算数科の学習指導における構成主義的方法

(1)

算数科の学響捲導にお謬る構成主義約方法 ^認

通学行良博

本野田和金丹大

（数学科教欝）

（羅霧小・算数科教脅）

（購属小・算数科教育）

至序

逓隼，数学教育にお酵る構成主義についての議論が活発になってきている。我が蟹では，すでに

率妹一栄彫毒董P儀蓬￡（碧sぎ。｝生。茎ogy o｛勤重蓑毛釜ε獺農も一

発sE（鼓建a慧。蓑〉の議論の紹介と分観をそ了い，ノ罫 1雛童孝一2…が発生的語識論・数学の哲学・科学哲学との聞達を検討している。また，解藤説朗劔…は，

数学の哲学の中の直観主義での構成的方法について，その数学教官学的意義を論ビている。

本稿は，これらの論考を念頭に置きながら，

構成主義的方法が算数科の学習捲導の中でどのような役麟を果たすのか，言い換えれば．構成主義的方法を学習搭導の申に取り入れることの意義について，次の3点を通じて検討を試みようとする

ものである。

第iに，構銭主義およびその方法についての若干の整蓬をすること。

第2に，構成主義的方法を授業に皺む入れることの意義について．特に覆念形成場面についての意義を探ること。

第3に，2っの事溺，すなわち，小学校第3学隼の霞の指導と小学校第5学年の藍多角影の指導における鞍念形成の授業場藏を，構成主義的方法との経連で検討すること。

嚢算数・数学教育における構成主義繕構成主義とは梅か

構成主義とは縁かについて，小出は，

それは，極端に言えば，認識主体が難識をいかにして獲得するか，ということに絶する一つの認識論的な見解であると苫えるであろう評

と述べているが，このことは，知識を獲得するということ，いいかえれば，獲i解というものがいかにして成り立つか，鍵解とは韓か，ということに

関する算数・数学教官■しのひとつの見解として，

構絞主義があるということである。

さて，その構成主義は，騰沁＆tゼ1慮があげる，

次の基本療蓬によってとらえられている譜傍K照癌鰭e墨s鍍茎ve圭yc磁str瞭畷暮露魏CO9魏i鰭S蠣e蕊，醸登aSS宝掘y 艶C頓veδ玄ro灘膿ee齪重ro簸膿磁t．

（2） CO窪生重賞g t｛）茎｛鷺G犠r is農欝 a｛量＆茎）寵ve至｝rO−

cesst雛○蟹継重Z岳S籔フsex欝鉱主e盤麗玉聯r玉透；誌義Oes登ot醜covera嚢i豊海瞬蝕t，夢re−ex翻鷺gwor懇0畿s漉

t魏醗塗透○ξ膿奪麹蟹》W鍵．

これらを，小出は，便宜動，次の3つに訳す。

曝知識は認識主体によって能動的に構威されるものであって，環境から受動的に受け取られるものではない。

（欝知るよう1こなるということは，認識主体が霞らの経験糧≦犀を纏織銘する遜癒過琴呈である。

13／知るようになるということは，認識主体の心の外に独立して先在する毯界を発見するこ

とではない。『了…

というのも，Ki婚儀r童磁の基本原攣の轡は縫容的に2っのことを含んでいると考えられているから

である。

また，Kl始＆癒磁の墓本原遷の（類21のすべて

（いいかえれば，小出の／鎌21／3）のすべて）を繭鍵とする立場を「過激な権威主義」と呼んでおり，

また，基本原鍵の轡だけを繭堤とする立場を「穏健な構成主義」と呼んでいる譜

12／操偉主義から横議主義へ

構成主義の議論において践㌶畿が話題になるように，知識を構成的に獲霧する鰹においても操作的な活動が璽糧されているのであるが，それをあえて構成的活動としてとらえることのねらいは

(2)

塞櫨轟大学教畜実践醗究綻要第盤弩

｛薄であるのか。

翼潅Paによれば，算数科における意秣のとらえ方について，次の4っの立場があるという譜掛連合主義：意秣を麟激と反慈との結合

に求める。この立場ζま，茎｛詑（｝駕代1こおける℃銀建簸（墨歳eが代表醜である。

⑦ 構造主義：愚妹を教科の内的経連，構造の中に求める。この立場は，緯鎗〜鱒奪三代畢こおける8rOw糞e蕪の「意瞬諏の理霞灘が代表的である。

（霧操作主義：駿1や活動のような瑞象と，

それを表すための記号と，記号を嬉象に結びつ謬る（解釈する）主｛本があって，意味をその解綬の行動（操｛乍）に求める。

そして，セマンティックな悪辣と，操作の鷺の霞1連難藤こよるシンタクテイカルな意辣とを襲窮している。この立場慧欝4§

年代終わりから欝年代における翫鍵盤が代表的である。

儘構成主義：意味を，許ども離身が活堰しているシェーマ（心的活動〉の1二に求める。意秣とは．その子ども1こよって打ちたてられた瞬記一能記の縫孫であって，

そこでは．それらの所記も能記も子ども農身によって構成されたものと考えられている。この立場は賎ag就を基礎に，

遷在いくつかの思想が麗達してきているようである。醤盈Paは，アメ1タカの代表的構罎主義壽であるvo難G溢sers艶曇（及び破の欝欝年代の論文）をあげている。

そして，操作主義と構成主義との違いについて，

次のように述べている。

操作主義1ま，構成主義と広く講堂するところがある。それは，講1養とも，感覚一運動的活動に数学的知識の起源を求めているからである。しかしながら，i毒者において基本的に異なるのは認識論的な点であって，

