PDF Stera Fem 技術マニュアル (1) 160614 - Tut

STERA_FEM

技術マニュアル 有限要素法の基礎理論

Version 2.0

斉藤 大樹

豊橋技術科学大学

更新履歴

2013/11/11 STERA_FEM 技術マニュアル Ver.1.1 をアップロードしました。

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第１章

弾性理論

1. はじめに

1-1. 断面

1-2. 応力と歪

1) １次元問題

bD A 

D

b b

Area Moment of Inertia

12 bD

3

I

_x



12

3

D I

_y

 b

L δ

D b

N

N

A

 N

 L

     E 



E 

応力 歪 フックの法則

E: ヤング係数（縦弾性係数ともいう）

L  N  EA

力・変位関係

2) ２次元問題

 







 







 

 

 





 

 

 









 

 





 







xy y x

xy y x

G E E

E E

















0 1 0

1 0 1

1 0 1

or

 







 







 

 





 

 





 

 

 





 







xy y x

xy y

x

E







 



 





2 0 1 0

0 1

0 1

1

²

E E

x y

x x

 



 









: ポアソン比



x



x



_x



_x



y



y

E E

E E

y x y

x y x

 

 

 

 











xy



xy



xy



xy



xy

垂直応力と歪

せん断応力と歪

xy

xy

G 

  E

G 2 ( 1 ) 1



 

: せん断剛性係数（剛性率、横弾性係数ともいう）

1-3. はりのたわみ（弾性曲線法）

P

P

Q Q M

M

Q : Shear Force M : Moment

P M(x)

x

P

y

) 1 (

2 2

x EI M dx

y

d 

) ) (

( Q x

dx x

dM 

Example )

2 1 3

1 2 2

2 2 2

6 1 2 1

) ( ), 1 (

c x c EI x y P

c EI x

P dx

dy

EI x P dx

y d

Px x M x EI M dx

y d























EI c PL

EI c PL

Therefore

y dx and

L dy x at

3 2

2

1

3

, 1 2

,

: 0 0

,













L

1-4. 鉄筋コンクリートの材料特性 単位重量

コンクリート種別 設計規準強度

（N/mm² = MPa) 単位重量 （kN/m³）

普通コンクリート Fc≦36 24

材料特性

ヤング係数

（N/mm² = MPa) ポアソン比 熱膨張係数（1/℃）

鉄筋 200 000 1/4 1 x 10^-5

コンクリート

22 000 ( Fc = 18 ) 25 000 ( Fc = 24 ) 28 000 ( Fc = 30 )

1/6 1 x 10^-5

2. FEMの解法手順（その１．単純梁の変形）

Step.1: 問題の記述

様々な外力が作用する単純ばりの変形を考えてみよう。

外力の条件が変わったら、変形のパターンも変化する。すなわち、無限の変形パターンが ありえる。（コンピュータは無限は扱えない！）

Step.2: 変形関数を仮定

変形パターンとして、特定の関数を仮定する。たとえば、

) sin(

)

( x

a L x

v 



(2-1)

Step.3: 節点の変位と部材の変形の関係

(2-1) 式から、中央の節点Ａの変位 δ と未定係数aの関係は、

a L

v 

 ( 0 . 5 )



(2-2)

A δ

x = 0 x = L

x v

etc.

Step.4: 節点の力と変位の関係（剛性方程式）

節点の力Pと節点の変位δの関係は、剛性をKとすると、次式で表される。

なお、剛性Kの求め方は、ここでは省略する。

 K

P 

(2-4)

以上の手順をまとめると

複雑な外力を、節点の外力 Pに近似 する。

剛性方程式から、節点の変位δを求 める。

P K

^1

 

節点の変位から、部材の変形を求め る。

) sin(

)

( x

x L

v   

この単純な例は、有限要素解析のエッセンスを表している。すなわち、

変形のパターンを仮定して、変形の自由度を無限から有限の数に減らし、要素の変形を節 点の変位から求める。

v δ P

P

A δ P

3. FEMの解法手順（その２．線形三角形要素）

２次元平面上の物体の力と変形の関係を求めるのに、有限要素法では物体をいくつかの有 限要素に分割してコンピュータで数値的に解析する。要素の形状としては、三角形がよく 使われる。

Step.1: 問題の記述

様々な外力が作用する三角形要素の変形を考えてみよう。

外力の条件が変わったら、変形のパターンも変化する。すなわち、無限の変形パターンが ありえる。（コンピュータは無限は扱えない！）

Step.2: 変形関数を仮定

変形パターンとして、特定の関数を仮定する。たとえば、座標x, y に関する線形関数とし etc.

