P دوری گروههای متناهی که اندیس زیر های گروه

(1)

أ هدکشناد مولع

یشزومآ هورگ هادبرراک و تایضایر

دشرا یسانشراک هجرد تفایرد یارب همان نایاپ یضایر هتشر رد

ضحم

هرابرد P ی

- هورگ یاه

ریز سیدنا هک یهانتم یاههورگ

یرود

زاس لامرن رد ناشلامرن ریغ تسا کچوک اهنآ

:رگشهوژپ

هدازریظن هموصعم

:امنهار داتسا

رتکد نیسح هداز لدبع

:رواشم داتسا

رتکد لامک روپ نمهب

بات ناتس 1396

(2)

ب

:وجشناد یگداوناخ مان و مان هدازریظن هموصعم

نایاپ ناونع همان

: هرابرد 𝑝ی

هورگ– یاه ریز سیدنا هک یهانتم اههورگ

زاسلامرن رد ناشلامرن ریغ یرود ی نآ

اه

تسا کچوک :امنهار داتسا رتکد

نیسح هداز لدبع

:رواشم داتسا رتکد

لامک روپ نمهب

:یلیصحت عطقم دشرا یسانشراک

یضایر :هتشر ضحم

:شیارگ ربج

هاگشناد : یلیبدرا ققحم

:هدکشناد مولع

:عافد خیرات /27

/6 96

:تاحفص دادعت 56

:هدیکچ 𝑝 کی کی ،هورگ – 𝒩_𝑝^𝑚

- هدیمان هورگ یم

دوش یاراد نآ لامرن ریغ یرود یاههورگریز مامت هاگره

ان سیدنا رتشیب

𝑝^𝑚 زا نایاپ نیا رد .دشاب ناشزاسلامرن رد تباث همان

یم مینک هبترم هک 𝒩_𝑝^𝑚 کی

- هورگ

دنیکدد ریغ یمن

دناوت 𝑝(2𝑚+1)(𝑚+1) زا

نآ رد هک دنک زواجت 𝑝 > 2

لماک روطب ام نینچمه .

𝒩_𝑝² - هورگ یاه یازا هب ار دنیکدد ریغ 𝑝 > 2

یدنب هدر یم

مینک .

دیلک هژاو اه : هورگ

،دنیکدد زاسلامرن

𝒩_𝑝^𝑚 ، هورگ –

𝑝 ، هورگ– .

(3)

ج

تسرهف :بلاطم

ناونع ...

...

هحفص

همدقم ...

...

1

لوا لصف ...

...

3

هیاپ میهافم یتامدقم و یا

...

3

مود لصف ...

...

16

هبترم 𝒩_𝑝^𝑚 - اههورگ ...

...

16

لصف موس ...

...

Error! Bookmark not defined.

یدنب هدر 𝒩_𝑝²

اههورگ– ...

...

:عجارم و عبانم ...

...

(4)

1

همدقم : نایاپ نیا رد ثحب دروم یاههورگ مامت یهانتم همان

یم دنشاب .

دینک ضرف کی 𝐺

- 𝑝 رگا .دشاب هورگ هورگریز کی 𝐻

هرس 𝐺ی هاگنآ دشاب هرس هورگریز کی 𝐻

ی

𝑁_𝐺(𝐻) رگید ترابعب .دوب دهاوخ

:

|𝑁_𝐺(𝐻): 𝐻| ≥ 𝑝

نیاربانب هعلاطم

-𝑝 هورگ ییاه لامرن ریغ هورگریز ره یازا هب اهنآ رد هک رد 𝐻

میشاب هتشاد 𝐺

|𝑁_𝐺(𝐻): 𝐻 | = 𝑝 چیوکرب طسوت هلئسم نیا .دوب دهاوخ بلاج

هلئسمرد (116

، چیوکرب

)2008

روطب

وئاژ و گناژ هلیسوب دیدرگ حرطم صخشم هیضق ،

-3 و 5 -3 7 ( وئاژ و گناژ 2010،

) .دیدرگ لح رب

ک چیو

رد

چیوکرب(

،

)2011

چیوکرب .درک حرطم هلئسم نیا یارب یرگید لح هار رد

، چیوکرب( )2011

تلاح

یلک یرت هدر زا - 𝑝

هورگ ییاه لامرن ریغ یرود یاههورگریز مامت اهنآ رد هک هبترم نیرتکچوک زا 𝐺

سیدنا یاراد نکمم یاههورگ زا یدنب هدر کی وا سپس .درک یسررب ار دنتسه ناشزاسلامرن رد 𝑝

رد چیوکرب .درک ادیپ ار ینینچنیا

، چیوکرب( )2011

درک داهنشیپ ار ریز هلئسم :

𝑝« - هورگ ییاه رتشیب ان سیدنا یاراد اهنآ لامرن ریغ یرود یاههورگریز مامت هک دینک یدنب هدر ار

𝑝²زا تسه ناشزاسلامرن رد .دن

»

نایاپ نیا رد مامت ام عقاو رد .درک میهاوخ یسررب ار هلئسم نیا ام همان

- 𝑝 هورگ ییاه میهاوخ یسررب ار

هک درک زا رتشیب ان سیدنا یاراد اهنآ لامرن ریغ یرود یاههورگریز

𝑝^𝑚 هک دنتسه ناشزاسلامرن رد 𝑚

نینچ ام .تسا تبثم حیحص ددع کی - 𝑝

هورگ اه ًاحلاطصا ار 𝒩_𝑝^𝑚

- تباث ام .دیمان میهاوخ هورگ

یم رگا هک مینک 𝑝 > 2

کی هبترم هاگنآ 𝒩_𝑝^𝑚

- ددع هلیسوب دنیکدد ریغ هورگ 𝑝(2𝑚+1)(𝑚+1)

زا

رادنارک لااب یم

دوش هاگره و 𝑚 = 2

یدنب هدر مسیفروموزیا تحت ار اههورگ نیا ام ، یم

مینک .

(5)

2

نایاپ نیا صف رد .تسا هدش میظنت لصف هس رد همان

هیرظن یتامدقم میهافم و هیلوا فیراعت لوا ل

هورگ یهانتم یاه هئارا

مود لصف رد .تسا هدش 𝒩_𝑝^𝑚

- هورگ اه رد یجیاتن موس لصف رد و هدش یسررب

دروم 𝒩_𝑝² هورگ–

اه هئارا .تسا هدش

نیا نایاپ همان :تسا هدش میظنت و هیهت ریز هلاقم ساسا رب

X. Zhang and X. Guo, Finite p-groups whose non-normal cyclic subgroups have small index in their normalizers, J. Group Theory 15(2012), 641-659.

(6)

3

لوا لصف

میهافم هیاپ

یا

یتامدقم و

(7)

4

میهافم یخرب یروآدای لصف نیا رد ام فده هیاپ

یا هیرظن دروم رد یتامدقم و هورگ

اه یم دشاب رد هک

رارق هدافتسا دروم یدعب یاهلصف یم

دنریگ با اههورگ ثحبم هب ندش دراو زا لبق . وهفم دنچ ادت

ن دروم م زای

یروآدای ار دادعا هیرظن زا یم

مینک .

