準周期タイル張りの幾何学と 準結晶の構造

準周期タイル張りの幾何学と 準結晶の構造

東北大多元研 藤田伸尚

準結晶の構造：

クラスタ、局所的原子配列 非結晶学的対称性、準周期

構造形成の物理、物質設計、物理現象

背景

（大域的特性）

（局所的特性）

◎

系統的理解の必要性

タイリング

シェル構造

準結晶の構造 ↔ タイリング

結晶）

準結晶）

一定の原子修飾を 持つ単一の単位胞

の周期的配列

一定の原子修飾を 持つ複数のタイル によるタイリング

M. Mihalkovic et al., Phys. Rev. B 65, 104205 (2002) Al

Ni Co

講演の骨子

1. 準周期タイリングの幾何学

2. 準周期タイリングの分類法

3. 準周期タイリングの作成法

4. フェイゾン揺らぎ

準結晶

定義 : ある構造が次の二つの条件を満たすと き、これを「準結晶」と呼ぶ。

1.

準周期的な長距離秩序を有する

2.

結晶学的に許されない点対称性を有する 例）

5, 7, 8, 9, 10, 11, 12

回対称性

1. 準周期タイリングの幾何学

E. Abe, Y. Yan and S.J. Pennycook, Nat. Mat. 3, 759 (2004).

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

8

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

八回対称の場合

e

₀

e

₂

√

√√

√₂

1 1. 準周期タイリングの幾何学

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

8

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

八回対称の場合

e

₀

e

₂

√

√√

√₂

1

e

₁

e

₃

1. 準周期タイリングの幾何学

十回対称の場合

1 τ

e

₀₀₀₀

e

₁₁₁₁

e

₂₂₂₂

e

₃₃₃₃

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

10

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

2 5 1 + τ =

(

黄金比

)

1. 準周期タイリングの幾何学

十二回対称の場合

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

12

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

e

₀

e

₁

e

₂

e

_{3 √√√√3}

1 1. 準周期タイリングの幾何学

15C₂ 20C₃

12C₅ 12C₅²

非結晶学的点対称性 (3 次元 )

e

₀

e

₁

e

₃

e

₂

e

₄

e

₅

I

_h

}

| {

: =

_{0 0}

+

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}

+

_{4 4}

+

_{5 5 j}

∈ Ζ

P

n e n e n e n e n e n e n

M

Shechtman et al., Phys.Rev.Lett. 53, 1951 (1984)

(d = 3, r = 6)

1. 準周期タイリングの幾何学

Z 加群

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

8

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

10

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

12

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

: =

_{0 0}

+

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}

+

_{4 4}

+

_{5 5 j}

∈ Ζ

P

n e n e n e n e n e n e n

M

2 1 + ρ =

τ ρ =

3 2 + ρ =

τ

3

ρ =

ρ : Pisot

単位

} ,

| {

: ]

[ Z

Z ρ = m ρ + n m n ∈

Z

加群＝整数環

Z[ ρ ]

^上の加群

y x

y x M

y x

M x

M x

Z

α α

α α ρ

α

δ

δ δ

+

= +

∈ ⇒

∈

∈ ⇒

∀

∈

) (

,

], [

δ

ρ

δ

ρ ρ

M M

Z

=

∴

∈

−¹

[ ]

(Z加群のスケール不変性)

1. 準周期タイリングの幾何学

高次元による表現

（基底ベクトル）

2π/5 e₀ e1

e2

e3

e4

2π/5 ^⊥

e0

⊥

e3

⊥

e1

⊥

e4 ^⊥

e2

_//

d

次元における

r

階の

Z

加群は、

r

次元 の周期格子を

d

次元へ投影したもの

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

10

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

(

十方格子

, r = 4)

_εεεε

2

e₀ e₁ e₂

e₃

e₄

εεεε₀ εεεε₁ εεεε₃

εεεε₄

5 ) sin 4 5 ,

(cos 4

5 ) sin 2 5 ,

(cos 2 ) , (

j j

j j

j j

j j

π π

π π

=

=

=

⊥

⊥

e e

e εεεε

_j

e

}

| {

:

_{0 1 2 3}

10

= + + + ∈ Ζ

Λ n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n

_j

1. 準周期タイリングの幾何学

準周期格子の構成

～切断射影法～

直交 補空

間 直交

補空 間 直交

補空 間 直交

補空 間

┴┴┴┴

物理空間 物理空間 物理空間 物理空間

^//

a₁ a₂

 

 



= 

 

 



 −

=

1 1 ,

, 1 1

2 1

τ

τ a

a r r

1. 準周期タイリングの幾何学

準周期格子の構成

～切断射影法～

窓 窓 窓 窓

Fibonacci 格子 L S

L

L S

L S

L

L S L

L

S

L

L

S L S 直交

補空 間 直交

補空 間 直交

補空 間 直交

補空 間

┴┴┴┴

物理空間 物理空間 物理空間 物理空間

^//

a₁ a₂

 

 



= 

 

 



 −

=

1 1 ,

, 1 1

2 1

τ

τ a

a r r

1. 準周期タイリングの幾何学

十回対称タイリング

5

角形

Penrose

タイリング

4

次元周期格子の

2

次元への直交射影

窓 窓 窓 窓

R. Penrose, Bull. Inst. Math. Appl. 10 (1974) 266.

1. 準周期タイリングの幾何学

分類の枠組み

次元性 ブラベ類

相互局所導出類 /MLD 類 局所同型類 /LI 類

◎

◎ ◎

◎

2. 準周期タイリングの分類法

ブラベ類（六種類）

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

8

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

10

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

12

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

: =

_{0 0}

+

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}

+

_{4 4}

+

_{5 5 j}

∈ Ζ

P

n e n e n e n e n e n e n

M

2 1 + ρ =

τ ρ =

3 2 + ρ =

τ

3

ρ =

Z 加群→高次元周期格子

_{ρ : Pisot単位}

2. 準周期タイリングの分類法

ブラベ類（六種類）

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

8

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

10

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

12

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

: =

_{0 0}

+

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}

+

_{4 4}

+

_{5 5 j}

∈ Ζ

P

n e n e n e n e n e n e n

M

2 1 + ρ =

τ ρ =

3 2 + ρ =

τ

3

ρ =

Z 加群→高次元周期格子

}

| {

:

_{0 1 2 3}

10

= + + + ∈ Ζ

Λ n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n

_j

}

| {

:

_{0 1 2 3}

12

= + + + ∈ Ζ

Λ n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n

_j

}

| {

:

_{0 1 2 3}

8

= + + + ∈ Ζ

Λ n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n

_j

}

| {

: =

₀

+

₁

+

₂

+

₃

+

₄

+

₅

∈ Ζ

Λ

_Ρ

n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n εεεε

₄

n εεεε

₅

n

_j

ρ : Pisot単位

2. 準周期タイリングの分類法

ブラベ類（六種類）

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

8

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

10

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

:

_{0 0 1 1 2 2 3 3}

12

= n e + n e + n e + n e n

_j

∈ Ζ M

}

| {

: =

_{0 0}

+

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}

+

_{4 4}

+

_{5 5 j}

∈ Ζ

P

n e n e n e n e n e n e n

M

2 1 + ρ =

τ ρ =

3 2 + ρ =

τ

3

ρ =

Z 加群→高次元周期格子

}

| {

:

_{0 1 2 3}

10

= + + + ∈ Ζ

Λ n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n

_j

}

| {

:

_{0 1 2 3}

12

= + + + ∈ Ζ

Λ n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n

_j

}

| {

:

_{0 1 2 3}

8

= + + + ∈ Ζ

Λ n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n

_j

}

| {

: =

₀

+

₁

+

₂

+

₃

+

₄

+

₅

∈ Ζ

Λ

_Ρ

n εεεε

₀

n εεεε

₁

n εεεε

₂

n εεεε

₃

n εεεε

₄

n εεεε

₅

n

_j

} ,

2 mod 0

| {

:

_{0 1 2 3 4 5}

F

Ζ

∈

= + +

+ +

+

= Λ

∑

j

j

j

n

n

n n

n n

n

n εεεε

₀

εεεε

₁

εεεε

₂

εεεε

₃

εεεε

₄

εεεε

₅

} ,

2 mod )

111111 (

or ) 000000 (

) (

| {

:

_{0 1 2 3 4 5}

I

Ζ

∈

=

+ +

+ +

+

= Λ

j

j

n

n

n n

n n

n

n εεεε

₀

εεεε

₁

εεεε

₂

εεεε

₃

εεεε

₄

εεεε

₅

τ ρ =

τ ρ =

ρ : Pisot単位

2. 準周期タイリングの分類法

分類の枠組み

次元性 ブラベ類

相互局所導出類 /MLD 類 局所同型類 /LI 類

◎

◎

◎

◎

2. 準周期タイリングの分類法

ＭＬＤ類（無限種類）

二つのタイリングＸ，Ｙが互いに局所的変換 規則で移り変われるとき、タイリングＸとＹ は同値である(Ｘ～Ｙ)と言う

Ｘ Ｘ

Ｘ Ｘ Ｙ Ｙ Ｙ Ｙ

M. Baake et al., J. Phys. A: Math. Gen. 24, 4637 (1991).

2. 準周期タイリングの分類法

5

角形

Penrose(P1)

～

HBS

2. 準周期タイリングの分類法

HBS

～菱形

Penrose(P3)

2. 準周期タイリングの分類法

HBS

～菱形

Penrose(P3)

2. 準周期タイリングの分類法

菱形

Penrose(P3)

2. 準周期タイリングの分類法

菱形

Penrose

～

T

_A4^R

2. 準周期タイリングの分類法

T

_A4^R

2. 準周期タイリングの分類法

P1 P3

HBS T

^A₄^R

- Penrose MLD class -

タイルの形状、

種類（数）、

大きさに一貫 性はない

2. 準周期タイリングの分類法

準周期タイリングの自己相似性

R. Penrose, Bull. Inst. Math. Appl. 10 (1974) 266.

Z

加群のスケール 不変性を反映した

ρ

^{n倍の自己相似性}

δ

ρ M

δ

= M

3. 準周期タイリングの作成法

準周期タイリングの自己相似性

R. Penrose, Bull. Inst. Math. Appl. 10 (1974) 266.

Z

加群のスケール 不変性を反映した

ρ

^{n倍の自己相似性}

δ

ρ M

δ

= M

3. 準周期タイリングの作成法

Point Inflation Rule

(

準周期的な離散点集合を構成する一般的手法

) (1)

離散点集合離散点集合離散点集合離散点集合（（（⊂（⊂⊂⊂

M

_δδδδ））を））ををを比率比率比率比率

σ σ σ σ ==== ρρρρ

^{n でででで}

拡大 拡大 拡大

拡大するするするする

( ρρρρ

^{：：Pisot単位：： 単位単位単位}

)

(2)

各頂点各頂点各頂点各頂点ににに基本に基本基本モチーフ基本モチーフモチーフモチーフ

S

（（（（⊂⊂⊂⊂

M

_δδδδ））））をををを 配置

配置 配置

配置するするするする

K. Niizeki, J. Phys. A: Math. Theor. 41, 175208 (2008)

(1) (2)

3. 準周期タイリングの作成法

Generalized point substitution processes

(

準周期タイリングを構成する一般的手法

)

(2)

各頂点各頂点に各頂点各頂点ににに基本基本基本基本モチーフモチーフモチーフモチーフ

S

（（⊂（（⊂⊂⊂

M

_δδδδ））））をををを 配置

配置 配置

配置するするするする

(1)