x y

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 



 

 

 





6 5 4 3 2 1

1 0 0 0

0 0 0 1













y x y

x v

u

(3-2)

Step.3: 節点の変位と部材の変形の関係

(3-2)式にそれぞれの節点の座標を代入すれば、節点の変位と未定係数の関係は、

Node 1:



























 







 





6 5 4 3 2 1

1 1 1

1 1

1

1 0 0 0

0 0 0 1













y x y

x v

u _(3-3)

Node 2:



























 







 





6 5 4 3 2 1

2 2 2

2 2

2

1 0 0 0

0 0 0 1













y x y

x v

u _(3-4)

Node 3:



























 







 





6 5 4 3 2 1

3 3 3

3 3

3

1 0 0 0

0 0 0 1













y x y

x v

u _(3-5)

x1 x2 x3 x y3

u1

v1

u2

v2

u3

v3

1

2 3

y

y2 y1

マトリクスにまとめると

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 







 

 

 

 





 

 

 

 





6 5 4 3 2 1

3 3

2 2

1 1 3

3 2 2

1 1

3 2 1 3 2 1

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1













y x

y x

y x y

x y x

y x

v v v u u u

(3-6)

U = A α これより、未定係数



₁

,  

₆は節点変位から次式で求められる。

α = A^-1 U (3-7)

よって、(3-2)式に(3-7)式を代入すれば、節点の変位と要素の変形の関係は、

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 



 

 

 





_

3 2 1 3 2 1

1

1 0 0 0

0 0 0 1

v v v u u u

y A x y

x v

u

(3-8)

u(x,y) = H(x,y) U

Step.4: 節点の力と変位の関係（剛性方程式）

節点の力Pと節点の変位δの関係は、剛性をKとすると、次式で表される。

なお、剛性Kの求め方は、ここでは省略する。

 

 

 

 





 

 

 

 







 

 

 

 





 

 

 

 





2 1 3 2 1

2 1 3 2 1

v v v u u u

K

Q Q Q P P P

(3-9) Q1

P2

Q2

P3

Q3

2 3

以上の手順をまとめると

(1) 複雑な外力を、節点の外力に近似する。

F = {P1, P2, P3, Q1, Q2, Q3}^T

(2) 剛性方程式から、節点の変位を求める。

U = K^-1 F

(3) 節点の変位から、部材の変形を求める。

u(x,y) = H(x,y)U

4. 三角形要素の剛性マトリクス

(13)式の剛性マトリクスは、次式の「仮想仕事法の原理」から求めることができる。

 

V

T

T

 dv U F



(4-1)

ここに、



は仮想歪ベクトル、



^は応力、

U

は節点の仮想変位ベクトル、Fは外力ベクト ルである。この式は、「内力による仕事と外力による仕事が等しい」ことを表している。

平面問題の場合、歪ベクトルは次式で定義される。

 

 

 







 

 

 









 



 

 



 

 





 







x v y u

y v x u

xy y x







(4-2)

(3-8)式を(4-2)式に代入すれば、歪ベクトルは節点変位から次式で計算される。

 

 

 

 





 

 

 

 





 







 









 

 

 







 

 

 









 



 

 



 

 





 









3 2 1 3 2 1

1

0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

v v v u u u

A

x v y u

y v x u

xy y x







(4-3)

ε = B U 平面問題における、応力・歪関係は次式で表される。

 







 







 

 





 

 





 

 

 





 







xy y x

xy y

x

E







 



 





2 0 1 0

0 1

0 1

1

^{2 (4-4)}

σ = D ε

よって、仮想仕事の原理から

  B U  DBU  dv U B DBdv U U

^T

F

V T T T

V

 





 

  



^(4-6)

両辺から

U

^Tを除けば、剛性方程式が次式のように得られる。

  

V

T

DBdv

B K KU

F ,

(4-7)

5. 要素剛性マトリクスから全体剛性マトリクス

1) 力制御の場合

境界条件を考慮し、全節点の自由度から拘束自由度を除いた自由度（構造物の解析自由度）

を求める。

要素剛性マトリクスのサイズは6×6

Element (1) …

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 







 

 

 

 





 

 

 

 