–1 :فیرعت )1 دینک ضرف

و 𝑎 میئوگ .دنشاب حیحص ددع ود𝑏 هیلع موسقم 𝑎

ا زا ی ای تسا 𝑏

داع 𝑎

یم 𝑏 دنک و ار یم میسیون دننام یحیحص ددع هاگره 𝑎|𝑏

هکیروطب دشاب دوجوم 𝑘 𝑏 = 𝑘𝑎

رگا . 𝑎 داع

دنکن ار𝑏

یم میسیون 𝑎 ∤ 𝑏

رگا نینچمه . میئوگ هاگنآ دشاب تبثم حیحص ددع کی 𝑚

𝑎 تشهنمه 𝑏

هنامیپ هب تسا 𝑚

میسیون یم و :

𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚 )

هاگره 𝑚|𝑏 − 𝑎 .

– 1 :فیرعت ) 2 دینک ضرف

و 𝑚 .دنشاب یتبثم حیحص دادعا 𝑛 هنامیپ هب عبرم هدنام کی ار 𝑛

𝑚

یم دننام حیحص ددع کی هاگره میمان 0 < 𝑥 < 𝑚

هکیروطب دشاب دوجوم :

𝑥² ≡ 𝑛 (mod 𝑚 )

𝑛رگا هنامیپ هب عبرم هدنام کی هاگنآ دشابن 𝑚

هنامیپ هب عبرم هدنامان کی ار 𝑛 یم 𝑚

میمان لاثم ناونعب .

4 ددع هنامیپ هب عبرم هدنام کی و تسا5

هنامیپ هب عبرم هدنامان کی3 .تسا 5

ثحبم هب لاح هورگ

اه یم میزادرپ دینک ضرف . .دشاب هورگ کی 𝐺

هعومجم رگا یهانتم هعومجم کی 𝐺

هاگنآ دشاب یهانتم هورگ کی ار 𝐺

یم میمان رگا . ی𝐻 ک زا هعومجمریز و دشاب 𝐺

دشاب هورگ کی دوخ 𝐻

(8)

5

هورگ لمع اب(

هاگنآ )𝐺 زا هورگریز کی ار 𝐻

یم𝐺 میمان و یم میسیون 𝐻 ≤ 𝐺

رگا نینچمه . 𝐻 ≤ 𝐺

و

𝐻 ≠ 𝐺 هاگنآ

زا هرس هورگریز کی ار𝐻 یم𝐺

میمان و یم میسیون 𝐻 < 𝐺

.

– 1 :فیرعت ) 3 ضرف

𝐺 دینک ی و هورگ ک زا یهتان هعومجمریز کی 𝑋

مامت کارتشا .دشاب 𝐺

زا ییاههورگریز لماش هک ار𝐺

طسوت هدش دیلوت هورگریز دنتسه 𝑋 یم𝑋

دامن اب ار نآ و میمان

< 𝑋 >

ناشن یم میهد رگا . 𝑋 = { 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 } یاج هب هاگنآ

< 𝑋 >

یم میسیون

< 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 >

رد و

رگا صاخ تلاح 𝑋 = { 𝑥 }

یاج هب هاگنآ

< { 𝑥 } >

یم میسیون

< 𝑥 >

یرود هورگریز ار نآ و

طسوت هدش دیلوت یم𝑥

میمان .

𝐺 =< 𝑋 > رگا هعومجم هاگنآ

دلوم هعومجم ار 𝑋 𝐺هورگ

یم میمان صاخ تلاح رد و هعومجم رگا

دلوم هاگنآ دشاب یوضع کت 𝐺

یرود هورگ کی ار 𝐺 یم

میمان رگا نینچمه . و 𝐻

زا هورگریز ود 𝐾 𝐺

طسوت هدش دیلوت هورگریز هاگنآ دنشاب 𝐻 ∪ 𝐾

دامن اب ار

< 𝐻, 𝐾 >

.میهد یم ناشن

–1 :فیرعت )4 𝐺 رگا

هورگ زکرم هاگنآ دشاب هورگ کی اب ار 𝐺

عت ریز تروصب و هداد ناشن 𝑍(𝐺) ر

فی

یم مینک : 𝑍(𝐺) = { 𝑥 ∈ 𝐺 | 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 ; ∀𝑦 ∈ 𝐺 }

زا هورگریز کی هراومه𝑍(𝐺) .تسا𝐺

–1 :فیرعت ) 5 دینک ضرف

و دشاب هورگ کی 𝐺 𝑥 ∈ 𝐺

زاسزکرم . رد 𝑥

دامن اب ار 𝐺 𝐶_𝐺(𝑥)

ناشن

مینک یم فیرعت ریز تروصب و هداد :

𝐶_𝐺(𝑥) = {𝑦 ∈ 𝐺 | 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 }

رگا یلک تلاح رد 𝐻 ⊆ 𝐺

زاسزکرم هاگنآ رد𝐻

فیرعت ریز تروصب ار𝐺 یم

مینک :

𝐶_𝐺(𝐻) = {𝑦 ∈ 𝐺 | 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 ; ∀𝑥 ∈ 𝐻 }

(9)

6

زاسزکرم هعومجمریز کی

زا هورگریز کی هراومه .تسا𝐺

–1 :مل )6 𝐺 رگا هاگنآ دشاب هورگ کی :

𝑍(𝐺) = 𝐶_𝐺(𝐺) =∩_𝑥∈𝐺 𝐶_𝐺(𝑥)

( ،یلامج هب :تابثا .دینک هعجارم )1391

زا هرس هورگریز کی 𝑀 دشاب 𝐺

تروصنیا رد . کی ار𝑀

لامیزکام هورگریز

𝐺زا یم میمان زا یهورگریز چیه هاگره دننام 𝐺

هکیروطب دشابن دوجوم 𝐻 𝑀 < 𝐻 < 𝐺

.

–1 :فیرعت )8 𝐺 رگا

لامیزکام یاههورگریز مامت کارتشا هاگنآ دشاب هورگ کی ینیتارف هورگریز ار 𝐺

دامن اب ار نآ و هدیمان𝐺 .میهد یم ناشنΦ(𝐺)

𝐻 ≤ 𝐺 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 و

مینک یم فیرعت تروصنیا رد . :

𝐻𝑏 = { ℎ𝑏| ℎ ∈ 𝐻 } 𝑎𝐻 = {𝑎ℎ | ℎ ∈ 𝐻 }و

پچ هعومجم مه ای هتسدمه کی ار 𝑎𝐻 رد𝐻

و𝐺 تسار هعومجم مه کی ار𝐻𝑏 𝐻

𝐺 رد .میمان یم

–1 :مل )10 ضرف دینک 𝐻 ≤ 𝐺 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 و

تروصنیا رد . :

) فلا و𝑎𝐻

،دنتسه ددعمه𝐻𝑏

𝑎𝐻 = 𝑏𝐻) ب رگا اهنت و رگا

𝑎⁻¹𝑏 ∈ 𝐻

،

𝑎𝐻 = 𝐻 ) ج رگا اهنت و رگا

𝑎 ∈ 𝐻 ،

د 𝐺 =∪_𝑥∈𝐺 𝑥𝐻 ) .

( ،یلامج هب :تابثا .دینک هعجارم )1391

(10)

7

و دشاب یهانتم هورگ کی 𝐺 𝐻 ≤ 𝐺

مه دادعت . هعومجم

یاه زیامتم پچ

رد𝐻 سیدنا ار𝐺 𝐻

𝐺 رد دامن اب و هدیمان

| 𝐺: 𝐻 |

.میهد یم ناشن

–1 :هیضق )12 𝐺 رگا

و دشاب یهانتم هورگ کی 𝐻 ≤ 𝐺

هاگنآ :

| 𝐺: 𝐻| = |𝐺|

|𝐻|

تابثا : ( یلامج هب .دینک هعجارم )1391

–1 :هجیتن )13 داع ار هورگ هبترم هورگریز ره هبترم ،یهانتم یاههورگ رد

یم دنک .

