﺗ

Ansari-Toroghy and Farshadifar, 2008

( ﻪﻌﺟاﺮﻣ

.ﺪﯿﻨﮐ هﺪﯾا يرﻮﺌﺗ لآ

يﺮﺒﺟ ﻪﺳﺪﻨﻫ رد ﻢﻬﻣ راﺰﺑا ﮏﯾ لوا يﺎﻫ ﯽﻣ رﺎﻤﺷ ﻪﺑ ﮏﯿﺳﻼﮐ

ﻂﺴﺑ و ﻪﻌﺳﻮﺗ رد .دور

لوﺪﻣ يرﻮﺌﺗ و يﺮﺒﺟ ﻪﺳﺪﻨﻫ هﺪﯾا مﻮﻬﻔﻣ ياﺮﺑ ﻢﯿﻤﻌﺗ ﻦﯾﺪﻨﭼ ﺎﻫ

لآ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﯽﻓﺮﻌﻣ لوا يﺎﻫ

لوﺪﻣﺮﯾز ﺎﺑ ﻪﻄﺑار رد يرﺎﯿﺴﺑ ﺐﻟﺎﻄﻣ لوﺪﻣ زا لوا يﺎﻫ

ﻪﺘﻓﺮﮔ راﺮﻗ ناﺪﻨﻤﺸﻧاد زا يرﺎﯿﺴﺑ ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ درﻮﻣ ﺎﻫ

نﺎﯾﺎﭘ ﻦﯾا رد .ﺖﺳا ﻄﻣ ﻪﺑ ﺎﻣ ﺰﯿﻧ ﻪﻣﺎﻧ

لوﺪﻣﺮﯾز زا نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ ﻪﻌﻟﺎ ﯽﻣ لوا يﺎﻫ

ﻊﺟﺮﻣ رد .ﻢﯾزادﺮﭘ

)

McCasland and Moore, 1991

ﯽﻣ ﺖﺑﺎﺛ ( هﺎﮔﺮﻫ ﻪﮐ دﻮﺷ

،يﺮﺗﻮﻧ ﻪﻨﻣاد ﮏﯾ ﮏﯾ

- ًﺎﯿﻫﺎﻨﺘﻣ لوﺪﻣ

و هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ زا ﯽﻀﺤﻣ لوﺪﻣﺮﯾز

هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺺﺨﺸﻣ طﺮﺷ ﺪﻨﭼ ﺖﺤﺗ لﺎﮑﯾدار لوﺪﻣﺮﯾز ﮏﯾ

لوﺪﻣﺮﯾز ياﺮﺑ ﺰﯿﻧ عﻮﺿﻮﻣ ﻦﯾا نﺎﮔود ﻪﮐ داد ﻢﯿﻫاﻮﺧ نﺎﺸﻧ ﺰﯿﻧ ﺎﻣ .دﻮﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا ﺖﺳرد ﻞﮐﻮﺳ يﺎﻫ

ﯽﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﺮﮔا ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﮏﯾ

- هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ يﺮﺗﻮﻧ لوﺪﻣ لوﺪﻣﺮﯾز يور ﯽﻟوﺰﻧ يﺎﻫﺮﯿﺠﻧز طﺮﺷ رد

يﺎﻫ

ﻦﯾا نﺎﮔود .دﺮﮐ ﺪﻫاﻮﺧ قﺪﺻ ﻞﮐﻮﺳ ﯽﻣ عﻮﺿﻮﻣ

لوﺪﻣ ياﺮﺑ ﺪﻧاﻮﺗ يدﻮﻌﺻ يﺎﻫﺮﯿﺠﻧز طﺮﺷ رد ﻪﮐ ﯽﻨﯿﺗرآ يﺎﻫ

لوﺪﻣﺮﯾز يور ﯽﻣ قﺪﺻ لﺎﮑﯾدار يﺎﻫ

ﯽﻣ ﻪﮐ دﻮﺷ نﺎﯿﺑ ﺪﻨﻨﮐ ﻊﺟاﺮﻣ ﻪﺑ هرﺎﺑ ﻦﯾا رد ﺪﯿﻧاﻮﺗ

)

Pusat-Yilmaz and Smith, 1996

) و (

Sharpe and Vamos, 1972

.ﺪﯿﻨﮐ ﻪﻌﺟاﺮﻣ (

نﺎﯾﺎﭘ ﺮﺧآ ﺶﺨﺑ رد ﻪﻣﺎﻧ

لوﺪﻣ زا نﺎﮔود مﻮﻬﻔﻣ ﯽﺳرﺮﺑ ﻪﺑ و هدﺮﮐ ﯽﻓﺮﻌﻣ ار ﻒﯿﻌﺿ ﯽﺑﺮﺿ يﺎﻫ

لوﺪﻣ عﻮﻧ ﻦﯾا زا ﯽﺗﺎﯿﺻﻮﺼﺧ ﯽﻣ ﺎﻫ

ﻊﺟﺮﻣ رد .ﻢﯾزادﺮﭘ )

Azizi, 2003

ﯽﻣ هداد نﺎﺸﻧ ( لوﺪﻣ سﻼﮐ ﻪﮐ دﻮﺷ

-

لوﺪﻣ و ﯽﺑﺮﺿ يﺎﻫ ﻢﻫ يﺎﻫ

لوﺪﻣ ياﺮﺑ ﯽﺑﺮﺿ نﺎﺸﻧ ﺰﯿﻧ ﺎﻣ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻢﻫﺮﺑ ﻖﺒﻄﻨﻣ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ ًﺎﯿﻫﺎﻨﺘﻣ يﺎﻫ

ﻪﮐ داد ﻢﯿﻫاﻮﺧ .ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﯽﻄﯾاﺮﺷ ﺖﺤﺗ ﺰﯿﻧ عﻮﺿﻮﻣ ﻦﯾا نﺎﮔود

(6)

لوا ﻞﺼﻓ

ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ و ﻒﯾرﺎﻌﺗ

(7)

(8)

نﺎﮔود 2 لوﺪﻣﺮﯾز يﺎﻫ لوا و لوﺪﻣ يﺎﻫ ﻢﻫ اﺰﺠﻣ

- 1 1 ﯽﻄﺧﺮﺒﺟ زا ﯽﻤﯿﻫﺎﻔﻣ

ﻒﯾﺮﻌﺗ -1

-1 :1 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي ﻞﻤﻋ ود ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ار يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ ،ﺮﻟﺎﮑﺳا بﺮﺿ و+

