Tess - Keio

次直交行列  ( )

次直交行列  ( )

iii. _ 。 Tess

回転^{となり .}

{

^{ter t 回転 ではない}

(RE

,

RE

₎ ^{l に -1}

で 意 ? 。 薊 然 灥 : 鷲

2

次元

の とき _の

9 た 習

.

A

^が

定める

2

次元

₅

式

A

⁼

( とも ) 実子 孫 し

、 く_→

旭 ほう とう )

^{= a}

が

^{+2 は}

yt

ef

•

A Can a^{- メ}

) Ctf ) や

_,

PER )

・ ヨ

R 回 車 を 行う

こと が AR

⁼

( YD

^.

if

^{る て}

い ないか ) 三 ( NAR

^・

がく ま り がく ま

D.EE に お せい

_,

CID

⁼

の か ? で

回転 し た に がけ )

^や

しま )

⁼

RE )

=

ら が +2 で

R 回 車 ム が

^二

(

^とく-0

) を へ

澍 国 。 など

⁼

で 鼷 en 棐 ※ 檢 に 劄 。

」

ns

礐 た

^s.no

)

縈 金 爕 行 が s

い

り

く

じ

,

t

Re RE )

⁼

( もて )

で

いま

、

復習 次元の場合

次の実対称行列 = ( )はある直交行列（または回転行列） で対角化可能 だった：

= ^↵ なぜ直交行列を用いるのか？ = _{も直交なので}

( ( ),( )) = · ( ), ( )

= ^{↵ ⇠}_⌘ , ^⇠_⌘ =↵⇠ + ⌘

次直交行列  ( )

復習 次元の場合

定義 2 ( )が直交行列であるとは

= =

を満たすときであった． = (~ ~ )_のとき

=⇣

~

~

⌘

(~ ~ ) =⇣

k~ k (~ ,~ ) (~ ,~ ) k~ k

⌘

= から定義の条件は

k~ k =k~ k = , (~ ,~ ) = と同値である．

次直交行列  ( )

tp

だ

_エ ~

學 ltpl.nl

^たに1

m m ~

(

Pill

、

j

~)^'|^lP1^{= エ}( がっがり

〇

一

ニ (

鸝

^、

鷲 柵

^~

が

藝 が

とんでも で

^PP

も

^=I_E^、

が

^(二) _te

だ

^{とい + eee.. .}

な

^tp=p-1

世

_、^E_, ^→ _p^{. t}_p=I

、

※ 簿 趙 の

〇

は

) に じょ が 品 )

折り返し

,

金 意 映

。

定義とその言い換え

次正方行列 2 ( )が直交行列であるとは ( ~, ~) = (~,~) ~,~ 2 が成立するときである．

次直交行列  ( )

(

がた ぼ

₎

(

^TPP

こが がく )

a

が

^←

④

_EPPは

て

、 11

CPP

^{で、 (TPPで一}

式

^で

)

11

(

^{EPP- I}

いちご )

^{= o}

定義とその言い換え

( ~, ~) = ( ~,~) であることから定義の条件 は

= と同値である．実際 を用いると は

(( ) )~,~ = ~,~ 2

と同値であるが，さらに任意の~ に対して成立することを用いると

( )~ = ~ 2

と同値であることが分かる．これは

= と同値です．

次直交行列  ( )

の、 )

^{n e ←}

と 。 徳 㶚

」

で

_E

ば

( たか )

⁼

S CU EE 4 が )

( ニ ) で き

⁾

-

A

^に

も 正方 行列

A で

₌

S ( 日 で

^E

ば )

^<

A

⁼

⁰

n

、

-

定義とその言い換え

条件 すなわち = が成立するならば，両辺の行列式をとると det ( ) = det ( ) = 従って det ( ) =±

となりますから， は正則であることが分かります．従って = から

= が成立します．さらに

= も成立します．以上で条件 は

= =

と同値であることが示されました．

次直交行列  ( )

ot

に

PPI

=

は 脚 に

中

に

msn.fi

ftp.

が

^一-

Is

.

tpp^=エ_ろ ^く

定義とその言い換え

= (~ ~ ~ )のとき

=

✓ _~

~

~

◆

(~ ~ ~ ) = ^k

~ k (~ ,~ ) (~ ,~ ) (~ ,~ ) k~ k (~ ,~ ) (~ ,~ ) (~ ,~ ) k~ k

!

=

から定義の条件は

k~ k =k~ k =k~ k = , (~ ,~ ) = (~ ,~ ) = (~ ,~ ) = と同値である．

次直交行列  ( )

CPが^心) ^{= (}

もも

⁾

と き

^べ

いば

)

(ニ) tpp^{= エ}

、E) ^も PP = が_p⁼ _I

-

、

P のグラム には

り

^。

二

( ど )

nnn

大きさ 1^.

Selys

お互い

直交

。

でも

^E

が 心 た

^こと

で も

⁾

a_、t.t-ta.tn

定義とその言い換え まとめ

◆ ⇣

2 ( )に対して

は直交行列である．すなわち ( ~, ~) = (~,~) ~,~ 2

, =

, = =

, k~ k =k~ k =k~ k = , (~ ,~ ) = (~ ,~ ) = (~ ,~ ) =

✓ ⌘

ここで 次の直交行列全体の集合を

( ) :={ 2 ( ); は直交} と定義します．

次直交行列  ( )

CE, E) ^{= ルで}は

いpで^い = い て い CUTE

が

₎

は I

_T ^明らか_

韜 irenss

Gthogoud

weather.cn 直交

^行る

り

直交行列に関する注意

一般に 2 , ( ) 2 ,`( )_に対して ( ) =

が成立することに注意しましょう．これを用いると

, 2 ( )) 2 ( ), 2 ( )

であることが分かります．さらに~,~ 2 に対して (~,~) = k~+~k k~ ~k

が成立します．これから

2 ( ), k ~k=k~k (~ 2 ) が成立することが示せます．

次直交行列  ( )

AB n行 なり ^「 CAB) ⁼1行

人

^~

ん

t はり

mineo

とDes_{jus y}

t A n行 ^wが

湖 は

○

^→ こ ^{→ で は「A}

tp

^{では mるり。}

→ a

一、

測

「