4 2 1 4 2 1

) 1 ( 66 ) 1 ( 65 ) 1 ( 64 ) 1 ( 63 ) 1 ( 62 ) 1 ( 61

) 1 ( 56 ) 1 ( 55 ) 1 ( 54 ) 1 ( 53 ) 1 ( 52 ) 1 ( 51

) 1 ( 46 ) 1 ( 45 ) 1 ( 44 ) 1 ( 43 ) 1 ( 42 ) 1 ( 41

) 1 ( 36 ) 1 ( 35 ) 1 ( 34 ) 1 ( 33 ) 1 ( 32 ) 1 ( 31

) 1 ( 26 ) 1 ( 25 ) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22 ) 1 ( 21

) 1 ( 16 ) 1 ( 15 ) 1 ( 14 ) 1 ( 13 ) 1 ( 12 ) 1 ( 11

4 2 1 4 2 1

v v v u u u

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

Q Q Q P P P

(5-1)

Element (2) …

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 







 

 

 

 





 

 

 

 





4 3 1 4 3 1

) 2 ( 66 ) 2 ( 65 ) 2 ( 64 ) 2 ( 63 ) 2 ( 62 ) 2 ( 61

) 2 ( 56 ) 2 ( 55 ) 2 ( 54 ) 2 ( 53 ) 2 ( 52 ) 2 ( 51

) 2 ( 46 ) 2 ( 45 ) 2 ( 44 ) 2 ( 43 ) 2 ( 42 ) 2 ( 41

) 2 ( 36 ) 2 ( 35 ) 2 ( 34 ) 2 ( 33 ) 2 ( 32 ) 2 ( 31

) 2 ( 26 ) 2 ( 25 ) 2 ( 24 ) 2 ( 23 ) 2 ( 22 ) 2 ( 21

) 2 ( 16 ) 2 ( 15 ) 2 ( 14 ) 2 ( 13 ) 2 ( 12 ) 2 ( 11

4 3 1 4 3 1

v v v u u u

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k

Q Q Q P P P

(5-2)

① ③

② ④

P

(2)

(1)



 









 











 

 

 

 

 







 

 

 

 

 







4 3 4 3

4 3 2 1 4 3 2 1

v v u u Condition Boundary

v v v v u u u u

① fixed … u1=v1=0

② fixed … u2=v2=0

解析自由度に対応する要素を足し合わせることで、全体剛性マトリクスが求められる。



 









 







 

 







 

 













 



 









 







4 3 4 3

) 2 ( 66 ) 1 ( 66 ) 2 ( 65 ) 2 ( 63 ) 1 ( 63 ) 2 ( 62

) 2 ( 56 )

2 ( 55 )

2 ( 53 )

2 ( 52

) 2 ( 36 ) 2 ( 36 ) 2 ( 35 ) 2 ( 33 ) 1 ( 33 ) 2 ( 32

) 2 ( 26 )

2 ( 25 )

2 ( 23 )

2 ( 22

4 3 4 3

v v u u

k k k k k k

k k

k k

k k k k k k

k k

k k

Q Q P P

(5-3)

F = K U

荷重制御の場合は、左辺に荷重条件を与えて



 









 







 



 









 







0 0 0

4 3 4 3

P Q

Q P P

(5-4)

構造物の変位は、構成方程式を解いて求めることができる。



 









 







 



 









 









0 0 0

1

4 3 4 3

K P v v u u

(5-5)

2) 変位制御の場合

境界条件を考慮し、全節点の自由度から拘束自由度を除いた自由度（構造物の解析自由度）

を求める。

全体構成方程式において、強制変位

v

₃

 D

を与えると



 









 







 

 







 

 













 



 









 







4 4 3

) 2 ( 66 ) 1 ( 66 ) 2 ( 65 ) 2 ( 63 ) 1 ( 63 ) 2 ( 62

) 2 ( 56 )

2 ( 55 )

2 ( 53 )

2 ( 52

) 2 ( 36 ) 2 ( 36 ) 2 ( 35 ) 2 ( 33 ) 1 ( 33 ) 2 ( 32

) 2 ( 26 )

2 ( 25 )

2 ( 23 )

2 ( 22

4 3 4 3

v D u u

k k k k k k

k k

k k

k k k k k k

k k

k k

Q Q P P

(5-6)

左辺の外力ベクトルはゼロなので、強制変位に対応する荷重を左辺に移動すれば、

 







 







 







 















 

 





 













4 4 3

) 2 ( 66 ) 1 ( 66 ) 2 ( 63 ) 1 ( 63 ) 2 ( 62

) 2 ( 36 ) 2 ( 36 ) 2 ( 33 ) 1 ( 33 ) 2 ( 32

) 2 ( 26 )

