ま
数 学 問 題
注意事項
l.この問題冊子は１４ページあります。解答用紙には，「数学①｣と｢数学②」
の２枚あり，「数学②｣には表と裏があります。
２．あなたの受験番号は，２枚の解答用紙に印刷されています。印刷されてい る受験番号と，受験票の番号が一致していることを確認しなさい。
３．監督者の指示にしたがい，２枚の解答用紙の所定の欄に氏名を記入しなさい。
４問題(I]の解答は．解答用紙｢数学①｣の所定の欄にマークしなさい。
５．問題〔Ⅱ〕，〔Ⅲ〕の解答は、解答用紙｢数学①｣の所定の欄に記入しなさい。
６．問題[W],(V)は，解答用紙｢数学②｣の所定の柵に解答しなさい。
７.１問につき２つ以上マークしないこと。２つ以上マークした場合には．
その解答は無効になります。
８．解答は，必ず鉛筆またはシャープペンシル(いずれもHB・黒)で記入しな さい。
９．訂正する場合は．消しゴムできれいに消し，消しくずを残さないこと。
１０．解答用紙は，絶対に汚したり折り曲げたりしないこと。またʻ所定の欄以 外には絶対に記入しないこと。
１１．解答用紙は持ち帰らず，必ず提出しなさい。
１２．この問題冊子は必ず持ち帰りなさい。
1３.試験時間は１２０分です。
14.マークシート記入例
良い例
●
い 例
。⑭○
次の空欄偏司から[-房̅。にあてはまる0から9までの数字を,解答用 紙の所定の棚にﾏｰｸせよ｡ただし,[̅詞̅]は2桁の数である。
[ I ]
(1)三角形ABCの内心をI,n=3,X6=すとおく。AB=2,BC=3,CA=４
とするとき
｜アʼず
一 ６ ＋Ⅱ １
１ １
１
■
』
四 一
→
司
A I = →か）
｜ イ ʼ
である。
なお，分数は既約分数にすること。
- 1 -
(このページは、計算や下書きに利用してもよい｡）
２
(2)さいころを１回投げる試行において起こりうる事象を考える。事象X､の確率 をP(x)で表す。２つの事象A,BがP(AnB)=P(A)P(B)を満たすとき，事 象A,Bは独立であるという。たとえば奇数の目が出る事象をA,４以下の目が
出る事象をＢとするとき
P(A)==,P(B)=-,P(AnB)==
であるので，事象A.Bは独立である。
3以下の目が出る事象をＣとするとき，事象C,Dが独立となるような事象
D(空事象を除く)の個数はオカ｜である。
３
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
４
〔Ⅱ〕空欄団から国にあてはまる数または式を解答用紙の所定の欄に記
入せよ。
(1)砥についての方程式
“ ３ 〃 ２ + ４ A = 0
田
の実数解の個数が１であるような実数ｋの値の範囲は である。
５
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
６
(2)α＝､/3'十(､/g+')iとする。ただし,jは虚数単位である。複素数平面 上の３点０，α,βが正三角形の頂点となるようなβは２つ存在する。それらは
国と「河である｡ただし,［
わない。解答は三角関数を用いずに表せ。
|,ʼ
う|の解答の順序は問
い
７
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
８
〔 Ⅲ 〕 次の空欄[̅珂からＦ司に当てはまる数または式を解答用紙の所定の
欄に記入せよ。ただし，解答は三角関数を用いずに表せ。
(')･os==国である。
(2)'inf=[二壹コである。
(3)数列{α"｝を
か
か
α,＝､/Z,α蝿+1==､/回̅¥̅E77("=1,2,3,……）
で定める。例えば
α2=ｿｮｴ丙,
となる。
このとき
[ 口
lim２"､/r二̅瓦而＝
7Z→ＣＯ
である。
９
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
１ ０
〔 Ⅳ 〕
長方形ABCDの辺AB上にある点Poから出発した動点Ｑは，この長方形の内 部をまっすぐ進み，いずれかの辺上の点P1に到達する。その後,k=1,2,3,……の順に以下を繰り返す。
点PAが長方形ABCDの頂点であれば動点Ｑはそこで停止し，点Ｐル が長方形ABCDの頂点でなければ動点Ｑは進行方向を９０ｏ変えて，ま た長方形ABCDの内部をまっすぐ進み，いずれかの辺上の点Pk+1に到 達する。
A B = a , B C = 6 , 4 B P O P , = 9 , A P o = 《 と し て , 8 と ２ は 0 < 8 < ９ ０ ｡ , ０＜２＜αを満たすとする。このとき以下の問いに答えよ。ただし，辺は両端の点を 含み，長方形の内部は辺を含むとする。
， 一 Ｃ
』
ひ
訓
〃
〃
っ才 、
- づ
ゆ Ｐ ､藝・-鰯〃
-
．．．．．．１８
A
↓
ｰPo ＆Ｂ動点Ｑが辺(頂点を除く）に到 達すると進行方向を９０。変える
(1)点P1が辺BC上にあるための必要十分条件をα,6,8,2で表せ。途中経過を 記述する必要はない。
(2)動点Ｑが点Poを出発した後，辺BC上の点P1に到達し，次に辺CD上の 点P２に到達し，次に辺DA上の点P３に到達し，次に辺AB上の点Poに戻る
ならば
｛６(α2)tan8}tan8=@･･""･@
が成り立つことを示せ。
(3)α＜６ならば，すべての２に対して，条件①と(1)の条件を満たすような８ が存在することを示せ。
１ １
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
１ ２
７Ｌ
('）実数，．と自然数”について和E'｡ｋを求めよ｡途中経過を記述する必要は
ルー=０
ない。
(2)
自然数ﾙに対してか) 鰻，…めよ・
(3)自然数ｎに対して
久ʻ缶" 古
[V]
を示せ。
( 4 ) 自 然 数 ” に 対 し て α " ＝
皇(１)胸-】
Ａ＝１
Ｚ
と定めるとき， limａ澗 を求めよ。
冗 → Ｃ Ｏ
肉
- １ ３ -
(このページは，計算や下書きに利用してもよい｡）
１ ４
