PDF I(1)z/=諾に対してIJ=z+A+金となる定数A,Bを求めましょう．心』

(1)

I

−

l

−

；

X‑tl

2019年6月05日小テスト解答 ^一^﹄ _ご

、

X十（二、へ

／

I(1)z/=諾に対してIJ=z+A+金となる定数A,Bを求めましょう．

(2)!/'を求めてりの増減表を求めましょう．

(3)釘→−1士0,〃→士の極限を求めて， yのグラフを描きましょう．

心﹄

一一

邦一坪小一雄

／／

、 ︑一い

一

一｛

解答(1) ^一^一 ^一ー

〃2 "("+1)‑" ̲ z

＝＝＝＝毎一一

お＋1 勿十1

="̲E画ユー鰯一1+‑‑‑

¹

"+1 z+1

（ l−C−−

[X,I)､

[1Lfl)1−1

1

W=

からA=‑1,B=1

(2) スェ十匹火

az(*P2ﾅ･ "("+2)

＝＝：＝＝

﹃一

一一

2〃("+1)‑"2･1 C)Lfl)L‑

ノ

y= ^(お＋1)2

(璽十')' Fpn>｡

となります･ yノの符号は

｛

０心和銅

ワ旬一ｚ一一｜くくぉ翅

釘

'三0今鰯(諺十2)三0今

キ

ー

と判定できますから，増減表は次のようになります．一

〃﹈０コ

毎 −1 一部ｙｌｙ

＋｜〃

11溌虚象宝卜1l､

日

二

西 _{／｜囚} _{0 1／} 可（！

士→+",錨−1→‑2なので

1

g＝錘一＋万一千一丁→+m

(3) ^{釘→−1＋0のとき}

トー一一一 ←

‑I

〃→−1−0のとき市→−W9鰯一'→‑2なので

−

→。<ell&

1

y=〃−1+‑

一一一一誕十1 ^{‑､‑t･ｰ一・○}

ー

q,ヘーセe一うt、

恥一＞一m

〜I

鰯→+ooOのとき

＞

市→0,"‑1→+ooなので

冒耐，=鰯−1+万干丁→+･･

1

市→0,鯵−1→−．oなので

』

諺→一・細のとき

1

1ノー釘 1＋−−〉一

釘＋1

、' 1 I．夫，

さらに釘→土のとき

ツー(鰯−1)=4‑→0

毎十1

なのでy=z−1が漸近線となる．グラフは以下のようになる．

66

(2)

G(､jUP(｡二t

8

x瀬X/噌二二

1/(x+1)‑

6

4

2

0

ベ1=9(‑I

‑2 l

一

》那tl

ー

=

‑4

0 2 3

‑2 1

‑3 ‑1

‑4

I III/=毒丁とします．

(1)導関数y'を求めましょう． (2)増減表を求めましょう．

／ゴー、

‐可 7

、一一

4 ^Z'L

’’

一一が従います．

解答 l

へ

５４３２１０４２０００００００

０ン

副

２ｍ

１

く士一ｙ

刮奉琴す

１

＋ま

２ｒＩＩく１１ｋｈ／勿

今な

ｆｌ２ｚ淌却︑王

０と

一十号ン一く図ｌｊ

孔銀符２下十ｒ︑の釘ま

２

範／

表

ｙｌｙ減

今勿

す増

Ｉ

｜率０﹄ｂ

こぐかノリ

リな︲〃上と以

^{刃(14弧簿x）−}^{刃(14弧簿x）−}

ノ

３４ｓｏＯＯ

-6 4 −2 0 2 4 6

のとき上→0となりますから

⑩

1 0

声言→r5=0 ｡7Lと。

⁻

＜

︒

シニペ

：

ワ<

−

ワ(JL‑‑ll

： ^一^一

67

鰯

Zﾉノ

9 蘭

−1 0

画１

− 句

＋

／ 1 0

１−ワ

討

(3)

F'i，

￥

鱸セェゴFLb J…h砕RL

逆関数定理

3(s)=<‑

^巳

も〔c｝＝〔‑ 、、

S<℃〜』 ;Ls

afunctiong: [AB]‑>

はIA,BI上で連続である

is狭義の増加関数j.e.