2 ( 23 )

2 ( 22

) 2 ( 65

) 2 ( 35

) 2 ( 25

v u u

k k k k k

k k k k k

k k

k

D k

D k

D k

(5-7)

この式を解けば、他の変位が求められる。

① ③

② ④

D

(2)

(1)



 









 











 

 

 

 

 







 

 

 

 

 







4 3 4 3

4 3 2 1 4 3 2 1

v v u u Condition Boundary

v v v v u u u u

③ fixed … u1=v1=0

④ fixed … u2=v2=0

6. FEMの解法手順（その３．高次要素）

Step.1: 問題の記述

線形三角形要素では、二つの節点の間の変形が 直線（線形関数）で定義される。

そのため、物体の変形が大きいところでは、精 度を高めるためには、沢山の三角形要素が必要 である。要素の数が多ければ、それだけ計算時 間がかかり、誤差も蓄積する。

要素の数を減らすために、高次要素を導入する。

高次要素では、節点間の変形を座標x, yの高次 関数として定義するので、少ない要素で複雑な 変形を表すことができる。

Step.2: 変形関数を仮定

たとえば、変形関数を２次関数とすると、

2 12 11

2 10 9

8 7

2 6 5

2 4 3 2 1

y xy x

y x v

y xy x

y x u

















































(6-1)

マトリクスで表すと



 









 







 

 



 

 

 





12 2 1

2 2

2 2

1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1









y xy x y x y

xy x y x v

u

(6-2)

変形前

変形後 変形前

変形後 線形要素

変形前

変形後 高次要素

２次関数を定義するには、最低３点の座標が必要なの で、節点の中央に追加の節点を設ける必要がある。

従って、１つの要素の節点の数は、６となる。

Step.3: 節点の変位と部材の変形の関係

(6-2)式にそれぞれの節点の座標を代入すれば、節点の変位と未定係数の関係は、



 

 

 

 

 









 

 

 

 

 











 

 

 

 

 









 

 

 

 

 





























 



 

 

 

 

 









 

 

 

 

 









12 8 7 6 2 1

2 6 6 6 2 6 6 6

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 2

6 6 6 2 6 6 6

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 1 2 1 1 1

6 2 1 6 2 1

1

|

| 0

1

| 1

|

|

| 1

|

0

| 1

| 1













































y y x x y x

y y x x y x

y y x x y x y

y x x y x

y y x x y x

y y x x y x

v v v u u u

(6-3)

u = A α

これより、未定係数



₁

,

_



₁₂は節点変位から次式で求められる。

α = A^-1 U (6-4)

よって、(6-2)式に(6-4)式を代入すれば、節点の変位と要素の変形の関係は、

 

 

 

 



 

 

 

 



 

 



 

 

 





_

1 6 2 1

1 2 2

2 2

1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1

v v u u u

y A xy x y x y

xy x y x v

u



(6-5) v3

2 6

3 4 5

1

u3

v2

u2

Step.4: 節点の力と変位の関係（剛性方程式）

節点の力Pと節点の変位δの関係は、剛性をKとすると、次式で表される。

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 









 

 

 

 

 







 

 

 

 

 







6 2 1 6 2 1

6 2 1 6 2 1

v v v u u u

K

Q Q Q P P P









(6-6)

F = K U

以上の手順をまとめると

(1) 複雑な外力を、節点の外力に近似する。

F = {P1, …, P6, Q1, …, Q6}^T

(2) 剛性方程式から、節点の変位を求める。

U = K^-1 F

(3) 節点の変位から、部材の変形を求める。

u(x,y) = H(x,y)U

7. 補間関数

１次元の要素（梁のような要素）を考える。前述の手順に従うと、

Step 1: 変形関数を仮定

変形パターンとして、１次関数（線形関数）を仮定すると、要素の変形は、

x a a x

u ( ) 

₀



₁

すなわち

  



 



 

1

1

0

)

( a

x a x

u

(7-1)

Step 2: 節点の変位と部材の変形の関係

(7-1)式にそれぞれの節点の座標を代入すれば、節点の変位と未定係数の関係は、

1 1 0

1

a a x

u  

2 1 0

2

a a x

u  

すなわち

 

 



 



 



 

 

 





1 0 2 1 2

1

1 1

a a x x u

u

(7-2)

U = A α

これより、未定係数



₀

, 

₁は節点変位から次式で求められる。

α = A^-1 U (7-3)

よって、節点の変位と要素の変形の関係は、

  



 