記号とその鰐象，いわば所記と能記の存窪 1こ関することである。……操作主義の場合，

｝どもにとってみ婆ア琴ティは．子どもの心的な構成物の舛にあると考えられている。

このような，知識慧絶端的な蓼アl／ティ㊧

炭酸であるという考えを，構成主義では反韓する。……構戯主義者は，知識はそれぞ

鱈鱒隼質舞

れの子ども嚢身によって後難身の経験を基礎に築きあげられるものであると考えてい

操作的な活動をあえて構成的活動としてとらえ直し，また強讒しようとするのは，子どもの理解の心的プ脅セスを強讒したいがためであるσ子ども糞身が，農らの知識を韓ら構成していくのであるということを、強課したいがためであると考えられる。また，選1解とはそのようなものであるということなのである。

小出は，構成主義をP譲getの発生的認識論・

数学の哲学の「直観主義」・科学哲学との関連で論じているが，L鍵盤鍵盤1がそれらに簾えて認短心躍学について諱むていることからも分かるように，近年のこれら諸科学での理解への開心が影響

しているものと見ることができるであろう。

13）ヨ嘆解のi発農・再権成

ところで，知識が子ども霧身によってなされる内的賭銭活動によるものであるという主張は．科学哲学でいう「共約不可能牲」の縫題を横き起こす。L礫灘麟自身，次のような疑霧を礎鐵する。

はたしてコミュニケーションは滅薄立っのだろうか◎また，すべての言語及び機念は麟人的なものなのであろうか謹

このような「共釣不可能藝…」は2っの縫題を含んでいる。ひとつは，人は分かりあえるのかということであり，縫のひとつは，知識や礫解はいかに発展するのかということである。

これらに鰐する群学誓学の蜷の解答の試みは，

轡L陽一臨の『科学と馨常盤の文賑野や黒綺宏の蓼第三の科学観肇にゆずるとして，Lεr灘翻§

身は，

機念はその綾絹と誘一擾される。簾念は，

その意味を，その｛吏灘であるところの共有された鮭会的な解蕨から獲案号する。旛躍論及び羅念は実践に基づいており，それらの意鎌は綾羅から獲霧される評

というように，言語の愚妹をその「使灘」に求めるというw鏡g艦ste鍵の考えに負いっっ，社会的な使灘という考えを持ち込んで，その難点を避けようとしている。

これらのことは，実は，認知科学及び科学哲学が麗心をもつ「理解の文線敏存嫉」あるいは「愚考の文賑骸存性」を患い起させる。饑えぱ，佐絡

(3)

算数科の学習拳導における構成主義的方法 ²^r魯

騨は，このことについて，認簿硬究の立場から，

次のように讃明する。

ある雪明が「駕しい」か「正しくない」かをきめるとき，そのときの状溌や文賑ときりはなして，そのまま紅影式講1獲葺に灘てはめればよいとは穣らない。むしろ，当面の会話の流れや問題状溌の文賑が私たちにある種の繭鍵条件を当然のこととして飯定ぜしめており，そのような文謙的知識は，

いちいち需及しないし，いちいち意識しないでも懇、考が適窃に懲くようになっているのである。鰹

ただ，学習捲導の点からいうと，「会議の流れや問題斌溌の文賑」を擬書起こし，子どもが持っている理解の文賑を教縣が学習のねらいとする遷解の文賑に近付けていくことが，重要になってく

る。まさに，知識や理解はいかに発展するのかということである。そのために必要となることが，

子ども藝身が自らの蓬解の文賑を，学綴集懇という娃会的場のなかで，再購成していくための「活動」であり，子どもの鍵解の文賑に窮り込んでい

く「言葉」であり，また，子どもの獲i解の転換を求めていく野課題」なのであろうと患われる。

このようにして，構成主義的立場による錘解のとらえ方から，璽解の発展・再構成こそが重要な縷討部分になってくるし，それ故，学習搭導における重要なポイントになってくるであろう。

