グリーンの公式 - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）

グリーンの公式

グリーンの公式

平面上のベクトル場 F(x, y) = (F¹(x, y), F²(x, y)) が点 (x, y) の周りをどれだけ回っているかを考える。

(x,y)

F2(x+h/2,y)

F2(x-h/2,y)

F1(x,y-h/2) F1(x,y+h/2)

x y

点 を中心とした一辺の長さ の正方形を考える。

このとき、正方形の縁に沿ってまわる流れは

余り 余り 余り

. – p.2/14

グリーンの公式

平面上のベクトル場 F(x, y) = (F¹(x, y), F²(x, y)) が点 (x, y) の周りをどれだけ回っているかを考える。

(x,y)

F2(x+h/2,y)

F2(x-h/2,y)

F1(x,y-h/2) F1(x,y+h/2)

x y

点 (x, y) を中心とした一辺の長さ h _{の正方形を考える。}

このとき、正方形の縁に沿ってまわる流れは

余り 余り 余り

グリーンの公式

平面上のベクトル場 F(x, y) = (F¹(x, y), F²(x, y)) が点 (x, y) の周りをどれだけ回っているかを考える。

(x,y)

F2(x+h/2,y)

F2(x-h/2,y)

F1(x,y-h/2) F1(x,y+h/2)

x y

点 (x, y) を中心とした一辺の長さ h _{の正方形を考える。}

このとき、正方形の縁に沿ってまわる流れは h

F²(x+ ^h₂,y)−F²(x−^h₂,y)−F¹(x,y+ ^h₂)+F¹(x,y−^h₂) +( _余り) 余り

余り

. – p.2/14

グリーンの公式

平面上のベクトル場 F(x, y) = (F¹(x, y), F²(x, y)) が点 (x, y) の周りをどれだけ回っているかを考える。

(x,y)

F2(x+h/2,y)

F2(x-h/2,y)

F1(x,y-h/2) F1(x,y+h/2)

x y

点 (x, y) を中心とした一辺の長さ h _{の正方形を考える。}

このとき、正方形の縁に沿ってまわる流れは h

F (x+ ^h,y)−F (x−^h,y)−F (x,y+ ^h)+F (x,y−^h) +( _余り) 余り

グリーンの公式

平面上のベクトル場 F(x, y) = (F¹(x, y), F²(x, y)) が点 (x, y) の周りをどれだけ回っているかを考える。

(x,y)

F2(x+h/2,y)

F2(x-h/2,y)

F1(x,y-h/2) F1(x,y+h/2)

x y

点 (x, y) を中心とした一辺の長さ h _{の正方形を考える。}

このとき、正方形の縁に沿ってまわる流れは h

F²(x+ ^h₂,y)−F²(x−^h₂,y)−F¹(x,y+ ^h₂)+F¹(x,y−^h₂) +( _余り)

=h

F²(x,y)+ ^h₂F²_x(x,y)

− F²(x,y)+(−^h₂)F²_x(x,y)

−h

F¹(x,y)+^h₂F¹_y(x,y)

− F¹(x,y)+(−^h₂)F¹_y(x,y) +( _余り)

= h² {F²_x(x, y) − F¹_y(x, y)} +(_余り)

. – p.2/14

グリーンの公式

領域 D を細かい正方形に分割して、縁に沿った回転量を足 し合わせると、隣り合った正方形の境界上は打ち消し合っ て、領域の縁に沿った和だけが残る。

分割を細かくして の極限を取ると以下のグリーンの定 理が得られる：

は領域 の境界で半時計回りに向きが付いているとする。

グリーンの公式

領域 D を細かい正方形に分割して、縁に沿った回転量を足 し合わせると、隣り合った正方形の境界上は打ち消し合っ て、領域の縁に沿った和だけが残る。

分割を細かくして h → 0 の極限を取ると以下のグリーンの定 理が得られる：

は領域 の境界で半時計回りに向きが付いているとする。

. – p.3/14

グリーンの公式

領域 D を細かい正方形に分割して、縁に沿った回転量を足 し合わせると、隣り合った正方形の境界上は打ち消し合っ て、領域の縁に沿った和だけが残る。

分割を細かくして h → 0 の極限を取ると以下のグリーンの定

グリーンの公式

[_例題]