ناﺪﯿﻣ يور1

ﯽﻣ ﻢﯿﻣﺎﻧ :هﺎﮔﺮﻫ

(1 ﻞﻤﻋ ﺖﮐﺮﺷ صاﻮﺧ ياراد+

ﻮﻀﻋ ﺮﻫ و ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ ياراد ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ و هدﻮﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ و يﺮﯾﺬﭘ

.ﺪﺷﺎﺑ سﻮﮑﻌﻣ ﻮﻀﻋ ياراد نآ زا (2 ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﺮﻟﺎﮑﺳا بﺮﺿ ﻞﻤﻋ

, ∈

ﺮﻫ يازا ﻪﺑ و

, ∈

ﯽﮔﮋﯾو :ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار ﺮﯾز يﺎﻫ

1 = 



( ) = ( )



( + ) = +



( + ) = +

-1 :2 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ

= { , … , }

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ يا يﺎﻀﻋا زا ﯽﻫﺎﻨﺘﻣ

.ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ار

ي يﺎﻫﺮﻟﺎﮑﺳا هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﯾﻮﮔ ﯽﻄﺧ

, … , ε

زا دﻮﺟﻮﻣ ﺪﻨﺘﺴﯿﻧ ﺮﻔﺻ ﯽﮕﻤﻫ ﻪﮐ

:ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﻪﮐ يرﻮﻃ ﻪﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ

+ ⋯ + = 0.

-1 :3 هﺎﮔﺮﻫ ﻒﯾﺮﻌﺗ رد

-1 -1 ﻪﺘﺴﺑاو7 ي ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﯽﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ،ﺪﺷﺎﺒﻧ ﯽﻄﺧ دﻮﺷ

.

لﺎﺜﻣ -1 -1 :4 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ي ﻪﺘﺴﺑاو{0}

ي .ﺖﺳا ﯽﻄﺧ

-1 :5 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ناﺪﯿﻣ يور يرادﺮﺑ يﺎﻀﻓ ﮏﯾ

،ﺪﺷﺎﺑ ياﺮﺑ ﻪﯾﺎﭘ ﮏﯾ ار ⊆

:هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﯾﻮﮔ

(1 .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ

(2 يﺎﻀﻓ ﺮﻫ ﯽﻨﻌﯾ ﺪﻨﮐ ﺪﯿﻟﻮﺗ ار

يﺎﻀﻋا زا ﯽﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺻ ﻪﺑ ناﻮﺘﺑ ار ∈

.ﺖﺷﻮﻧ

Vector space1

(9)

3 ﯽﺗﺎﻣﺪﻘﻣ ﻢﯿﻫﺎﻔﻣ وﻒﯾرﺎﻌﺗ

-1 :6 ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﮏﯾΣ

ﻪﻄﺑار .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻬﺗﺎﻧ ي ي

يور ار≤

ﻪﻄﺑار ﮏﯾΣ

ﯽﺋﺰﺟ ﺐﯿﺗﺮﺗ ي

ﯽﻣ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ

, , ∈ Σ

ﺮﮔا ًﻻوا ، و ≤

نآ ≤

هﺎﮔ ﺮﮔا ًﺎﯿﻧﺎﺛ ، =

و ≤

≤

نآ هﺎﮔ ﺮﻫ ياﺮﺑ ًﺎﺜﻟﺎﺛ و ≤

ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ∈ Σ

. ≤

-1 :7 ﻪﻄﺑار ﺎﺑ ار Σ

ﯽﺋﺰﺟ ﺐﯿﺗﺮﺗ ي ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ≤

زا يﻮﻀﻋ .ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻞﺜﻣ Σ

ﻮﻀﻋ ار

لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ ﯽﻣΣ

زا ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻞﺜﻣΣ

ﺮﮔا ، نآ ، ≤

هﺎﮔ زا يﻮﻀﻋ . =

ﻞﺜﻣ Σ

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ياﺮﺑ ﻻﺎﺑ ناﺮﮐ ﮏﯾ ار ﯽﻬﺗﺎﻧ ي

زاΛ

ﯽﻣΣ

زا ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻞﺜﻣΛ

ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد

. ≤

-1 :8 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ﻞﺜﻣ يا

يﺎﻀﻋا زاΛ

ﯽﻣ ﺮﯿﺠﻧز ﮏﯾ ارΣ

ﻮﻀﻋ ود ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ

زا ﻞﺜﻣΛ

و ، ﺎﯾ ≤

. ≤

ﻢﻟ -1 -1 :(نرُز ﻢﻟ)9 ﺮﮔا

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣΣ

ﻪﻄﺑار ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ﯽﻬﺗﺎﻧ يا ﯽﺋﺰﺟ ﺐﯿﺗﺮﺗ ي

ﯽﮔﮋﯾو ﻦﯾا ﺎﺑ ﺪﺷﺎﺑ≤

رد ﯽﯾﻻﺎﺑ ناﺮﮐ نآ زا ﯽﻬﺗﺎﻧ ﺮﯿﺠﻧز ﺮﻫ ﻪﮐ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد Σ

.دراد لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ ﻮﻀﻋ ﮏﯾ ﻢﮐ ﺖﺳدΣ

:نﺎﻫﺮﺑ ﻊﺟﺮﻣ ﻪﺑ تﺎﺒﺛا ياﺮﺑ )

Lewin,

1991

( .ﺪﯿﻨﮐ ﻪﻌﺟاﺮﻣ ∎

- 1 2 هوﺮﮔ زا ﯽﻤﯿﻫﺎﻔﻣ ﺎﻫ

ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ هاﻮﺨﻟد ي ﻞﻤﻋ ﺪﻨﭼ ﺎﯾ ﮏﯾ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ار

ﯽﯾﺎﺗ-

يور ﮏﯾ ار هﺎﮕﺘﺳد

ﯽﻣ يﺮﺒﺟ دﺎﻤﻧ ﺎﺑ ار يﺮﺒﺟ ﻊﻣﺎﺟ هﺎﮕﺘﺳد ًﻻﻮﻤﻌﻣ .ﺪﻨﻣﺎﻧ

( , { }_∈)

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﺮﮔا .ﺪﻨﻫد

ﻞﻤﻋ مﺎﻤﺗ يﺎﻫ

- ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ يور ﯽﯾﺎﺗ ي

هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ

= ( ) _∈

عﻮﻧ زا يﺎﻫﺮﺒﺟ مﺎﻤﺗ سﻼﮐ و هﺪﯿﻣﺎﻧ ﺮﺒﺟ عﻮﻧ ار ار

ﺎﺑ ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ( )

يﺮﺒﺟ هﺎﮕﺘﺳد ﺮﻫ .ﺪﻨﻫد هوﺮﮔ ،ﯽﯾﺎﺗود ﻞﻤﻋ ﮏﯾ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ

ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ هراو .دﻮﺷ

-2 :1 هوﺮﮔ هراو

( ,∗)

ﻢﯿﻧ ﮏﯾ هﺎﮔﺮﻫ دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ هوﺮﮔ يور ∗

ﺖﮐﺮﺷ ﺖﯿﺻﺎﺧ يﺮﯾﺬﭘ

ﻢﯿﻧ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺮﮔ

هو

( ,∗)

ﺪﻨﻧﺎﻣ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﺎﯾ ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ هﺎﮔﺮﻫ ﺪﻨﯾﻮﮔ راﻮﮑﺗ ﮏﯾ ار رد

دﻮﺟﻮﻣ

ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ رد

(10)

∗ = ∗ = .