鶴構成的方法

錘解の発展・再構成という部分について，いわゆる機念形成にかかわる授業を念頭において述べてきたが，では，その綴念そのものはどのように

「構成」あるいは「定義」されていくのか。この点にかかわって，数学の哲学である「直観主義」

についての揮藤の「構成的方法」の藩究の一螺についてふれることにする。

まず，直観主義峯こお毒ナる構1戎的方法が学習蓄蓉導

への適応性を持つことについては，小出が，

Ler盤鎌の検討に基づきながら，直観主義と構成主義との次のような共通点を揚摘していることか

ら示駿される。鯉灘

その第iは，両者とも，機念形成において構成的方法が中心となっていることである。そして，

第2は，講者とも，聡実轡界の知識が先験的に存在するとは考えていないことである。ただ，露然

数のような「瞬藪なるもの」を直観主義が繭堤としている点は異．なると考えられよう。

さて，轡藤は，機念の「定義」について「定義盛は構成的でなければならない，つまり，定義にしたがってその対象を実際に構1浅し得るのでなければならない。灘

と述べたうえで，購成的婦象と構成的推論の特性について検討している。ここでは，その購1或的繋象の特性について撰絹するとしよう。

構成的癖象の特性の第一として，「簿単な蝿象を墓にして，次第に複雑な婦象を構成すること」を挙げることにする。そして，

この考えをいくらか拡大解殺して，「特殊な鰐象を墓にして，より一般的な鰐象を構成すること」という考えも含めることにしたい。……

第二の特性というのは，野蜷象（覆念）を定義するとき，その鰐象（機念）を実鰹に構成する手・続きが示されなければならない」

という要請である。・

第三の特盤は．「麟象の潜在的に実理可能な構成方法を示しうる」ことというのである。雛

伊藤は，これらの特性にあった指導事纒として，

それぞれ，小学校第5学奪の「三角形の角の大きさ」・「霧箱率♪「縁の藤穰」をあげているΦ これらは，いわゆる機念の5定義」にかかわる

離分についてであるが，これらの特性を，構成主義的理念み授業への導入におけるひとつの留意点

としてとらえていきたい。

さて，以上の私たちの綾討から，算数科の学習捲導における構成主義的方法の意義を，2っの点からとらえておくことができるであろう。

第iは，授業の展竸にかかわってである。授業の展雛において，子ども自身が自らの理解の文賑を再構成していくための「活動」を設定していく

こと，そのことによって，子どもの蓬解の発展・

転換を求めていくことの強調である。

第2は，織念の「定義」にかかわってである。

「定義」の鰹に，子ども自らが実燦にそれを購域できるようにしていく，あるいは，それが保護されるようにしていくことの強調である。

これら2つのレベルでの構成的活嚢について，

次に，小学校の葬鍵形」領域の授業縫を基に，異体的に述べてみたいo

(4)

2惑橿羅大学教脅実践瞬究紀要第鰺号

聾穣成主義的方法による授業の展麗霞形に関する基礎的な媛念は，どのようにして形成されていくのだろうか。このことについて，

「構成主義的方法」という立場から小学校第3学隼の弩弓と球」〔匠）授業（授業者：丹野学）と，ノ外学絞第5学犀の「難と蕉多角影」の授業（授業餐：

大穂懇博行）を基に異鯵的に験試することにしよ

う。

備矯と球達の授業

〈鰐象学駕＞撃駿元年度 3年茎続発童（男子欝名．女子鱒名，計鎗名）

① 授業の意灘

子どもたちはこれまでに，急霰や横本などを用いた異体的な操作活動を遷して，色鮫や積水の持つ韓質や色．大きさなどを逡象し，ものの形とその特徴をとらえてきている。また，辺の長さや，

角の影に醤を海けて轡形を弁磯したむ鐸曝したりする活動を通して，鱗形を雛む辺の数や，遷の長さ，露角の数などの視点から鍵形を分緩的に考察してきている。そこで，本単元では，中心から鍔周までの等離離盤に§を瞬けさせて，霧と球の愚昧をとらえさぜるとともに，基本的な図形を分析する樫点を広げていきたい。

本単元のねらいは，野作纒や実灘などの構成的活動を通して，中心から等野離にある点の集合と

しての円の意味をとらえさせるとともに．緩影を分糾する観点を広げていく」ことである。このね

らい達成に向けて，本単元では，まず，饒習の鐵彫を基に，跨の意鎌をとらえていくことができる

ような翼題の羅発と場の設定を考えたい。次に，

中心や半罷・癌径の愚妹を，作轡や実灘などによる「構成的方法」を繕いてとらえていくことができるような場の設定をしていきたい。さらに，中心から等露離にある点が無数にあることを，視覚的にとらえることができるような教具を工夫していきたい。このようにして，子どもたちが，鰻習事項を墓に跨と球の意秣を再構成していくことができるようにしていきたい。

○ 賎習の正方形と長方形を基に，匿の愚妹をとらえていくことができる問題の竸発正方形と，長方形の彫をした蓋入れのコートを堤示し，「どちらの形が墨入れのコート（この場合，線、鉦から中心のかごに投げることにす

羅鰭葬鷲趨

る）としてふさわしいか」という麗麗を考えた倉この問題により読方形と長方形1こも申毛・から等麗雑な点があるが，全1ての点が等鋲離に1まなっていないことをとらえさせ，等距離な点の集合に鰐する聾題意識を高めていきたいo

O 作灘や実灘を遷して中心や半径，直窪の意妹をとらえさせることができる場の設定コンパスや，定媛．拳尺などを欝も、て，大小様々な湧をかいたり，円の中心を晃い墨したりする場を設定する。このような場を設定することにより，中・むや半径，直径の意妹をとらえさぜていきたいG

O 申むから等鋲離の点が無数にあることを擬覚的にとらえさせるための教翼の工夫中心から等野離の点が無数にあることをパソ

コンを繕いて，後覚的にとらえさせる。そして，

このことにより，勝の舞轡方法までをもとらえさぜていきたい。

②授業の計露（総時数6時麗）

1縢rの峯灘響雑な点

轡『壷霞蟹

ir一一1一茎つ硝で群動

1繊臆濃顯仲

け中心を遜る羅濁から霧趨への直線（薩径）

一直径は皐軽の2培

1… r

匡π二r…どこ勧みても歌自励鰍［敗る影㈱

i 一一球をまつ二つに窮っ

た聾の中心，半径，痘

rτπr 欝諒卿心鰹「まとめi醗

鍔il事i

中…

心…

りi

離膿籠塾［蠕瓢

点1

の… の集合の作轡

風i （コン切

蔭iI

(5)

算数科窃学響指導における織綾．壷義麟方法 ²⁷

③ 授業の実際（資料i参難）

i霧畔幽鰍1（第闘

まず，乏方形と長方形の紙を縫示し，それぞれを新って中心をとらえさせた。そして，中心の蒙置に玉入れのかごを憑き，乏方形と長方形の線のとから玉入れをするという鶴題場面を設定した。

そこで，「重方影と長方形のどちらのコートで玉入れをしたいか」と投げかけた。すると子どもた

ち1ま，長方形の方1ま．

かご1こ近いところと遠いところができて不公平で・あることから，翫方形のコートの方がよいことを嶽籍した。そのとき，

蛋、方形の新修霧を克ていたε子が，「配方形のコートも頂点

のところ！怨と辺のま麟｝重

ん申のところ／撲では，（霧の方がかごに近いから不公平です」と発表した。E子の発表がみんなにも分かるように中心から績点までの長さの竹ひごを繕いて，辺のまん中の方が短いことをとらえさせ，