𝐻 ≤ 𝐺 𝐻

زا لامرن هورگریز کی ار یم𝐺

میمان ره یازا هب هاگره 𝑥 ∈

میشاب هتشاد𝐺 𝑥𝐻 = 𝐻𝑥

. 𝐻 رگا لامرن هورگریز دشاب 𝐺

یم میسیون 𝐻 ⊴ 𝐺 .

𝑁 ⊴ 𝐺 .

رارق یم میهد :

𝐺 𝑁⁄ = {𝑥𝑁 | 𝑥 ∈ 𝐺 }

هعومجم تروصنیا رد 𝐺 𝑁⁄

اتود لمع اب ی

(𝑥𝑁)(𝑦𝑁) = (𝑥𝑦)𝑁ی .دوب دهاوخ هورگ کی

𝐺 𝑁⁄ ار

یتمسق جراخ هورگ 𝐺

هلیسوب .میمان یم𝑁

–1 :فیرعت )16 𝐻 ≤ 𝐺 رگا

زاسلامرن هاگنآ رد𝐻

فیرعت ریز تروصب ار 𝐺 یم

مینک :

𝑁_𝐺(𝐻) = {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝑥𝐻 = 𝐻𝑥 }

–1 :هیضق )17 دینک ضرف

𝐻 ≤ 𝐺 تروصنیا رد .

:

) فلا 𝑁_𝐺(𝐻) ≤ 𝐺 ،

𝐻 ⊴ 𝑁_𝐺(𝐻) ) ب ،

(11)

8

𝐻 ⊴ 𝐺 ) ج رگا اهنت و رگا

𝑁_𝐺(𝐻) = 𝐺

،

رگا ) د 𝐾 ≤ 𝐺 𝐻 ⊴ 𝐾 و

هاگنآ 𝐾 ≤ 𝑁_𝐺(𝐻)

،

𝐶_𝐺(𝐻) ⊴ 𝑁_𝐺(𝐻)) ه .

و دشاب هورگ کی𝐺 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺

رگاجباج . و𝑥

دامن اب ار𝑦 [𝑥, 𝑦]

ناشن

مینک یم فیرعت ریز تروصب و هداد :

[𝑥, 𝑦] = 𝑥⁻¹𝑦⁻¹𝑥𝑦

𝐻, 𝐾 ≤ 𝐺 رگا فیرعت هاگنآ

یم مینک : [𝐻, 𝐾] = ⟨[𝑥, 𝑦]| 𝑥 ∈ 𝐻 , 𝑦 ∈ 𝐾⟩

،صاخ تلاح رد [𝐺, 𝐺]

قتشم هورگریز ار دامن اب و هدیمان𝐺

𝐺^′ ناشن یم میهد اذل :

𝐺^′ = [𝐺, 𝐺] = ⟨[𝑥, 𝑦]| 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 ⟩

–1 :هیضق )19 𝐺رگا

دشاب هورگ کی هاگنآ

:

) فلا 𝐺^′ ⊴ 𝐺 ،

𝐺 𝐺⁄ ^′) ب ،تسا یلبآ

رگا ) ج 𝐻 ⊴ 𝐺

𝐺 𝐻⁄ و هاگنآ دشاب یلبآ 𝐺^′ ≤ 𝐻

.

(12)

9

– 1 فیرعت ) 20 :

دینک ضرف و دشاب هورگ کی 𝐺

𝑥 ∈ 𝐺 رگا . یتبثم حیحص ددع نیرتکچوک 𝑛

هکدشاب 𝑥^𝑛 = 1

هاگنآ رصنع هبترم ار𝑛

دامن اب ار نآ و هدیمان𝑥 ناشن𝑜(𝑥)

یم میهد حیحص ددع رگا ،

دننام یتبثم هکدشابن دوجوم n

𝑥^𝑛 = 1 مییوگ

و تسا یهانتمان هبترم زا𝑥 یم

میسیون 𝑜(𝑥) = ∞ .

–1 :هیضق )21 ضرف

دینک و دشاب هورگ کی𝐺

𝑥 ∈ 𝐺 تروصنیارد . :

) فلا 𝑜(𝑥) = 𝑜(𝑥⁻¹) ،

رگا ) ب 𝑜(𝑥) = 𝑛

𝑘 ∈ ℤ و هاگنآ

𝑜(𝑥^𝑘) = ^𝑛

(𝑘,𝑛)

،

رگا ) ج 𝑜(𝑥) = 𝑛

𝑥^𝑚 = 1 و هاگنآ

،𝑛|𝑚

𝑜(𝑥) = |< 𝑥 >|) د .

–1 )22 :هجیتن 𝐺رگا

زا وضع ره هبترم هاگنآ دشاب یهانتم هورگ کی هورگ هبترم 𝐺

داع ار 𝐺 یم دنک .

– 1 :فیرعت ) 23 دینک ضرف

تروصنیا رد .دشاب یهانتم هورگ کی 𝐺 کچوک

نیرت کرتشم برضم

رصانع مامت هبترم هورگ یامن ار𝐺

یم𝐺 میمان دامن اب و exp (𝐺)

ناشن یم میهد .

–1 :هجیتن )24 exp(𝐺) = 𝑛رگا

ره یازا هب هاگنآ 𝑥 ∈ 𝐺

𝑥^𝑛 = 1 ، .

و 𝐺 عبات .دنشاب هورگ 𝐻 𝑓: 𝐺 → 𝐻

یتخیرمه ای مسیفرومومه کی ار

یم ره یازا هب هاگره میمان 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺

میشاب هتشاد :

𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)

یم مسیفروموزیا کی ار اشوپ و کی هب کی مسیفرومومه ره .میمان

هورگ 𝐺 یاه 𝐻و فروموزیا ار یم

میمان

زا مسیفروموزیا کی هاگره هب𝐺

رگا .دشاب دوجوم𝐻 𝐺

𝐻 اب دشاب فروموزیا یم

میسیون :

𝐺 ≅ 𝐻

(13)

10

دننام مسیفروموزیا ره .دشاب هورگ کی 𝐺 𝑓: 𝐺 → 𝐺

ای مسیفروموتا ار

یتخیرنورد یم 𝐺

میمان یور اهمسیفروموتا همه هعومجم . دامن اب ار 𝐺

𝐴𝑢𝑡(𝐺) ناشن

یم میهد نیا .

هک تسا هورگ کی عباوت بیکرت لمع اب هعومجم یاهمسیفروموتا هورگ ار نآ

یم 𝐺 میمان رگا . 𝑥 ∈ 𝐺

یتحارب هاگنآ دشاب تباث و هاوخلد یم

ناوت تشاگن هک درک یسررب 𝜑_𝑥: 𝐺 → 𝐺

، هطباض اب 𝜑_𝑥(𝑔) =

𝑥⁻¹𝑔𝑥

یور یلخاد مسیفروموتا کی ًاحلاطصا ار نآ هک تسا مسیفروموتا کی یم 𝐺

میمان هلیسوب هک

رصنع اقلا𝑥

یم دوش یلخاد یاهمسیفروموتا مامت هعومجم . دامن اب ار𝐺

𝐼𝑛𝑛(𝐺) .میهد یم ناشن

هورگ .دشاب لوا ددع کی 𝑝 کی ار 𝐺

-𝑝 هورگ یم میمان ره هبترم هاگره

وضع ددع زا یناوت𝐺

𝑝 .دشاب

–1 :هجیتن )28 𝐺 رگا

𝑝کی - هاگنآ دشاب یهانتم هورگ

|𝐺| = 𝑝^𝑛 نآ رد هک

n

.

