有理数体上のノルム

有理数体上のノルム

都築 暢夫

大学院講義「数学概論」

平成 17 年7 月4 日、11 日

「数学概論」の最後の2 回は、有理数体上のノルムを完全に決定したA.Ostrowskiの定理を紹 介する。

このノートでは、Z,Q,R,Cでそれぞれ有理整数環、有理数体、実数体、複素数体を表す。logx でx >0 の自然対数を表し、[x]で実数 x の整数部分を表す。また、0⁰ = 0, ρ^−∞= 0 (ρ >1) と する。

1. ノルムとその例

R を可換環とする。ノルムについて基本的な事柄は [Na67]の付値の章を見よ。

1.1. ノルム.  

定義. (1) 次の性質を満たす関数| |:R→RをR 上の乗法的ノルムという。

(i) |a| ≥0 かつ「|a|= 0 ⇔ a= 0」 (ii) |ab|=|a||b|.

(iii) |a+b| ≤ |a|+|b|.

(2) 乗法的ノルム | |:R →R が (iv) |a+b| ≤max{|a|,|b|}.

を満たすとき、非 Archimedes的乗法的ノルムという。

(i) の条件の下、(iv) ならば (iii)が成り立つ。(ii)の条件から、乗法的という。この講義では、

乗法的ノルムを単にノルムということにする。非Archimedes的でないノルムを、Archimedes的 という。

命題 1. (1) | |をR 上のノルムとすると、| ±1|= 1 となる。

(2) R がノルム | |を持つならば、R は整域である。

ノルムを部分環に制限すると再びノルムになる。非Archimedes的ノルムの制限は非Archimedes 的である。一般の環拡大に対するノルムの延長については、このノートでは触れない。商体への 延長のみ考える。

ノルムの乗法性から、次の命題が成り立つ。

命題 2. R を整域、K をその商体とする。R のノルム| |は、K 上のノルムに一意に延びる。| | が Archimedes的ならばその延長も Archimedes的であり、非 Archimedes的ならばその 延長も非 Archimedes的である。

例 1. R を整域とする。関数| |₀ :R→Rを

|a|₀ =

½ 1 ifa6= 0,

0 ifa= 0

と定める。明らかに、| |₀ はR 上の非 Archimedes的ノルムになる。| |₀ を離散ノルムと いう。

1

定義. R 上の2つのノルム| |と| |⁰ が同値であるとは、ある正の実数αが存在して、|a|⁰=|a|^α が成り立つことをいう。

例 2. 複素数体 C 上の絶対値 | |_∞ は、C 上の(Archimedes 的) ノルムになる。ρ ≥0 とする。

a∈Cに対して

|a|_∞,ρ =|a|^ρ_∞ と定めると

| |_∞,ρ がノルム ⇔ 0≤ρ≤1

となる。0< ρ≤1 ならば、| |_∞,ρ は | |_∞ と同値である。また、| |_∞,0 は離散ノルム | |₀ になる。

1.2. ノルムから定まる位相. | |をR 上のノルムとする。関数d:R×R→Rを、d(a, b) =|a−b|

と定める。

命題 3. dはR 上の距離を定める。

命題 4. 同値なノルムによる距離から定まる環R 上の位相は一致する。

命題 5. (1) 加法R×R→R(a, b)7→a+b と乗法R×R→R(a, b)7→abは、距離 dから定ま る位相に関して連続である。

(2) R の乗法に関する単数群R^×={a∈R| ∃b∈Rが存在してab= 1}は開集合である。

ここでは位相環や位相体は定義しないが、上の命題は R が位相環(R が体のときは位相体) に なっていることを意味する。

例 3. (1) 離散ノルムから定まる位相は離散位相になる。

(2) 0< ρ≤1のとき、複素数体 C上のノルム| |_∞,ρ が定める位相はρ によらない。

1.3. 完備化. | |をR 上のノルム、dを| |から定まる距離とする。集合C(R) とN(R) を C(R) = {距離 dに関する R 上の Cauchy列(a_n) の全体}

N(R) = {(a_n)∈C(R)| lim

n→∞a_n= 0}

と定める。C(R)上の加法と乗法を

(a_n) + (b_n) = (a_n+b_n) (a_n)(b_n) = (a_nb_n)

