複素数ベクトルの内積とノルム 内 Gた と

複素数ベクトルの内積とノルム

行列，エルミート行列

複素数ベクトルの内積とノルム

E^{" の} 内 G

た

^{と 11し}G

定義

~ =

✓ ◆

, ~ =

✓ ◆ 2 に対してエルミート内積とノルムを

(~,~) = ¯ +. . .+ ¯

k~k = (~,~) =| | +. . .+| | によって定義します．

複素数ベクトルの内積とノルム

とでん

ーー

か

性質

内積の性質

(~ +~,~) = (~,~) + (~,~) (~,~+~) = (~,~) + (~,~)

( ~,~) = (~,~) (~, ~) = ¯(~,~) (~,~) = (~,~)

ノルムの性質

k~k k~k= ,~ =~

複素数ベクトルの内積とノルム

三 シ

~

4^人 が ₁₁⁼

岩

'

でも いい で

^{の とき}

( き

^た

子 り

^{べ ういし}

ed ers

⁼

なおこ ( 鯤 )

^に

ない ( いや

⁼

( T

^{. . .}

Ten )

TECT

行 だ が

_b

、 ^{- _ -}

bn ) に対して は

^二

( 畺 )

( もて )

⁼ z

、

ft

^{. . + z}

in TREE

で エ い

^・

=

(

^{- . -}

も

^っ

じし )

⁼

は

^一

が ( だ )

=

( かや が

、

「

IT

随伴行列

2 , ( )_{とします．} =

✓ ◆

= (~ · · · ~ )のとき

⇤:= ¯ · · · ¯ = ( ^⇤ · · · ^⇤) =

(~ )^⇤ (~ )^⇤

!

を の随伴行列 と呼びます．

◆ ⇣

定理~ 2 ,~ 2 に対して

( ~,~) = (~, ^⇤~)

✓ ⌘

複素数ベクトルの内積とノルム

A ^: mxu

、

実 で

_E1^で₁

、

JG

^11で

E Mm_,n CM _{( A}

が お )

⁼

は

、

「

ぼ

₎

-

h^'ほん^子り

Tys

^{The et}

で

^{E ぐ}

ー

ぼ

_e

E X

(

^U

も で )

⁼

( t.it

^{- _ - tz}

が 、 ご )

=

を zj ぼ べ )

が

ーニ も なに が

せ 濉 䯊

=

は

、

[ 簽 ) で )

⁼

1 で は お )

〇 問

^{U 、 t.mx u} _, ^U ₂ ^{: n ×}

l

いく で 品

^-

で ○ だ 、

Ilzitnhz

エルミート行列

次正方行列 2 ( )が

⇤=

を満たすとき， をエルミート行列と呼びます．

◆ ⇣

定理 2 ( )がエルミートであるとします．このとき (↵) = )↵2

✓ ⌘

証明 ある~ 6=~に対して

~ =↵~

( ~,~) = (~, ^⇤~) = (~, ~)

において

( ~,~) = (↵~,~) =↵k~k , (~, ~) = (~,↵~) = ¯↵k~k から↵= ¯↵

複素数ベクトルの内積とノルム

A EMn (1¹²)

Aた A ^{-) 「A = A}

the

₎ に子子 ^している

meinem

実 対称

.in

^d

)

s. 9.ee、C ,d

EIR.TT

^: エルミート で^二_T

cell

^{~1 2}

ER

^.

T

⁼

( Toj ) で

^二

T も T

⁼

Tji

小

で

_の

よ 行 なり

-

○ を 3×3

^の

場合

^は

?

A

^{: いい}

安打 と し

^、

五

a は ) ^{= o --}

)

^{の E}

R

^。

実対称行列の固有値はすべて実数

◆ ⇣

定理 実正方行列 2 ( )が対称とします： = ．このとき (↵) = )↵2

✓ ⌘

証明 ¯ = _なので

⇤ = =

から はエルミートであることが分かります．

複素数ベクトルの内積とノルム

:

行列

2 ( )が であるとは

⇤ = ^⇤ =

が成立するときである． ^⇤ = _とすると

= det( ^⇤ ) = det( ^⇤) det( ) = det( ¯ ) det( )

=det( ) =¯ |det( )|

から

|det( )|=

特に は正則であることが分かります．これから ( ),( )^{0 ⇤} =

複素数ベクトルの内積とノルム

直交

行

州

^に

相当

.ir

-

u

だい

₎ ⁼

に

rire

dei

O

/

^{、 「}

m 礐 し

T.at

)

-1 dot Co) も ^O

行列

= (~ · · · ~ )に対して

⇤ =

~^⇤

~^⇤

!

(~ · · · ~ )

= 0 B@

~^⇤~ ~^⇤~ · · ·

~ ⇤+~ ~^⇤~ · · ·

1 CA

従って

⇤ = ,(~ ,~ ) =

( ( = )

( 6= ) から

( ),~ , . . . ,~ _{は正規直交系}

複素数ベクトルの内積とノルム

く、 𦥯 )

( Yi )

も 断 い

re

行列

( ~, ~) = ( ^⇤ ~,~) が任意の~,~ 2 に対して成立することから

( ),( ~, ~) = (~,~) (~,~ 2 )

複素数ベクトルの内積とノルム

は

、

しも

^か

)

n

⇐ で日

E

^{Z でのと て いがいた。}

-

the

は、 で

)^{= o} し

た と

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)

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⁼

S

^{. S で}

UE Mn CE )

_が

Unitary

( ニ ) は U

⁼

U U た か

く

^ー

→ v

^*

U

⁼

T.CAT

_、 ^{一 一}_、 ^は

正規 直交 系

○ 門人 で ( UI

,

UE に は

,

E )

d

( せい でも いい が い

c

で

、

TEE )

心 で EE )