^



2 1

1

1

)

( u

A u x x

u

(7-3)

u(x) = H(x) U x1 x2

1 2 x

u1

u2

l

補間関数 h1, h2, は以下のような性質を持っている。

 





 

1 1

1

0 ,

, ) 1

( x u

u x x

h

,

 





 

2 2

2

0 ,

, ) 1

( x u

u x x

h

(7-5)

この性質から、補間関数は、容易に求められて

l x x x

h 



²

1

( )

,

l x x x

h

₂

( ) 

¹



(7-6)

補間関数を使えば、(7-3)式に現れるマトリクスAの逆行列の計算が不要になる。

同じように、変形パターンに二次関数を仮定した場合にも、補間関数を使うことで、節点 の変位から変位関数を次式のように表すことができる。

3 3 2 2 1

1

( ) ( ) ( )

)

( x h x u h x u h x u

u   

(7-7)

x1 x2

1 2 x

u1

u2

l

x1 x2

u1 x

x1 x2

x u2

x1 x2

1 2 x u1

u2

l

x1 x2

u1 x

x1 x2

x u2

x u3

h1(x)u1

h2(x)u2

3

h3(x)u3

h1(x)u1

h2(x)u2

8. 自然座標系

1) 自然座標系

xという座標系では、ペンの長さは5 でペンの先の座標も5だが、tという 別の座標系では、ペンの長さは 2.5 でペンの先の座標は9.5である。

これは、同じものをcmのものさしと inch のものさしで計ると値が異なる のと同じである。

異なる座標系の間に一対一の対応が あれば、片方の座標系の値から別の 座標系の値に変換することができる。

ペンの重さは、x座標系での重さの分布w(x)を積分して





5

0

) ( x dx w

W

(8-1)

t座標系に変換するためには、以下の関係を利用する。

全体の関係式

) 7 ( 2 

 t

x

(8-2)

微小部分の関係式

dt

dx  2

(8-3) x

t = 7 + 0.5 x

t x = 2 ( t – 7 )

1 2 3 4 5 6

0

x

8 9 10 7

t 6

w(x) : 重さの分布

x

x w(x)

x x+dx

dx

t 1

2 3 4 5

6 7 8 9 10 dt

2 x

0

  



5 . 9

5 . 7

) ( 2 w x t dt

W

(8-4)

次に、もう少し複雑な座標系（ものさし）でペンの重さを計測してみる。

このとき、x座標系とt座標系の関係は、

全体の関係式:

x  x (t )

(8-5) 微小部分の関係式:

dt

dt t dx dx ( )



(8-6)

ここに dx(t)/dt は関数 x(t)のt に関する一階微分で、座標t における傾きを表している。

これらの式を(8-1)式に代入すれば、t座標系におけるペンの重さを求める式が得られる。

  







dt dt t t dx x w

W ( )

)

(

(8-7)

ここで、

   1 ,   1

^{となるように}t座標系を選ぶと、

  dt t t dx x w t f dt t f

W ( )

) ( )

( , ) (

1

1



 



(8-8)

この座標系を“自然座標系”とよび、積分値の計算に以下に示すガウスの求積法を用いる ことができる。

1 2 3 4 5 6

0

x

α β t

w(x) : 重さの分布

x

x w(x

x x+dx

dx

t 1

2 3 4 5

dt

0 α t β

x = x(t) x

2) ガウスの求積法

積分範囲が[-1, 1]の積分値は、次式により近似的に計算できる。

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

2 2 1

1

f t f t

n

f t

n

dt t

f   











 

^(8-9)

ここに、 α1, …, αn は重み係数である。この公式を使えば、サンプリング点t1, …, tnに おける有限個の関数値 f(t1), …, f(tn) から積分値を求めることができる。この方法を“ガウ スの求積法”と呼ぶ。

たとえば、サンプリング点が3点の場合は、

) ( )

( )

(

) 7746 . 0 ( 5556 . 0 ) 0 ( 8889 . 0 ) 7746 . 0 ( 5556 . 0 ) (

3 3 2 2 1 1 1

1

t f t

f t

f

f f

f dt

t f





  









 

 (8-10)

ここに、



₁

 0 . 5556 , 

₂

 0 . 8889 , 

₃

 0 . 5556 7746 . 0 ,

0 ,

7746 .