–1 :فیرعت )29 𝐻 ≤ 𝐺 رگا

𝑝کی - هاگنآ دشاب هورگ کی ار𝐻

- 𝑝 زا هورگریز .میمان یم 𝐺

کی𝐺 - 𝑝 تروصنیا رد .دشاب هورگ :

) فلا 𝑍(𝐺) ≠ 1 ،

رگا ) ب 𝐻 < 𝐺

هاگنآ 𝐻 < 𝑁_𝐺(𝐻) .

تابثا : یلامج هب 1391(

.دینک هعجارم )

–1 :فیرعت )31 هورگ

یرس کی .دیریگب رظن رد ار 𝐺 لامرن ریز

هورگ زا زا تسا ترابع 𝐺

هلابند یا زا

یاههورگریز دننام 𝐺

𝐻_𝑛, … , 𝐻₁, 𝐻₀ :ریز تروص هب

1 = 𝐻₀ ⊴ 𝐻₁ ⊴ ⋯ ⊴ 𝐻_𝑛 = 𝐺

(14)

11

𝐻_𝑖ره هورگ و یرس زا هلمج کی ار یتمسق جراخ یاه

𝐻_𝑖⁄𝐻_𝑖−1 یرس یاهلماع ار

یم میمان نینچمه .

𝑛 ددع یرس نیا لوط ار یم

میمان .

یرس کی رد رگا لامرن ریز

یرس کی ار یرس هاگنآ دنشاب یلبآ اهلماع مامت لامرن ریز

یلبآ یم میمان رگا و

لامرن هورگریز ،یرس تلامج مامت لامرن یرس کی ار یرس هاگنآ دنشاب𝐺

یم میمان .

–1 :فیرعت )32 لامرن یرس

: 1 = 𝐻₀ ⊴ 𝐻₁ ⊴ ⋯ ⊴ 𝐻_𝑛 = 𝐺

یزکرم یرس کی ار یم

میمان ره یازا هب هاگره 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

میشاب هتشاد :

𝐻_𝑖⁄𝐻_𝑖−1 ≤ 𝑍(𝐺 𝐻⁄ _𝑖−1)

ریذپلح ار 𝐺 یم

میمان هاگره یرس کی یاراد𝐺

لامرن ریز .دشاب یلبآ

ناوتچوپ ار𝐺 یم

میمان هاگره یرس کی یاراد 𝐺

.دشاب یزکرم

–1 :هیضق )35 𝑝ره

- .تسا ناوتچوپ ،یهانتم هورگ

–1 :فیرعت )36 هورگ رد

یاههورگریز 𝐺 Γ_𝑛(𝐺) و Z_𝑛(𝐺)

ار طباور اب یتشگزاب

ریز تروصب و فیرعت

یم مینک :

دیهد رارق Γ₁(𝐺) = 𝐺

Z₀(𝐺) = 1و .

حیحص ددع ره یازا هب 𝑛 > 1

مینک یم فیرعت :

Γ_𝑛(𝐺) = [Γ_𝑛−1(𝐺), 𝐺 ]

حیحص ددع ره یازا هب و 𝑛 > 0

فیرعت یم مینک :

𝑍_𝑛(𝐺) 𝑍⁄ _𝑛−1(𝐺) = 𝑍(𝐺 𝑍⁄ _𝑛−1(𝐺))

(15)

12

یرس تروصنیا رد یاه

𝐺 = Γ₁(𝐺) ≥ Γ₂(𝐺) ≥ Γ₃(𝐺) ≥ ⋯

و 1 = Z₀(𝐺) ≤ Z₁(𝐺) ≤ Z₂(𝐺) ≤ ⋯

یئلااب و ینیئاپ یزکرم یاهیرس بیترت هب ار یم𝐺

میمان .

–1 :هیضق )37 هرازگ

یاه :دنلداعم ریز

) فلا

،تسا ناوتچوپ𝐺 Γ_𝑛(𝐺) = 1)ب حیحص ددع یخرب یازا هب ،

،𝑛

Z_𝑛(𝐺) = 𝐺)ج حیحص ددع یخرب یازا هب ،

.𝑛

زا یزکرم یرس ره یازا هب تروصنیا رد .دشاب ناوتچوپ هورگ کی 𝐺 دننام𝐺

1 = 𝐻₀ ⊴ 𝐻₁ ⊴ ⋯ ⊴ 𝐻_𝑛 = 𝐺

میراد : Γ_{𝑟−𝑖+1}(𝐺) ≤ H_𝑖 ≤ Z_𝑖(𝐺)

،نیا رب هولاع کچوک

نیرت حیحص ددع هکیروطب 𝑐

Γ_𝑐+1(𝐺) = 1 حیحص ددع نیرتکچوک اب تسا ربارب

هکیروطب𝑐 Z_𝑐(𝐺) = 𝐺

.

(16)

13

– 1 :فیرعت ) 39 رگا ،قوف هیضق قباطم

هک دشاب یحیحص ددع نیرتکچوک 𝑐 Γ_𝑐+1(𝐺) = 1

Z_𝑐(𝐺) = 𝐺 هاگنآ

𝑐 هورگ یناوتچوپ هدر ار 𝐺

یم میمان دامن اب و 𝑐(𝐺)

ناشن یم میهد .

–1 )40 فیرعت هورگ : دنیکدد هورگ کی ار G

یم میمان هورگریز ره هاگره ردG

.دشاب لامرن G

–1 )41 فیرعت دینک ضرف : کیG

-p .دشاب هورگ کی ار G

𝒩_p^m - هورگ یم میمان ره یازا هب هاگره

لامرن ریغ یرود هورگریز زاH

میشاب هتشاد G

|N_G(H): H| ≤ p^m .

1-42 ) فیرعت : دینک ضرف کیG

- p :تروصنیا رد دشاب هورگ

Ω_k(G) = < 𝑔 ∈ 𝐺 | g^p^k = 1 >

1-43 ) فیرعت : دینک ضرف کیG

- p :تروصنیا رد دشاب هورگ

℧_𝑛(𝐺) = < x^pⁿ|x ∈ 𝐺 >

1-44 ) هیضق دینک ضرف : کی G

–p هورگ و دشاب یهیدب ریغ یهانتم یلبآ . 𝑎 ∈ 𝐺

تروصنیا رد رگا

هبترم وضع ره هبترم زا 𝑎

هاگنآ دشاب رتمک ان G دننام یهورگ ریزG

هکیروطب دراد H :

𝐺 =< 𝑎 >× H .