G

M

)<31t‑

Rand

定難

Given

(i)g (ii)9

ヘ

A<s<t<B

このときgの逆関数

9‑' : [g(A),g(B)]→R

が存在して[g(A),g(B)}上で連続となります．

…鍔

王野…… 理b

…御篭霞熱§蕊鍵鶴欝潮連続関数 ^租 ^13,／16

冒寺び〜

6¥/12(『二二b >'

ミ

蝋蕊鐸鍛蕊慧霜謹蕊蕊蕊識鑑識：

鍵；

説 Py

/‑･ = l命脈､"い÷』1些､ )〆条

a"=1+oJnとするとan>0となり

エ

殉ヤー・‐÷叫

脚

a=(1+O'n)">nQ!"

−

O/n<‑

看、

，

ﾐ2項定理から従います

勘久一暁

ｑ︑一い

く

凡恥 ︒吋味二

一一一

Ａ鍬４中

l

a77-1=

裁誕鍵蛎鐙葬NobUy唾誕QSE ^連続関数 14／16

(4)

Q>I 瓜と記

言ぐα，、oh,b‑

l x<3

¥

蕊

指数関数の連続性(2)

{ o

V 八

他方a‑:=1−β、

一

とする

1であり o

‐ ‐ー列導

／1

と0＜β「＜

‐『 ‐ 一省く。へ−，

＝十β,,＋β:＋…>1+6" α ､Ff ぐ0,,‑写｛

V

1

an ^ﾆニニ

1−β〃

定玉噌

従って −−2r(3

a>(1+6n)">nβ〃

が2項定理から分かります．これから0<6"<:と

〜一−

○

１袷ＫＰＩ隅恥

望︵にし︑

や一之十

十便吟︲＋

Ⅵ 池い

二十

a l

l−−＜1−βn==a n

、

が従います．

､し

1

−ー

< Q. (''

Ｑ︑一ｋ

一

−1 ＜○

瘤＞蕾､ "f，

15/16

"彰誇譲曇蕊謹NobuyukiTOSE 連続関数

… 鐸

灘識騨潮環

指数関数の連続性(3)

クEく§<≧今α <C,$6<cL

^X ミ

総題2

a>1であるとき｢==r< ､'‑F =1

ｈ︾ａ︾く︾

１

｜詐一ａ室︑一

一︾１︾

↓︾

１皇︑︾

く一

Ｊ︑︾

く︾

﹃上一〃︾

1 a

<a"<1+-

〃』

……混:fザL

補題2は補題1から導けます．

任意の正数E>0に対して自然数ⅣENが存在して舟<Eとなります．

このとき6＝尚とすると

a + a

‑E<−−<at‑1<g<E

n /7

‑6<t<6 =>

これはg(t)=a[がt=0で連続であることを意味します．

I罐認NobuyukiTCSE; ^連続関数 16／16

(5)

入

§＝

^&> ^l

Ｑ１−ｈｑ−吻

一一一一一

、一

一一一一一一一

一一

一

ぐ〆上

↑

. ‑

‑ ‑

' ‑

‑ _一一一 ^一一

｛

f･ .ｰ・‑.‐ −− ‐･‑・・・‐ −

1

｡

リ 1

−4宿o

n

聖坑

(6)