中心から周穆までの長さに§を海謬させて，本時の課題を次のように設定した。

みんなが公平に投げられるような線を毯こう…

この課題解決のために，子どもたちは欝ら考えつつ，二玉入れのコートの線を覗いていった。子ど

もたちが弔いた線は，大きく分けると次の3種類であった。

ア

イウ

麟一2

この3種類の籔影について，中心からの等離離盤の観点、から次のような話し合いがなされていったo

C この影（灘一2一ア〉は，頂点、のところはおなじ長さになっているけれど，透のところは頚、煮のところより矯いよ。

C 懸1点のところは，どこも中心から瞬じ長さになっているから，嚢点をもっと増やして籔一2一イのようにすればいいよ。

子どもたちの多くは，乏方形の穰点のところが中心から等距離になっていたことを墓に，等距離な点を増やし，その頂点をつないで多角形にすればよいと考えているようである。そこで，教締は．

鑓のよう1こ中心から頂点までの長さの管ひごを，

最魏縁獲点、と中心を結んだ線の上に置いた。そし

て，それをスライドさぜ＼ 1 ヌペヨき辺の蓋二に移動させること＼

により，透のところが矯 i＼＼、

ヌヌ

いことを視覚駄紡え泳

させた。そこで，「穣点 1 ＼までの長さは1講じ1こなっ

たけど，辺の、しの点、まで露一3 の長さはどうすれば講じになるか」と投げかけた。

そして，次のような話し合いに進んでいった。

C 中心から講む長さの点をもっとたくさん取ってつなげばいいよo

C いくらたくさん取っても，頂点と頂点をつなぐと辺のところが篤くなるよ。（図心3〉

C 中心を押さえて．管ひごのはじをぐるつと簿すと，そのはじはいつも瞬じ長さになって丸ができるよ。

そこで，；耗（緩一躍）

は，中心からの点、がどこも講じ長さになっていることを，竹ひごを聡いて薙かめさせた。

そして．中心からの雛離がどこも瞬む点の集合として鍔の定義をとらえさせていったので麩1−4 ある。また，匡1多舞とのどの点からも講じ幾さにある点として葬欝の中心」

の意秣をとらえさせるとともに，溌の中心から懇騰上のi点に瞬いた直線が「半径」であることを

とらえさせていったのである。

このようにして，霧，曙の中心，半経の意味をとらえさせた後で，「霧には半径が講本あるのだ

(6)

騰叢島大学教育実践麟究鑓要第麩号

ろうか」と投げか拶た。

そして，半径が無数にあることへの意識を高めてから，辛径が無数に叢かれて鍔になる様

子をパソコンで見せる二易・郡騨…｝一｝

ことにより，中老・から等葎離な点の集合としての霧の愚昧を観賞を遍して，とらえさせて

いったのである。

さらに，最密に握示した長方形を胃に重ねることにより，長方形も獲点慧中心から等羅離になっていることをとらえることができたのである。

④ 授業を終えて

ここでは，理解の文賑の転換・再蟻成をどのような購成的活動によって遜ろうとしたかという観点と，定義をどのように構成しようとしたかとい

う観点を主な複点として，授業を反省してみることにしよう。

○ 醗習の釜方形，長方形をもとに霧の意味をとらえさせていく鶏題を醐発し，取蓼入れたことは，子どもたちの思考に沿った授業を展醸することができ，「懇単な繋象を基にして，次第に複雑な対象を構成する」という特性にも合ったものであった。また．蕉1方形と長方形を鋳ることによ鯵，中∫さの｛立羅を見い串さぜたこと毒ま，

中心から等跨雑な点を取ることへの遜劔な見通しを持たせることにつながった。

○ 定媛や竹ひご，糸などを購いて中心から等題雑な点を構成させたことは，単に聾の鐸籔方法をとらえさせただけでなく，等距離の点の集合を意識させることにつながった。そして，等雛離にある点の機影をとって多鶴形と箆る考え方と，点を連続的に移動させる考え方の比較・検討に結び付いていったのである。このことによむ，頂点を直線で結ぶと辺の部分が醸点よ鯵短くなることをとらえるとともに，頂点だけを点として見るのではなく，轡形そのものを点集合として晃盤すこと，すなわち，騒彫機念の再構成を迫蓼っっ，等鋲雑な点という撹点から韓を再構成することになっていったのである。

○ 辛径が無数にあることは，舞ったむ，辛径をたくさん撰いたりしてもとらえさせることはで

董§鱒隼舞舞

きる。しかし，中心から等離離な点の集合という擁象的な機念を，子どもたちに納得させるためには，連続的な動きをともなったパソコンの秘灘が鳶効であったといえるQもちろん，このことは子どもたちの異体的な構成活動を墓にして，「対象の潜在的に実聡可能な購成方法を潔

し」ていると見ることができよう。この，パソコンの連続的な動きが，羅を中尾・から等髪藝雑な点の集合としてとらえさせただけでなく，霧の作錘方法まで見い鐵すことにつながったのであ

る。

繕麟と蓬多角形達の授業

〈麟象学年〉平成元年度 5隼3総髭童（男子欝名．女子欝名，計38名〉

譲遽の授業では，正多角形との関連で霧の緩念を構成していった。（そこでは，もちろん正多鶏影という機念が賎にあるのではないが，異体的な作業の中にそれらを生かしていった。〉地方，本授業においては逆に，霧との関連で鑑五角形，莚六角形，鑑八角形らの疵多驚形を統合的に，かっ，