と定める。また、写像 ι:R→C(R) を、ι(a) = (a, a, a,· · ·) と定数数列で定める。

命題 6. (1) C(R) は ι(1) = (1,1,1,· · ·)を単位元に持つ環になる。

(2) N(R) はC(R) のイデアルである。

(3) ι は環の単射準同型で、N(R)∩ι(R) ={ι(0)} が成り立つ。

命題 7. (1) (a_n)∈C(R) に対して、lim

n→∞|a_n|が存在する。

(2) (a_n)−(b_n)∈N(R) ならば、lim

n→∞|a_n|= lim

n→∞|b_n|である。

系. R 上のノルム| |は、剰余環Rb=C(R)/N(R) に一意的に延長される。

剰余環 Rb=C(R)/N(R) を、R のノルム| |に関する完備化という。Rb は完備、すなわち、任

意の Cauchy 列は収束する。ιは単射環準同型 R→Rb を導き、その像は稠密になる。完備化は、

位相環の圏の中で普遍性を満たす。普遍性から、同値なノルムによる完備化は一致する。

命題 8. R がノルムを持つ体ならば、完備化 Rb も体である。

証明 : (a_n) を 0 に収束しないCauchy 列とする。(a_n) の類の逆元を構成する。部分列をとる ことにより、a_n 6= 0 (∀n) とできる。点列 (a⁻¹_n ) が Cauchy 列であれば、(a_n) の類の逆 元が (a⁻¹_n ) の類となる。正数 M を|a_n| ≥ M(∀n) となるようにとる。(a_n) の取り方と (|a_n|) の極限の存在から、M は存在する。(a_n) はCauchy列なので、任意の ² > 0 に対 して、ある正数 N が存在して、m, n≥N ならば|a_n−a_m|< ²M² とできる。よって、

|a⁻¹_n −a⁻¹_m |=|a_m−a_n|/|a_n||a_m|< ²M²/M² =²

となる。したがって、(a⁻¹_n ) はCauchy 列である。 ¤

命題 9. | | を R 上の非 Archimedes 的ノルムとする。このとき、|a| 6= |b| ならば |a+b| = max{|a|,|b|}が成り立つ。

証明 : 商体の完備化を考えることにより、R をノルムに関して完備な体としてよい。ノルムの 乗法性より、b= 1,|a|<1 として|1 +a|= 1 を証明すればよい。R の中で (1 +a)⁻¹ = 1−a+a²− · · · となる。非 Archimedes 的ノルムより1−a+a²− · · · の有限部分和の ノルムは 1 以下なので、|(1 +a)⁻¹| ≤1 である。|1 +a| ≤1 なので、ノルムの乗法性か

ら、|1 +a|=|(1 +a)⁻¹|= 1 である。 ¤

例 4. (1) 離散ノルムによる完備化はそれ自身になる。

(2) 有理整数環ZのArchimedes的ノルム| |_∞,ρ(0< ρ≤1)による完備化は、Zである。

(3) 有理整体 Q の Archimedes 的ノルム| |_∞,ρ(0< ρ ≤1) による完備化は、実数体R である。

2. p 進ノルム

素数 p を一つ固定する。

2.1. p 進ノルム. 関数| |_p :Q→Rを、

|a|_p =

½ p^−l ifa=p^{l m}_n (p 6 |mn) 0 ifa= 0

と定める。

定理 1. | |_p は、Q上の非Archimedes 的ノルムになる。

証明 : ノルムの公理 (i) と(ii)は明らか。

a=p^{l m}_n, b=p^{s t}_u(p 6 |mntu) とする。l≤sとすると、

a+b=p^lmu+p^s−lnu

nt , p 6 |nt

なので、|a+b|_p ≤p^−l となる。よって、定義の(iv) の不等式が成り立つ。l ≥s の場合

も同様。 ¤

命題 10. ρ ≥0 に対して、| |_p,ρ =| |^ρ_p は Q 上の非 Archimedes 的ノルムになる。ρ >0 ならば

| |_p,ρ は| |_p と同値なノルムであり、| |_p,0 は離散ノルム | |₀ になる。

| |_p,ρ(ρ >0)をQの p進ノルムという。特に、| |_p を正規化された p進ノルムという。

2.2. p 進体. 有理数体 Q の p 進ノルムによる完備化を p 進体といい、Q_p と表す。有理整数環 ZのQ_p の中での閉包をp 進整数環といい、Z_p と表す。Z_p は、Zの p進ノルムによる完備化で ある。

