روش های انتگرال گیری

(1)

یریگ لارگتنا یاه شور

تیاس زا هتفرگرب Hanford High School

Richland, Washington 1

(2)

یروآدای :

لیسنارفید دض

قتشم داپ و

(3)

یمومع یضایر 1

سردم :

ینامیلس ورسخ

3

(4)

4

(5)

باوت زا یرایسب قتشم ناوت یم یا هریجنز یریگ قتشم نوناق زا هدافتسا اب دروآ تسدب ار ع

درک هدافتسا قتشم دض ناونع هب زین نآ سوکعم زا ناوت یم سپ .



هاگنآ دشاب و عبات ود بیکرت رگا u  g x   y  f u  

 f g    f

at



u g x_

   g

at



x

f g

ریغتم رییغت شور

سردم :

5

(6)

لاثم

 x  2 

⁵

dx 1

 Let u   x 2

du  dx u du 5



1 6

6 u  C

 2  6

6

x  C



ب عبات ریغتم اب یریگ لارگتنا ریغتم ناسکی دیا

دشاب رادقم یراذگیاج دوشن شومارف u

.

6



سردم :

(7)

لاثم

1   x

2

2 x dx

 زا یبرضم ا ی قتشم هک میشاب یترابع لابند هب دیاب دشاب دوجوم شقتشم .

اب تسا ربارب لیسنارفید 1  x

²

2 x dx

1

u du

2



3

2

3 u  C



^{2 2}



³

2 1

3  x  C

Let u   1 x

2

2 du  x dx

افتسا ینامز طقف شور نیا هک دیشاب هتشاد هجوت دوشیم هد

دشاب دوجوم لارگتنا رد رظن دم ترابع قتشم هک .

سپ همه

درک لح شور نیا اب ناوت یمن ار لئاسم

یمومع یضایر



1 سردم

:

7

(8)

لاثم 2

4 x  1 dx

 Let u  4 x  1

4 du  dx

1

4 du  dx

رادقم

dx

میدروآ تسدب ار

1

2

1

u  4 du



3

2

1

3 u   4 C

3

1

2

6 u  C

 

³²

1 4 1

6 x   C

8



سردم :

(9)

لاثم

  3

cos 7 x  5 dx



7 du  dx

1

7 du  dx cos 1

u  7 du



1 sin

7 u C 

 

1 sin 7 5

7 x   C

Let u  7 x  5

9



سردم :

(10)

یتاثلثم لاثم

 

2 3

sin

x x dx

 Let u  x

³

3

2

du  x dx

1

2

3 du  x dx

بسحرب ار ترابع اجنیا رد میدروآ تسدب u .

x dx

2

1 sin 3  u du

1 cos

3 u C

 

1

3

3 cos x C

 

10



(11)

لاثم

4

sin x  cos x dx



Let u  sin x cos du  x dx

 sin x 

⁴

cos x dx



u du

4



1

5

5 u  C 1

5

5 sin x C 

11



سردم :

(12)

زج هب زج شور هب یریگ لارگتنا

12

(13)

ءزج هب ءزج شور

دیریگب رظن رد ار برضلصاح قتشم

 

d dv du

uv u v

dx  dx  dx

 

d uv  u dv v du 

 

d uv  v du  u dv

 

u dv  d uv  v du

   

 

   

  

u dv   uv v du

 

ءزج هب ءزج شور لومرف

13



سردم :

(14)

 

یگ قتشم هک یترابع یر

دشاب هداس نآ زا

ار نآ لارگتنا هک یترابع میناد یم

عبات باختنا تسا ریز تروص هب u

یتاثلثم سوکعم و یتاثلثم ،ییامن ،یا هلمج دنچ ،یمتیراگل

14



(15)

لاثم 1

cos x  x dx



یا هلمج دنچ u x 

du  dx

cos dv  x dx

sin v  x u dv   uv v du

 

sin cos

x  x  x C 

u v   v du

sin sin x  x   x dx

15



سردم :

(16)

لاثم 2

ln x dx



یمتیراگل عبات u  ln x

du 1 dx

 x

dv  dx v x 

 

ln

x x x C  

ln x x x 1 dx

    x u v   v du

16



(17)

دوش لح دیاب لارگتنا تمسق نوا .

