PDF Weyl's gauge gravity in arbitrary dimensions - Seikyou

Weyl's gauge gravity in arbitrary  dimensions

二階堂学園 牧琢弥 山口大理 白石清 奈良本悠二 花田輝紀

^＋

Introduction and motivation

Weyl's gauge gravity とは何か 使用例 A. ５次元宇宙      使用例 B. ３次元ブラックホール

+Deceased

Introduction and motivation

重力理論におけるスカラー場

インフレーション ダークマター ダークエネルギー

などを説明するモデルにおいてポピュラー さらに修正重力理論におけるスカラー場

Brans-Dicke，その拡張版

近年 修正重力理論におけるベクトル場

vector inflation

vector dark matter, dark energy

モデルとして有望なものも多い しかし 理論的裏付けに欠ける

より基礎的理論によって立つモデル？

対称性 対称性

local Weyl invariant gravity「再訪」

http://www.weylmann.com/

Hermann Weyl (1885-1955)

Weyl's gauge gravity とは何か

^＊

ds→ds'＝e

^Λ(x)

 ds ➡ g

_μν

→g

_μν

'＝e 

^2Λ(x)

 g

_μν

任意次元（＝D 次元時空）

局所的共変性の要求から，ゲージ場を導入

A

_μ→A_μ'＝ A_μ−∂_μ

Λ(x)

変換 

Φ→Φ'＝ e

−^D−2

2 Λ(x)

Φ 

に対応した共変微分の導入

∂_μ

Φ⇨∂

_μ

Φ≡∂

_μ

Φ− D−2

2

A

_μ

Φ

_，

∂_ρ

g

_μν⇨∂_ρ

g

_μν≡∂_ρ

g

_μν＋2 A_ρ

g

_μν

R ⇨R ≡R−2(D−1)∇ A

^ρ

−(D−1)(D−2)A A

^ρ

＊References

     R. Utiyama, PTP 50 (1973) 2080.

     K. Hayashi, M. Kasuya and T. Shirafuji, PTP 57 (1977) 431.

     K. Hayashi  and T. Kugo, PTP 61 (1979) 334.

     H. Cheng, PRL 61 (1988) 2182; math-ph/0407010.

     W. F. Kao, PLA149 (1990) 76; PLA154 (1991) 1; PRD61 (2000) 047501.

     W. F. Kao, S.-Y. Lin and T.-K. Chyi, PRD53 (1996) 1955.

     H. Wei and R.-G. Cai, astro-ph/0607064.

     H. Nishino and S. Rajpoot, hep-th/0403039; arXiv:0805.0613.

     P. Jain and S. Mitra, arXiv:0704.2273; 0902.2525; 0903.1683.

     P. Jain, S. Mitra and N. K. Aingh, arXiv:0801.2041.

     P. K. Aluri, P. Jain and N. K. Aingh, arXiv:0810.4421.

D 次元におけるワイル不変重力モデル   

F_μν≡∂_μA_ν−∂_νA_μ

L/ -g＝− 1 4e² Φ

2(D-4)

D-2 g^μρ g^νσ F 

μν F 

ρσ−1

2 g^μν∂_μ

Φ∂

_ν

Φ

−1

4λ Φ

2D

D-2 ＋1

2ε Φ

2D

D-2 Φ

-4

D-2 R ＋α Φ

2D

D-2 Φ

-4 D-2 R

n

補助場χを用いて書き直す L/ -g＝− 1

4e² Φ

2(D-4)

D-2 g^μρ g^νσ F 

μν F 

ρσ−1

2 g^μν∂_μ

Φ∂

_ν

Φ

−1

4λ Φ

2D D-2

＋1

2ε Φ

2D

D-2 χ＋α Φ

2D

D-2 χⁿ ＋ 1

2ε Φ

2D

D-2 ＋nαΦ

2D

D-2 χ^n-1 Φ

-4

D-2 R−χ

frame をかえる

g

_μν

≡e

^2Λ(x)

g

_μν

 ,   A

_μ

≡A

_μ

−∂

_μ

Λ(x)

where  e^−Λ(x)＝f  Φ² ＋2nα

ε Φ² χ^n-1

− 1 D-2

,  f は唯一，質量次元を持つ定数

L/ -g＝− 1 4e² φ

2(D-4)