構成的にとらえていこうとするものである。

① 授業の意図

子どもたちはこれまでに，斑形の構成要素である辺の長さと角の大きさに馨を陶けたむ，垂直，

平行という辺の位置麗孫を調べた参して，基本的な甲西泌影の意味や性質を分析的にとらえてきているρまた，醒形鰻互の獲1係についても対癒する辺の長さと角の大きさに着§して，合鶴という撹点からとらえてきている。ここでは，籔彫の権威要素である辺の長さと角の大きさに養護させるとともに，鱗形の中心から獲点までの長さに慈を請けさせて，円と鑑多角影を関連づけてとらえさせることがねらいである。そして，関連づけてとらえさせる中で，直線で認まれた図形から麟線で醗まれた鍔を考察する筋道立った考え方をも高めていきたい。

本単元のねらいは，「遊の長さや角の大きさを灘定したり，中心から頂点までの等距離牲を生か

して舞舞したりすることによ鯵，正多角影の意珠をとらえさせるとともに，鑑多角影を墓に筋道立てて考えさせ，円周や鍔の罐積の求め方を見い串させる」ことである。このねらいを達成させるために，本単発では，まず，颪多驚形と羅を経連づ

(7)

算数群の学欝指導にお謬る講賎薫義的方法 ^2§

けて考えていくことができるような靉靆を麗発する。次に，作籔や実灘，等積変形などの構成的活動を還して，乏多角形の特籔や糞蝿．霧の面積などをとらえていくことができるような場の設定をする。さら1こ，歪多角影の特徴を基に韓周や溝の面積をとらえさせていくときに，その麗遠を後覚鈎にとらえさせることができる教具を工夫する。

そして，中心から頂点までの等離離性の授点から鑑多角影の意蘇を再購成させるとともに，蕉多角彫と襲連づけて誇霧や霧の面積を導き鐵させてい

きたい。

○ 正多角形と霧を関連づけて考えさせるような難題の麗発

不等辺八角形や不等角八角形と鑑八角形の弁震のような一種類の鑑多驚形について調べる悶題からは，霧との聡達はとらえさせにくい。そこで，不等辺三角形と，亙五角形，亙六角形，

鑑八象形を提示し，不等辺三角形と鰐建させながら，歪多角影の特徴をとらえさせるような閣題にした。これは．巨多驚形の角の数が多くなればなるほど醤毒こ遣い形になることから，難との経連を騒っていきたいと考えたからである。

そして，題との関連をもとに，中心から頂点までの等距離鍵に着§させ，藍多角影を構成的にとらえさせていきたい。

○ 作鑓や実灘等積変形などの構成的活動を通して，正多角彫の特鍛や，霧箱，円の面積の求め方を見い鐵させていく場の設定透の長さや角の大きさを灘足したり，円と中心角の考え方をもとに，乏多角形を作啓したりする場を設定することにより，需に内接する考え方を生かして五多角形を再構成させていきたい。また，円をおうぎ彩に継分割して，等積変形する場を設定することにより，矯の面積の求め方をとらえさせていきたい。

○ 正多角形からRを麗連づけて考えさせる教翼の工夫

影多角形は．中心から叢点までの長さが講じであるために，響に内接することを幌覚的にとらえさせるために，中心を遜定して躍転させることができる教糞を二工夫したい。また，霧を合瞬なおうぎ影に纏分割して，それを等積変形することにより，平行囲辺影になることを撹覚的 1ことらえることができる教具を■1失したいG

②

霧正i 恩多や角i 霧彫i のと…

l l

l翻…

積と1

授業の講画（総時数茎2時間）

＿＿＿〕r一等辺，等角な多認多角形のi i月影

｝［翻と帳□結納接

i i 一霧と中心角の等

⁝

分書毅こよる作緩

r＿、＿ r一藍蓬甕と妻弓舞1の餐二

ii醐疎めH率（醐率）

1防 _{1一鯛舩式}

i ㎜（直径×霧欝率）

i求瞼！

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…め連…聴嚇㌧

鷺『墾

し・i

iた1i、 r

！比感と副

L＿＿＿」

一纏分割しての等積変形（極鰻の考え方）

耀無熱

聡率）

1

七一一おうぎ形，申￡・

櫓の蘇

に一@おうぎ形の周むの長さと面積

③授業の実鰹（資料2参照）

正多角形の意秣i（第i時〉

L記の鑓のような，不等遊三角形，正五角形，

歪六角形，正八角形を縫示して，「この4つの騒影を2っの仲懇に分けてみよう」と授げかけた嚇すると子どもたちは．次のような授点で分けていっ

た。

C 三角形はそれ以、と分けられないけど，五角形と六角形，八角形1ま，玉っの頂点から線を引くと三三角形に分轄られるから韓等題毒こなります。

C 五角形と，六角形，ノ、月影は縫じ影に分ける

(8)

3§ 藩島大学教毒実践襲究紀要第纏号

ことができそうだから｛中間妻こなると患います。

C 五角形，六角形，八角形は｝聖こ近い形だから，

纏縫になると思います。

この外にも叢点の数が鶴数か奇数かなどの神懸わけも鐵されたが，見てすぐに分かるものや，賎習内容はその場で確かめて，五角形，六角形，八角形を紳総にし，本時の課題を次のように設定し

た。

3つの籔影に共通する特徴を講べよう

そして，子どもたちは．五鶏影，六角形，八角形の辺の長さや角の大きさ，中心から頂点までの長さなどを具体的な鉾業を通して調べていったのである。子どもたちの調べた内容は大きく分けると次の蓬つであった。

・邊の長さが等しい一一…一…・一一…談名噺角の大きさが等しい一…………一 ……2名・中心と頂点を結ぶと二等辺三徳形が角の数できる…………一… 一一………一… …壌名・中心から頂点を結んだ直線を半経として韓をかくと全部韓の中に入る……一………2名このことをもとに，姦多角形の特轡を次のようにとらえていった。