C _を y = x _と y = x² (0 ≤ x ≤ 1) _{からなる閉曲線とし} I =

Z

C

(xy + x²)dx + x²dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。

2. グリーンの公式を用いて重積分に直して I _{を計算せよ。}

解答例

とすると

. – p.4/14

グリーンの公式

[_例題]

C _を y = x _と y = x² (0 ≤ x ≤ 1) _{からなる閉曲線とし} I =

Z

C

(xy + x²)dx + x²dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。

2. グリーンの公式を用いて重積分に直して I _{を計算せよ。}

[_解答例] とすると

グリーンの公式

[_例題]

C _を y = x _と y = x² (0 ≤ x ≤ 1) _{からなる閉曲線とし} I =

Z

C

(xy + x²)dx + x²dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。

2. グリーンの公式を用いて重積分に直して I _{を計算せよ。}

[_解答例]

1. C¹ : r1(t) = (t, t²) , C² : r2(t) = (t, t) (0 ≤ t ≤ 1) _とすると

. – p.4/14

グリーンの公式

[_例題]

C _を y = x _と y = x² (0 ≤ x ≤ 1) _{からなる閉曲線とし} I =

Z

C

(xy + x²)dx + x²dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。

2. グリーンの公式を用いて重積分に直して I _{を計算せよ。}

[_解答例]

1. C¹ : r1(t) = (t, t²) , C² : r2(t) = (t, t) (0 ≤ t ≤ 1) _とすると

グリーンの公式

[_例題]

C _を y = x _と y = x² (0 ≤ x ≤ 1) _{からなる閉曲線とし} I =

Z

C

(xy + x²)dx + x²dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。

2. グリーンの公式を用いて重積分に直して I _{を計算せよ。}

[_解答例]

1. C¹ : r1(t) = (t, t²) , C² : r2(t) = (t, t) (0 ≤ t ≤ 1) _とすると I =

Z

C1

(xy + x²)dx + x²dy + Z

−C2

(xy + x²)dx + x²dy

=

Z ¹

0

(t³ + t² + 2t³)dt +

Z ⁰

1

(t² + t² + t²)dt = 1 12

. – p.4/14

グリーンの公式

2.C で囲まれが領域を D とすると I =

Z Z

D

∂

∂x(x²) − ∂

∂y(xy − x²)

dxdy

グリーンの公式

2.C で囲まれが領域を D とすると I =

Z Z

D

∂

∂x(x²) − ∂

∂y(xy − x²)

dxdy

=

Z Z

D

xdxdy

. – p.5/14

グリーンの公式

2.C で囲まれが領域を D とすると I =

Z Z

D

∂

∂x(x²) − ∂

∂y(xy − x²)

dxdy

=

Z Z

D

xdxdy

=

Z ¹

0

Z x x²

xdy

dx

=

Z ¹

0

x(x − x²)dx = 1 12

グリーンの公式

[_練習問題]

D _を a² ≤ x² + y² ≤ b² で定まる領域、その周を C _とする。

I = Z

C

2xydx + (x³ − y)dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。2. I を重積分に直して計算せよ。

解答例

とする

極座標を用いる

. – p.6/14

グリーンの公式

[_練習問題]

D _を a² ≤ x² + y² ≤ b² で定まる領域、その周を C _とする。

I = Z

C

2xydx + (x³ − y)dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。2. I を重積分に直して計算せよ。

[_解答例] とする

極座標を用いる

グリーンの公式

[_練習問題]

D _を a² ≤ x² + y² ≤ b² で定まる領域、その周を C _とする。

I = Z

C

2xydx + (x³ − y)dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。2. I を重積分に直して計算せよ。

[_解答例]

1. C¹ : (b cos t, b sin t), C² : (a cos t, a sin t) (0 ≤ t ≤ 2π) _とする 極座標を用いる

. – p.6/14

グリーンの公式

[_練習問題]

D _を a² ≤ x² + y² ≤ b² で定まる領域、その周を C _とする。

I = Z

C

2xydx + (x³ − y)dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。2. I を重積分に直して計算せよ。

[_解答例]