هجیتن رگا : کیG –p هورگ هاگنآ دشاب یهیدب ریغ یهانتم یلبآ ریز زا یدادعت میقتسم برضلصاح هب G

هورگ اه ی ریغ یرود یهیدب

شا هیزجت یم دوش رگید ترابع هب . دننام یهیدب ریغ ییاضعاG

𝑎_𝑛, … , 𝑎₁

هکیروطب دراد 𝐺 = < 𝑎₁ >× … ×< 𝑎_𝑛 >:

1-45 ) فیرعت دینک ضرف : کیG

–p هورگ ریغ یهانتم یلبآ و دشاب یهیدب

𝐺 =< 𝑎₁>× … ×< 𝑎_𝑟 >

(17)

14

ره یازا هب نآ رد هک 1≤ 𝑖 ≤ 𝑟

𝑎_𝑖 ∈ 𝐺و

|𝑎_𝑖| = p^𝑒^𝑖 و

𝑒₁ ≥ ⋯ ≥ 𝑒_𝑟 ≥ 1 و تروص نیا رد

دادعا p^𝑒^𝑟, … , p^𝑒¹ یاهایاپ ار

یمG میمان مییوگ و کیG

–p هورگ عون زا یلبآ 𝑒₁،…،𝑒_{𝑟 )}

.تسا )

1-46 ) هیضق : مینک ضرف 𝐺_𝑛, … , 𝐺₁

n ، .دنشاب هورگ رد

هعومجم 𝐺₁× … × 𝐺_𝑛

ار ریز ییاتود لمع

فیرعت نینچ یم

مینک (𝑔₁𝑔^′₁, … , 𝑔_𝑛𝑔^′_𝑛) : (𝑔₁, … , 𝑔_𝑛)(𝑔^′₁, … , 𝑔^′_𝑛( =

نآ رد هک 𝑔_𝑖, 𝑔^′_𝑖

G رد هظحلام یناسآ هب .دنا یم

دوش هعومجم هک 𝐺₁× … × 𝐺_𝑛

کی قوف لمع اب

.تسا هورگ )یجراخ( میقتسم برضلصاح ار هورگ نیا

هورگ اه 𝐺_𝑛, … , 𝐺₁ ی م

ی دنمان و نامه اب ار نآ

تملاع 𝐺₁× … × 𝐺_𝑛

.دنهد یم ناشن

1-47 ) فیرعت رگا : کی G

–p هورگ هاگنآ دشاب ار G

–p یلبآ یم میمان ره یارب هاگ ره و 𝑥

زا 𝑦 G

:میشاب هتشاد (𝑥𝑦)^𝑝 = 𝑥^𝑝𝑦^𝑝

1-48 ) فیرعت دینک ضرف : کی G

–p هورگ هبترم زا p^m

.دشاب مییوگ هدر زا G

لامیزکام هاگره تسا

𝑚 > 2 )یناوتچوپ( هدر و

رباربG .دشاب m-1

1-49 فیرعت ) :

دینک ضرف و لوا یددع 𝑝

𝑛₁ ،... ، 𝑛_𝑘 یلبآ هورگ .دنشاب یعیبط دادعا

ℤ_𝑝𝑛1 × ⋯ × ℤ_𝑝𝑛𝑘

عون زا یلبآ هورگ یگداس یارب ار (𝑝^𝑛¹, ⋯ , 𝑝^𝑛^𝑘)

.مییوگ

1-50 ) فیرعت یتراکد برضلصاح : هعومجم

𝑆_𝑛, … , 𝑆₁یاه مامت هعومجم

یاهییات n بترم

𝑎₁،…،𝑎_{𝑛 )} هک تسا )

𝑎_𝑖 ∈ 𝑆_𝑖 .

اب یتراکد برض لصاح 𝑆₁× 𝑆₂… × 𝑆_𝑛

∏ 𝑆ⁿ_𝑖= _𝑖 ای

هداد ناشن

یم .دوش

1-51 ) هیضق هورگ : ℤ_𝑚 × ℤ_𝑛 ℤ_𝑚𝑛 اب

رگا طقف و رگا تسا تخیرکی دنشاب لوا مه هب تبسن m,n

ینعی ( کرتشم هیلع موسقم نیرتگرزب ممب

m,n) سم ا 1 یو .دشاب

(18)

15

تابثا :

،یلارف( هب دوش عوجر )1383

هجیتن هورگ :

∏ⁿ_𝑖=1ℤ_𝑚_𝑖 و یرود

تخیرکی ℤ_𝑚₁_𝑚₂_…𝑚_𝑛اب

تسا و رگا دادعا رگا طقف m_𝑖

یازا هب

i = 1,2,….n

اهنآ یود ره )ممب( کرتشم هیلع موسقم نیرتگرزب هک دنشاب نانچ .دشاب 1

تابثا :

1-52 ) هیضق : مینک ضرف

∏ⁿ_𝑖=1G_𝑖

∈ 𝑎₁،…،𝑎_{𝑛 )} )،

هاگ ره ره یازا هب رصنع ، 𝑖

𝑎_𝑖 G_𝑖 رد هبترم زا

یهانتم 𝑟_𝑖

دشاب هبترم هاگنآ 𝑎₁،…،𝑎_{𝑛 )}

رد )

∏ⁿ_𝑖=1G_𝑖 مامت کرتشم برضم نیرتکچوک یواسم

𝑟_𝑖

.تساه تابثا :

1-53 ) هیضق یهانتم دیلوت اب یلبآ هورگ ره : ود یاههورگ میقتسم برض لصاح اب G

ریز لکش هب یر

:تسا تخیرکی ℤ_𝑝₁𝑟1 × ℤ_𝑝₂𝑟2 × … × ℤ_𝑝_𝑛𝑟𝑛 × ℤ × ℤ × … × ℤ

نآ رد هک 𝑝_𝑖

اه و لوا دادعا 𝑟_𝑖

دنتسه تبثم حیحص دادعا اه .

شریارآ زا ررظن فرص میقتسم برض لصاح

لماوع نکمم ددجم

، :تسا درف هبرصحنم یرتب ددع( دادعت ینعی

لرماوع )G و ترسا دررف هرب ررصحنم ℤ

لوا یاهناوت (𝑝_𝑖)^𝑟^𝑖

.دنتسه درف هب رصحنم

تابثا :

(19)

16

مود لصف

هبترم 𝓝

_𝒑^𝒎

اههورگ –

(20)

17

هبترم یارب لااب نارک کی لصف نیا رد 𝒩_𝑝^𝑚

- هورگ یاه تسدب دنیکدد ریغ یم

میروآ و فیراعت ادتبا .

حرطم ار یتامدقم جیاتن یم

مینک .

- 2 :مل )1 مینک ضرف کی 𝐺

–𝑝 هورگ هن هک دشاب یرود

تسا و 2 هن - زا هورگ هدر ی لامیزکام .

هاگنآ

عون زا لامرن یلبآ هورگریز کی لماش𝐺 ( 𝑝, 𝑝)

تسا .

تابثا : هب

رب(

ک

،چیو

) 2008

.دینک هعجارم

–2 :مل )2 دینک ضرف کی𝐺

-𝑝 و دشاب هورگ

|𝐺| = 𝑝^𝑛 رگا .

لامیزکام یلبآ لامرن هورگریز کی 𝑁

𝐺 هبترم زا 𝑝^𝑎

هاگنآ دشاب 2𝑛 ≤ 𝑎(𝑎 + 1)

.

تابثا : هب

م(

.

،ویک و ووژ

)2010

– 2 :هیضق ) 3 دینک ضرف

و درف لوا ددع کی 𝑝 هبترم زا هورگ کی 𝐺

𝑝⁶ رگا .دشاب دلوم هس اب

Φ(𝐺) = 𝑍(𝐺) = 𝐺^′ ≅ 𝐶_𝑝³ هاگنآ

تسا فروموزیا ریز یاههورگ زا یکی اب𝐺 :

1(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑐^𝑝, [𝑏, 𝑐] = 𝑏^𝑝,) [𝑐, 𝑎] = 𝑑, 𝑎^𝑝 = 𝑏^𝑟𝑝𝑑⁻¹ >

نآ رد هک 𝑟 = 1

𝑟 = 𝜈ای 𝜈هک

هنامیپ هب عبرم هدنامان کی .تسا𝑝

2(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑐^𝑝, [𝑏, 𝑐] = 𝑑,) [𝑐, 𝑎] = 𝑒, 𝑎^𝑝 = 𝑑^𝑟𝑒⁻¹ , 𝑏^𝑝 = 𝑑𝑒 >

(21)

18

دادعا زا ددع ود لقادح نآ رد هک و −𝑟

−(𝑟 + 1)

−(𝑟 + 1) 𝑟⁄ و هنامیپ هب عبرم هدنام

و تسا 𝑝

1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 2 .