まず，それぞれの多角形の辺の長さが等しいことの発表があった。これは，ほとんどの子どもたちが講べていたことなので納鬱して特籔の至つとしてとらえていった。次に，角の大きさは，分度雛を絹いなかったために，辺を講べるときに重ね会わせたことが難度も講べていたことに気づいていない子どもたちが多かった。そこで，黒駁に難ってある乏多角形の角度を重ね合わせて見せることにより，どの多角彩も角度が観じになっていることをとらえさせていった。そして，等辺・等角であることの特鐵として，臣多角形は，霧転させ，

どの辺を底透と

a eしても，購じ影

響☆◎◎

r六角形と八鶏

彫は．対角線を結ぶと三角形が6懸と8鰻，角の数だけできます」と新たな特徴を発表した。翼角彫の場合は，麟角線を結ぶという方法では隅棟の

糧騰隼㌶繕

特籔を見｛書けることはできないが，この特籔尋こよる圧多角影の機念の構成は，作図につながるものとして重要である。と疑うのも，等辺等角という臣多角形の定義だけでは．繋象を実際に構成することは難しいが，この特徴を発展させて鷺との麗連をつ謬ることによって，各々の正多角形という女重象を雲霧嚢こ構1成することが容易になるからであ

る。そこで，置五角形の場合にも逓ずるように饗解の文蘇の転換・再権成が必要となる。

琶子の発表を基に，次のような話し合いがなされていった。

影は，どんな三三驚影かな。

中心で交わるから，

二等辺三角形です。

の長さがどれも観じで，底辺の長さも購じだから金属な二等辺三角形です。

羅な二等遊三驚形ができるかな。

重なるように新って中心を見つけ，中心と頂点を結ぶと二等

辺三、三角形ができます。

T ^{ここにできた…三角}

C 鰐角線で折ると，

C 中心から猿点まで

丁五角形も§つの合

C 海か塾合う獲点が

葦虹唖

^■

このようにして子どもたちは，正多角影の中心と頭点までの長さが等しいことと，多角影が合瞬な二等辺三角形で構成

されていることをとらえていったのである。

そして，醜男の「中心から覆点までの長さを辛径にして鍔をかくと，

どの多角彫も跨の中に入ります」という謹多角琵多と霧の謬§連についての発表が難き出せた。

そこで，教鎌は正多角形を中心で翼足し，罎転させることができる

(9)

算数稗の学習指導にお捗る構滅主i義的方法 ^3重

教具を羅いて，観賞的に霧との関連をとらえさせ，

薮多角影の蒋徴を円と騰係付けながらまとめていったのである。

④ 授業を終えて

鰐象をどのように構成しようとしたかという擾点を主に，それに縫達して，子どもたちの運解の文賑の転換・再構成という視点から，授業を反省してみること1こしよう。というのも，「対象（纏i 念）を定義するとき，その麟象（機念）を実鰹に構議する手続きが示されなければならない」にもかかわらず，等透等角による定義，すなわち，

「透の長さがみな隅じで，角の大きさもみな瞬じになっている多角影を，乏多角形といいます。」

だけでは，実際には構成できないからである。そこで，跨との関連をとらえることによる凝念の再構成が重要となってくる。

○ 薮多角影を再と経連付けるために，3種難の鑑多驚影を提示したことは，子どもたちが講べていくとで難しい点はあるが，単元の導入時であり，「特殊な麺象を基にして，より一般的な鰻象を購成する」という特権からして適切であると考える。ただし，鐙五角影を最祷から入れるかどうかについては，蓬解の文賑の転換・再構成の要点とはなるが，逆に羅難点でもあるので，綾討が必要であるかもしれない。

○ 薦多角影の燐抜きを準籍して直接璽ねたり，

斬った修する構成的活動を取り入れたことは，

等辺等鶏という建多角形の定義を見い議すだけでなく，交換線から中心を見い謁すことにも結びついた。そのことによって，霧との関連で蛋多鶴形の機念をとらえ，実際に構成することの保護へとつながっていくのである。このように，

具体的な操作活動が，機念そのものの構成に結び付いていることが重要であろうと考えている。

○ 正多驚形と灘を鱒連付ける教具として，数多魚影の中心を圏寇し，躍転させる教員を繕いた。

これは，許どもたちの興味離心を聾に瞬けるのに効築があった。ポ単元では，野の藤積を箆い患させるときに極鰻の考え方が入ってくる。このような場藏でこそ，子どもたちの考えをみんなに分かるようにするための教具や，納響させてとらえさせるための教具の活繕が必要である。

w 結語

私たちは，円および髭多角影の定義についての授業を基に，主に2っの観点から，構成主義的方法の授業における意義について縷説を試みてきた。

ひとつは，灘念をどう定義していくかであり，飽のひとつは，そのための授業の展醗をどうするかであった。

その結果，子ども霧身の知識の再構成の活動と．

その中に位置響けられた操作活動とによる，「購成的活動」が重要なことであることが，改めて瞬らかになってきている。ヒ記の2つの観点は，このことの申での真棒的な擬点として位置付けられ

よう。

ところで，知識の再構成としての「鍵解」は，

教脅学的にも一般盤を持った要点でもある。庄無縫人男は．次のように述べている。

ヘルバルトのr表象灘」，デューイのr経験」，解萩学の「醗理解」，宝鑑美氏の「構報構造」．縫線隻の「麗達する轡騨」などは，それぞれ撹点（観点）の穏違こそあるが，ほぼ瞬じ事実を縫えたものと見ることができよう。そして，それらを緩々人がもっr意1鎌」という観点から冤るとき，「意昧」の総体の関連構造と覧ることができよつo皿