1. C¹ : (b cos t, b sin t), C² : (a cos t, a sin t) (0 ≤ t ≤ 2π) _とする I =

Z

C1

2xydx + (x³ − y)dy + Z

−C2

2xydx + (x³ − y)dy 極座標を用いる

グリーンの公式

[_練習問題]

D _を a² ≤ x² + y² ≤ b² で定まる領域、その周を C _とする。

I = Z

C

2xydx + (x³ − y)dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。2. I を重積分に直して計算せよ。

[_解答例]

1. C¹ : (b cos t, b sin t), C² : (a cos t, a sin t) (0 ≤ t ≤ 2π) _とする I =

Z

C1

2xydx + (x³ − y)dy + Z

−C2

2xydx + (x³ − y)dy

=

Z ²π 0

2b² cos t sin t(−b sin t) + (b³ cos³ t − b sin t)b cos t dt +

Z ⁰

2π

2a² cos t sin t(−a sin t) + (a³ cos³ t − a sin t)a cos t dt 極座標を用いる

. – p.6/14

グリーンの公式

[_練習問題]

D _を a² ≤ x² + y² ≤ b² で定まる領域、その周を C _とする。

I = Z

C

2xydx + (x³ − y)dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。2. I を重積分に直して計算せよ。

[_解答例]

1. C¹ : (b cos t, b sin t), C² : (a cos t, a sin t) (0 ≤ t ≤ 2π) _とする I =

Z

C1

2xydx + (x³ − y)dy + Z

−C2

2xydx + (x³ − y)dy Z ²π

極座標を用いる

グリーンの公式

[_練習問題]

D _を a² ≤ x² + y² ≤ b² で定まる領域、その周を C _とする。

I = Z

C

2xydx + (x³ − y)dy とする。

1. 線積分 I を計算せよ。2. I を重積分に直して計算せよ。

[_解答例]

1. C¹ : (b cos t, b sin t), C² : (a cos t, a sin t) (0 ≤ t ≤ 2π) _とする I =

Z

C1

2xydx + (x³ − y)dy + Z

−C2

2xydx + (x³ − y)dy

=

Z ²π 0

2b² cos t sin t(−b sin t) + (b³ cos³ t − b sin t)b cos t dt +

Z ⁰

2π

2a² cos t sin t(−a sin t) + (a³ cos³ t − a sin t)a cos t dt

= 3

4(b⁴ − a⁴)π 2. _{極座標を用いる}

. – p.6/14

ストークスの公式

境界を持つ曲面 を考えその境界を とする。 は向きが 付いており、 はその向きに対して半時計回りに向きがつけ られているとする。

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAn

S

C

このとき、 で定義されたベクトル場 に対し、平面上のグ リーンの公式と同様の議論により次のストークスの公式が得 られる：

ストークスの公式

境界を持つ曲面 S を考えその境界を C とする。S は向きが 付いており、C はその向きに対して半時計回りに向きがつけ られているとする。

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAn

S

C

このとき、 で定義されたベクトル場 に対し、平面上のグ リーンの公式と同様の議論により次のストークスの公式が得 られる：

. – p.7/14

ストークスの公式

境界を持つ曲面 S を考えその境界を C とする。S は向きが 付いており、C はその向きに対して半時計回りに向きがつけ られているとする。

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAn

S

C

このとき、S で定義されたベクトル場 F _{に対し、平面上のグ}

ストークスの公式

境界を持つ曲面 S を考えその境界を C とする。S は向きが 付いており、C はその向きに対して半時計回りに向きがつけ られているとする。

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAn

S

C

このとき、S で定義されたベクトル場 F _{に対し、平面上のグ} リーンの公式と同様の議論により次のストークスの公式が得 られる： Z

C

F · dr =

Z Z

S

rotF · dS

. – p.7/14

ストークスの公式

[例] マクスウェル方程式より、電場が変化しないとき

磁場 と電流 の間には次の関係が成り立つ：

従って閉曲線 を境界とする曲面 について次が成り立つ：

左辺は境界 にしか依らないので、右辺は閉曲線 を通り 抜ける電流と考える事が出来る。

を通り抜ける電流 これをアンペールの法則とよぶ。

ストークスの公式

[_例]

