応用確率論学期末演習問題
(平成17年度後期)
1. 次の分布に従う確率変数Xの特性関数ϕX(t)，期待値E[X]および分散Var[X]を求めよ(計 算方法も述べよ)．
(1) X∼B(5,13) (2)X ∼Ge(34) (3)X∼Po(3) (4) X∼Ex(5) (5)X ∼Γ(ν,2) (6)X∼N(−1,4)
2. あるバス停にA系統のバスが平均5分おきに，B系統のバスが平均7分おきに来るという．
このバス停に時刻tまでに来たA系統のバスの台数をNA(t)，B系統のバスの台数をNB(t) と表す．前のバスの到着，他の系統のバスの到着とは全く無関係にバスが到着するとして以 下の問に答えよ．
(1)P(
NA(t) =k)，P(
NB(t) =k)を求めよ．
(2)期待値E[NA(t)]，E[NB(t)]を求めよ．
(3) A系統もしくはB系統のバス時刻tまでに現れた台数をN(t) とする．P(
N(t) =k)を 求めよ．
(4)上で定まるポアソン過程N(t)の生起率はいくらか．
(5) A系統もしくはB系統のバスはおよそ何分おきに来るといえるか．
3. あるホームページにプロバイダAを通じて平均9分おきに，プロバイダBを通じて平均12 分おきにアクセスがあるという．このホームページに時刻tまでにプロバイダAを通じてな されたアクセスの回数をNA(t)，プロバイダBを通じてなされたアクセスの回数をNB(t)と 表す．以前のアクセス，他のプロバイダ経由のアクセスとは全く無関係にアクセスがなされ るものとして以下の問に答えよ．
(1)P(
NA(t) =k)，P(
NB(t) =k)を求めよ．
(2)期待値E[NA(t)]，E[NB(t)]を求めよ．
(3) プロバイダAもしくはプロバイダBを通じて時刻tまでになされたアクセスの回数を N(t)とする．P(
N(t) =k)を求めよ．
(4)上で定まるポアソン過程N(t)の生起率はいくらか．
(5)プロバイダAもしくはプロバイダBを通じてなされるアクセスはおよそ何分おきにある といえるか．
4. ある機械の故障率λ(t)は次の式で与えられるという．
λ(t) =
5−4t if 0≤t≤1
1 if 1≤t≤3
2t−5 if 3≤t
この機械の時刻tまでの故障回数をN(t)とおく．以下の問に答えよ．
(1)m(t) =∫t
0λ(s)dsとする．このときt≥3においてm(t)を求めよ．
(2)pn(t) =P(N(t) =n)の満たす微分方程式を与えよ．(λ(t)を含む形でよい．) (3)P(N(t) =n)をm(t)を用いて表せ．
(4)E[N(t)]をm(t)を用いて表せ．
(5)この機械の購入費用を10，単位時間当たりの運転費用を1，一回の修理費用を2とする
1
とき，時刻tまでの平均経費C(t)をm(t)を用いて表せ．
(6)この機械を更新する時期の目安をC(t)を用いて求めよ．
5. ある機械の故障率λ(t)は次の式で与えられるという．
λ(t) =
8−3t if 0≤t≤2
2 if 2≤t≤5
t−3 if 5≤t
この機械の時刻tまでの故障回数をN(t)とおく．以下の問に答えよ．
(1)m(t) =∫t
0λ(s)dsとする．このときt≥5においてm(t)を求めよ．
(2)pn(t) =P(N(t) =n)の満たす微分方程式を与えよ．(λ(t)を含む形でよい．) (3)P(N(t) =n)をm(t)を用いて表せ．
(4)E[N(t)]をm(t)を用いて表せ．
(5)この機械の購入費用を10，単位時間当たりの運転費用を1，一回の修理費用を2とする とき，時刻tまでの平均経費C(t)をm(t)を用いて表せ．
(6)この機械を更新する時期の目安をC(t)を用いて求めよ．
6. サービス窓口がただ一つの銀行を考える．時刻tにおける行列している客の数(サービスを 受けている客も含む)をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn = lim
t→∞pn(t)とおく．客は平 均7分おきに来店し，サービスは平均2分で終了するという．客の来店，サービスの終了は 行列の長さに無関係に起こるとする．このとき以下の問に答えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
(4)到着と同時にサービスを受けられる確率はいくらか．
(5)行列をしている人の数の期待値を求めよ．
(6)来店してからサービスを受けて店を出るまでの平均時間はいくらか．
7. あるコンピュータにジョブが投入され処理が終了する過程を考える．コンピュータは投入され たジョブを投入された順番に一つずつ処理していくものとする．時刻tにおける処理を待って いるジョブの数(処理中のジョブも含む)をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn= lim
t→∞pn(t) とおく．ジョブは平均6分おきに投入され，処理は平均4分で終了するという．ジョブの投 入，処理の終了はたまったジョブの多さに無関係しないものとする．このとき以下の問に答 えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
(4)ジョブ投入と同時に処理が始まる確率はいくらか．
(5)処理中のジョブを除いた処理を待っているジョブの数の期待値を求めよ．
(6)ジョブを投入後処理が終了するまでの期待値時間はいくらか．
2