そして，庄司縁これを「意練達麗」と響…ぶことによって，授業の本質を次のように遽べる。

授業は許どもたちが新しい学習内容を「理解」（解綬）することによって，饒肇ぎの「構鞍構造」ないしr意味連§趣を増大させっっ，轟構成する，という営みの絶えざる蓄積ということになる。器

このような教育学的考察は，算数・数学教官における構成主義の意義の一般鮭を辱えるであろう。

ただ，構成主義の議論の中で，知識の確実性の否定が議題となることがある。鱗えば，小由は，

Ler猿雛に鍵って購成主義を「根韓主義的認識論」

ととらえ，恥脚r，L誌畿Os，K漉嚢等の影響を発ている。齢このことは，婦ヒ緩一郎が，欝。脚r，

L欲atGSおよびK熱鷺，Feye総論懇を区窮しながらも， rともに理論の罫規約燧＜co蟹鱒tiO費一麟ty＞を主張するという点で，『焼約主義邊＜cg聾艶盛沁撮亙麺類＞として約することができ」鮒ると，科学哲学の倒で指摘している点でもある。私

(10)

32 醸島大学教蕎実践癖究紀要第i8簿

たちは，そこでの難点におちいるよむも．庄舞のいうように「授業のメカニズム」を見るほうが，

運講の麟造性あるいは授業の豊かさを難き鐵すことができるのではないかと考えている。

すなわち，算数・数学教育における構成主義およびその方法を，むしろ，撃藤のように「繁墾解する露ということとゼ購成する壌ということが表裏の麗係にある」鰭ととらえっっ，その場合における知識の発展，子どもたちの認識の転換・発展を基礎付けるものとして受け生めた方が，麟造的ではないかということであるGそして，そのために，本稿では，算数科の学習懸導，とくに機念形滅1場嚢糞での学習活量瞬こおける意義を，真棒的毒こ礎示することを試みたわけである。

※ 本稿は，第憾嚢棄髭・駕陸数学教欝基礎的硬究会

（欝鱒．5、鎗、由彫大学）における報告「霧および多角形の学習にお謬る構成的方法の穣討」をもとに，補足し書き改めたものである。

鯵濡文藏及び注墜

輯車繍一栄，「数学教育にお謬る構成主義1こついて」，

第2§獲数学教費譲文発表会発表譲文隻，欝本数字数湾学会，緯87，鱒．謎一露

／21小由羅孝， r数学教欝における構滅主義の鴛学麟及び認識譲的蜷嚢について」，第22露数学教欝譲文発表会発表譲文集，馨峯数学教育学会欝総嚢嘉2解…

262

（3／静藤説麟，「数学的認識講から見た構絞的方法の愚妹について」．第鍵轡数学教蒼論文発表会発表論文集，嚢本数学教育学会，雄総，鱒．至懸一望甕 1磨｛罫藤震莞顛，「数学i教育毒こお謬る構銭的方法の意華表

鐵3，熊本大学教育学謡紀要，人文科学，第27号，

ig78，脚．欝一鱒

覇小出足孝，薄織麟，夢．2灘

麟」．K皇基醗tri磁，W猛tC醗str瞭麺s濃艶ig銚魏無難＆撫磁＆t圭cse磁C磁Oゴ，Proeee撰醤SOで癌霞劔磁難至畿琶r鍛tま0論aicO盤｛er雅ce（）鮭難e登sy−

o｝x｝至。暫y o至聾｛農t｝差e盤農t量cs鑑遷慧cat室。簑，熱｛o費treal，

蔓紫7，vOi．i

麟小出蓬孝，繭揚縁，9．258

麟小由は「穏健な構銭蛍義」を水蜜の馨麟で媛寇しているが，Ler猟餓及び平林1ま1幹だけで規定している。

欝鱒蕪董褥

駿｝・喜．A．獲k｝｝a，』｛総麺嚢ぎ塗Arlt難獺醗重。｛ro鶯

FO耀腿蜘r醸恥rs登ect魏ざ，Fort艶恥ar覆璽

〔｝錘重at挑難at墨es6ほ§86，難．1玉一絡縫l N．盗．N生飯，表掲騒，欝．15

算数科の指導の申で，教巽の操作1こかかわって，

次のようξごi婁われた鬱することがある。すなわち、

教具を手で操作しているあいだに，子どもの心の磐にある教具がイメージとして頭の中に建蕎されていく，というようにである。購成童義の立場では，そのようには考えない。操鐸活動にともなう，子どもの内的な知識の構蔵・緩織建の活嚢をもっと璽擬しようということである。

騰s．Ler類a鷺，℃o鍛s鋤慧ct癬瓢，纏a騰e鵬袋t量cs a紐擁at始鵜atics露撫ca蓑。ぜ，E磁ε流量。照l

StL玉｛壁襲｝S重盗｝V重at鼓蕪登玉屋t圭C21｝芋 i｛｝琶§， ∫》． 22垂

｛玉2｝ S．Ler艶農糞，醸舞叢濃｝，嚢． 2至8

曝韓土緩一郎，蓼稗学と鰻常盤の文嶽善，海騰縫，

欝79

鱒黒麟宏，「第三の科学観」，轟導学と人懸．ウィトゲンシュタイン的アプ∬一チ護，甥草書窪｝，簿77

会，欝続

小山至孝，羨掲｛2｝，費．26｛｝

S．Ler溢撚，表掲鰍芦．騰静藤議蒙，麟掲／3｝，欝．欝7 律藤読躯，謝歓31，卿．婚§一欝

窪韓懸人男， r人縫形成をめざす授業のメカニズ鑓．黎窺書募，i弱§，塗．26

醗究Vo玉．翼，海．2，欝？9，籍．総欝欝藤議朗，繭掲㊧，嚢．§8

醸s．L駐懲懸，麟揚繊麹．2i4−2茎5

／緯s．Le艶麗，前掲繊登．223

麟佐鎮騨（編著），癬解とは翰か雲，棄蕪大学窪蔽

旛

㈱欝欝器

韓籠羅趣大男，前場盤，P．27 鱒小出至孝，縫揚甑塗．2韓

盤韓L臨一一郎．「パラダイム論の総麺誕，科学基礎論

(11)