3(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, [𝑏, 𝑐] = 𝑐^𝑝,) [𝑐, 𝑎] = 𝑒, 𝑎^𝑝 = 𝑒⁻¹𝑑 , 𝑏^𝑝 = 𝑐^𝑝𝑒 >

4(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, |𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑐^𝑝, [𝑏, 𝑐] = 𝑏^𝑝, [𝑐, 𝑎] = 𝑎^−𝑝 >) 5(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑐^𝑝, [𝑏, 𝑐] = 𝑑,) [𝑐, 𝑎] = 𝑒, 𝑎^𝑝 = 𝑑^𝑟𝑒⁻¹ , 𝑏^𝑝 = 𝑑𝑒 >

دادعا زا یکی رثکادح نآ رد هک و −𝑟

−(𝑟 + 1)

−(𝑟 + 1) 𝑟⁄ و هنامیپ هب عبرم هدنام

و تسا 𝑝

1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑝 − 2 .

6(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, |𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑐^𝑝, [𝑏, 𝑐] = 𝑎^𝑝, [𝑐, 𝑎] = 𝑏^𝑝 >) 7(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, [𝑐, 𝑎] = 𝑒 , ) [𝑏, 𝑐] = 𝑏^𝑝 = 𝑐^𝑝, 𝑎^𝑝 = 𝑒⁻¹𝑑 >

8(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝² = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑐^𝑝, [𝑏, 𝑐] = 𝑑,) [𝑐, 𝑎] = 𝑒, 𝑎^−𝑝 = 𝑏^𝑝 = 𝑑𝑒 >

9(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, [𝑏, 𝑐] = 𝑏^𝑝,) [𝑐, 𝑎] = 𝑎^−𝑝 >

10(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, [𝑏, 𝑐] = 𝑎^𝑝, ) [𝑐, 𝑎] = 𝑏^𝑝 = 𝑒^𝜈^𝑟 >

(22)

19

نآ رد هک 𝑟 = 0

𝑟 = 1 ای 𝜈 و

هنامیپ هب عبرم هدنامان کی .تسا𝑝

11(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 𝑓^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, ) [𝑏, 𝑐] = 𝑒, [𝑐, 𝑎] = 𝑓 , 𝑎^𝑝 = 𝑒^−𝑟²𝑓⁻¹ , 𝑏^𝑝 = 𝑒𝑓 >

نآ رد هک 2 ≤ 𝑟 ≤ ^𝑝−1

. 2

12(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, [𝑏, 𝑐] = 𝑏^𝑝, ) [𝑐, 𝑎] = 𝑒, 𝑎^𝑝 = 𝑏^𝑝𝑒⁻¹ >

13(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝² = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 𝑓^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, ) [𝑏, 𝑐] = 𝑒, [𝑐, 𝑎] = 𝑓 , 𝑎^𝑝 = 𝑒^𝑘𝑓⁻¹ , 𝑏^𝑝 = 𝑒𝑓 >

هک نآ رد 𝑘 = −𝑣𝑟² 𝑣 و

هنامیپ هب عبرم هدنامان کی و تسا𝑝

2 ≤ 𝑟 ≤ ^𝑝−1 . 2

14(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝 = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, [𝑏, 𝑐] = 𝑒,) [𝑐, 𝑎] = 𝑎^𝑝 >

15(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒|𝑎^𝑝² = 𝑏^𝑝 = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑, [𝑏, 𝑐] = 𝑎^𝑝, ) [𝑐, 𝑎] = 𝑒 >

16(

< 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓|𝑎^𝑝 = 𝑏^𝑝 = 𝑐^𝑝 = 𝑑^𝑝 = 𝑒^𝑝 = 𝑓^𝑝 = 1, [𝑎, 𝑏] = 𝑑,) [𝑏, 𝑐] = 𝑒, [𝑐, 𝑎] = 𝑓 >

تابثا : هب

،زمیج( ) 1980

(23)

20

–2 :مل )4 دینک ضرف کی 𝐺

-𝑝 و هورگ رد هورگریز کی𝐻

رگا .دشاب𝐺 دشاب یلبآ𝐻

|𝐺: 𝐻| = و

𝑝² دننام یلبآ هورگریز کی هاگنآ 𝐻₁

𝐺 رد هکیروطب تسا دوجوم

|𝐺: 𝐻₁| = 𝑝² .

تابثا : هب

م(

.

،ویک و ووژ

)2010

–2 :یراذگدامن )5 ضرف

دینک کی𝐺

- 𝑝 .دشاب هورگ رارق

یم میهد :

.تسا یتامدقم یلبآ𝐸 } 𝑟(𝐺) = max{ log_𝑝|𝐸| : 𝐸 ≤ 𝐺,

𝐺 رگا کی هبترم زا هورگ 𝑝^𝑛

هکدشاب 𝑝^𝑛 ≤ 𝑝^𝑚+2

هاگنآ کی 𝐺

𝒩_𝑝^𝑚 - رگا عقاو رد .تسا هورگ 𝐻

زا لامرن ریغ یرود هورگریز کی هاگنآ دشاب𝐺

|𝑁_𝐺(𝐻)| ≤ 𝑝^𝑚+1 .

نیاربانب

|𝑁_𝐺(𝐻): 𝐻| ≤ 𝑝^𝑚

رگا رگید ترابعب کی 𝐺

- 𝑝 هاگنآ دشاب دنیکدد هورگ تبثم حیحص ددع ره یازا هب دیاب 𝐺

کی 𝑚

𝒩_𝑝^𝑚 - همادا رد ام اذل .دشاب هورگ - 𝑝

هورگ یاه یسررب ار یدنیکدد ریغ یم

مینک هبترم هک نآ

اه

گرزب رت یواسم ای 𝑝^𝑚+3

.تسا

2 ( 6– :مل ) دینک ضرف کی 𝐺

𝒩_𝑝^𝑚 - تروصنیا رد .دشاب هورگ :

) فلا 𝑟(𝐺) ≤ 𝑚 + 1 ،

𝑍(𝐺)) ب هکنیا رگم تسین یرود

کی𝐺 -2 هورگ .دشاب لامیزکام هدر زا

تابثا فلخ ضرف( دینک ضرف: )

𝐸 < 𝐺 ، هبترم زا یتامدقم یلبآ

𝑝^𝑚+2 .دشاب

𝐺نوچ 𝒩_𝑝^𝑚کی

هورگ –

هبترم یاههورگریز مامت سپ تسا زا𝑝

رد𝐸 نیاربانب دنتسه لامرن𝐺 𝐸 ≤ 𝑍(𝐺):

.