Q_p の元が具体的にどう表示されるか考察する。aを0でない有理整数とする。aは一意的なp 進展開

a=a₀+a₁p+a₂p²+· · ·+a_mp^m (a_i∈ {0,1,· · ·, p−1}, a_m 6= 0) を持つ。b=b₀+b₁p+· · ·+b_npⁿ6= 0 なる p 進展開に対して、

|a−b|_p =

½ 0 ifa=b

p^−l ifa_i =b_i(∀i < l), a_l6=b_l

となる。ただし、a_i= 0 (i > m), b_j = 0 (j > n) とする。よって、Zのp進位相による完備化の各 元は

c= X∞

i=0

c_ipⁱ (c_i∈ {0,1,· · · , p−1})

と一意的に表されることになり、このように表される元はすべて p進整数環の元である。この表 示を、p 進整数環の元の p進展開という。

c=P_∞

i=0 c_ipⁱ (c₀ 6= 0)とp 進展開されている元に対して、n に関して帰納的に

(P_n

i=0 c_ipⁱ)(P_n

i=0 d_ipⁱ) ≡ 1 (modpⁿ⁺¹) d_i ∈ {0,1,· · ·, p−1}

を解くことにより、Z_p の元 d=P_∞

i=0 d_ipⁱ を得ることができる。よって、次の命題が成り立つ。

命題 11. (1) Z^×_p ={c| |c|_p = 1}.

(2) Z_p の 0 でない任意の元は、p^lu(l は非負整数, u ∈ Z^×_p) と一意に表される。特に、

|p^lu|_p=p^−l となる。

上の命題から Z_p[p⁻¹]はZ_p の商体になる。Z_p[p⁻¹]の 0でない各元は c=

X∞ i=l

c_ipⁱ (l∈Z, c_i ∈ {0,1,· · · , p−1}, c_l6= 0)

と一意的に表される。さらに、|c|=p^−l とノルム| |_p がZ_p[p⁻¹]上に延長され、Z_p[p⁻¹]はこの ノルムに関して完備である。一方、商体の普遍性から、QはZ_p[p⁻¹]に含まれ、Qのp 進ノルム

| |_p は制限により Z_p[p⁻¹]のノルム| |と一致する。完備化の一意性より、Q_p =Z_p[p⁻¹]となる。

3. 有理数体 Q 上のノルム

3.1. Ostrowskiの定理. 以下の定理は、A.Ostrowskiが1918年に証明[Os18]したものである。

このノートの証明は、E.Artin の証明 [Ar32] をアレンジしたものである。

定理 2. 有理数体Q上のノルムは以下の (1) - (3)のみである。

(1) 離散ノルム | |₀

(2) 0< ρ≤1に対して、複素数体のノルム| |_∞,ρ をQに制限したもの (3) 素数 p とρ >0 に対して、p進ノルム | |_p,ρ

証明 : 商体へのノルムの延長は一意的なので、有理整数環 Z のノルムが(1) - (3) のみである ことを証明すればよい。(1) - (3)が Zの異なるノルムを与えることは明らか。

| | をZ のノルムとする。| |が(1) - (3) のいずれかになることを証明する。準備のた めに、次の 2つの補題を与える。

補題. n∈Zに対して、|n| ≤ |n|_∞ となる。

補題. m >0, n≥2 に対して、|m|^1/logm≤max{1,|n|}^1/logn となる。

証明 : m のn 進展開を

m=a₀+a₁n+a₂n²+· · ·+a_rn^r (a_i ∈ {0,1,· · ·, n−1}, a_r6= 0) とする。このとき、r= [logm/logn]で、不等式

|m| ≤ |a₀|+|a₁n|+|a₂n²|+· · ·+|a_rn^r|

< n(1 +|n|+|n|²+· · ·+|n|^r)

≤ n(r+ 1)max{1,|n|}^r

≤ n(r+ 1)max{1,|n|}^logm/logn が成り立つ。よって、

|m|^1/logm ≤ {n(r+ 1)}^1/logmmax{1,|n|}^1/logn

である。m をmのべきm^s(s≥1)に変えると、[logm^s/logn]≤sr+ (s−1)なので

|m|^1/logm ≤ {ns(r+ 1)}^1/slogmmax{1,|n|}^1/logn となる。{ns(r+ 1)}^1/slogm→1 (s→ ∞) なので、

|m|^1/logm ≤max{1,|n|}^1/logn

が成り立つ。 ¤

定理の証明を続ける。

(ア) sup{|a| |a∈Z}= 1 のとき

補題. I ={n∈Z| |a|<1}はZ の素イデアルである。

証明 : 0 ∈I である。I = (0) のときは素イデアルである。I 6= (0) とする。仮定と素因 数分解の一意性より、空でない素数の集合 Ω = {p₁, p₂,· · · } が存在して、I はいず れかの p_i ∈ Ω の倍数になる。Ω がただ一つの素数からなることを示せば I が素イ デアルになる。p, q ∈ Ω (p 6= q) とする。p と q の十分大きいべき p^r, q^r をとると

