f X Y; g g f g f g f - Keio

2018年11月09日　第14講義　確認問題解答

0^{２つの写像}

f : X →Y, g: Y →Z

があるとします。このとき以下を示しましょう。

(1)f とgともに全射ならばg◦fも全射である。

(1)’fとgともに単射ならばg◦fも単射である。

(2)g◦f が全射であるならば、gも全射である。

(3)g◦f が単射であるならば、fも単射である。

(1)任意のz∈Zをとるとgが全射ですから，あるy∈Y に対してz=g(y)が成立します．さらにf が全射 ですからあるx∈X に対してy=f(x)が成立します．このとき

z=g(f(x)) =g◦f(x)

からg◦f が全射であることが分かる．

(1)’x, x⁰ ∈Xが

g◦f(x) =g◦f(x⁰) すなわち g(f(x)) =g(f(x⁰))

を満たすとします．このときgが単射であることから

f(x) =f(x⁰)

が従います．さらにfが単射ですから，x=x⁰が分かります．以上でg◦fが単射であることが示されました．

(2)g◦fが全射ですから，任意のz∈Zに対してあるx∈X に対して z=g◦f(x)

が成立します．これを

z=g(f(x))

そしてf(x)∈Y と見るとgが全射であることが分かります．

(3)x, x⁰∈Xがf(x) =f(x⁰)を満たすとします．このとき

g(f(x)) =g(f(x⁰)) すなわち g◦f(x) =g◦f(x⁰)

となります．g◦fが単射であることからx=x⁰が従います．以上でf が単射であることが示されました．

IA=









15 −5 −6 5 −2 −3 27 −9 −10









とします。以下では

ΦA(λ) = (λ−2)²(λ+ 1)

であることを用いても構いません．Aが対角化できないことを示しましょう．

1

(A+I₃)(A−2I₃) =





16 −5 −6 5 −1 −3 27 −9 −9









13 −5 −6 5 −4 −3 27 −9 −12



=





∗ ∗ ∗

∗ 38 ∗

∗ ∗ ∗



6=O₃

からAが対角化可能でないことが分かります．

解答2dimV(−1)≥2とすると(λ+ 1)²|ΦA(λ)となりますから，あり得ません．従って dimV(−1) = 1

であることが分かります．さらに

A−2I3=





13 −5 −6 5 −4 −3 27 −9 −12



→





13 −5 −6 5 −4 −3

1 1 0



→ · · · →





1 1 0 0 1 ¹₃ 0 0 0





からdimV(2) = 1が分かります．以上から

dim(V(−1)⊕V(2)) = 2

となりますから

V(−1)⊕V(2)(K³

となります．従ってAは対角化可能ではありません．

IIP∈Mn(R)に対して

(P ~v, P ~w) = (~v, ~w) (~v, ~w∈Rⁿ) (1)

と

||P ~v||=||~v|| (~v∈Rⁿ) (2) が必要十分であることを証明しましょう。

解答(1)⇒(2)

(1)^においてw~ =~vの場合を考えると

||P ~v||²=||~v||²

となりますから，(2)が従います．

(2)⇒(1)~v∈Rⁿに対して

(~v, ~w) = 1

4 ||~v+w||~ ²− ||~v−w||~ ² が成立することを用います．実際

(P ~v, P ~w) =1

4 ||P ~v+P ~w||²− ||P ~v−P ~w||²

=1

4 ||P(~v+w)||~ ²− ||P(~v−w)||~ ²

=1

4 ||~v+w||~ ²− ||~v−w||~ ²

= (~v, ~w)

と(2)から(1)を導くことができます．

III3次の直交行列の全体をO(3)とします．P1, P2∈O(3)ならばP1P2∈O(3),^tP1∈O(3)であるこ とを示しましょう

解答

(P₁P₂)P₁P₂=^tP₂^tP₁P₁P₂

=^tP2I3P2=^tP2P2=I3

P1P2(P1P2) =P1P2tP2tP1

=P₁I₃^tP₁=P₁^tP₁=I₃

からP₁P₂が直交行列であることが分かります．他方

t tP1

_t

P1=P1tP1=I3 tP₁^{t t}P₁

=^tP₁P₁=I₃

から^tP₁が直交行列であることが分かります．

IVA∈M3(R)は対称とします。Aが定める2次形式は正定値、すなわち (A~x, ~x)>0 (~x6=~0)

が成立するとします。

(1)Aが正則であることを示しましょう。

(2)A⁻¹が対称であることを示しましょう。

(3)A⁻¹が定める2次形式が正定値であること、すなわち (A⁻¹~x, ~x)>0 (~x6=~0)

であることを示しましょう。

解答(1)（解1）

A∈Mn(K)に対して(i)Aは正則 ⇔ (ii)