دینک ضرف زا لامرن ریغ یرود هورگریز کی 𝐻

تروصنیا رد دشاب 𝐺

|𝐻 ∩ 𝐸| ≤ 𝑝

𝐻𝐸 و زا یلبآ

لقادح هبترم 𝑝^𝑚+1|𝐻|

ناشن نیا .دوب دهاوخ یم

دهد

|𝑁_𝐺(𝐻)| ≥ 𝑝^𝑚+1|𝐻| هک ضرف اب نیا و

(24)

21

|𝑁_𝐺(𝐻): 𝐻| ≤ 𝑝^𝑚

.تسا ضقانت رد دینک ضرف ) ب کی 𝐺

– 2 مل هب انب تروصنیارد .دشابن لامیزکام هدر زا هورگ 2(

1 – 𝐺)،

کی یاراد

لامرن هورگریز دننام

عون زا 𝑅 (𝑝, 𝑝) دینک ضرف .دوب دهاوخ

𝑍(𝐺) کی تروصنیا رد .دشاب یرود

دننام هورگریز زا 𝐾

𝑅 هبترم زا رد هک تسا دوجوم 𝑝

ضرف .تسین لامرن 𝐺 دینک

𝐻 = 𝐶_𝐺(𝑅)

تروصنیارد

|𝐻| = 1

𝑝|𝐺| ≥ 𝑝^𝑚+2

𝐻 ≤ 𝑁_𝐺(𝐾) نوچ

|𝑁_𝐺(𝐾)| ≥ 𝑝^𝑚+1|𝐾|سپ و

.تسا ضقانت کی نیا

– 2 :مل ) 7 دینک ضرف کی 𝐺

𝒩_𝑝^𝑚 - و هورگ هبترم زا یلبآ هورگریز کی 𝑁

𝑝^𝑛 𝐺 رد هک دشاب

𝑛 ≥ 𝑚 + 1 .

𝑥 ∈ 𝑁 رگا

𝑜(𝑥) ≤ 𝑝^{𝑛−𝑚+1} و

هاگنآ

〈𝑥〉 ⊴ 𝐺 .

تابثا : ره یازا هب نوچ 𝑥 ∈ 𝑁

𝑁 ≤ 𝐶_𝐺(𝑥) ، نیاربانب

|𝑁_𝐺(〈𝑥〉): 〈𝑥〉| ≥ 𝑝^𝑛 𝑜(𝑥)

𝑜(𝑥) ≤ 𝑝^{𝑛−𝑚+1} رگا هاگنآ

میریگ یم هجیتن

|𝑁_𝐺(〈𝑥〉): 〈𝑥〉| ≥ 𝑝^𝑚+1

ضرف هب انب اذل

〈𝑥〉 ⊴ 𝐺 .

- 2 :مل )8 ضرف دینک کی 𝐺

𝒩_𝑝^𝑚 - هورگ و دشاب درف هبترم زا هبترم زا یلبآ لامرن هورگریز کی 𝑁

رگا .دشاب لامیزکام

|𝑁| = 𝑝^2𝑚+𝑠 𝑠 هک

:دنرارقرب ریز طیارش هاگنآ تسا یفنمان حیحص ددع کی

(25)

22

) فلا Ω₁(𝑁) ≤ 𝑍(𝐺) ،

رصنع ) ب 𝑔 ∈ 𝐺 ∖ 𝑁

هکیروطب تسا دوجوم هبترم مسیفروموتا کی 𝑔

𝑝 𝑁 یور اقلا یم دنک و

℧₁(𝑁) < 𝐶_𝐺(𝑔)

𝑐(〈𝑁, 𝑔〉) = 2و

exp(〈𝑁, 𝑔〉^′) = 𝑝 و .

:تابثا رگا ) فلا 𝑠 ≥ 1

مل هب انب هاگنآ 2(

7– ) هورگریز ره هبترم زا

رد𝑝 رد لومشم 𝑁 دهاوخ 𝑍(𝐺)

لصاح مکح اذل و دوب یم

دوش ضرف نیاربانب . یم

𝑠 = 0 مینک . نوچ تروصنیا رد

|𝐺| ≥ 𝑝^𝑚+3

نیاربانب

|𝑁| ≥ 𝑝³

هجیتن رد و 𝑚 ≥ 2

. ( مل هب انب مه زاب –2

هدهاشم ) 7 یم

دوش زا هورگریز ره هک

هبترم رد𝑝

𝑁 رد لومشم 𝑍(𝐺)

نیاربانب دوب دهاوخ :

Ω₁(𝑁) ≤ 𝑍(𝐺)

دینک ضرف )ب 𝑁 = 〈𝑎₁〉 × 〈𝑎₂〉 × … × 〈𝑎_𝑘〉

عون زا (𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_𝑘) دشاب

𝑒₁ ≥ 𝑒₂ ≥ ⋯ ≥ 𝑒_𝑘هک

|𝑁| و مل هب انب .تسا لامیزکام 2(

6– ) میراد 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚 + 1

ندوب لامیزکام هجیتن |𝑁|

یم دهد 𝐶_𝐺(𝑁) = 𝑁 هک

. رصنع نیاربانب 𝑔 ∈ 𝐺 ∖ 𝑁

تسا دوجوم

هکیروطب 𝑔

هبترم مسیفروموتا کی یور 𝑝

𝑁 اقلا یم دنک هکنیا ینعی . 𝑔 ∈ 𝐺 ∖ 𝑁

𝑔^𝑝 ∈ 𝑁 یلو .

مینک یم یسررب ار تلاح ود :

لوا تلاح 𝑙 ≤ 2:

تسا دوجوم هکیروطب

〈a_ι〉 ⋬ G .

N ≤ N_G(〈a_ι〉) نوچ هب انب سپ

میراد ضرف :

|N: 〈a_ι〉| = p^2m+s−e^ι ≤ p^m

هجیتن رد و :

𝑒₁ ≥ 𝑒_𝜄 ≥ 𝑚 + 𝑠

𝑠 ≥ 1رگا هکنیا زا هاگنآ

(26)

23

|𝑁_𝐺(〈𝑎_𝜄〉): 〈𝑎_𝜄〉| ≥ 𝑝^𝑒^𝜄 ≥ 𝑝^𝑚+1

هجیتن یم میریگ

〈𝑎_𝜄〉 ⊴ 𝐺 سپ .تسا ضقانت کی نیا و

𝑠 = 0 هکنیا هب هجوت اب . 𝑒₁ ≥ 𝑒_𝜄 ≥ 𝑚

،

هدهاشم یم

دوش هک 𝑘 = 2

𝑒₁ = 𝑒₂ = 𝑚 ≥ 2 و .

( مل هب انب –2

میراد ) 7

〈𝑎₁^𝑝〉 ⊴ 𝐺 و

〈𝑎₂^𝑝〉 ⊴ 𝐺 .

دینک ضرف 𝑎₁^𝑔 = 𝑎₁^𝑘¹𝑎₂^𝑘²

. تروصنیا رد :

(𝑎₁^𝑝)^𝑔 = 𝑎₁^𝑝𝑘¹𝑎₂^𝑝𝑘² ∈ 〈𝑎₁^𝑝〉

𝑝^𝑒²⁻¹|𝑘₂سپ هجیتن رد و

: 𝑎₁ = 𝑎₁^𝑔^𝑝 = 𝑎₁^𝑘¹

𝑝

𝑎₂^𝑘³

بیترت نیدب 𝑘₁^𝑝 ≡ 1 (mod𝑝^𝑒¹)

ضرف ام و یم

مینک هک :

𝑘₁ = 1 + 𝑘₁^′𝑝^𝑒¹⁻¹

نیاربانب : (𝑎₁^𝑝)^𝑔 = 𝑎₁^𝑝

هباشم للادتسا اب :تشاد میهاوخ میداد ماجنا لااب رد هک هچنآ

[a₂, g] = a₁^k¹^′′^p^e1−1a₂^k²^′′^p^e2−1 (𝑎₂^𝑝)^𝑔 = 𝑎₂^𝑝و

نیاربانب

℧₁(𝑁) < 𝐶_𝐺(𝑔) 𝑐(〈𝑁, 𝑔〉) = 2 و

exp(〈𝑁, 𝑔〉^′) = 𝑝و .

