PDF 数値計算実習 - 明治大学

(1)

数値計算実習

桂田祐史

2015 年 7 月 15 日 , 2015 年 7 月 22 日

1 レポート課題

(

書きかけ

)

締め切りは

8

月

1

日

18:00,

提出方法は

Oh-o! Meiji.

複数のファイルを送りたい場合は、

zip

でまとめて送って下さい。もし容量制限に引っかかった場合は、早目にメールで相談。

以下のいずれかをして下さい。使用するプログラミング言語の選択は基本的に自由ですが、

こちらが直接相談に乗るためには、自分の

MacBook Air

で実行できて、見せることが出来る必要がある。

［

1

］

(1)

湧き出しまたは渦糸の流線・等ポテンシャル線、ベクトル場を適当に

(

流れの様子が良く分かるように

)

可視化する。

(2)

自分で思いつく正則関数を

5

つ以上試し、そのうちの

1

つを選んで、それを複素速度ポテンシャルとする流れについて、流線、等ポテンシャル、ベクトル場を適当に可視化し、それをもとにどういう流れであるか説明する。

［2］渦なし非圧縮の定常流で、流体の占める領域の境界での流速が分かっている場合に、速度ポテンシャル、流れ関数を有限要素法で計算して、当ポテンシャル線

,

流線

,

ベクトル場を可視化せよ。

［3］自分が選んだ単連結領域

Ω

を単位円盤

D

₁ に双正則にうつす写像

φ: Ω → D(0; 1)

のを基本解の方法を用いて数値的に求めよ。結果を何らかの方法で確かめること

(

もしも真の写像が分かっている場合はそれとの比較、像が実際に単位円になっていることなど。

)

。

2 簡単な流れの可視化

2.1 おさらい

流体の

2

次元の流れを考える。速度場を

v =

( u v

)

とするとき、

ω := v

_x

− u

_y

(2)

で定義される

ω

を渦度と呼び、いたるところ

ω = 0

であるとき、流れは渦なしという。

非圧縮条件

div v = 0

が成り立つとき、流れは非圧縮であるという。

•

渦なしならば速度ポテンシャルが存在

: ∃ ϕ s.t. grad ϕ = (

ϕ

_x

ϕ

_y

)

= v.

さらに非圧縮ならば

△ ϕ = 0.

例えば領域の境界で

v

が分かれば、

△ ϕ = 0 (in Ω)

∂ϕ

∂n = v · n (on ∂ Ω)

•

非圧縮ならば流れ関数が存在

: ∃ ψ s.t.

( ψ

_y

− ψ

_x

)

= v.

さらに渦なしならば

△ ψ = 0.

•

渦なし非圧縮ならば

f := ϕ + iψ

は正則関数で、

f

^′

= u − iv .

•

曲線で、その接線ベクトルが速度ベクトルと方向が同じものを流線と呼ぶ。定常流の場合、流線は粒子の軌跡と一致する。

ψ =

定数は流線を表す。

• ϕ =

定数で表される曲線を等ポテンシャル線と呼ぶ。

•

渦なし非圧縮流では、流線と等ポテンシャル線は互いに直交する。

2.2 簡単な流れ

2.2.1

一様な流れ

c ∈ C , f(z) = cz

の場合、

c = U e

⁻^iα

(U > 0, α ∈ R )

とする。複素速度は

u − iv = f

^′

= U e

⁻^iα

.

すなわち

v = (

u v

)

= (

U cos α U sin α

) .

速度ポテンシャルと流れ関数は

{

ϕ = U (x cos α + y sin α),

ψ = U ( − x sin α + y cos α)

(3)

図

1:

一様な流れ

2.2.2

湧き出し、吸い込み

m ∈ R , f(z) = m log z (

多価関数！

)

の場合、

z = re

^iθ とすると、

u − iv = f

^′

= m z = m

r (cos θ − i sin θ) .

すなわち

v = (

u v

)

=



 m

r cos θ m

r sin θ



 .

速度ポテンシャルと流れ関数は

{

ϕ = m log r ψ = mθ

原点の周りを一周する任意の閉曲線

C

を取ると、

C

から外に湧き出る流量は

∫

C

v · nds =

∫

C

dψ = Im

∫

C

df = Im

∫

C

f

^′

(z)dz = Im

∫

C

m

z dz = 2πm.