算数科の学習季醤導にお謬る賭銭1主義的方法 33

ζ資料i肇

3年「円と球」

緩麗過程

学習内容・活動

轡正方形，長方形の選士から，中心のかごに海かって玉入れをするという場面を見て，話し合い，本鋳のめあてをつかむ。

螺※蹴鞠〉

、噸，ノ

繕慕分なりの考えで，みんなが平等に投げることができる線を引く。

O 中むからの髭嚢離iが一定毒こなることから，

中心からの点を部分的1ことむ，その、点の集合から機影をとらえて

○ 中心からの鍾離の一定に欝嶺簸ナ，糸や哲ひごを璽いて線を鱗いて

鱗各霧が考えた方法を発表し合うことによって，聾と半餐の意蘇をとらえる。

① 考えた方法を発表し合い，それぞれの逡究方法のよさや問題点をとらえる。

○ 点の集合からの機影でのとらえ ○ 糸や竹ひごを編いた欝のとらえ ⑨ 胃み意味をとらえる。

○ 申∫むから等嚢褻離毒こある，転の集合鷺多

③半遅の意味をとらえる。

○ ヂ半径」…中心から跨霧上の点までの嚢線

○ 無数に存在する単径

韓／奉持の学習のまとめをし，次時の学習にっいて議し合うα

○ 霧の中心を見付け鐵す方法

捲導の要点・評懸

○ まず，藍方形と長方形の燐む厳きを折る操作から，それぞれの泌形の中心をとらえさせる。次1こ，a cの長さとも。の長さが等しくなっていないことに§を陶けさせていく。さらに，玉投げの鏡鐙の平等さを意識｛郵ナることから，めあてをとらえさせていきたい・

○ 玉を投げる盤置からかごの｛宣置までの鎚離が…定であることに讐を緯轡た子どもたちは，

かごのある中心から等靉靆にある点をとり始めることだろう。そこで，糸や難ひごを準備しておくことから，点の連続性に§を請けさせ，！3！の獲の意：秣のとらえに生かしていきたいQ

O まず，点の集合を冤て，機影を多角形としてとらえた子どもたちの考えを皺む一ヒげる。

すると，頂点以外は，すべてかごのある中心からの距離が短いことから，平等さを欠くと捲締することだろう。そこで，糸や竹ひごを瞬いた子どもたちの考えを発表させる。次に，

このような動的な演示から円の意秣を視覚的にとらえさせていきたい。さらに，作騒の結果から，無数にある楽祭の存在をもとらえさせていきたい。

・中心から等野離にある点の集合形として，贋と率1径の意秣をとらえることができるか。

○ わからなくなった校羅にかいた霧の中心を探しだそうとする麗麗意識を高めて，次時の学習へとつなげていくo

(12)

3尋福島大学教官実践醗究総要第嬢号 ^{毒§鱒隼薄機}

【資料2肇

5年「円と正多角形」

展開遍程

学習内容・活動時 ^瞬

捲導上の留意点

i 縫示された不等辺三角形、歪五角1 形．藍六角形，髭八角形を見て議しi 合い本時のめあてをつかむ。

0 3つの轡形に共通する特徴を請手べよう。

2 構成要素に着欝して，蔭分なりの方法で3つの纒影の共通点を書鐸べる。1 ・辺の長さ

・角の大きさ・中心からの題離

3 調べた結果を発表し合い，鑑多角．

形の特徴をとらえる。

｛董唾ね鳩コンパスで魏取つ

_c

たりする方法について話し合う。

・辺の長さが舞1じ・角の大きさが講じ

／21折る方法について議し合う。

・中心の｛壷鐙

・中心から頂点まで等跨離蓮多角形鷲等遷等角な多角形蓬；本醤寺の学習のまとめをし，衣嚢寺のi 学習について議し合う。

5分1

鎗分

臆分

轄分

・不等辺三角形と3つの五多舞影を提示すれぱ，子どもたちは，3っの鉦多角形が整った影に見えることを指摘するだろう。それを基

に，3つの懸形の共通点に養目させ庫時のめあてをとらえさせていきたい。

・子どもたちは，籔影の構成要素である透の長さや角の大きさを調べようとするだろう。

そこで，ものさしや分度器を濯塾ないで調べてみようとなげか謬了コンノでスや燐抜きを醗いて写し取る灘定に取む経ませたい。

・まず，舜彫を重ねて角の大きさや透の長さを灘絵取って調べたりした子どもの考え方を発表させることにより，辺の長さが等しく，

角の大きさも等しい鱗形であることをとらえさせる。次に，切鼓きを折って中心を冤つけ

た子どもの考えを墓に，中心から獲点までの題離が等しいことを見疑串させ，麗多角形の特徴をとらえさぜたい。さらに，中心を揮さえて慰す操作を墓に，鑑多角形は弩に内接することにも気づかせたい。

・颪多角形はRに内接するという盤質を灘継て歪多角形の葬鑓はできないかとなげかけ次時へつなぎたい。

算数科の学習指導における構成主義的方法 - 福島大学