لﺎﺜﻣ -1 -2 : 2

(ℕ, . )

ﯽﻣ راﻮﮑﺗ ﮏﯾ يور بﺮﺿ ﻞﻤﻋ اﺮﯾز ،ﺪﺷﺎﺑ

ﺖﮐﺮﺷ ﺖﯿﺻﺎﺧℕ

يﺮﯾﺬﭘ ﯽﻨﻌﯾ .دراد

ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

, , ∈ ℕ

،

( ) + ( )

ﯽﻓﺮﻃ زا . ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﯽﺑﺮﺿ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﻮﻀﻋ1

ي .ﺖﺳاℕ

-2 :3 راﻮﮑﺗ

( ,∗)

ﻮﻀﻋ ﺮﻫ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ هوﺮﮔ ﮏﯾ ار ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻌﺑ ،ﺪﺷﺎﺑ نوراو ياراد

ﻮﻀﻋ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ رد

ﺪﻨﻧﺎﻣ يﻮﻀﻋ ، رد

ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو

∗ = ∗ =

ًﻻﻮﻤﻌﻣ .

ﻮﻀﻋ نوراو ﺎﺑ ار

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ .ﻢﯿﻫد

لﺎﺜﻣ -1 -2 :4

(ℕ, +)

ﯽﻟو ﺖﺴﯿﻧ هوﺮﮔ ﮏﯾ

(ℤ, +)

اﺮﯾز ،ﺖﺳا هوﺮﮔ ﮏﯾ

(ℕ, +)

ﯽﻌﻤﺟ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﻮﻀﻋ

ﯽﻟو دراﺪﻧ

(ℤ, +)

ﻮﻀﻋ ﺮﻫ و ﺖﺳا ﺮﻔﺻ ﯽﻧﺎﻤﻫ ﻮﻀﻋ يارد سﻮﮑﻌﻣ ياراد ∈ ℤ

ﯽﻣ−

.ﺪﺷﺎﺑ

-2 :5 هوﺮﮔ

( ,∗)

ﻮﻀﻋ ود ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ ﯽﻠﺑآ ﺎﯾ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ هوﺮﮔ ﮏﯾ ار و

رد

∗ = ∗

.

حﻮﺿﻮﺑ

(ℤ, +)

ﺮﻫ يازا ﻪﺑ اﺮﯾز ،ﺖﺳا ﯽﻠﺑآ هوﺮﮔ ﮏﯾ

, ∈ ℤ

ﻢﯾراد

+ = +

.

-2 :6 ﺮﮔا ﻪﻄﺑار ﮏﯾ≡

ﻢﻫ ي ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ﻪﺑ ﯽﺘﺸﻬﻧ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ ي

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ يور ي

،ﺪﺷﺎﺑ

ﻢﻫ سﻼﮐ هﺎﮕﻧآ ﺪﻨﻧﺎﻣ يﻮﻀﻋ يزرا

زا ترﻮﺼﺑ

= { ∈ : ≡ }

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﻪﻤﻫ ي

ي

ﻪﻧﺎﻤﯿﭘ ﻪﺑ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي

ﺎﺑ ار ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ℤ

ترﻮﺼﺑ و ﻢﯿﻫد

ℤ = {0, 1, … , − 1}

ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ .ﻢﯿﻨﮐ

يازا ﻪﺑ داﺪﻋا بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ

, ∈ ℤ

ترﻮﺼﺑ

. = .

و

+ = +

ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ .دﻮﺷ

هاﺮﻤﻫℤ

.ﺖﺳا ﯽﻠﺑآ هوﺮﮔ ﮏﯾ ،ﻊﻤﺟ ﻞﻤﻋ ﺎﺑ

-2 :7 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻮﻀﻋ ترﻮﺼﻨﯾارد .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﮏﯾ

هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ ناﻮﺗدﻮﺧ ار ∈

ﺮﮔا . =

ناﻮﺗدﻮﺧ ﻮﻀﻋ ﺎﻬﻨﺗ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ هاﻮﺨﻟد ﯽﻫوﺮﮔ .ﺖﺳا ﯽﻬﯾﺪﺑ ﻮﻀﻋ ،

-2 :8 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ﯽﻬﺗﺮﯿﻏ ي

هوﺮﮔزا هوﺮﮔﺮﯾز ار

هﺎﮔﺮﻫ ،ﻢﯿﺋﻮﮔ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻞﻤﻋ ﺖﺤﺗ

يور هﺪﺷ ﺮﮔا .ﺪﻫد هوﺮﮔ ﻞﯿﮑﺸﺗ

= { }

هوﺮﮔﺮﯾز .دراد هوﺮﮔﺮﯾز ﮏﯾ ﻂﻘﻓ هﺎﮕﻧآ يﺎﻫ

و { }

زا ار

ﺎﻫوﺮﮔﺮﯾز ﯽﻬﯾﺪﺑ ي

ﯽﻣ .ﺪﻨﻣﺎﻧ

(11)

لﺎﺜﻣ -1 -2 :9 ﯽﻣ ﻢﯿﻧاد

ℝ ⊆ ℝ

و هدﻮﺑ ﯽﻣ هوﺮﮔ ﻞﯿﮑﺸﺗ بﺮﺿ ﻞﻤﻋ ﺖﺤﺗℝ

ﯽﻣ ﺲﭘ .ﺪﻫد ﻢﯿﻧاﻮﺗ

ﻢﯿﺋﻮﮕﺑ

(ℝ , . )

زا ﯽﻫوﺮﮔﺮﯾز

(ℝ, . )

ﻪﻤﻫ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا ي

هوﺮﮔﺮﯾز يﺎﻫ

(ℤ, +)