(

既に見たように、

n ds =

( − dy dx

)

であり、

v · n ds = − vdx + udy = ψ

_x

dx + ψ

_y

dy = dψ

である。

)

m > 0

ならば原点から湧き出す流れ、

m < 0

ならば原点に吸い込まれる流れ、を表す。

これは

C \ { 0 }

で渦なしの流れである。

2.3 渦糸

κ ∈ R , f (z) = iκ log z

の場合、

z = re

^iθ とすると、

u − iv = f

^′

= iκ z = κ

r i (cos θ − i sin θ) = κ

r (sin θ + i cos θ) .

すなわち

v = (

u v

)

=



 κ r sin θ

− κ r cos θ



 = κ r

( 0 1

− 1 0 ) (

cos θ sin θ

)

= κ r

(

cos

⁻₂^π

− sin

⁻₂^π

sin

⁻₂^π

cos

⁻₂^π

) ( cos θ sin θ

)

.

(4)

図

2:

湧き出し速度ポテンシャルと流れ関数は

{

ϕ = − κθ ψ = κr

流線は原点を中心とする円で、等ポテンシャル線は原点を端点とする半直線である。

図

3:

渦糸

3 Mathematica で一様流を可視化

複素数の計算、二変数関数の等高線と

2

次元ベクトル場の描画が出来れば良い。

虚数単位は

I,

実部

Re[],

虚部

Im[],

共役複素数

Conjugate[],

絶対値

Abs[],

偏角

(

の主値

) Arg[],

それと

ComplexExpand[]

などが用意されている。

2

変数関数の等高線には

ContourPlot[],

ベクトル場の描画には

VectorPlot[]

が用意されている。これらの使い方はオンライン・ヘルプを見よ。

(5)

c=1-2I f[z_]:=c z

phi[x_,y_]:=ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]

psi[x_,y_]:=ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]

g1=ContourPlot[phi[x,y]==Table[c,{c,-5,5,1.0}],{x,-2,2},{y,-2,2}, ContourStyle->Directive[Red]]

g2=ContourPlot[psi[x,y]==Table[c,{c,-5,5,1.0}],{x,-2,2},{y,-2,2}, ContourStyle->Directive[Blue,Thin]]

u[x_, y_] := ComplexExpand[Re[f’[x + I y]]]

v[x_, y_] := -ComplexExpand[Im[f’[x + I y]]]

g3 = VectorPlot[{u[x, y], v[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

g12=Show[g1,g2]

g13=Show[g1,g3]

ComplexExpand[]

は事前に

Evaluate

させる効果も考えて採用したが、いつもこれを使うのが良いかは良く分からない。

一様流は素直なので簡単に描画できるが、そうでないものは色々調整が必要そうだ。

4 Laplace 方程式の境界値問題を数値計算で解く

4.1 この講義に現れた境界値問題

1

つは速度ポテンシャルに対する

Neumann

境界値問題で、

△ ϕ = 0 (in Ω) (1)

∂ϕ

∂n = v · n (on ∂ Ω) (2)

というもの。この場合は、

Γ

₁

= ∅ , Γ

₂

= ∂ Ω, f = 0, g

₂

= v · n

とすれば良い。

もう

1

つは、領域

Ω

の写像関数

f : Ω → D

₁ を求めるための

Dirichlet

境界値問題で、

△ u = 0 (in Ω) (3)

u(z) = − log | z − z

₀

| (z ∈ ∂Ω).

(4)

ただし

z

₀ は

Ω

から選んだ任意の

1

点である。この

u

の

1

つの共役調和関数を

v

として、

f (z) = (z − z

₀

) exp (u(z) + iv (z))

で

f

が得られる。

(6)

-2 -1 0 1 2 -2

-1 0 1 2

図

4:

等ポテンシャル線と流線は直交する

-2 -1 0 1 2

図

5:

等ポテンシャル線と速度ベクトル

(7)

4.2 FreeFem++ とは

FreeFem++

¹ は、パリ第

6

大学

J. L. Lions

研究所の

Fr´ ed´ eric Hecht, Oliver Pironneau, A. Le

Hyaric,

広島国際学院大学の大塚厚二氏らが開発した、

2

次元

, 3

次元問題を有限要素法で解く

ための、一種の

PSE (problem solving environment)