0

_{2 3}

1

  t  t 

t

-1 -0.7746 0 +0.7746 +1 f(t) f(-0.7746)

f(0)

f(0.7746)

t

9. アイソパラメトリック要素

１次元要素について、自然座標系に変換してみよう。

x座標系とt座標系の変換関係x(t)を線形関数と仮定すれば、節点の座標値を用いて次式で 表すことができる。

2 2 1

1

( ) ( )

)

( t h t x h t x

x  

(9-1)

ここに

) 1 2 ( ) 1 ( ), 1 2 ( ) 1

(

₂

1

t t h t t

h    

(9-2)

実際、以下の関係を満足している。

2 1

, ( 1 ) )

1

( x x x

x   

(9-3)

要素の変形についても節点の変位を用いて次 式で表すことができる。

2 2 1

1

( ) ( )

)

( t h t u h t u

u  

(9-4)

すなわち、関数

h

₁

( t ), h

₂

( t )

は補間関数に他な らない。

このように、座標変換の関するx(t)と要素変形 の関数 u(t)が同じ補間関数を用いて表すこと ができる要素を“アイソパラメトリック要素”

とよぶ。

x1 x2

1 2 x

u1

u2

-1 +1

t -1 +1

t x

x1

x2 x(t)

t -1 +1

u1

u2

u1

u2

-1 +1

-1 +1 h1(t)u1

h2(t)u2

t

t

アイソパラメトリック要素を用いることで、以下のような利点がある。

(1) 変形を補間関数によって







ⁿ

i

i i

t u h t

u

1

) ( )

(

と表すことで逆行列の計算が回避できる。

(2) 座標を補間関数によって







ⁿ

i

i i

t x h t

x

1

) ( )

(

と変換することでガウスの求積法が使える。

(3) 変形u(t)と座標変換x(t) の両方の関数を同じ補間関数で表すことができる。

10. 補間関数の構成

(1) １次元要素

2 Node

 r

h  1 2 1

1

1

r r1

1 h  1r

2 1

2

1



r r1

1

) 1 2 ( 1

) 1 2 ( 1

2 1

r h

r h









3 Node

) 1 2 ( 1

) 1 2 ( 1

2 1

r h

r h









) 1 2 ( 1

) 1 2 ( 1

2 2

r r









2

3

1 r

h  

ここに示すように、節点を増やして補間関数の次数を増やす場合には、それまでの補間関 数（上の例では

h

₁

, h

₂）を修正して、さらに新たな補間関数（上の例では

h

₃^{）を追加すれ}

ばよい。

(2) ２次元要素

(3) ３次元要素

11. アイソパラメトリック要素の剛性マトリクス

２次元４節点アイソパラメトリック要素について、剛性マトリクスを求めてみよう。

(x,y)座標から(r,s)座標への変換は、補間関数を用いて以下のように表される。

4 3

2 1

4

1

4 3

2 1

4

1

) 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 , ( )

, (

) 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 , ( )

, (

y s r y

s r y

s r y

s r y

s r h s

r y

x s r x

s r x

s r x

s r x

s r h s

r x

i

i i i

i i





























































(11-1) 部材の変形(u,v)と節点変形(u1,v1,…,u4,v4) の関係も、同じ補間関数を用いて以下のように 表される。

4 3

2 1

4

1

4 3

2 1

4

1

) 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 , ( )

, (

) 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 1 )(

1 4( ) 1 , ( )

, (

v s r v

s r v

s r v

s r v

s r h s

r v

u s r u

s r u

s r u

s r u

s r h s

r u

i

i i i

i i





























































(11-2) すでに述べたように、剛性マトリクスは次の仮想仕事の原理から求められる。

 

^T

 dv  U

^T

F

^(11-3)

y, v

x4

y4

r s

Node 1 Node 2

Node 3

Node 4

平面問題の場合、歪ベクトルと部材変形の関係は、

 

 

 







 

 

 









 



 

 



 

 





 







x v y u

y v x u

xy y x







(11-4)

(11-2) 式を (11-4) 式に代入すれば、歪ベクトルは節点変位ベクトルによって次のように 表すことができる。

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 







 

 

 







 

 

 





































 













 

















 

 

 







 

 

 









 



 

 





 

 

 







 

 

 









 



 

 



 

 





 























4 4 3 3 2 2 1 1

4 4 3 3 2 2 1 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4

1 4

1 4

1 4

1

0 0

0 0

0 0

0 0

v u v u v u v u

x h y h x h y h x h y h x h y h

y h y

h y

h y

h

x h x

h x

h x

h

x v u h

y h

y v h x u h

x v y u

y v x u

i

i i i

i i

i

i i i

i i

xy y x







ε = B U (11-5)