ترﻮﺼﺑ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ℤ

- 1 3 ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﻤﯿﻫﺎﻔﻣ ﺎﻫ

-3 :1 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ

و ﻊﻤﺟ لﺎﻤﻋا ًﻻﻮﻤﻌﻣ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﺗود ﻞﻤﻋ ود ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ﯽﻬﺗﺎﻧ يا

ﯽﻣ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد بﺮﺿ يﺮﺒﺟ ﻊﻣﺎﺟ هﺎﮕﺘﺳد ترﻮﺼﻨﯾارد .ﺪﺷﺎﺑ ،ﺪﻧﻮﺷ

( , +, . )

ﯽﻣ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ار هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ

(1

( , +)

.ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻠﺑآ هوﺮﮔ ﮏﯾ

(2

( , . )

ﻢﯿﻧ ﮏﯾ .ﺪﺷﺎﺑ هوﺮﮔ

(3 :ﯽﻨﻌﯾ ،ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾﺬﭘ ﻊﯾزﻮﺗ ﻊﻤﺟ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ بﺮﺿ

∀ , , ∈ ; . ( + ) = . + . (ﭗﭼزايﺮﯾﺬﭘﻊﯾزﻮﺗ )

( + ). = . + . (ﺖﺳارزايﺮﯾﺬﭘﻊﯾزﻮﺗ )

ﺲﭘ ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﻘﻠﺣ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ

عﻮﻧ زا ﯽﯾﺎﻫﺮﺒﺟ نﺎﻤﻫ ،ﺎﻫ

(2,2)

ﯽﯾﺎﺗود ﻞﻤﻋ ود نآ رد ﻪﮐ ﺪﻨﺘﺴﻫ

ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ار بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ لﺎﻤﻋا ًﻻﻮﻤﻌﻣ و ﺪﻧﻮﺷ

ﻪﺑ .ﻢﯾﺮﯿﮔ نﺎﻤﺘﺧﺎﺳ زا ﮏﯾﺮﻫ لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ

يﺎﻫ

ﯽﺿﺎﯾر

(ℤ, +, . )

،

(ℚ, +, . )

،

(ℝ, +, . )

و

(ℂ, +, . )

ﯽﻣ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻞﯿﮑﺸﺗ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ .ﺪﻨﻫد

-3 :2 ﯽﻣ ﻪﻘﻠﺣ ﺮﻔﺻ ار ﻊﻤﺟ ﻞﻤﻋ ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ ﺎﺑ و ﻢﯿﻣﺎﻧ

ﯽﻣ ﺶﯾﺎﻤﻧ 0

ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﻢﯿﻫد

ﻮﻀﻋ ﺮﻫ نوراو ﻪﻨﯾﺮﻗ ،ﻊﻤﺟ ﻞﻤﻋ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﻪﻘﻠﺣ زا

ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ ﺎﺑ و دﻮﺷ

ﺎﯾ−

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﺮﮔا .ﻢﯿﻫد

ﻮﻀﻋ ياراد ﻪﻘﻠﺣ بﺮﺿ ﻞﻤﻋ ﺮﮔا و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ار ﻪﻘﻠﺣ ،ﺪﺷﺎﺑ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﻪﻘﻠﺣ بﺮﺿ ﻞﻤﻋ ﻮﻀﻋ ﻦﯾا ،ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺜﻨﺧ

ﯽﻣ راﺪﮑﯾ ار ﻪﻘﻠﺣ و ﻪﮑﯾ ار ﻪﮑﯾ ﻮﻀﻋ .ﻢﯿﻣﺎﻧ

ﻪﻘﻠﺣ ي ي ﺎﺑ ار ﯽﻣ نﺎﺸﻧ1

.ﻢﯿﻫد

لﺎﺜﻣ -1 -3 :3 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ℤ

.ﺪﺷﺎﺑ جوز ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي

(ℤ , +, . )

ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻞﯿﮑﺸﺗ ي

ﯽﻣ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ اﺮﯾز ﺖﺴﯿﻧ راﺪﮑﯾ ﯽﻟو ،ﺪﻫد

ﯽﻤﻧ ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ ياراد بﺮﺿ ﻞﻤﻋ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ℤ

ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺪﺷﺎﺑ

(ℤ , +, . )

.ﺖﺳا راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﺮﯾز بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ

∀ [ ], [ ] ∈ ℤ ; [ ]. [ ] = [ ],

(12)

[ ] + [ ] = [ + ].

لﺎﺜﻣ -1 -3 :4 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ

ﻪﻠﺻﺎﻓ يور ﻪﺘﺳﻮﯿﭘ ﯽﻘﯿﻘﺣ ﻊﺑاﻮﺗ مﺎﻤﺗ ي ي

[0,1]

:ﯽﻨﻌﯾ ،ﺪﺷﺎﺑ

= [0,1] = { : : [0,1] → ℝ}.

يور ار بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ لﺎﻤﻋا ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ

ﻢﯿﻨﮐ

∀ , ∈ , ∈ [0,1]; ( + )( ) = ( ) + ( ), ( )( ) + ( ) ( ).

ترﻮﺼﻨﯾارد ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻞﯿﮑﺸﺗ ،هﺪﺷ ﻒﯾﺮﻌﺗ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﺎﺑ

ﯽﻣ راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي .ﺪﻫد

ﺗ ﻒﯾﺮﻌ -1

-3 :4 ﻪﻘﻠﺣ راﺪﮑﯾ ي هوﺮﮔ ﮏﯾ ﻞﯿﮑﺸﺗ بﺮﺿ ﻞﻤﻋ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ نآ ﺮﻔﺻ ﻒﻟﺎﺨﻣ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﻪﮐ

ﯽﻣ ار ﻪﻘﻠﺣ ﺪﻨﻫد ﯽﻣ هﺪﯿﻣﺎﻧ (ﯽﺸﺨﺑ) ﻢﯿﺴﻘﺗ ي

ﻪﻘﻠﺣ ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻌﺑ .دﻮﺷ ي

ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ هﺎﮔﺮﻫ ،ﺖﺳا ﻢﯿﺴﻘﺗ ي

.ﺪﺷﺎﺑ ﯽﺑﺮﺿ نوراو ياراد نآ ﺮﻔﺻ ﻒﻟﺎﺨﻣ ﻮﻀﻋ ﺮﻫ

-3 :5 ﻪﻘﻠﺣ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي

( , +, . )

ﯽﻣ ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ ار هﺎﮔﺮﻫ ،ﻢﯿﻣﺎﻧ

( − {0}, . )