یازا هب :مود تلاح 𝑗 ≥ 2 ره

〈𝑎_𝑗〉 ⊴ 𝐺، .

دینک ضرف 𝑎_𝑗^𝑔 = 𝑎_𝑗^𝑢

تروصنیا رد . :

𝑎_𝑗 = 𝑎_𝑗^𝑔^𝑝 = 𝑎_𝑗^𝑢^𝑝

(27)

24

بیترت نیدب 𝑢^𝑝 ≡ 1 (mod𝑝^𝑒^𝑗)

ام و یم میناوت مینک ضرف 𝑢 = 1 + 𝑢^′𝑝^𝑒^𝑗⁻¹

. یازا هب نیاربانب

𝑗 ≥ 2 ره تشاد میهاوخ :

(𝑎_𝑗^𝑝)^𝑔 = 𝑎_𝑗^𝑝

یسررب همادا رد ار تلاحریز ود ام لاح یم

مینک :

تلاحریز :1

〈𝑎₁^𝑝〉 ⊴ 𝐺 .

دینک ضرف 𝑎₁^𝑔 = 𝑎₁^𝑖¹𝑎₂^𝑖²… 𝑎_𝑘^𝑖^𝑘

نوچ .

〈𝑎₁^𝑝〉 ⊴ 𝐺

میریگ یم هجیتن

𝑎₁^𝑝𝑖¹𝑎₂^𝑝𝑖²… 𝑎_𝑘^𝑝𝑖^𝑘 = (𝑎₁^𝑝)^𝑔 = 𝑎₁^𝑠^′^𝑝

𝑝^𝑒^𝑡⁻¹|𝑖_𝑡سپ 𝑡 = 2,3, … , 𝑘 هک

هجیتن رد و 𝑏 ∈ 〈𝑎₁〉 × 〈𝑎₂〉 × … × 〈𝑎_𝑘〉

تسا دوجوم

هکیروطب :

𝑎₁ = 𝑎₁^𝑔^𝑝 = 𝑎₁^𝑖¹

𝑝

𝑏

بیترت نیدب 𝑖₁^𝑝 ≡ 1 (mod𝑝^𝑒¹)

ام و یم میناوت مینک ضرف 𝑖₁ = 1 + 𝑖₁^′𝑝^𝑒¹⁻¹ هک

. نیاربانب

(𝑎₁^𝑝)^𝑔 = 𝑎₁^𝑝

هجیتن رد و

℧₁(𝑁) < 𝐶_𝐺(𝑔) .

هکنیا هجوت اب :

[𝑎₁, 𝑔] = 𝑎₁^𝑖¹^′^𝑝^𝑒1−1𝑎₂^𝑖²^′^𝑝^𝑒2−1… 𝑎_𝑘^𝑖^𝑘^′^𝑝^𝑒𝑘−1

و [𝑎_𝑗, 𝑔] = 𝑎_𝑗^𝑢^′^𝑝^{𝑒𝑗 −1}

هدهاشم یم

𝑐(〈𝑁, 𝑔〉) = 2مینک exp(〈𝑁, 𝑔〉^′) = 𝑝

.

(28)

25

تلاحریز :2

〈𝑎₁^𝑝〉 ⋬ 𝐺 .

میراد

|𝑁: 〈𝑎₁^𝑝〉| = 𝑝^{2𝑚+𝑠−𝑒}¹⁺¹ نیاربانب

𝑒₁ > 𝑚 + 𝑠 + 1 .

دینک ضرف

𝑎₁^𝑔 = 𝑎₁^𝑖¹^′′𝑎₂^𝑖²^′′… 𝑎_𝑘^𝑖^𝑘^′′

𝑔 نوچ هبترم مسیفروموتا کی یور 𝑝

اقلا 𝑁 یم دنک یازا هب و 𝑗 ≥ 2

〈𝑎_𝑗〉 ⊴ 𝐺 ،

کی نیاربانب

دننام رصنع 𝑏 ∈ 〈𝑎₁〉 × 〈𝑎₂〉 × … × 〈𝑎_𝑘〉

دوجوم هکیروطب تسا :

𝑎₁^𝑖¹

′′𝑝

𝑏 = 𝑎₁^𝑔^𝑝 = 𝑎₁

بانب ر i₁^′′p ≡ 1 (modp^e¹)نیا ام و

یم میناوت هک مینک ضرف i₁^′′ = 1 + l^′p^e¹⁻¹

دینک ضرف .

یرصنع دننام

a_j ∉ C_G(g) دوجوم

هک تسا j ≥ 2

.

زا هکنیا

|N: 〈a₁^p〉| ≥ p^e^j⁺¹

〈a₁^p〉 ⋬ Gو میراد

p^e^j⁺¹ ≤ p^m .

نیاربانب

𝑜(𝑎₁^𝑝^{𝑒1−𝑒𝑗}) = 𝑝^𝑒^𝑗 ≤ 𝑝^𝑚−1

مل هب انب هجیتن رد و 2(

7– ) میراد

〈𝑎₁^𝑝^{𝑒1−𝑒𝑗}〉 ⊴ 𝐺: .

ب دننام یرصنع نیاربان 𝑏 ∈ 〈𝑎₁〉 × 〈𝑎₂〉 × … × 〈𝑎_𝑘〉

هکیروطب تسا دوجوم :

𝑎₁^(1+𝑙^′^𝑝^𝑒1−1^)(𝑝^{𝑒1 −𝑒𝑗}⁾𝑏₁ = (𝑎₁^𝑝^{𝑒1 −𝑒𝑗})^𝑔 ∈ 〈𝑎₁^𝑝^{𝑒1 −𝑒𝑗}〉

هکنیا زا 𝑝^𝑒¹^−𝑒^𝑗 ≥ 𝑝^𝑠+2 ≥ 𝑝² هجیتن

یم میریگ 𝑏₁ = 1

𝑎₁^𝑝^{𝑒1 −𝑒𝑗} ∈ 𝐶_𝐺(𝑔) و .

نوچ 𝑎_𝑗 ∉

𝐶_𝐺(𝑔)

𝑔 سپ هبترم زا مسیفروموتا کی 𝑝

〈𝑎_𝑗〉 یور اقلا یم دنک دننام یددع هجیتن رد . 𝑡

دوجوم

هکیروطب تسا (𝑡, 𝑝) = 1

و (𝑎₁^𝑝^{𝑒1−𝑒𝑗})^𝑔 = 𝑎₁^𝑝^{𝑒1 −𝑒𝑗}𝑎_𝑗^1+𝑡𝑝^{𝑒𝑗 −1}

(29)

26 Family name: Nazirzadeh name: Masumeh

Title of thesis: On the finite p-groups whose non-normal cyclic subgruops have small index in their normalizers

Supervisor: Dr.Hossein Abdolzadeh Advisor: Dr. Kamal Bahmanpour Graduate degree: M.Sc

Major: Pure Mathematics Specialty: Algebra

University: Mohaghegh Ardabili Faculty: Sciences Graduation date: 2017/09/18 Number of pages: 56 Abstract:

A p-group is called an 𝒩_𝑝^𝑚- group if all of its non-normal cyclic subgroups have index no more than 𝑝^𝑚 in their normalizers. In this paper we prove that the order of a non- Dedekind 𝒩_𝑝^𝑚-group cannot exeeds 𝑝(2𝑚+1)(𝑚+1) when p>2. We also completely classify non-Dedekind 𝒩_𝑝²-groups for p>2.

Keywords: Dedekind group, p-group, 𝒩_𝑝^𝑚– group, Normalizer.