|p^r|,|q^r|<1/2とできる。p^r とq^r は互いに素なので、ap^r+bq^r = 1となるa, b∈Z が存在する。

1 =|1|=|ap^r+bq^r| ≤ |ap^r|+|bq^r| ≤ |p^r|+|q^r|<1/2 + 1/2 = 1

となり矛盾する。したがって、Ωは一つの素数からなる。 ¤ I = (0)のときは、| |は離散ノルムである。ある素数pに対して、I = (p)とする。aが p と素なとき、a6∈I なので|a|= 1 である。ρ=−log|p|/logpとおく。a=p^{r m}_n (p 6 |mn) に対して、

|a|=|p|^r=|p|rlog|p|/log|p|p

p =|p^r|^ρ_p =|a|_p,ρ となるので、| |は| |_p,ρ と一致する。

(イ) sup{|a| |a∈Z}>1のとき

m ≥2 を|m|>1 なるZの元とする。| −1|= 1 なので、このようなm は存在する。

任意の n≥2に対して、

1<|m|^1/logm ≤max{1,|n|}^1/logn

なので、|n|>1となり、|m|^1/logm ≤ |n|^1/lognである。|n|>1なので、|m|^1/logm ≥ |n|^1/logn も成り立つ。よって、

|m|^1/logm =|n|^1/logn

である。この式は、任意の m, n≥2に対して成り立つ。ρ= log|2|/log2とおくと、n≥2 に対して

|n|=|2|^logn/log2=|2|^{ρlog|n|∞/log|2|}=|n|^ρ_∞=|n|_∞,ρ

となり、| |は| |_∞,ρ に一致する。 ¤

3.2. 積公式. ノルムに関する定理を一つ紹介する。例えば類体論等において、大域的な対象の局 所的な寄与を加え得ると自明になることがよくあるが、積公式は最初の重要な例である。

定理 3. aを0でない有理数とする。このとき、有限個をのぞくすべての素数pに対して、|a|_p = 1

となる。さらに、 Y

p≤∞

|a|_p= 1

である。

定理の左辺の積はすべての素数に対する正規化されたp進ノルム|a|_p と通常の意味での絶対値

|a|_∞ すべてを渡るが、有限個をのぞいてすべてが1 なので、実質は有限積である

例. a =−14/9 とする。a= −2×3⁻²×7 なので、|a|₂ = 2⁻¹,|a|₃ = 3²,|a|₇ = 7⁻¹,|a|_∞ = 14/9,|a|_p = 1 (p6= 2,3,7,∞) である。

Y

p≤∞

|a|_p =|a|₂× |a|₃× |a|₇× |a|_∞= 2⁻¹×3²×7⁻¹×14/9 = 1

で、積公式が成り立つ。

上の定理は、Riemann 球面上 (複素射影直線) の留数定理の類似である。すなわち、f(z) を Riemann球面上の有理型関数とすると、f(z) は高々有限個の点p₁,· · · , p_r で零点か極を持ち、そ の位数をn₁,· · ·, n_r とすると

Xr i=1

n_i = 0

となる。実際、有理数aの各素数p での n_p =−log|a|_p/logp は、aのp での位数、すなわち、a のp 進展開

a=a_npp^np+a_np+1p^np+1+· · · (a_np6= 0)

の初項の位数を表わす。対数をとると、これらに logp を掛けたものを足し合わせると0 になる。

ただし、∞ の部分は少し異なり、単純な類似ではない。

∞ のところは可微分多様体としてのメトリックを置き、SpecZ 上の代数幾何を考察する方法

をArakerov 幾何といい、数論の重要な一分野をなしている。

3.3. 有理整数環 Z 上のセミノルム. ノルムの公理 (i) を (i)’ |a| ≥0 (∀a∈R),|0|= 0,|1|= 1

と弱くした関数| |:R→Rをセミノルムという。非Archimedes的な場合、ノルムは一様に有界 なので、極限操作はセミノルムの公理を保つ。よって、次の命題が成り立つ。