هوﺮﮔ ﮏﯾ

ﺎﺑ ار هوﺮﮔ ﻦﯾا ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ و ﺪﺷﺎﺑ ﺎﺑ ار ﻪﻘﻠﺣ ًﻻﻮﻤﻌﻣ و1

− {0} =

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﮏﯾ ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻌﺑ .ﻢﯿﻫد

ﻪﻘﻠﺣ ﯽﻣ ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ ار ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﻢﯿﺴﻘﺗ ي .ﻢﯿﻣﺎﻧ

لﺎﺜﻣ -1 -3 :6 ﻪﻘﻠﺣ ي

= { + √3 | , ∈ ℚ}

ناﺪﯿﻣ ﮏﯾ ﯽﻟﻮﻤﻌﻣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﻞﻤﻋ ﺖﺤﺗ

.ﺖﺳا ﻪﯿﻀﻗ -1 -3 :7 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ ترﻮﺼﻨﯾارد .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

, ∈

ﻢﯾراد

(1

. 0 = 0. = 0

.

(2

(− ) = (− ) = −

.

(3 .ﺖﺳا دﺮﻔﺑ ﺮﺼﺤﻨﻣ دﻮﺟو ترﻮﺻ رد ﻪﻘﻠﺣ ﯽﺜﻨﺧ ﻮﻀﻋ

(4 ﺮﮔا هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ راﺪﮑﯾ

(−1). = . (−1) = −

.

Hungerford,

1974

( .دﻮﺷ ﻪﻌﺟاﺮﻣ ∎

-3 :8 ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ زا يﻮﻀﻋ

ي .ﺪﺷﺎﺑ مﻮﺴﻘﻣ ار

ﯽﻣ (ﭗﭼ) ﺖﺳار ﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ -

ﺮﻔﺻ ﻒﻟﺎﺨﻣ ﻮﻀﻋ هﺎﮔﺮﻫ ،ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ

( = 0) = 0

ﻪﻘﻠﺣ رد . ﺮﻫ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ يﺎﻫ

(13)

مﻮﺴﻘﻣ ﻮﻀﻋ .ﺲﮑﻋﺮﺑ و ﺖﺳا ﺖﺳار ﻪﯿﻠﻋ مﻮﺴﻘﻣ ﮏﯾ ﭗﭼ ﻪﯿﻠﻋ مﻮﺴﻘﻣ ار ∈

ﯽﻣ ﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ

مﻮﺴﻘﻣ ﻪﻘﻠﺣ ﺮﻫ ﻮﻀﻋ ﯽﻓﺮﻃ زا .ﺪﺷﺎﺑ ﭗﭼ و ﺖﺳار ﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ مﻮﺴﻘﻣ ﮏﯾ ﺮﻔﺻﺎﻧ ي

اﺮﻧآ ﻪﮐ ﺖﺳا ﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ

مﻮﺴﻘﻣ ﯽﻣ ﯽﻬﯾﺪﺑ ﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ .ﻢﯿﻣﺎﻧ

لﺎﺜﻣ -1 -3 :9 ﯽﻣ يﺎﻀﻋا ﻢﯿﻧاد مﺮﻔﺑℤ

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

ﯽﻣ ﺮﺻﺎﻨﻋ ياﺮﺑ يﺎﻀﻋا ﻦﯾا ﻦﯿﺑ رد .ﺪﺷﺎﺑ

،2

و3

ﻢﯾراد4

2 ≠ 0, 3 ≠ 0; 2. 3 = 0 3 ≠ 0, 4 ≠ 0; 3. 4 = 0

ﻪﺠﯿﺘﻧ رد

{2, 3, 4}

مﻮﺴﻘﻣ ﻪﯿﻠﻋ ﻪﻘﻠﺣ ﺮﻔﺻ يﺎﻫ ي

.ﺪﻨﺘﺴﻫℤ

-3 :10 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

, , ∈

زا ناﻮﺘﺑ

=

ﻪﮐ ﺖﻓﺮﮔ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻢﯿﺋﻮﮔ هﺎﮕﻧآ ، =

ﯽﻣ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ .ﺖﺳا فﺬﺣ نﻮﻧﺎﻗ ياراد ﭗﭼ زا ﺖﻔﮔ ناﻮﺗ

زا هﺎﮔﺮﻫ ﺖﺳا فﺬﺣ نﻮﻧﺎﻗ ياراد ﺖﺳار زا ﺖﻓﺮﮔ ﻪﺠﯿﺘﻧ ناﻮﺘﺑ =

. =

ﻪﯿﻀﻗ -1 -3 :11 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ رد .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

ي ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ فﺬﺣ ﻦﯿﻧاﻮﻗ

مﻮﺴﻘﻣ ﭻﯿﻫ ياراد ﺮﻔﺻ ﺰﺟ ﻪﺑ ﺮﮔا ﺖﺳار ﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ

.ﺪﺷﺎﺒﻧ ﭗﭼ ﺎﯾ

Hungerford,

1974

-3 :12 ﻪﻘﻠﺣ راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي هزﻮﺣ ار

ﯽﻣ ﺢﯿﺤﺻ ي ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ،ﻢﯿﻣﺎﻧ

ياراد ﺮﻔﺻ ﺰﺟ

ﭻﯿﻫ ﻪﻘﻠﺣ ﺮﮕﯾد ترﺎﺒﻌﺑ .ﺪﺷﺎﺒﻧ يﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ مﻮﺴﻘﻣ راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي

هزﻮﺣ ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ﺖﺳا ﺢﯿﺤﺻ ي

ﺮﮔا ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ﭗﭼ و ﺖﺳار زا فﺬﺣ ﻦﯿﻧاﻮﻗ ﻪﻘﻠﺣ لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ

راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي

(ℤ, +, . )

هزﻮﺣ ﮏﯾ ي

ﻪﻘﻠﺣ اﺮﯾز ،ﺖﺳا ﺢﯿﺤﺻ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي

مﻮﺴﻘﻣ ﺪﻗﺎﻓℤ

.ﺖﺳا ﺮﻔﺻ ﻪﯿﻠﻋ

-3 :13 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

.ﺪﺷﺎﺑ هاﻮﺨﻟد ي هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ ناﻮﺗدﻮﺧ ار ∈

. =

ﻪﺑ ﻮﻤﺠﻣ لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ ﻪﻋ

ﺮﺻﺎﻨﻋ ي

{0, 1, 3, 4}

ﻪﻘﻠﺣ ناﻮﺗدﻮﺧ ﺮﺻﺎﻨﻋ راﺪﮑﯾ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي

.ﺪﻨﺘﺴﻫℤ

-3 :14 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ .ﺪﺷﺎﺑ ﯽﻫاﻮﺨﻟد ي ي

(14)

( ) = { ∈ | = ; ∀ ∈ }

ﯽﻣ ﻪﻘﻠﺣ ﺰﮐﺮﻣ ار ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﻢﯿﻣﺎﻧ

چﻮﭘ ار ∈

ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ ناﻮﺗ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ

ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﻪﺑ . = 0

ﻪﻘﻠﺣ رد لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ ي

(ℤ , +, . )

ﺮﺻﺎﻨﻋ و 6

چﻮﭘ 12

اﺮﯾز .ﺪﻨﺘﺴﻫ ناﻮﺗ

(12) = 144 ≡ 0

و

(6) = 36 ≡ 0

.