マクスウェル方程式より、電場が変化しないとき

∂E

∂t = 0

磁場 B _と電流 j の間には次の関係が成り立つ：

rot B = 1 ε⁰c²j 従って閉曲線 を境界とする曲面 について次が成り立つ：

左辺は境界 にしか依らないので、右辺は閉曲線 を通り 抜ける電流と考える事が出来る。

を通り抜ける電流 これをアンペールの法則とよぶ。

. – p.8/14

ストークスの公式

[_例]

マクスウェル方程式より、電場が変化しないとき

∂E

∂t = 0

磁場 B _と電流 j の間には次の関係が成り立つ：

rot B = 1 ε⁰c²j

従って閉曲線 C _{を境界とする曲面} S について次が成り立つ：

Z

C

B · dr = 1 ε⁰c²

Z Z

S

j · dS 左辺は境界 にしか依らないので、右辺は閉曲線 を通り

抜ける電流と考える事が出来る。

を通り抜ける電流 これをアンペールの法則とよぶ。

ストークスの公式

[_例]

マクスウェル方程式より、電場が変化しないとき

∂E

∂t = 0

磁場 B _と電流 j の間には次の関係が成り立つ：

rot B = 1 ε⁰c²j

従って閉曲線 C _{を境界とする曲面} S について次が成り立つ：

Z

C

B · dr = 1 ε⁰c²

Z Z

S

j · dS

左辺は境界 C にしか依らないので、右辺は閉曲線 C を通り 抜ける電流と考える事が出来る。

を通り抜ける電流 これをアンペールの法則とよぶ。

. – p.8/14

ストークスの公式

[_例]

マクスウェル方程式より、電場が変化しないとき

∂E

∂t = 0

磁場 B _と電流 j の間には次の関係が成り立つ：

rot B = 1 ε⁰c²j

従って閉曲線 C _{を境界とする曲面} S について次が成り立つ：

Z

C

B · dr = 1 ε⁰c²

Z Z

S

j · dS

左辺は境界 C にしか依らないので、右辺は閉曲線 C を通り これをアンペールの法則とよぶ。

ストークスの公式

[_例]

マクスウェル方程式より、電場が変化しないとき

∂E

∂t = 0

磁場 B _と電流 j の間には次の関係が成り立つ：

rot B = 1 ε⁰c²j

従って閉曲線 C _{を境界とする曲面} S について次が成り立つ：

Z

C

B · dr = 1 ε⁰c²

Z Z

S

j · dS

左辺は境界 C にしか依らないので、右辺は閉曲線 C を通り 抜ける電流と考える事が出来る。

Z

C

B · dr = 1

ε⁰c² (C を通り抜ける電流) これをアンペールの法則とよぶ。

. – p.8/14

ストークスの公式

[_練習問題]

無限に長い直線状の電線を電流 が流れるとき、

電線のまわりに出来る磁場を求めよ。

但し、電線まわの回転対称性より磁場の 大きさは電線からの距離のみで決まり、

向きは電線まわりを回る方向とする。

解答例

電線と垂直な平面上電線から距離 の円を考える。

この円上で磁場の大きさは一定で円に接する方向を向いてい るので、

アンペールの法則より

ストークスの公式

[_練習問題]

無限に長い直線状の電線を電流 I が流れるとき、

電線のまわりに出来る磁場を求めよ。

但し、電線まわの回転対称性より磁場の 大きさは電線からの距離のみで決まり、

向きは電線まわりを回る方向とする。

B

e_r r I 解答例

電線と垂直な平面上電線から距離 の円を考える。

この円上で磁場の大きさは一定で円に接する方向を向いてい るので、

アンペールの法則より

. – p.9/14

ストークスの公式

[_練習問題]

無限に長い直線状の電線を電流 I が流れるとき、

電線のまわりに出来る磁場を求めよ。

但し、電線まわの回転対称性より磁場の 大きさは電線からの距離のみで決まり、

向きは電線まわりを回る方向とする。

B

e_r r I [_解答例]

電線と垂直な平面上電線から距離 の円を考える。

この円上で磁場の大きさは一定で円に接する方向を向いてい るので、

アンペールの法則より

ストークスの公式

[_練習問題]

無限に長い直線状の電線を電流 I が流れるとき、

電線のまわりに出来る磁場を求めよ。

但し、電線まわの回転対称性より磁場の 大きさは電線からの距離のみで決まり、

向きは電線まわりを回る方向とする。

B

e_r r I

[_解答例]

