確率変数の極限
Le 16 Décembre
戸瀬 信之
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.1/6
平均 2 乗収束
¯
½
¾
確率変数の列、
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.2/6
平均 2 乗収束
¯
½
¾
確率変数の列、 確率変数
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.2/6
平均 2 乗収束
¯
½
¾
確率変数の列、 確率変数
¯
（平均
2
乗収束）確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.2/6
平均 2 乗収束
¯
½
¾
確率変数の列、 確率変数
¯
（平均
2
乗収束）
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.2/6
平均 2 乗収束
¯
½
¾
確率変数の列、 確率変数
¯
（平均
2
乗収束）
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.2/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
½
½
½
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
½
½
½
½
½
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
½
½
½
½
½
½
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
½
½
½
½
½
½
¯
½
¾
½
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
½
½
½
½
½
½
¯
½
¾
½
¾
½
¾
½
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
½
½
½
½
½
½
¯
½
¾
½
¾
½
¾
½
¾
¾
½
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
大数の平均 2 乗法則
¯
½
¾
独立な確率変数の列
¯
,
¾¯
½
½
平均
2
乗収束¯ 証明 ½
½
½
½
½
½
½
¯
½
¾
½
¾
½
¾
½
¾
¾
½
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.3/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
全ての に対して
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
全ての に対して
½
¾
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
全ての に対して
½
¾
¾
¯ 証明
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
全ての に対して
½
¾
¾
¯ 証明
¾
¾
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
全ての に対して
½
¾
¾
¯ 証明
¾
¾
¾
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
全ての に対して
½
¾
¾
¯ 証明
¾
¾
¾
¾
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
Chebyshev’s inequality
¯ 確率変数、 ¾
全ての に対して
½
¾
¾
¯ 証明
¾
¾
¾
¾
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.4/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
（確率収束）
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
（確率収束）
¯ 定理確率変数 ½ ¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
（確率収束）
¯ 定理確率変数 ½ ¾
平均
2
乗収束確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
（確率収束）
¯ 定理確率変数 ½ ¾
平均
2
乗収束 確率収束確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
（確率収束）
¯ 定理確率変数 ½ ¾
平均
2
乗収束 確率収束¯ 証明 に対して
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
確率収束
¯
½
¾
確率変数の列
¯ 任意の に対して
（確率収束）
¯ 定理確率変数 ½ ¾
平均
2
乗収束 確率収束¯ 証明 に対して
½
¾
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.5/6
大数の弱法則
¯
½
¾
独立な確率変数
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.6/6
大数の弱法則
¯
½
¾
独立な確率変数
¯
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.6/6
大数の弱法則
¯
½
¾
独立な確率変数
¯
¾
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.6/6
大数の弱法則
¯
½
¾
独立な確率変数
¯
¾
½
確率収束
確率変数の極限Le 16 D´ecembre – p.6/6