-3 :15 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ

( , +, . )

و ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز

زا ﯽﻬﺗﺎﻧ يا ﺮﮔا .ﺪﺷﺎﺑ

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز ي

ﻪﻘﻠﺣ بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ ﻞﻤﻋ ﺎﺑ هاﺮﻤﻫ ترﻮﺼﻨﯾارد ،ﺪﻫﺪﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻞﯿﮑﺸﺗ ،

( , +, . )

ار

ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز زا يا

( , +, . )

ﯽﻣ ﺎﺑ اﺮﻧآ و ﻢﯿﻣﺎﻧ ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ≤

.ﻢﯿﻫد

ﺮﮐﺬﺗ -1 -3 :16 ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ

ﺖﮐﺮﺷ ﯽﻌﯿﺒﻃ رﻮﻄﺑ ﻊﯾزﻮﺗ و بﺮﺿ يﺮﯾﺬﭘ

ﺖﺒﺴﻧ ﻊﻤﺟ يﺮﯾﺬﭘ

زا ار بﺮﺿ ﻪﺑ ﯽﻣ ثرا ﻪﺑ

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ندﻮﺑ ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز نداد نﺎﺸﻧ ياﺮﺑ اﺬﻟ ،دﺮﺑ ﯽﻬﺗﺎﻧ ي

ﻪﻘﻠﺣ زا ي ﯽﻓﺎﮐ

ﻢﯿﻫد نﺎﺸﻧ ار ﺮﯾز دراﻮﻣ ﺖﺳا

(1 ﺮﻫ يازا ﻪﺑ

, ∈

،

− ∈

ﯽﻨﻌﯾ ؛

( , +)

هوﺮﮔﺮﯾز

( , +)

.ﺪﺷﺎﺑ

, ∈

، . ∈

لﺎﺜﻣ -1 -3 :17 .ﺖﺳا ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ود ياراد ﯽﻌﯿﺒﻃ رﻮﻄﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﺮﻫ دﻮﺧ يﺮﮕﯾد و{0}

ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ﻦﯾا ، ﺎﻫ

ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ار يﺎﻫ

ﯽﻣ ﯽﻬﯾﺪﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﻢﯿﻣﺎﻧ

( ℤ, +, . )

ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ي

(ℤ, +, . )

.ﺖﺳا

-3 :18 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

ي زا هﺪﯾا ار ﯽﻣ لآ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ

ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ﺮﯾز ﻂﯾاﺮﺷ

(1 . ≠ ∅

, ∈

،

− ∈

ﯽﻨﻌﯾ ؛

( , +)

هوﺮﮔﺮﯾز ﮏﯾ

( , +)

.ﺪﺷﺎﺑ

(3 ﺮﻫ يازا ﻪﺑ و ∈

، ∈

و ∈

. ∈

(15)

هﺪﯾا لآ ﻪﻘﻠﺣ زا ي دﺎﻤﻧ ﺎﺑ ار ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ⊲

ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ .ﻢﯿﻫد هﺪﯾا ﺮﻫ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ

زا ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ﮏﯾ لآ

) طﺮﺷ رد ﺮﮔا .ﺖﺳا ﻂﻘﻓ (3

هﺪﯾا ،ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ∈

هﺪﯾا ار لآ ﻂﻘﻓ ﺮﮔا و ﭗﭼ لآ

ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ ∈

هﺪﯾا هﺪﯾا ار لآ ﯽﻣ ﺖﺳار لآ

.ﻢﯿﻣﺎﻧ

لﺎﺜﻣ -1 -3 :19 ﻪﻘﻠﺣ ي (ℤ, +, . ) ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ار

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ترﻮﺼﻨﯾارد .ﻢﯾﺮﯿﮔ ي

= { | ∈ }

هﺪﯾا ﮏﯾ ﻪﻘﻠﺣﺮﯾز ﮏﯾ ﻪﺠﯿﺘﻧ رد و لآ ي

(ℤ, +, . ) ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا

ي

= { ∈ : = 0}

هﺪﯾا ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﻟآ ي

= { : : [0,1] → ℝ}

.ﺖﺳا

لﺎﺜﻣ -1 -3 :20 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ

ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ي يﺎﻫ

2 × 2

ﻪﯾارد ﺎﺑ رد يﺎﻫ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ .ﺪﺷﺎﺑ ℤ

ي

= { 0 0 : , ∈ }

هﺪﯾا ﻪﻘﻠﺣ ﺖﺳار لآ ي

هﺪﯾا ﯽﻟو ﺖﺳا ﭗﭼ لآ

ﯽﻤﻧ اﺮﯾز ،ﺪﺷﺎﺑ

∀ 0 1

0 0 ∈ , 0 0

0 1 ∈ ; 0 1 0 0

0 0

0 1 = 0 1

0 0 ∉ .

-3 :21 ﺮﮔا و ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ هﺪﯾا

زا ﯽﻟآ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ،ﺪﺷﺎﺑ

ترﻮﺼﻨﯾارد ≠

هﺪﯾا ار لآ

هﺮﺳ ﯽﻣ .ﻢﯿﻣﺎﻧ

-3 :22 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ،

و هﺪﯾا لآ ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﯾﺎﻫ ي

ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ .ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻢﯿﻨﮐ

( : ) = { ∈ : ⊆ }.

ﻪﮐ ﺖﺳا ﺢﺿاو

( : )

هﺪﯾا زا ﯽﻟآ و هدﻮﺑ

⊆ ( : )

ﯽﻣ ﻪﺟﻮﺗ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ . ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ

(1 ﺮﮔا هﺎﮕﻧآ ⊆

( : ) ⊆ ( : )

.

(2 ﺮﮔا هﺎﮕﻧآ ⊆

( : ) ⊆ ( : )

.

