微分積分学2
ベクトル場の演習
桂田 祐史
2006年11月16日 出題, 12月7日
問 (1) R3 内の C2 級の任意のベクトル場 f に対して、div(rotf) = 0 を示せ。(2) f(x, y, z) :=
p 1
x2+y2+z2 とするとき、gradf,4f を求めよ。
(1) (まずはrot の定義を復習) f = (f1, f2, f3)T とするとき、
rotf = det
∂x∂1 f1 e1
∂x∂2 f2 e2
∂x∂3 f3 e3
=
∂f3
∂x2 −∂x∂f23
∂f1
∂x3 −∂x∂f3
1
∂f2
∂x1 −∂x∂f1
2
.
(続いてdiv の定義を復習) 一方、g= (g1, g2, g2)T とするとき、
divg= ∂g1
∂x1 + ∂g2
∂x2 + ∂g3
∂x3. g= rotf とすると、
div(rotf) = divg= ∂
∂x1 µ∂f3
∂x2 − ∂f2
∂x3
¶ + ∂
∂x2 µ∂f1
∂x3 − ∂f3
∂x1
¶ + ∂
∂x3 µ∂f2
∂x1 − ∂f1
∂x2
¶
= ∂2f3
∂x1∂x2 − ∂2f2
∂x1∂x3 + ∂2f1
∂x2∂x3 − ∂2f3
∂x2∂x1 + ∂2f2
∂x3∂x1 − ∂2f1
∂x3∂x2
=
µ ∂2f3
∂x1∂x2 − ∂2f3
∂x2∂x1
¶ +
µ
− ∂2f2
∂x1∂x3 + ∂2f2
∂x3∂x1
¶ +
µ ∂2f1
∂x2∂x3 − ∂2f1
∂x3∂x2
¶ .
f がC2 級であるから、2階導関数は偏微分の順序によらないので、カッコ内はすべて 0 である。
div(rotf) = 0 + 0 + 0 = 0.
(2) f(x, y, z) = (x2+y2+z2)−1/2 であるから、
∂f
∂x =−1
2(x2+y2+z2)−3/2· ∂
∂x
¡x2+y2+y2¢
= −x
(x2+y2+z2)3/2.
∂f
∂y, ∂f
∂z についても同様なので、
gradf = µ∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
¶T
= −1
(x2+y2+z2)3/2
x y z
.
一方、
∂2f
∂x2 = ∂
∂x
∂f
∂x = ∂
∂x
³
−x¡
x2+y2+z2¢−3/2´
=−1·¡
x2+y2+z2¢−3/2
−x·−3 2
¡x2+y2+z2¢−5/2
·2x
=¡
x2+y2+z2¢−5/2£
−(x2+y2+z2) + 3x2¤
= 2x2−y2−z2 (x2+y2+z2)5/2. 同様にして
∂2f
∂y2 = 2y2−z2−x2
(x2+y2+z2)5/2, ∂2f
∂z2 = 2z2−x2−y2 (x2+y2+z2)5/2 であるから、
4f = ∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2 +∂2f
∂z2 = 0.
なお、本質的におなじことだが、r = (x2 +y2 +z2)1/2 とおくと、rx = x/r となることを用いて、
f = 1/r からfx =−x/r3,fxx = 3x2/r5−1/r3 と進めると、コンパクトに書けて良いかもしれない。
1 おまけ : 曲線の弧長の計算演習
曲線の接線等について、「基礎数学IV・微分方程式テキスト」のp.111に問題がちょこっと載ってい たりします。ところで曲線の弧長については、例も問題も載せるのを忘れました。罪滅ぼしに載せてお きます。(もっとも、期末試験のテーマからは少しずれるので、そういう問題を出すことはしません。) 1. 次の曲線の長さを求めよ。
(1) a >0とするとき、r= (acost, asint) (0≤t≤2π) (2) a >0とするとき、r=
³ t,a
2
¡et/a+e−t/a¢´
(t1 ≤t≤t2) (3) r= (cost,sint, t) (0≤t≤1)
(4) r= (cos 2t,sin 2t,3t) (1≤t≤3) (5) r=¡
e3t, e−3t,3√ 2t¢
(0≤t≤1/3) (6) r= (t,logt) (1
2 ≤t≤2) (7) r= (t,log cost) (0≤t≤ π
3) (8) r=¡
t,log(1−t2)¢
(0≤t≤ 3 4) (9) r= (t,cosht) (−1≤t≤1) (10) r=¡
etcost, etsint¢
(0≤t≤2)
解答 (1) 2πa (2)a µ
sinht2
a −sinht1 a
¶
(3)√
2 (4) 2√
13 (5)e−1/e (6)
√5 2 +log
à 3 +√
5 2
!
(7) log¡ 2 +√
3¢
(8)−3
4 + log 7 (9) 2 sinh 1 (10)√
2(e2−1) 2
2. a >0とするとき、曲線 y=¡
a2/3−x2/3¢3/2
(0≤x≤a) の長さを求めよ。
解答 3 2a
3