QくC<･e、

f: (Q, Q)U[c, e､−うい

r −、､/−1

j‑ (寵、 ‐−‑) N

（た→・人ノ

シ 1 ￥ u−

△ し

‑t‑ G、 ‑e、

←=うcぺぐ走崎く。

1弓 j‑(f,､1 ．−弓｡〈

‑t"､へ式C

もし、−う匙

にこう

V2>。ョS､>O

oL−2＜士（七〕＜・〈＋匙（ ‐(アキ

c−r< ‑t<

−−一計一一十一一一

&‑8 c‑ c−tS

E>S>。と可も『＞（茎

豆乙3

1十2

V2>。

Ⅷ

−

一一

Ｉ＆ｈ

一睡

ｑ

− ｈ

＋ｊ１

−

、、

I、ﾐ、

¹

−

−−一一一→一一十一一一

o侭一L

1

−F−

殉 h

S=☆と凧

一

c《眉一一一う I （‑負‑弓。）

x −−−うcヘ

つ(o

(>L‑うxb)

q

ﾌ〔一つ＞(。α上記

>L−う「。−ユ ○ フL−コ『Q D(c

& ･CA

3(D 鄭ら

:> 1 ･ ct ‑=q

うL 一一

(7)

鍵

甲jdj毎

鵜鵬ﾘ

鷺 ^証^尋

J託

蝉 …f』群

… ：

：f

＊

蕊

ネピアの数e

界引サド1衿和和

NobuyukiTOSE

｣une05, 2019

#...､岬､藍暫

､...〃

癖 Nobuyuki,TOSE蕊…l1 ^{ネピアの数e} ^1／19

灘

号 ,駐̲前て篦』

Nep;erﾘsMmber

^{Co,公､『．…}

Nepier'sNumber

以下の数列について考えよう．

将端・,乏計 ,齢↑、

ぐ!=6〒芋)

^el ⁼

（｡。｡/6 .年号!￨

4

1、oV､γ6

斜職制脚

￥

¥

￥

＃

§

制鴬

｡【。＃。＃

トー。.。IsJI

０００１０５７４０２３４２２２２

１２３４︑１１ノ︑１１／︑１１ノ︑１１ノー１１−２１３１４

＋十十＋

１１１１

』ヤ湘｛

^{←‑←一今}

ａ︑Ｊ喉一匹

e2

:＝＝

息1−0ャ l t→'÷亀

^I

(1令幻‑令 e3

e3

<!+L̲f

=（!÷差ダ

2、 _e4

恥

e,,､･= ((・砦）。n == <叶:)

ネピアの数G

ev、

＝2，9（ ‐一一ぅQ̲

1

瞬蕊蕊鍵騒騒職蕊議鍵霧騨蕊F＃I

、一一7 喉価識 1

^2／19

(8)

鷺§

：

蕊

驚騨蕊謡 …』 ^p託

上に有界な単調増加数列の収束

心

定瑚 ‑，

無限数列aO7al732, . . .は単調増加である

「 ̲一

とします: q,､

（刊 aO≦al≦a2≦・・・≦an≦an+1≦・・・

さらに{an}は上に有界であるとします：正数M>0が存在して an≦M (n=0,1,2,3,…）

このとき{an}は収束します．

^︐；

…宙■■碑,弓．謡心霊輔坤一土…… 謡 …､蕊群､……蕪可鼎凸b寺qJ…西口b己卜弱工旺､弔奉……

Theproofofthetheoremishighlytranscendental .Wearegoingtowork ontheassumptionofit.

IR、曳備吹

熱醗聴血職T蕊謹蕊噌蕊鍵緊 ^{ネピアの数e} 3／19

鰯 ^撫 ^宅^二等ﾆミ ^乱 …

e"の収束(1)

(叶;)Ⅷ

1+"q両手nQ夫寺"QF+

¹ ¹

１｜〃﹄

１

＋＋︾１｜眼︲．＋や１７毛１︲︽し︑﹃ｌ

ｎＭハ２︐１ノ

＋１．１．３十．ｎＩｋ＋／爪− １｜韻＋︑

＋

二二二

n(n‑1) 1

1

＋n．一十

〃

￨ n(n‑

. 十

＝ 1

〃2

2. 1 "z

−

‑1)(n‑2)…（

・・・＋−

〃/〈

nn

k(k‑1)…2

¹

1

＝ 1十 1＋十し

１−１心下

)(’