電線と垂直な平面上電線から距離 r _{の円を考える。}

この円上で磁場の大きさは一定で円に接する方向を向いてい るので、

アンペールの法則より

. – p.9/14

ストークスの公式

[_練習問題]

無限に長い直線状の電線を電流 I が流れるとき、

電線のまわりに出来る磁場を求めよ。

但し、電線まわの回転対称性より磁場の 大きさは電線からの距離のみで決まり、

向きは電線まわりを回る方向とする。

B

e_r r I

[_解答例]

電線と垂直な平面上電線から距離 r _{の円を考える。}

この円上で磁場の大きさは一定で円に接する方向を向いてい アンペールの法則より

ストークスの公式

[_練習問題]

無限に長い直線状の電線を電流 I が流れるとき、

電線のまわりに出来る磁場を求めよ。

但し、電線まわの回転対称性より磁場の 大きさは電線からの距離のみで決まり、

向きは電線まわりを回る方向とする。

B

e_r r I

[_解答例]

電線と垂直な平面上電線から距離 r _{の円を考える。}

この円上で磁場の大きさは一定で円に接する方向を向いてい るので、Z

B · ds = 2πrB (B = |B|) アンペールの法則より B = I

2πε⁰c²

. – p.9/14

ストークスの公式

[_練習問題]

無限に長い直線状の電線を電流 I が流れるとき、

電線のまわりに出来る磁場を求めよ。

但し、電線まわの回転対称性より磁場の 大きさは電線からの距離のみで決まり、

向きは電線まわりを回る方向とする。

B

e_r r I

[_解答例]

電線と垂直な平面上電線から距離 r _{の円を考える。}

この円上で磁場の大きさは一定で円に接する方向を向いてい

ガウスの発散定理

流速が で与えられる流体を考える。

点 を囲む一辺の長さ

の立方体を考える： ^{-i (x,y,z) i}

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

余り

余り

余り

. – p.10/14

ガウスの発散定理

流速が F で与えられる流体を考える。

点 を囲む一辺の長さ

の立方体を考える： ^{-i (x,y,z) i}

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

余り

余り

余り

ガウスの発散定理

流速が F で与えられる流体を考える。

点 (x, y, z) _{を囲む一辺の長さ}

h _{の立方体を考える：} ^{-i (x,y,z) i}

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

余り

余り

余り

. – p.10/14

ガウスの発散定理

流速が F で与えられる流体を考える。

点 (x, y, z) _{を囲む一辺の長さ}

h _{の立方体を考える：} ^{-i (x,y,z) i}

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

h²

F(x + ^h₂, y, z) · i + F(x − ^h₂, y, z) · (−i)

+F(x, y + ^h₂, z) · j + F(x, y − ^h₂, z) · (−j)

+F(x, y, z + ^h₂) · k + F(x, y, z − ^h₂) · (−k) + (余り) 余り

余り

ガウスの発散定理

流速が F で与えられる流体を考える。

点 (x, y, z) _{を囲む一辺の長さ}

h _{の立方体を考える：} ^{-i (x,y,z) i}

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

h²

F(x + ^h₂, y, z) · i + F(x − ^h₂, y, z) · (−i)

+F(x, y + ^h₂, z) · j + F(x, y − ^h₂, z) · (−j)

+F(x, y, z + ^h₂) · k + F(x, y, z − ^h₂) · (−k) + (余り)

=h²

F¹(x, y, z)+^h₂F¹_x(x, y, z)

− F¹(x, y, z)+(−^h₂)F¹_x(x, y, z) + F²(x, y, z)+^h₂F²_y(x, y, z)

− F²(x, y, z)+(−^h₂)F²_y(x, y, z) + F³(x, y, z)+^h₂F³_z(x, y, z)

− F³(x, y, z)+(−^h₂)F³_z(x, y, z) +(_余り)

余り

. – p.10/14

ガウスの発散定理

流速が F で与えられる流体を考える。

点 (x, y, z) _{を囲む一辺の長さ}

h _{の立方体を考える：} ^{-i (x,y,z) i}

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

h²

F(x + ^h₂, y, z) · i + F(x − ^h₂, y, z) · (−i)