ب کی دیاب را

مینک هدافتسا زج هبزج شور زا رگید .

لاثم 3

2 x

x e dx

  u dv   uv  v du

₂

u  x dv  e dx

^x

2

du  x dx v  e

^x

u v   v du

2 ^x ^x

2

x e   e  x dx

2 ^x

2

^x

x e   xe dx u x  dv  e dx

^x

du  dx v  e

^x

 

2 ^x

2

^x ^x

x e  xe   e dx

2 ^x

2

^x

2

^x

x e  xe  e  C

17



سردم :

(18)

لاثم 4

cos e

x

x dx



u  e

x

dv  sin x dx du  e dx

x

v   cos x

u v   v du sin sin

x x

e x   x e dx 

 

sin cos cos

x x x

e x  e  x    x e dx 

u  e

x

dv  cos x dx du  e dx

x

v  sin x

sin cos cos

x x x

e x e  x   e x dx لارگتنا هب اجنیا رد

میدیسر ییادتبا

!



uv v du

18

(19)

لاثم 4

cos e

x

x dx



u v   v du

cos

e

x

x dx 



2  e

^x

cos x dx  e

^x

sin x e 

^x

cos x

sin cos

cos

2

x x

x

e x e x

e x dx    C



sin sin

x x

e x   x e dx 

u  e

x

dv  sin x dx du  e dx

x

v   cos x

u  e

x

dv  cos x dx du  e dx

x

v  sin x

sin cos cos

x x x

e x e  x   e x dx

 

sin cos cos

x x x

e x  e  x    x e dx 

19

سردم :

(20)

لاثم 5

cos e

x

x dx



u v   v du

وش یم هدافتسا ینامز شور نیا د

ا و ریذپ قتشم عبات ود ره هک لارگتن

دنشاب ریذپ .



cos

e

x

x dx 



2  e

^x

cos x dx  e

^x

sin x e 

^x

cos x

sin cos

cos

2

x x

x

e x e x

e x dx    C



sin sin

x x

e x   x e dx 

sin cos cos

x x x

e x e  x   e x dx

 

sin cos cos

x x x

e x  e  x    x e dx 

20

(21)

رب نایم هار :

یلودج یریگ لارگتنا

ریز مرف هب تسا ءزج هب ءزج شور نامه :

   

f x g x dx



نآ رد هک ریذپ قتشم عبات ریذپ لارگتنا عبات

21



سردم :

(22)

2 x

x e dx



  & deriv.

f x g x   & integrals

x

2

2 x

2 0

e

x

e

x

e

x

e

x





2 x

x e dx 

 x e

² ^x

 2 xe

^x

 2 e

^x

 C

رد نیا لاثم نیا

شور ار

اب رابدنچ

هدافتسا زا

شور هبزج

زج زین یم ناوت

لح درک .

22



(23)

یلومعم شور اب لبق لاثم لح

2 x

x e dx

  u dv   uv  v du

₂

u  x dv  e dx

^x

2

du  x dx v  e

^x

u v   v du

2 ^x ^x

2

x e   e  x dx

2 ^x

2

^x

x e   xe dx u x  dv  e dx

^x

du  dx v  e

^x

 

2 ^x

2

^x ^x

x e  xe   e dx

2 ^x

2

^x

2

^x

x e  xe  e  C تسا رت هداس یلودج شور هک تسا حضاو

23



سردم :

(24)

3

sin x x dx



x

3

3x

2

6 x 6

sin x cos x



sin x



cos x





0



sin x

3

cos

x x

  3 x

²

sin x  6 cos x x 6sin  x + C

24

(25)

25

سردم :