D-2 g^μρ g^νσ F 

μν F 

ρσ−1

2 ∂_μφ−D−2 2 A

μφ

2

−1

4λ φ

2D D-2

−(n-1)α ε 2nα

n n-1

φ

2D D-2−2n

n-1 f^D-2−φ²

n

n-1 ＋1

2ε f ^D-2 R−(D−1)(D−2)A

μ A^μ

where  φ≡f 

D-2

2 1＋2nα

ε χ^n-1

-1/2

D＝4, n＝2

L/

_-g＝− 1

4e²

g

^μρ

g

^νσ

F 

μν

F 

ρσ−1

2 ∂_μ

φ− A

μ

φ

2

−1

4

λφ

⁴ −

ε

²

16α

f 

²−φ²

2

＋1

2

εf 

²

R−6 A

μ

A

^μ

・Massive Vector Field (Einstein-Proca theory) without nonminimal coupling       

・Scalar potential of polynomial form       

(similar model was considered W. F. Kao (2000), but he missed canonical form of scalar sector)

例 part A ５次元宇宙

D＝5, α＝0 (no scalar φ) （    を省略）

L/ -g＝1

2ε f ³ R−12A

μ A^μ − 1

4e²f F ² −9

8 f ³ A

μA^μ−1

4λ f ⁵ ベクトル場→非等方性→われわれの次元と追加次元の分化

ansatze

A＝A

_y(t) dy

ds

²

＝e

^−σ(t)

(−dt

²

+a

²

(t)dx

²

)＋b

₀²

e

^2σ(t)

dy

²

（準）安定な余次元空間のためには 「力」の数が足りない！

２階反対称場（３階反対称場の強さ）をモデルに付加 (with 'wrong' sign)

L/ -g＝1

2ε f ³ R−12A

μA^μ − 1

4e²f F ² −9

8 f ³ A

μ A^μ−1

4λ f ⁵ ＋ 1

6f H ²

H^ijk＝

f ³ C ε^ijk

−g の形の解の下で (i，j，k は３次元空間の足) 初期条件として， b

0 ＝2 C/ λ  とし，σ,  σが適度に小さい値，

Ay の振幅≒ 4Cf 

3 (3+16ε) の振動をするとき

[A Toy Universe]

a    

20 40 60 80 100 120

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

b   

20 40 60 80 100 120

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

    Ay

  ^{20 40 60 80 100 120}

-7.5¥10^-6 -5¥10^-6 -2.5¥10^-6 2.5¥10^-6 5¥10^-6 7.5¥10^-6

f＝ε＝e＝1, λ＝b ＝0.001

Ay の振動により，余次元空間が準安定化・・・

されたフェーズが有り得る ４次元で見ると，ダスト＋宇宙項

初期条件にチューニング必要

反対称テンソルの代わりにカシミア力（？），量子効果

例 part B ３次元ブラックホール

D＝3, n＝2

  （    を省略）

L/ -g＝− 1

4e² φ^-2 g^μρ g^νσ F 

μν F 

ρσ−1

2 ∂_μφ−1 2 A

μφ

2

−1

4λ φ⁶ − ε²

16α φ² f −φ²

2

＋1

2εf  R−2A

μ A^μ

今日は，ベクトル場＝０の解

BTZ Black Holes

R＜0 ⇨χ＜0

負の宇宙項となるポテンシャルミニマムを持つのは α＞0＞λ＞− ε²

4α                φ² ＞f 

α＜0 and λ＞− ε²

12 α           φ² ＜f  のとき。

量子的に大丈夫？＊

Hairy Black Holes

α＜0 and λ＞− ε² 12 α

asymptotically BTZ

Y. Degura, K. Sakamoto and K. Shiraishi (DSS), "Black holes with scalar hair in  (2+1) dimensions" Gravitation ＆ Cosmology 7 (2001) 153.

K. Hotta et al., JHEP0901 (2009) 010.

r=r

_H

r=∞

EXAMPLE

     f ＝1, ε＝1, α＝−1, λ＝0         r 

H＝1

metric ansatz:    ds² ＝−e^−2δ(r)Δ(r) dt ² ＋Δ⁻¹(r) dr² ＋r² dθ²

  φ

    ^{1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4}

0.6 0.8 1.2 1.4

            （横軸はすべて r）

Δ  ^0.02

0.03 0.04

      δ  

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

-2 -1.5 -1 -0.5

Comment:  ＊３次元ではε＜0 でも構わない！

＊or   SUSY (sugra)?

To Do

物理量の相互関係を明らかにすること。

Vector hair? (possible due to coupling with scalar? ) の可能性の検証。

rotating BH (DSS) はどうなっているかを調べること。

まとめ

ワイル不変重力理論はフレームの選択により Einstein-Proca 理論になる。

曲率の高次項がある場合，       

       ＋ （自己相互作用する）スカラー。

応用例（おもちゃ）。

課題

対称性を破るものは何か，matter，量子効果 安直な拡張・・・ワイル不変 f(R) 理論

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metric ansatz:    ds² ＝−e^−2δ(r)Δ(r) dt ² ＋Δ⁻¹(r) dr² ＋r² (dθ−Ω(r)dt)²