A~v=~0⇒~v=~0

⇔(iii) det(A)6= 0

が成立することを用います．Aが正則でないとするとある~v∈R³が

A~v=~0, ~v6=~0

が成立しますが，

(A~v, ~v) = (~0, ~v) = 0

となりますが，これはAが定める2次形式が正定値であることに反します．よってAは正則であることが分 かります．

（解2）

対称なA∈M3(R)に対して

(i)(A~v, ~v)>0 (~v6=~0)⇔(ii)Aの固有値α, β, γ >0

⇔(iii)a11>0, det(A2)>0, det(A)>0 が成立します．ただしA=a p q

p b r q r c

に対してA2= ^{a p}_{p b}

と定めています．

これを用いるとdet(A)>0からAが正則であることが分かります．

(2)

AA⁻¹=A⁻¹A=I3

の各辺の転置行列を考えると

t A⁻¹tA=^tA^t A⁻¹

=I₃

が成立します．Aが対称ですから

t A⁻¹

A=A^t A⁻¹

=I3

となりますが，逆行列の一意性から

A⁻¹=^t A⁻¹

が導かれます．従ってA⁻¹が対称であることが分かります．

(3)^（解1^）任意の~x∈R³が~x6=~0を満たすとします．このとき~y=A⁻¹~xに対して~y6=~0が成立します．

ここで

(A⁻¹~x, ~x) = (~y, A~y)>0

となりますからA⁻¹が正定値な2次形式を定めることが分かります．

（解2）Aを直交行列で

tP AP =α β

γ

と対角化します．このとき両辺の逆行列は

tP A⁻¹P =

1 α

1 β

1 γ

!

となります．これからA⁻¹の固有値は

Φ_A⁻¹(λ) = ΦtP A⁻¹P(λ) =

λ−_α¹ λ−_β¹

λ−¹_γ

=

λ− 1

α λ−1

β λ−1 γ

からA=_α¹, _β¹, ¹_γ >0 となります．このことからA⁻¹が定める2次形式が正定値であることが従います．

VA∈M_m,3(R)とします。すなわちAがm×3型の行列とします。A= (~a ~b ~c)と列ベクトル表示を します。またB=^tAAと定めます。

(1)Bが非負定値であること、すなわち

(B~x, ~x)≥0 (~x∈R³)

が成立することを示しましょう。

(2)Bが正定値であることと~a, ~b, ~cが線型独立であることが必要十分であることを示しましょう。

解答(1)

(B~v, ~v) = (^tA~v, ~v) = (A~v, A~v) =||A~v||2≥0 (10)

からBが定める2次形式が非負定値であることが分かります．

(2)Bが定める2次形式が正定値であるとします．このとき(10)^において~v6=~0ならば||A~v||²6= 0従って A~v6=~0 すなわち v₁~a+v₂~b+v₃~c6~0

が分かります．これは対偶をとると

v1~a+v2~b+v3~c~0 v1=v2=v3= 0

となりますから~a,~b, ~cが線型独立であることを意味します．

逆に~a,~b, ~cが線型独立であると仮定します．これは

~v6=~0⇒A~v6=~0

と必要十分です．これから

~

v6=~0⇒0<||A~v||²= (B~v, ~v)

が従います．

VIB∈M3(R)は対称とします。

(1)Bが非負定値であることとBの固有値α, β, γが α, β, γ≥0

であることが必要十分であることを示しましょう。

(2) B が非負定値であるとき B が正定値であることとdet(B) > 0が必要十分であることを示しま

しょう．

解答　(1)

Bが非負定値の2次形式を定めるとします．Bを直交行列P で

tP AP =α β

γ

(11)

と対角化します．このとき

A~p₁=α~p₁, A~p₂=β~p₂, A~p₃=γ~p₃

となりますが

0≤(B~p₁, ~p₁) = (α~p₁, ~p₁) =α· ||~p₁||²=α

からα≥0が分かります．同様にβ, γ≥0も分かります．

逆に，α, β, γ≥0とします．上で考えたBの直交行列による対角化を用います．すなわちP が定める直交座 標変換

_x

y z

=Pξ η ζ

を用いると

B_x

y z

,_x

y z

=αξ²+βη²+γζ²≥0

となりますから，Bが定める2次形式は非負定値であることが分かります．

(2)

Bが定める2次形式が正定値であると仮定します．このとき，Bの固有値はα, β, γ >0となります．このとき (11)^{の行列式を考えると}

det(B) = det(^tP BP) =αβγ >0

となります．

逆にdet(B)>0と仮定します．このとき

αβγ= det(B)>0

から

α, β, γ6= 0

が分かります．Bが非負定値の2次形式を定めることを前提としていますから，

α, β, γ≥0

が成立しています．以上を合わせて

α, β, γ >0

が従います．