であり、ソースコード、マニュアル

(

約

400

ページ,幸い英文)、主なプラットホーム

(Windows, Mac, Linux)

向けの実行形式パッケージが公開されている。

細かいことは、以前書いた紹介文「FreeFEM++ の紹介」² を見てもらうことにする。

上記の

WWW

サイトから、

FreeFem++-3.38-MacOS 10.9-mpi.pkg

のようなインストーラーを入手して実行するだけで、簡単にインストールできる。

4.3 Poisson 方程式の境界値問題に対する弱形式

Ω

を

R

^m の有界な領域、その境界

∂Ω

が

Γ

1

, Γ

2 に分かれているとする。

∂Ω = Γ

₁

∪ Γ

₂

, Γ

₁

∩ Γ

₂

= ∅ .

このとき、

Poisson

方程式の境界値問題

− △ u = f (in Ω) (5)

u = g

₁

(on Γ

₁

) (6)

∂u

∂n = g

₂

(on Γ

₂

) (7)

は、次のように弱定式化される。

Find u ∈ X

_g₁

s.t.

∫

Ω

grad u · grad v dx =

∫

Ω

f v dx +

∫

Γ2

g

₂

v ds (v ∈ X).

ここで

X

_g₁

:= {

w ∈ H

¹

(Ω) | w = g

₁

on Γ

₁

} , X := {

w ∈ H

¹

(Ω) | w = 0 on Γ

₁

} .

それから念のため

: grad u · grad v = u

_x

v

_x

+ u

_y

v

_y

.

4.4 (1), (2) を解くための FreeFem++ のプログラム

速度ポテンシャルを求める境界値問題

△ ϕ = 0 (in Ω) (

再

1)

∂ϕ

∂n = v · n (on ∂ Ω) (

再

2)

1http://www.freefem.org/ff++/

2http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/welcome-to-freefem-2012/welcome-to-freefem-2012.html

(8)

の場合は、

Γ

1

= ∅ , Γ

2

= ∂Ω, f = 0, g

2

= v · n.

特に

Ω = { (x, y) ∈ R

²

| x

²

+ y

²

< 1 } , v ≡ (

1 2

)

のときは、

(x, y) ∈ ∂Ω

において

n = (

x y

)

であるから、

g

₂

= v · n = (

1 2

)

· (

x y

)

= x + 2y.

速度ポテンシャルを求める

solveLaplace.edp

// solveLaplace.edp

border Gamma2(t=0,2*pi) { x=cos(t); y=sin(t); } int m=40;

mesh Th = buildmesh(Gamma2(m));

plot(Th, wait=1, ps="Th.eps");

savemesh(Th,"Th.msh"); // optional fespace Vh(Th,P1);

Vh u,v;

func f=0;

func g1=0; // no use func g2=x+2*y;

solve Poisson(u,v) =

int2d(Th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) -int2d(Th)(f*v)

-int1d(Th,Gamma2)(g2*v) // +on(Gamma1,u=g1)

;

plot(u,ps="equipotential.eps");

プログラムはテキスト・エディター

(テキスト・エディット, mi, emacs

など)で作成し、ターミナルから、

こんなふうにして実行

FreeFem++ solveLapalce.edp

とタイプして実行できる。

(

実は、上の弱形式は解の一意性がないので、このプログラムは少し危ういところがある。

)

4.5 (3), (4) を基本解の方法で解く

(

この項は書きかけです。

)

写像関数

f : Ω → D

₁ を求めるための、境界値問題

△ u = 0 (in Ω) (再 3)

u(z) = − log | z − z

0

| (on ∂ Ω)

(

再

4)

(9)

図

6: Ω

の三角形分割

図

7:

一様流の等ポテンシャル線と流線を基本解の方法

(FSM)

で解いてみよう。

Ω

の外部に

N

個の点

ζ

1

, . . . , ζ

N を取り、

u

^(N⁾

(z) :=

∑

N k=1

Q

_k

log | z − ζ

_k

|

とおく。ここで

Q

_k

(k = 1, . . . , N )

は未知の実定数である。一方、

∂Ω

から

z

₁

, · · · , z

_N を選び、

u

^(N)

(z

_j

) = − log | z

_j

− z

₀

| (j = 1, · · · , N )

で

Q

_j を定める。具体的には連立

1

次方程式



 

 

log | z

₁

− ζ

₁

| log | z

₁

− ζ

₂

| · · · log | z

₁

− ζ

_N

| log | z

₂

− ζ

₁

| log | z

₂

− ζ

₂

| · · · log | z

₂

− ζ

_N

|

.. . .. . . .. .. .

log | z

_N

− ζ

₁

| log | z

_N

− ζ

₂

| · · · log | z

_N

− ζ

_N

|



 

 



 

  Q

₁

Q

₂

.. . Q

_N



 

  =



 

 

− log | z

₁

− z

₀

|

− log | z

₂

− z

₀

| .. .

