偏微分
■
NobuyukiTOSE
September26,2018
戸向く０
６垂偲 怜命
の
調覗 ｔ からホい え！
8○・/b 乙。。/･
1／輻 巴璽分
N1，
｜
ミクロ経済学における基本的な問題
ミクロ経済学では最初に以下の基本的な問題を学びます．
o生産理論(ProductionTheory)
･消費者理論(ConsumerTheory)
四F分 zノ15
I lJhL,L山「 組E
」
生産理論(ProductiDnTheory)
侭寿f
生産物(product)Cが生産要素(productionelements)A,Bから生産される
とします.A,B,cn癖それぞれp999γとします.AとBをそれぞ
れおとり投入するときcがz=f(",3ﾉ)得られるとします．
このときf(",")を生産関数(productionfunction)と呼ばれます． またこ の状況で利潤関数(profitfunction)を
汀(錘,り)＝γf(",zﾉ)− − と定義します．
生産理論の最初のステップは，利潤関数7r(",")を最大化して生産要素
需要関数
錘="(p,9,'･),"="(p,q,r)
を求めることにあります。
f〈ｪ,い=G.x雲｡〈もFコフ:9,'り､､ぅLTW
N]』畑r'訓臥 1 町 ■微分 3／1日
CJ ･ﾍ !f !$!D､)(,M､if･JM
3‑t号舗､浦
｜
消費者理論(CDnsumerTheory)
商品(Goods)A,Bがあるとします. Aを韮,Bをg購入するとき，消費者
が効用関数(utiliWfunction)u(",1ﾉ)の効用を得るとします． さらにA9B の価格がp,qであるとします．消費者が予算Iを全額消費してA,Bを購入するとします。 ここでの問題 は予算制約と呼ばれる制約条件
％、
I−p錘一qZ/=0
の下で皿(",zﾉ)を最大化して需要関数(demandfunction)
鉛="(p,q,I),zノ="(p,9,I) と所得の限界効用(mariginal util ityofincome)
入＝入(p,9,1)
正一や
を得ることです
￨ ' ' dw1 T 'MF 4／'5
¥v‑久｡川ﾍﾉ､'い。 〉 ､"、
」
開集合(Opensubsets)
P、c,間 ﾉも､U(、絹い）
（
Definition
R2の部分集合Uがあるとします.U が開集合であるとは任意のPoEUに 対してγ＞0が存在して
U ‑
PoZf
Br(P｡)=J…':.(P'P･'<")￨
、ノ
、が成立することです． ここでd(P,PO) はPとPOの距離で,B"(Po)は中心 P0,半径γ>0の開円盤と呼びます．
h
（ １Ｊ
1
｛
ｰ
／
〆
ー 一
−
Eハ昌
■微分
｡(｡，3。） 瓜も:1．
NhhI] 1 1,吋Tミ毎
P(×,1),P｡(
ol(P,PD，
一一 ‐3一目o;
PセPo9旺郎
■■■
開集合の例
以下のR2の部分集合は開集合です．
。R2
。上半平面
Ui:={(",zﾉ)ER2;">0}
●第1象限(1stQuadrant)
R4+:={(",")ER2;",">0}
・開円盤
Br(Po) :={PER2;d(P,Po)<7､｝
5／'5
…分
､f 3 yV、＞
、'、 11 1 ヘ
丁と
I) IRz P｡ (RL
○Q‑) 上等耳砲
｡,V･）
剖
{〔．(，
U!
＝3)) 1>o ／
一一〜 け r b 一 . 一 いー｡
己
シ輔︒恥
Ｃフヒ ︒二 ｑＪｆ排−２
︑１Ｊ／○
一 ｚ
ｘ
−し
蛙亀
α卜ｖ
恥了 心二 １ 座ｂｌｒ γ
も
Ｓ１１ｉ ｄ ｉ 霊 ｒｌｌグ
／墓
︺
３￨‑、 二
I､>o
一 ヶ
〆 、
キノ魚円紬
−に｡、
cT243P、
プ 、
IRi ！
『
（ P ｝
（ （、〜 ー→一 ③ 〃， ¥1ミ魁ぜ･；郡bF‑)
￨ﾜDe IQz (い (､置肉 職
レト>o
乍lP｡]
Bﾄげ､)
廷恥 丘羊閏昼
F,=:(
CX／1）） 1二 ｡〕
ー
ト
（い
§
ご､､ 、 I子汁、
』量ci l‑> Bﾄ(P｡)中や，
へ
o (謬チJ (､･
■■■
開集合一反例
以下のR2の部分集合は開集合ではありません．
ePoER2のなす集合{Po}
●閉上半平面
ri:={(",z/)ER2;り≧0}
●閉上半平面
R4+:={(m,")R2;",り≧0}
●閉円盤
Br(Po) :={PER2;d(P,Po)≦γ｝
■溢耕 7ノユ目
1，1 1 ； 山IllT E
PartialDifI巳rentiaticn
α令レー。
卜
､＃二6．
h｢L:LI U*l T 輔1 ■雷分
証.陸柔叶､､ §
’
PartialDifrerentiation
を
一 畳 織 巳
ｊ
ｆ一ト
ーｊエ
Ｋ
Ｆ
癌訟 す郡 二れ １メ鼠ｆ ﹄韮〃１
極の
中ハ
の義／ 定庫
７で況状の
テ
﹂ 一
−
九 (
q,b):=F'(a)=lim
毎→α 錘一α
f(Q,9)‑f(a,b)
ん(q,b) :=G'(b)=lim
ツー÷b
と定義できます．
〃−b
9ノ西
■醗針 11 ｜ 山LlTD5E
PartiaIDifWErentiation‑Anexample
R2上の関数
f(",")="3+2"ﾉ2+2ﾉ3 について考えます. (q,b)ER2の周りで考えるとして
F(") :=f(",b)="3+2"b2+b3,andG(I/) :=f(Q,z/)=q3+2"ﾉ2+1
と定義します． このとき
F'(")=3"2+262, andG'(")=4"ﾉ+3"2
から
た(q,b)=3Q2+2b2, ん(Q,b)=4ab+362
を得ます．
贋鹿分 1。／15
1 1 ｜ ，ul TDH碇
’
Review微分可能な1変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を思い出しま しょう．
Theorem
微分可能な関数f: ]a,b[→Rがあるとします. fがce]a,b[で極小
(極大）ならば
f'(c)=0
泰2h･1 . 太上五
一勺一一
『
̲L一一十一一一一一 C‑･ Cャざ
一一一一
〔̲−5‐
■通性
典 ＆ ・2,.