命題 12. 素数 p に対して、| |_p,∞= lim

ρ→∞| |_p,ρ はZ のセミノルムになる。特に、

|a|_p,∞=

½ 0 ifp|a

1 ifp 6 |a である。

定理 4. 有理整数環Z上のセミノルムは以下の (1) - (4) のみである。

(1) 離散ノルム | |₀

(2) 0< ρ≤1に対して、複素数体のノルム| |_∞,ρ をQに制限したもの (3) 素数 p とρ >0 に対して、p進ノルム | |_p,ρ

(4) 素数 p に対して、セミノルム | |_p,∞

証明 : | |を Zのセミノルムとする。J ={a∈Z| |a|= 0} とすると、J は Z の素イデアル になる。実際、0∈J,16∈J であり、a, b∈J, n∈Zとすると|a+b| ≤ |a|+|b|= 0,|na|=

|n||a|= 0なので、a+b, na∈J である。また、|ab|= 0とすると |a|= 0または |b|= 0 が成り立つので、J は素イデアルである。

J = (0)とすると | |はノルムになるので、(1) - (3)のいずれかになることは既に示し た。ある素数 p に対してJ = (p) とする。a 6≡ 0 (modp) に対して、|a|= 1が成り立て ば | |は| |_p,∞ と一致する。

補題. a ≡ b(modp) ならば |a|=|b|である。特に、| |の像は有限集合である。

証明 : a−b=pcとする。このとき、|a|=|b+pc| ≤ |b|+|pc|=|b|が成り立つ。同様に、

|b| ≤ |a|が成り立つ。 ¤

定理の証明を続ける。a 6≡ 0 (modp) に対して、|a| 6= 1 とする。|a| 6= 0 なので、

|aⁿ|(n= 1,2,3,· · ·)はすべて異なる。これは、| |の像が有限集合であることに矛盾する。

したがって、|a|= 1 である。 ¤

M(Z) をZ上のセミノルム全体の集合とする。任意の a∈Zに対して、

M(Z)→R | | 7→ |a|

が連続になるような最弱の位相を M(Z)の位相とする。

定理 5. M(Z) はコンパクト Hausdorff空間である。

定理は次の補題から証明できる。

補題. M(Z)の開集合は、次の(1) - (5) の集合により生成される。すなわち、それらの有 限個の共通部分の和集合になる。

(1) 素数 pと 2つの実数 0< a < b に対して、

U_(a,b)={| |_p,ρ|a < ρ < b}.

(2) 素数 pと実数 a >0に対して、

U_(a,∞]={| |_p,ρ|ρ > a} ∪ {| |_p,∞}.

(3) 2つの実数 0< a < b <1 に対して、

V_(a,b)={| |_∞,ρ|a < ρ < b}.

(4) 正の実数0< a <1に対して、

V_(a,1]={| |_∞,ρ|ρ > a} ∪ {| |_∞,∞}.

(5) 素数 pと 2つの正の実数 a, b(b <1)に対して、

W[0,a),[0,b)={| |_p,ρ|0< ρ < a} ∪ {| |_∞,ρ|ρ < b} ∪ {| |₀}.

20世紀前半の代数幾何においては、(セミ)ノルム(または付値)を点と考えるやり方も重要な方 法であった。60年代に、A.Grothendieckによるスキーム論が登場して、ある意味忘れられた感が あるが、リジット解析による代数幾何の再構成(60年代のJ.Tateに始まる)により、その重要さが 再認識されてきている。ここで述べたM(Z) は、V.G.Berkovich によるZの解析空間であり、ス キームSpecZとは異なる通常の感覚の位相空間が伴っている。藤原一宏によるZariski-Riemann 空間等の拡張もあり、今後の発展が期待される分野である。

References

[Ar32] Artin, E.,Uber die Bewertungen algebraischer Zahlk¨orper, J. reine angew. Math. (1932), 157-159.¨ [Na67] 永田雅宜,「可換体論」数学選書6、裳華房、1967年

[Os18] Ostrowski, A.,Uber einige L¨osungen der Funktionalgleichung, Acta Math.¨ 41(1918), 271-284.

レポート問題 以下から、2 問以上解いてレポートを提出せよ。

締め切り: 7 月27 日(水) 15 時

提出場所: 数学事務室内の所定のボックス

1. 講義、または、このノートの定理、命題、または、例で証明の付いていないもの 2つ以上 に証明をつけよ。(5つ以上に証明をつけると、2 問解いたことにする。)

2. k を有限体とする。一変数多項式環 R=k[x]上のノルムを完全に決定せよ。

3. 数学の様々な分野でに登場する「ノルム」について、特定の分野に焦点を絞りまとめてみ よ。例えば、「Banach 空間のノルム」に関してレポートを書け。