− log | z

_N

− z

₀

|



 

 

を解けばよい。

Ω

を

D

₁ に写す等角写像を求めてみよう。実部が

u

^(N) と一致する正則関数

f

^(N⁾が求まれば、

ϕ

^(N)

(z) = (z − z

₀

) exp f

^(N)

(z)

が等角写像の近似になることが期待できる。

(10)

簡単のため、

Ω

は

z

0 に関して星型であるとする。このとき

f

^(N)

(z) := Q

₀

+

∑

N k=1

Q

_k

Log z − ζ

_k

z

₀

− ζ

_k

, Q

₀

:=

∑

N k=1

Q

_k

log | z

₀

− ζ

_k

|

は実部が

u

^(N⁾に等しい正則関数である。

Log

を使っているが、

Ω

全体で一価正則な関数になっている。

4.6 Eigen ライブラリィを用いた計算プログラム

個人的には、この手の計算には

MATLAB

を使うのが好みであるが、ここでは、

C++

でベクトル、行列に関する演算をするための計算ライブラリィ

Eigen

³ を利用してみる。

WWW

サイトから、

eigen-eigen-bdd17ee3b1b3.tar.gz

のようなソース・ファイル一式を入手して、以下のようにインストールする

(/usr/include/

にファイルをインストールする場合

)

。

MacBook

のターミナルで次のようにインストール

tar xzf eigen-eigen-bdd17ee3b1b3.tar.gz cd eigen-eigen-bdd17ee3b1b3

tar cf - Eigen | (cd /usr/include/; sudo tar xpf -)

Ω = D

₁

= D(0; 1), z

₀

= 1/2

の場合を解いてみよう。この場合は、

φ(z) = ε z − z

₀

1 − z

₀

z

が解であることが分かっている

(ε

は

| ε | = 1

を満たす定数

)

。

conformalmap.cpp

⁴

/*

* conformalmap.cpp --- 等角写像の数値計算例 (基本解の方法の天野要バージョン)

*

* g++ -I/usr/X11R6/include conformalmap.cpp -L~/lib -lglscd -L/usr/X11R6/lib -lX11

*/

#include <iostream>

#include <complex>

#include <Eigen/Dense>

extern "C" {

#include <glsc.h>

};

using namespace Eigen;

// MatrixXd は大きさが指定できて、成分が double // d の変わりに i, f, cf, cd

3http://eigen.tuxfamily.org/

4http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/complex2/conformalmap.cpp

(11)

// φ(z0)=0, φ’(z0)>0 を満たす等角写像

std::complex<double> phi(std::complex<double> z, std::complex<double> z0) {

std::complex<double> w;

w = (z-z0)/(1.0-std::conj(z0)*z);

return w;

}

// 天野の方法による等角写像

std::complex<double> f(std::complex<double> z, std::complex<double> z0, int N,

double Q0,

VectorXd Q, VectorXcd zeta) {

int k;

std::complex<double> s;

s = Q0;

for (k = 0; k < N; k++)

s += Q(k) * log((z-zeta(k))/(z0-zeta(k)));

return (z-z0) * std::exp(s);

}

int main(void) {

int i, j, k, N, m;

double theta, pi, dt, R, Q0, r, dr;

// 虚数単位と原点に移る点 z0=1/2

std::complex<double> I(0,1), z0(0.6,0.0), zp, w, w2;

R = 2;

N = 80;

VectorXcd zeta(N), z(N);

VectorXd b(N), Q(N);

MatrixXd a(N,N);

pi = 4.0 * atan(1.0);

dt = 2 * pi / N;

// 円周 |z|=2 上の等分点 for (k = 0; k < N; k++)

zeta(k) = R * exp(I * (k * dt));

// std::cout << "zeta=" << zeta << std::endl;