｜ 1回IF Ll T口舌E
c‑r c‑"J、
ロ
尚
琉刈 、
、G
深くど糸直
も
3S､>oに対,レ
j･(:f,)Z j‑cc) Lc‑Fくむくcfg､ ）
.1,
斗
Minimal (Maximal)Points
r…伊謝…>
R2の開集合U上の関数
f:U→R
に対して, fがPo(cm,b)で極小(resp極大）であるとは
存在して
f(",")≧f(a,b) ((",")EB6(Po)) (resp. ‑D
f(",")≦f(a,b) ((",9)EBJ(Po))
ー
が成立するときです．
あるが
Cエゲ
■ ■■■■■
g､>o
■磁分 亜／玉
『, '.！↓E '｣11氏T託
｜
Minimal (Maximal)Points‑Theorenl
R2の開集合U上の関数
f:U→R
がUの各点PEUで韮, Zﾉについて偏微分できると仮定します．
Theorem
fがPo(a,b)EUで極小（極大）ならば
ん(a,b)=AJ(a,b)=0
が成立します．
(1)
I
この状況で(1)を満たす点Po(G,b)をfの停留点と呼びます
回ノエ且
呂徴分 1‑ド l IjI T
ヨ
;)eB『(Pb)
7）参ま<q(e･)
4,r..{
Minimal (Maximal)POintS‑Sketch
、し
c̲̲S､<Xく瓜ヤミ、
＞
＝うすく一弘,､い=#Rq[‑c)
fがPOで極小とします． このとき
一
F("=f(",b)
Fc>L)
は"=αで極小となります. このとき シF(Q)
一
F'(α)＝O従ってた(Q,b)=0
FIxx=QL"
となります．
平山
《（ ，−−−も P((o､）
･−−戸‑も
Q(e)=｡
ル iE
＝○
ﾕ4／1且
■圃分 川1 鮎丁翫匡
↓
j3((I[&)=o
l
Minimal (Maximal)PDint自一Anexample
関数
f(",") について考えます．
助一︾司 物一
４ 〃錘
十一一
０８ ６０ −０−０
０一一知一一十６＋８ Ｊ−１｜ 〃ｇ・ｇ ４４錘４ 群叶挫計 ２２０４
一一一一一一１ｊ 〃〃
７７
麺錘 くく九九
を解くと， （錘,g)＝(1,1)がfの唯一の停留点であることが分かります．
ﾕ5／15 彊揮分
I1l hIⅦW' 1 1 1, ｜、 11
一
８斗﹃ ６二 二３６８ ３斗ｌ
ＱＬ
十
味ｘ︷一 四ｑ鴎し
︐１１〜﹄し
＝−−
式
,3X−((‑ q(L
,(邇雇ミ
$
4
(1)X ‑(L)><e
LI)xe一(L)x@､
&dxi‑ ed;二、<d 6州=BG
･<d‑ff
[cﾍd−ec)x̲
一一’
￨宙￨ 渓＝ ｜㈱
N‑e
I 6 0l
宙(キ° 陰証 。−
<』ごI
−ぐ
￨蝿1
：
一一 −一･
'c‑fti
X〜〔し②
o3
土 ‑el十G>c= o<
o':+ cDL=F
Ｉ ’
-e-&
NC/ I c' e c cI lキ･
−−
職
1言も
一
︸ 一
￨:；
一
㈱I
一側
Ｉ 〆６
αし
一
1
一 一
＝ 二
工舌倒寸,廷を丁＃
（
〔｛）才一('3）ニン
フc延十r
(2) j <x,8)= (>c十コ肌〈升x‑Hjl
丁 オ 〈｡（
／リ）ごx2−x 、↓ 十 3 1 十2X‑ 4
； J{し
‐4L
（ラ ヲー
（
r沿い、 Z ト§ 狼帆
（りぅ脈ｰ 電例ぅ）
−
乢
い）（jご幻&‑C にd う
（鯖)(且ざ二 コ
（匙）