8. サービス窓口が3この銀行を考える．時刻tにおける行列している客の数(サービスを受け ている客も含む)をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn = lim
t→∞pn(t)とおく．客は平均3 分おきに来店し，サービスは平均6分で終了するという．客の来店，サービスの終了は行列 の長さに無関係に起こるとする．このとき以下の問に答えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
(4)到着と同時にサービスを受けられる確率はいくらか．
(5)サービスを受けている客を除いた行列の長さの期待値を求めよ．
(6)店内にいる客の数の期待値を求めよ．
9. コンピュータ4台で運営しているシステムを考える．それぞれのコンピュータは投入された ジョブを投入された順番に一つずつ処理していくものとする．時刻tにおける処理を待ってい るジョブの数(処理中のジョブも含む)をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn= lim
t→∞pn(t) とおく．ジョブは平均3分おきに投入され，処理は平均8分で終了するという．ジョブの投 入，処理の終了はたまったジョブの多さに無関係しないものとする．このとき以下の問に答 えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
(4)ジョブ投入と同時に処理が始まる確率はいくらか．
(5)処理中のジョブを除いた処理を待っているジョブの数の期待値を求めよ．
(6)システムに投入されているジョブの数の期待値を求めよ．
10. ある銀行は窓口が2つしかなく，窓口がともにサービス中のときは客を入店させない．来客 は平均4分ごとにあり，サービスは平均5分で終わるという．このとき，店内に居る客の数 をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn= lim
t→∞pnとおく．以下の問いに答えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
(4)来店したときに，入店できない確率はいくらか．
11. あるホームページからは一度に高々3人しかダウンロードができない．ダウンロードのため のアクセスは平均8分ごとにあり，ダウンロードに要する平均時間は12分であるという．こ のとき，ダウンロードをしている人の数をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn= lim
t→∞pn
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
3
(4)ダウンロードのためのアクセスができない確率はいくらか．
12. 総数5台のコンピュータが一人の修理エンジニアの下で稼働中とする．故障は平均5時間お きにおき，修理は平均2時間で終了するという．故障の発生は修理とは全く無関係とする．
故障中のコンピュータの台数をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn = lim
t→∞pn(t)とおく．
このとき以下の問に答えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
(4)コンピュータが一台も故障していない確率はいくらか．
(5)一台のコンピュータも稼働していない確率はいくらか．
13. 総数4台の工作機械が一人の保守エンジニアの下で稼働中とする．故障は平均2日おきにお き，修理は平均1日で終了するという．故障の発生は修理とは全く無関係とする．故障中の コンピュータの台数をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)，qn= lim
t→∞pn(t)とおく．このとき 以下の問に答えよ．
(1)p0(t), p1(t)の間の微分を含む関係式，およびn≥1の場合のpn(t), pn+1(t), pn−1(t)の間 の微分を含む関係式を求めよ．
(2)q0, q1の間の関係式，およびn≥1の場合のqn, qn+1, qn−1の満たす関係式を求めよ．
(3)qnを求めよ．
(4)工作機械が一台も故障していない確率はいくらか．
(5)一台の工作機械も稼働していない確率はいくらか．
14. 1台の現用機と3台の予備機からなるコンピュータシステムを考える．現用機の故障率は1/3 であり，待機中の予備機の故障率は1/4であるという．故障の修理は行わない．時刻tにお いて故障中のコンピュータの台数をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)とおく．以下の問い に答えよ．
(1)pn(t)の満たす方程式を書け．
(2)上の方程式を解き，pn(t)を求めよ．
(3)時刻tにすべてのコンピュータが故障している確率はいくらか．
15. 1台の現用機と2台の予備機からなるコンピュータシステムを考える．現用機の故障率は5 であり，待機中の予備機の故障率は3であるという．故障の修理は行わない．時刻tにおい て故障中のコンピュータの台数をN(t)とし，pn(t) =P(N(t) =n)とおく．以下の問いに 答えよ．
(1)pn(t)の満たす方程式を書け．
(2)上の方程式を解き，pn(t)を求めよ．
(3)時刻tにすべてのコンピュータが故障している確率はいくらか．
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