+F(x, y + ^h₂, z) · j + F(x, y − ^h₂, z) · (−j)

+F(x, y, z + ^h₂) · k + F(x, y, z − ^h₂) · (−k) + (余り)

=h²

F¹(x, y, z)+^h₂F¹_x(x, y, z)

− F¹(x, y, z)+(−^h₂)F¹_x(x, y, z) + F²(x, y, z)+^h₂F²_y(x, y, z)

− F²(x, y, z)+(−^h₂)F²_y(x, y, z)

ガウスの発散定理

従って、空間内の領域 D とそのまわりで定められたベクト ル場 F _{について、}D _{を一辺の長さ} h _{の小さな立方体に分割} して、各立方体の面から出入りする流体の量を足し合わせる と、

隣り合った立方体の面を通る流体の量は打ち消し合っ て、一番外側の面を通る流体の量のみが得られる。 よって、

として立方体を無限に細かくした極限では次のガウス の発散定理が成り立つ：

但し、 は の境界とし、 は の外部を向く様に取る。

. – p.11/14

ガウスの発散定理

従って、空間内の領域 D とそのまわりで定められたベクト ル場 F _{について、}D _{を一辺の長さ} h _{の小さな立方体に分割} して、各立方体の面から出入りする流体の量を足し合わせる と、隣り合った立方体の面を通る流体の量は打ち消し合っ て、一番外側の面を通る流体の量のみが得られる。

よって、

として立方体を無限に細かくした極限では次のガウス の発散定理が成り立つ：

但し、 は の境界とし、 は の外部を向く様に取る。

ガウスの発散定理

従って、空間内の領域 D とそのまわりで定められたベクト ル場 F _{について、}D _{を一辺の長さ} h _{の小さな立方体に分割} して、各立方体の面から出入りする流体の量を足し合わせる と、隣り合った立方体の面を通る流体の量は打ち消し合っ

て、一番外側の面を通る流体の量のみが得られる。 よって、

h → 0 として立方体を無限に細かくした極限では次のガウス の発散定理が成り立つ：

Z Z Z

D

div FdV =

Z Z

S

F · dS

但し、S _は D _{の境界とし、} dS _は D の外部を向く様に取る。

. – p.11/14

ガウスの発散定理

[_例]

原点 O _に点電荷 Q を置いたとき、各点での電位は ϕ(x, y, z) = 1

4πε⁰ Q

r (_但し r = p

x² + y² + z²) _{で与えられ、}

電場は は 方向

の単位ベクトル で与えられる。

これより、平曲面 について次が成り立つ：

が の内部に無いとき が の内部にあるとき 内部にないときは で囲まれた領域を として

ガウスの発散定理

[_例]

原点 O _に点電荷 Q を置いたとき、各点での電位は ϕ(x, y, z) = 1

4πε⁰ Q

r (_但し r = p

x² + y² + z²) _{で与えられ、}

電場は E(x, y, z) = −grad ϕ = Q 4πε

1

r² e_r (e_{r は} (x, y, z) 方向 の単位ベクトル) _{で与えられる。}

これより、平曲面 について次が成り立つ：

が の内部に無いとき が の内部にあるとき 内部にないときは で囲まれた領域を として

. – p.12/14

ガウスの発散定理

[_例]

原点 O _に点電荷 Q を置いたとき、各点での電位は ϕ(x, y, z) = 1

4πε⁰ Q

r (_但し r = p

x² + y² + z²) _{で与えられ、}

電場は E(x, y, z) = −grad ϕ = Q 4πε

1

r² e_r (e_{r は} (x, y, z) 方向 の単位ベクトル) _{で与えられる。}

これより、平曲面 S について次が成り立つ：

Z Z

E · dS =



0 (Q が S _{の内部に無いとき})

Q (Q が S _{の内部にあるとき}) 内部にないときは で囲まれた領域を として

ガウスの発散定理

[_例]

原点 O _に点電荷 Q を置いたとき、各点での電位は ϕ(x, y, z) = 1

4πε⁰ Q

r (_但し r = p

x² + y² + z²) _{で与えられ、}

電場は E(x, y, z) = −grad ϕ = Q 4πε

1

r² e_r (e_{r は} (x, y, z) 方向 の単位ベクトル) _{で与えられる。}

これより、平曲面 S について次が成り立つ：

Z Z

S

E · dS =







0 (Q が S _{の内部に無いとき})