-3 :23 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

هﺪﯾا زا ﯽﻟآ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ترﻮﺼﻨﯾارد .ﺪﺷﺎﺑ

ي

(0: ) = { ∈ : = 0; ∈ }

زﺎﺴﭼﻮﭘ ار ﯽﻣ

ﺎﺑ و ﻢﯿﻣﺎﻧ ﺎﯾ

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﻪﺟﻮﺗ .ﻢﯿﻫد

ﯽﻣ زﺎﺴﭼﻮﭘ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ زا ﯽﺻﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ ﻊﻗاو رد

( : )

زﺎﺴﭼﻮﭘ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا ﯽﻨﻌﯾ

هﺪﯾا زا ﯽﻟآ

ﻪﻘﻠﺣ ي .ﺖﺳا

(16)

-3 :24 ﻪﻘﻠﺣ ي ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ار هﺪﯾا ﺎﻬﻨﺗ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ هدﺎﺳ ي

لآ يﺎﻫ ، دﻮﺧ و {0}

ﻪﺑ .ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﻘﻠﺣ ﺮﻫ لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ

هدﺎﺳ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ناﺪﯿﻣ ﺮﻫ و ( ﻢﯿﺴﻘﺗ ) ﯽﺸﺨﺑ ي ﺎﻬﻨﺗ ياراد اﺮﯾز ،ﺪﻨﺘﺴﻫ

هﺪﯾا لآ ﯽﻣ ﯽﻬﯾﺪﺑ يﺎﻫ .ﺪﻨﺷﺎﺑ

-3 :25 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ و ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣﺮﯾز زا ﯽﻬﺗﺎﻧ يا

ﯽﻣ راﺮﻗ .ﺪﺷﺎﺑ ﻢﯿﻫد

〈 〉 = { : ⊆ , ﺖﺳا R لآهﺪﯾا }.

ﻪﮐ ﺖﺳا ﺢﺿاو

⊆ 〈 〉

و هدﻮﺑ

(〈 〉, +, . )

هﺪﯾا ﻪﻘﻠﺣ لآ ي هﺪﯾا ﻦﯾا .ﺖﺳا هﺪﯾا ار لآ

لآ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻂﺳﻮﺗ ي

ﯽﻣ ﺮﺻﺎﻨﻋ .ﻢﯿﻣﺎﻧ هﺪﯾا يﺎﻫﺪﻟﻮﻣ ار

لا هﺎﮔﺮﻫ و هﺪﯿﻣﺎﻧ 〈 〉

= { , … , }

هﺎﮕﻧآ

ﻂﺳﻮﺗ ار〈 〉

〈 , … , 〉

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ﯽﻣ ﯽﻫﺎﻨﺘﻣ ﺪﯿﻟﻮﺗ ﺎﺑ اﺮﻧآ و ﻢﯿﻫد

ﺮﮔا .ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ

يﻮﻀﻋ ﮏﺗ ي

هﺪﯾا ،ﺪﺷﺎﺑ{ }

ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ لآ هﺪﯾا ﮏﯾ ار

يرود لآ ﯽﻣ

ﻪﻘﻠﺣ .ﻢﯿﻣﺎﻧ ي

هﺪﯾا مﺎﻤﺗ ﻪﮐ ار لآ

نآ يﺎﻫ

ﻪﻘﻠﺣ ار ﺪﺷﺎﺑ يرود ﯽﻠﺻا ي

هزﻮﺣ ﺮﻫ و 1

هﺪﯾا مﺎﻤﺗ ﻪﮐ ﯽﺤﯿﺤﺻ ي لآ

هزﻮﺣ ﮏﯾ ار ﺪﺷﺎﺑ يرود نآ يﺎﻫ ي

هﺪﯾا ﯽﻠﺻا لآ ﯽﻣ2

.ﻢﯿﻣﺎﻧ

لﺎﺜﻣ -1 -3 :26 ﻪﻘﻠﺣ ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي

(ℤ, +, . )

ﮏﯾ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا

نآ رد ﻪﮐ ℤ

يدﺪﻋ

ﮏﯾ ﺖﺳا لوا .ﺖﺳا

, , … ,

هﺪﯾا لآ ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﯾﺎﻫ ي

هﺪﯾا ﻦﯾﺮﺘﮑﭼﻮﮐ .ﺪﻨﺷﺎﺑ لآ

ﻞﻣﺎﺷ ﻪﮐ هﺪﯾا عﻮﻤﺠﻣ ار ﺪﺷﺎﺑ⋃

لآ يﺎﻫ

, , … ,

ﯽﻣ ﺎﺑ و ﻢﯿﻣﺎﻧ ﯽﻣ نﺎﺸﻧ∑

ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﻢﯿﻫد

هﺪﯾا يازا ﻪﺑ لآ

يﺎﻫ و ﻪﻘﻠﺣ زا ي هﺪﯾا ، ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ لآ ي

{ | ∈ , ∈ }

ﻞﺻﺎﺣ ار -

هﺪﯾا بﺮﺿ لآ

يﺎﻫ و ﺎﺑ و هﺪﯿﻣﺎﻧ ﯽﻣ نﺎﺸﻧ

.ﻢﯿﻫد

-3 :28 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي هﺪﯾا

زا ﯽﻟآ هﺪﯾا لﺎﮑﯾدار .ﺪﺷﺎﺑ

لا ار

ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ﻢﯿﻨﮐ

Principal Ideal Ring1

Domain2

Principal Ideal

(17)

√ = ∈ : ∈ ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ دراددﻮﺟو ﺖﺒﺜﻣﺢﯿﺤﺻدﺪﻋ .

هﺪﯾا ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ لآ

ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي هﺪﯾا ار

ﯽﻣ لﺎﮑﯾدار لآ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ

ﺮﯾز ﻂﺑاور حﻮﺿﻮﺑ .√ =

هﺪﯾا درﻮﻣ رد :ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ لﺎﮑﯾدار لا

(1

= ∩ = √ ∩

.

(2

√ = √

.

(3

+ = √ + ⊇ √ +

.

(4 ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا√ =

. =

(5 ﺖﺒﺜﻣ ﺢﯿﺤﺻ دﺪﻋ يازا ﻪﺑ ﺮﮔا ،

هﺎﮕﻧآ ⊆

.√ ⊆

-3 :29 ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ چﻮﭘ يﺎﻀﻋا مﺎﻤﺗ ي ﻪﻘﻠﺣ ناﻮﺗ

ﯽﯾﺎﺟﺎﺟ ي ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ار

ﻢﯿﻨﮐ

( ) = { ∈ | = 0;دراددﻮﺟو ﺖﺒﺜﻣﺢﯿﺤﺻدﺪﻋ }.