⁻

1(Ⅲ

＋＋

１｜川︷１｜川 k−2

十

、

ﾉ7−1

）

〃−2

● e G

、

…#嬢鴬撚…I箪識1 ^{ネピアの数e} ^4／19

(9)

… ^葺鐵^鰯^{蕊識耀騨鍵蕊騨騨羅}

e"の収束2 （）

は単調増加{e" }ie

１司上十／ｊ１１︑

ｎ

ｌ１１｜叩峰一〃＋ｌＣＣ

(H;)．≦

実際

('‑:)(｣）

^k−1ⁿ

）

１｜側

2

、

埼一恥

一︿︑︑ハブ０１８へ−工

︒咄︲ノノ〃Ｊｒｌ﹂心５搾率

︑ＩＩｊノ﹄︐識

伺両前︾ゞ錆︾口

一一ママ

︑

︑ 一乗

︾一

１１︾

／︐１１︑／ＩＬ

制︲一咋十蝋Ｉ︑鶏

■日■︾〃ｊ

崔盛

一／１１﹄一や︾岬

１Ｉ﹄

１︸

１﹂川

− １Ｉ．ｆ

１輔一吋．

一

１一

ｔ

錘

ｐ︑

）

…1

群咀

e"の収束(3)？■ ？』？ □？ ≦ ■？ ■ ペⅡ

次に{en}が上に有界であることを示します．

1 1 1

e" < 1+1+ZT+gI+･…＋雨

さらに

^2−（

ハー2− 2 も二21．

2"‑'̲zn! ("‑"3､…）

も〜一二 ℃､ S. 1 ･ 2‑ < l ･2

が

1．2．2．．．2＜1 ．2．3．．．〃

h=3 3〜l

込＜31

から

従いますから，

1 ･2，2< 1 ，2，3

３く

売却十１．１

２＋＋

１亜ゴ

＋

１全一ワニ１アー２

＋｜１１１

＋＋１１

く

ｎｅ

麓 IWobuyukiT･sE…I ^{ネピァの数e} ^6／19

(10)

ネピアの数一ファイナンス（1）

1単位の資金を年利率r>0で銀行に預金します．

利子を4半期ごとに計算すると1年後に元利合計は

(ﾙ崎)

利子を毎月計算すると1年後に元利合計は

）

12 r

('十

l2

利子を毎日計算すると1年後に元利合計は

('+志)3

ケ

礎蕊伽離窪冒蕊騨職#錘＃鵜： ^{ネピアの数e} ^11/19

鴬 ^鑑：瀧舞蕊懲燕鑑 ^蕊蕊

ネピアの数一ファイナンス(2)

Compcundingoftheinterestingenera;

利子計算を同じ長さの、期間で行うと元利合計は

(1−患)

となります．さらに連続的に実行すると元利合計は

('+云)

^==er

l im

m‑>+oc

＝野垂詫評専ロマ宝 ■q▲二…海FFご虻司司＝巽一唾ら唖司＝■b号号守=壁F二EF｡司子

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII｢=…… 一…i

斑ﾊや､､壬恥､、

^!

議嬢議灘識瀞繊癖蕊 #蟻1 ^{ネピアの数e} ^12／19

(11)

X(XT2‑， ‑tXャミ

ー − − 一一 ■

7[‑tZ

X之十三x−キ

ー

ツ〔十勺‑‑

三

−

』‐ 可

一一

ー、

壬Iきう侭竈冤莱鉢

^孔

')､･弓っ冤鍋＜

^、

一

旦も

^｜︾

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一一

PDF I(1)z/=諾に対してIJ=z+A+金となる定数A,Bを求めましょう． 心』