Q

ε⁰ (Q が S _{の内部にあるとき})

∵ _{内部にないときは} S _{で囲まれた領域を} D _として

. – p.12/14

ガウスの発散定理

[_例]

原点 O _に点電荷 Q を置いたとき、各点での電位は ϕ(x, y, z) = 1

4πε⁰ Q

r (_但し r = p

x² + y² + z²) _{で与えられ、}

電場は E(x, y, z) = −grad ϕ = Q 4πε

1

r² e_r (e_{r は} (x, y, z) 方向 の単位ベクトル) _{で与えられる。}

これより、平曲面 S について次が成り立つ：

Z Z

E · dS =



0 (Q が S _{の内部に無いとき})

Q (Q が S _{の内部にあるとき})

ガウスの発散定理

[_例]

原点 O _に点電荷 Q を置いたとき、各点での電位は ϕ(x, y, z) = 1

4πε⁰ Q

r (_但し r = p

x² + y² + z²) _{で与えられ、}

電場は E(x, y, z) = −grad ϕ = Q 4πε

1

r² e_r (e_{r は} (x, y, z) 方向 の単位ベクトル) _{で与えられる。}

これより、平曲面 S について次が成り立つ：

Z Z

S

E · dS =







0 (Q が S _{の内部に無いとき})

Q

ε⁰ (Q が S _{の内部にあるとき})

∵ _{内部にないときは} S _{で囲まれた領域を} D _として Z Z

S

E · dS =

Z Z Z

D

divE dV =

Z Z Z

D

−div(grad ϕ) dV

. – p.12/14

ガウスの発散定理

[_例]

原点 O _に点電荷 Q を置いたとき、各点での電位は ϕ(x, y, z) = 1

4πε⁰ Q

r (_但し r = p

x² + y² + z²) _{で与えられ、}

電場は E(x, y, z) = −grad ϕ = Q 4πε

1

r² e_r (e_{r は} (x, y, z) 方向 の単位ベクトル) _{で与えられる。}

これより、平曲面 S について次が成り立つ：

Z Z

E · dS =



0 (Q が S _{の内部に無いとき})

Q (Q が S _{の内部にあるとき})

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r ここで

従って、

. – p.13/14

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV ここで

従って、

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV = Z Z

S−S^′

E · dS ここで

従って、

. – p.13/14

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV = Z Z

S−S^′

E · dS = Z Z

S

E · dS − Z Z

S^′

E · dS ここで

従って、

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV = Z Z

S−S^′

E · dS = Z Z

S

E · dS − Z Z

S^′

E · dS ここで Z Z

S^′

E · dS= Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · dS 従って、

. – p.13/14

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV = Z Z

S−S^′

E · dS = Z Z

S

E · dS − Z Z

S^′

E · dS ここで Z Z

S^′

E · dS= Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · dS = Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · ndS 従って、

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV = Z Z

S−S^′

E · dS = Z Z

S

E · dS − Z Z

S^′

E · dS ここで Z Z

S^′

E · dS= Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · dS = Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · ndS

= Q

4πε⁰ Z Z

S^′

1

r² dS 従って、

. – p.13/14

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV = Z Z

S−S^′

E · dS = Z Z

S

E · dS − Z Z

S^′

E · dS ここで Z Z

S^′

E · dS= Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · dS = Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · ndS 従って、

ガウスの発散定理

内部にあるときは、原点中心で S の内部に収まる小さな半径 r _の球を S^′ _とし、S _と S^′ _{の間の領域を} D^′ _とすると

AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAA

D' S

S' ^r

0 =

Z Z Z

D^′

divE dV = Z Z

S−S^′

E · dS = Z Z

S

E · dS − Z Z

S^′

E · dS ここで Z Z

S^′

E · dS= Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · dS = Q 4πε⁰

Z Z

S^′

1

r²e_r · ndS

= Q

4πε⁰ Z Z

S^′

1

r² dS = Q ε⁰ 従って、Z Z

S

E · dS = Q ε⁰

. – p.13/14

宿題

問題集 p.92 _例題 1_〜 p.101 _例題 9