タイリングタイリング（タイリングタイリング（（頂点集合（頂点集合頂点集合⊂頂点集合⊂⊂⊂

M

_δδδδ ））を））ををを比率比率比率比率

σ σ

σ σ ==== ρρρρ

^{nでででで拡大拡大拡大する拡大するするする}

( ρρρρ

^{：：Pisot 単位：： 単位単位単位}

)

(3)

上記上記上記上記(1),(2)によりによりにより生成により生成生成生成したしたした点集合した点集合点集合点集合からからからから タイル

タイルタイル

タイルののの頂点の頂点頂点として頂点としてとしてとして不要不要不要な不要ななな点点点点をををを消去消去消去消去

（（（

（局所的規則局所的規則局所的規則局所的規則によるによるによるによる））））

N. Fujita, Acta Cryst. A 65, 342 (2009) 3. 準周期タイリングの作成法

タイリングの作成例

R P H

3. 準周期タイリングの作成法

(S1)

拡大相似変換

(比率

σ = τ

²

≃ 2.618

⁾

R P H

タイリングの作成例

3. 準周期タイリングの作成法

(S1)

拡大相似変換

(比率

σ = τ

²

≃ 2.618

⁾

(S2)

基本点集合モチーフ

S

を全頂点に配置

S

^ττττ

R P H

タイリングの作成例

3. 準周期タイリングの作成法

(S1)

拡大相似変換

(比率

σ = τ

²

≃ 2.618

⁾

(S2)

基本点集合モチーフ

S

を全頂点に配置

S

^ττττ

R P H

タイリングの作成例

3. 準周期タイリングの作成法

(S3)

過剰な点を削除

(S1)

拡大相似変換

(比率

σ = τ

²

≃ 2.618

⁾

(S2)

基本点集合モチーフ

S

を全頂点に配置

S

^ττττ

R P H

タイリングの作成例

3. 準周期タイリングの作成法

(S3)

過剰な点を削除

(S1)

拡大相似変換

(比率

σ = τ

²

≃ 2.618

⁾

(S2)

基本点集合モチーフ

S

を全頂点に配置

S

^ττττ

R P H

タイリングの作成例

3. 準周期タイリングの作成法

(S3)

過剰な点を削除

(S1)

拡大相似変換

(比率

σ = τ

²

≃ 2.618

⁾

(S2)

基本点集合モチーフ

S

を全頂点に配置

S

^ττττ

R P H

タイリングの作成例

3. 準周期タイリングの作成法

RPH

タイリング

N. Fujita, Acta Cryst. A 65, 342 (2009)

1415

. 1

) ln(

) 3 ln(

) dim(

2

≅

=

∂ τ

W

von Koch 曲線曲線曲線曲線 フラクタル フラクタルフラクタル フラクタル次元次元次元次元

窓 窓窓 窓

3. 準周期タイリングの作成法

MLD class ② MLD class ③ MLD class ①

…

3. 準周期タイリングの作成法

MLD class ①

MLD class ③ MLD class ②

…

3. 準周期タイリングの作成法

MLD class ① MLD class ② MLD class ③

…

3. 準周期タイリングの作成法

① ② ③

本手法により、消去の自由度を選択する ことで、多様なタイリングを比較的自由 に作成することができるようになった

3. 準周期タイリングの作成法

フェイゾン揺らぎ

4. フェイゾン揺らぎ

フェイゾンフリップ

^（

Phason flip

）

十回対称準結晶

Al

₆₅

Cu

₂₀

Co

₁₅

電子顕微鏡像（

1123K

）～時間変化を追ったもの

K. Edagawa, K. Suzuki & S. Takeuchi, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 1674.

4. フェイゾン揺らぎ

決定論的

確率論的 準周期タイリング

ランダムタイリング

4. フェイゾン揺らぎ

1. 準周期タイリングの幾何学 2. 準周期タイリングの分類法 3. 準周期タイリングの作成法 4. フェイゾン揺らぎ

おわり