問題

問題

問1

半径がa である２枚の薄い円盤状電極を、真空中で間隔 d (¿ a) を開けて平行に対置 したコンデンサーについて考える。以下、コンデンサーに電荷が蓄えられている場合、電 場は両電極間（コンデンサー内部）にしか無く一様で、その方向は電極に垂直であるとす る。また、真空の誘電率と透磁率を、それぞれε0,µ0 とする。

まず、コンデンサーの上部電極と下部電極に、それぞれ一定電荷 +Q₀（Q₀ ≥ 0）と

−Q0 が蓄えられている状態（状態 A）を考える。このときのコンデンサー内部の電場の 大きさをE とする。

1-1. ガウスの法則を用いてE とQ₀ の関係を導け。ただし、積分する面を図示し、その 図に基づいて導出過程を記せ。

(解)ある半径r(r¿a)をとり、その微小変位r+drとrで囲まれた面積を dSとす ると、

dS = 2πrdr

∫

E·ndS

=

∫

0

ε₀E·2πrdr これを解くと

ε0πr²E =Q0

が求まる。

1-2. 図１のように、矢印付きの破線で示したコンデンサー内部の経路（本紙面上で左上 がりの直線経路）に沿って、微小電荷 ∆q を下部電極のK 点から上部電極のL 点まで、

ゆっくりと運んだとする。このとき必要な仕事X を、仕事の定義にしたがって線積分に より求め、その結果をE の関数として書け。

(解)KからLまでの経路rとする。

X =

∫

c

∆qE·dr

=

∫

c

∆q(E_xdx+E_ydy) 1

= ∆qEd

1-3. 1-1、1-2 の結果を踏まえて、両電極に電荷が全く無い状態から、状態A を実現する ために必要な仕事W をQ0、a、d、ε0 だけの関数として求めよ。さらに、この仕事W が 電場のエネルギーとしてコンデンサー内部の空間に蓄えられるとしたとき、単位体積あた りの電場のエネルギーw をE の関数として書け。

(解) 1-2より、

X = ∆qEd

∆q =dqのとき、X =dW よって、dW =Ed·dq 電荷がq(¿0)たまった時の電場を

E(q) = q

ε0πa^{2  とすると、}

dW = d ε₀πa²qdq

∫

dW =

∫ d

ε₀πa²qdq よって、W = 1

2 · Q²d ε₀πa² コンデンサー内部の体積をVとすると

V =πa²·dより w= 1

2 Q πa²E

= 1 2ε0E²

1-4. 状態A において、上部電極の単位面積あたりに働いている力の大きさF をE の関 数として導け。なお、導出の際、上部電極を上方に微小距離∆d だけ仮想変位するときに 必要な仕事を考慮せよ。

2

(解) 以下では、円盤の面積全体に働く力をF⁰ とおく。

上部電極を上に∆dだけ動かした事によるエネルギーの増加を∆Uとすると、

F⁰∆d= ∆U (1)

コンデンサーの静電エネルギーは極電間の電位差をVとして、容量をCとすると、

U = 1

2QV = 1 2CQ²₀ であり、仮想変位の間はQ0は一定だから

∆U = Q²₀ 2 · 1

∆C = Q²₀ 2 · ∆d

ε0S       

ただし、C = d

ε0S^であり、S =πa²である これを(1)に代入して

F⁰ =− Q²₀ 2ε0S

=−1 2Q₀E よって、単位面積あたりに働く力Fは

F =−Q0E

2πa² =−1 2ε0E²

次に、状態A にあるコンデンサーの両電極間を、時刻t = 0 で抵抗R（コンデンサー の外部にある）を介して繋いだ場合を考える。なお、任意の時刻t (≥0) におけるコンデ ンサー内部の電場は、その時に電極にある電荷±Q(t) だけで決まるとする。

1-5. 上部電極の電荷の時間変化Q(t) (t≥0) を決める微分方程式をたて、その解を求め よ。なお、コンデンサーの静電容量はC とすること。

(解) 時刻tで流れる電流をI(t)とすると RI+ 1

CQ = 0 I = dQ

dt ^を用いてRで割ると dQ

dt + 1

CRQ= 0 3

Q(t) =Aexp(λt)と仮定すると Aλexp(λt) =− 1

CR ·Aexp(λt) λ=− 1

CR

Q(0) =Q₀より、Q(t) =Q₀exp(− t CR)

1-6. コンデンサー内部の電場が時間変化するために生ずる磁束密度について考える。図 １に示すように、コンデンサーの中心軸から距離r (≤ a) の点P における磁束密度の大 きさB(r,t) をQ(t) の関数として求めよ。

(解)

rotB µ0

=I + ∂D

∂t (ただし、D =ε₀Eである。) E= Q(t)

ε0πa² I = 0を代入して rotB= µ₀

πa²

∂Q(t)

∂t

= µ0

πa² · {− 1

CRQ0exp(− t CR)}

∫

c

BdS =

∫

s

−µ₀Q(t) πa²CR ·ndS B·Lπr= µ₀Q(t)

πa²CR ·πr² B=− µ0Q(t)

2πa²CR ·r

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