// 単位円周 |z|=1 上の等分点 for (j = 0; j < N; j++)

z(j) = exp(I * (j * dt));

// 係数行列の準備

for (j = 0; j < N; j++) for (k = 0; k < N; k++) {

a(j,k) = log(abs(z(j)-zeta(k)));

} // 右辺

for (j = 0; j < N; j++) { b(j) = - log(abs(z(j)-z0));

(12)

}

// 電荷を求める

Q = a.partialPivLu().solve(b);

// Q0 を求める Q0 = 0;

for (k = 0; k < N; k++) {

Q0 += Q(k) * log(abs(z0-zeta(k)));

}

g_init("GRAPH", 150.0, 150.0);

g_device(G_BOTH);

g_def_scale(0, - 1.2, 1.2, -1.2, 1.2, 10.0, 10.0, 140.0, 140.0);

g_sel_scale(0);

m = 20;

// 同心円の像 dr = 1.0 / m;

dt = 2 * pi / (4 * m);

for (i = 1; i <= m; i++) { r = i * dr;

for (j = 0; j <= 4 * m; j++) { zp = r * exp(I * (j * dt));

w=f(zp,z0,N,Q0,Q,zeta);

if (j == 0)

g_move(w.real(), w.imag());

else

g_plot(w.real(), w.imag());

} }

// 放射線の像

for (j = 0; j <= 4 * m; j++) { theta = j * dt;

for (i = 0; i <= m; i++) { r = i * dr;

zp = r * exp(I * theta);

w=f(zp,z0,N,Q0,Q,zeta);

if (i == 0)

g_move(w.real(), w.imag());

else

g_plot(w.real(), w.imag());

} }

g_sleep(-1.0);

g_term();

}

g++ -I/usr/X11R6/include conformalmap.cpp -L/usr/local/lib -lglscd -L/usr/X11R6/lib -lX11

(13)

図

8: w = z − z

₀

1 − z

₀

z , z

0

= 1/2

PDF 数値計算実習 - 明治大学

数値計算実習

締め切りは

Oh-o! Meiji.

以下のいずれかをして下さい。使用するプログラミング言語の選択は基本的に自由ですが、

MacBook Air

［2］渦なし非圧縮の定常流で、流体の占める領域の境界での流速が分かっている場合に、速 度ポテンシャル、流れ関数を有限要素法で計算して、当ポテンシャル線

2 簡単な流れの可視化

流体の

: ∃ ϕ s.t. grad ϕ = (

例えば領域の境界で

2.2 簡単な流れ

すなわち

U cos α U sin α

速度ポテンシャルと流れ関数は

m ∈ R , f(z) = m log z (

原点の周りを一周する任意の閉曲線

v · n ds = − vdx + udy = ψ

これは

2.3 渦糸

流線は原点を中心とする円で、等ポテンシャル線は原点を端点とする半直線である。

3 Mathematica で一様流を可視化

複素数の計算、二変数関数の等高線と

Conjugate[],

一様流は素直なので簡単に描画できるが、そうでないものは色々調整が必要そうだ。

4 Laplace 方程式の境界値問題を数値計算で解く

というもの。この場合は、

Dirichlet

ただし

) exp (u(z) + iv (z))

ための、 一種の

PSE (problem solving environment)

上記の

FreeFem++-3.38-MacOS 10.9-mpi.pkg

は、次のように弱定式化される。

Find u ∈ X

ここで

: grad u · grad v = u

速度ポテンシャルを求める境界値問題

solveLaplace.edp

プログラムはテキスト・エディター

(テキスト・エディット, mi, emacs

こんなふうにして実行

FreeFem++ solveLapalce.edp

とタイプして実行できる。

4.5 (3), (4) を基本解の方法で解く

写像関数

u(z) = − log | z − z

とおく。ここで

Log z − ζ

は実部が

4.6 Eigen ライブラリィを用いた計算プログラム

個人的には、この手の計算には

MATLAB

が解であることが分かっている

conformalmap.cpp

g++ -I/usr/X11R6/include conformalmap.cpp -L/usr/local/lib -lglscd -L/usr/X11R6/lib -lX11

［2］渦なし非圧縮の定常流で、流体の占める領域の境界での流速が分かっている場合に、速度ポテンシャル、流れ関数を有限要素法で計算して、当ポテンシャル線

ための、一種の