هﺪﯾا ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ لآ

زا هﺪﯾا ار چﻮﭘ لآ ﻮﻀﻋ ﺮﻫ هﺎﮔﺮﻫ ،ﻢﯿﺋﻮﮔ

چﻮﭘ ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑ ناﻮﺗ لﺎﺜﻣ ناﻮﻨﻋ

= 〈 0 1 0 0 〉

ﻪﻘﻠﺣ زا ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ

يﺎﻫ

2 × 2

ﻪﯾارد ﺎﺑ رد يﺎﻫ هﺪﯾا ﮏﯾ ℤ

،اﺮﯾز ﺖﺳا چﻮﭘ لآ

0 1

0 0 = 0 0

. 0 0

-3 :30 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ هﺪﯾا

ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﻟآ ي

( , +, . )

ﺮﺻﺎﻨﻋ يازا ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑ و +

+

زا :ﻢﯾراد ار ﺮﯾز بﺮﺿ و ﻊﻤﺟ

∀ , ∈ ; ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ). ( + ) = + .

( , +)

ﯽﻓﺮﻃ زا .ﺖﺳا ﯽﻠﺑآ هوﺮﮔ ﮏﯾ

( , . )

ﺖﮐﺮﺷ ﺮﺻﺎﻨﻋ يور ﻊﻤﺟ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ بﺮﺿ و هدﻮﺑ ﺮﯾﺬﭘ

ﻊﯾزﻮﺗ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯾﺪﺑ .ﺖﺳا ﺮﯾﺬﭘ

( , +, . )

ﯽﻣ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ ﻞﯿﮑﺸﺗ ﻪﻘﻠﺣ ار نآ ﻪﮐ ﺪﻫد

ي ﯽﻣ ﯽﺘﻤﺴﻗ جرﺎﺧ .ﺪﻨﻣﺎﻧ

(18)

-3 :31 هﺪﯾا هﺮﺳ لآ ﻪﻘﻠﺣ زا

ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي ﯽﻣ لوا ار

ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ،ﻢﯿﻣﺎﻧ

, ∈

ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ ∈

ﺎﯾ ∈

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ . ∈

هﺪﯾا مﺎﻤﺗ ي لآ

ﻪﻘﻠﺣ لوا يﺎﻫ ي

ﺎﺑ ار

( )

ﯽﻣ نﺎﺸﻧ .ﺪﻨﻫد

لﺎﺜﻣ -1 -3 :32 هﺪﯾا لا

〈3〉 = {3 | ∈ }

ﻪﻘﻠﺣ زا ﺢﯿﺤﺻ داﺪﻋا ي هﺪﯾاℤ

لوا لا .ﺖﺳاℤ

:نﺎﻫﺮﺑ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ

, ∈ ℤ

ﻪﮐ ﺪﻨﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ يرﻮﻃ

∈ 〈3〉

اﺬﻟ .

3| ⇒ 3| ﺎﯾ 3| ⇒ ∃ , ∈ ℤ, = 3 ﺎﯾ = 3 ⇒ ∈ 〈3〉 ﺎﯾ ∈ 〈3〉.

ﻪﺠﯿﺘﻧ رد .ﺖﺳا لوا〈3〉

∎

ﻪﯿﻀﻗ -1 -3 :32 ﺮﮔا هﺪﯾا ﻪﻘﻠﺣ زا لوا لا ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ي

هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ هﺪﯾا

ﯽﻨﻌﯾ ،ﺖﺳا لﺎﮑﯾدار لآ

. √ =

Hungerford,

1974

-3 :33 هﺪﯾا لآ ﻪﻘﻠﺣ زا ي هﺪﯾا ار هﺪﯾا هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﺋﻮﮔ لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ لآ نﻮﭼ يﺮﮕﯾد لآ

ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﺷﺎﺑ دﻮﺟﻮﻣ هﺎﮕﻧآ ⊂ ⊂

ﺎﯾ =

ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ . =

ي هﺪﯾا مﺎﻤﺗ لآ

ﻪﻘﻠﺣ لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ يﺎﻫ ي

ﺎﺑ ار ﯽﻣ نﺎﺸﻧ ( )

.ﻢﯿﻫد

لﺎﺜﻣ -1 -3 :34 ﻢﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻘﻠﺣ ﮏﯾ

هﺪﯾا ترﻮﺼﻨﯾارد ﺪﺷﺎﺑ ﻢﯿﺴﻘﺗ ي زا ﺮﻔﺻ لآ

هﺪﯾا لآ

.ﺖﺳا لﺎﻤﯿﺴﮐﺎﻣ

( , +, . )

و

( , +, . )

ﻊﺑﺎﺗ .ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﻘﻠﺣ ود

: →

ﻢﻫ ﮏﯾ ار -

ﻪﻘﻠﺣ زا ﯽﺘﺨﯾر ي

ﻪﺑ ﯽﻣ ﺮﻫ يازا ﻪﺑ هﺎﮔﺮﻫ ﻢﯿﻣﺎﻧ

, ∈

( + ) = ( ) + ( ), ( . ) = ( ). ( ) .

ﻢﻫ ﯽﺘﺨﯾر

: →

ﯽﻣ ﺮﻈﻧ رد ار ترﻮﺼﻨﯾارد .ﻢﯾﺮﯿﮔ

(19)

Title and Author: Dual Notion Of Prime Submodules And Coisolated Modules – Khadije Musavei Sooha

Supervisor: Dr. Kamal Bahmanpour

Graduation date: 28 Aug 2018

Number of pages: 58

Abstract

Let be a commutative ring and let be an -module. In this Thesis, we study the dual notion of prime submodules (that is, second submodules of ). Also we introduce the dual notion of weak multiplication -modules (that is, weak comultiplication modules) in terms of second submodules and investigate some related results. Then we examine some of the relationships between this family of modules and the families of coisolated Modules.

Keywords: Coisolated modules, Completely irreducible submodules, Second submodules.

(20)

(21)

University of Mohaghegh Ardabili Faculty of Sciences

Department of Mathematics

Thesis submitted in partial fulfillment for the degree of M.Sc. in Pure Mathematics

Dual Notion Of Prime Submodules And Coisolated Modules

By:

Khadije Musavei Sooha

Supervisor:

Dr. Kamal Bahmanpour

Advisor:

Dr. Ghader Ghasemi

(Aug 2018)