구조적 VAR 모형의 설정

III. 구조적 VAR 모형의 설정과 식별가정

1. 구조적 VAR 모형의 설정

구조적 VAR 모형을 설정하기 위하여 우선 구조적 VAR에서 표현하는 경제의 모습의 윤곽을 그려보기로 하자. 구조적 VAR 모형에서 경제의 일반적인 형태는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

A(L)y= e (1)

여기서 A(L)은 시차연산자 L에 대한 다항계수 행렬(n n)을 의미 하며, y는 거시경제 변수 벡터(n 1)이고, e는 경제 외생적이고 상호 독립적인 구조교란항 벡터(n 1)를 뜻한다. n은 경제를 구성하는 변수 의 수를 의미한다. 식(1)의 좌변은 거시경제를 대표하는 변수가 시차구 조 안에서 서로 상호 반응하여 움직이는 모습을 나타내는 거시경제의 구조를 보여주고 있으며, 식(1)의 우변은 경제에 의하여 설명할 수 없는 경제 외생적인 충격을 대표한다. 따라서 경제 외생적이고 상호독립적인

충격이 발생할 때, 이에 대하여 거시경제 내부의 반응은 식(1)의 좌변에 의하여 결정될 수 있다. 이러한 거시경제의 일반적 형태는 다음과 같은 기본적인 가정을 전제로 하고 있다.

<가정 1> 과거의 거시경제 변수(y(t−s))와 당기의 구조교란항 (e(t)) 사이에는 상관관계가 존재하지 않는다.

<가정 2> 구조교란항 상호간에는 상관관계가 존재하지 않는다.

<가정 3> 당기의 구조계수 행렬(A₀= A(0 ))은 non-singular이다.

<가정 4> A_{0의 대각항은 1이다.}

식(1)의 일반적인 거시형태를 당기와 과거 시차에 해당하는 부분을 분 리하여 표현하면 다음과 같은 식(2)를 얻을 수 있다.

A₀y=−A⁰(L)y+e (2)

식(2)는 축약형구조와 유사하나, A₀의 대각항 이외의 항이 0이 아닐 수 있다는 점에서 차이가 존재한다. 식(2)를 기준으로 축약형구조 (reduced form)를 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

y=B(L)y+u (3)

식(3)에 A₀를 앞에 곱하면, 식(2)와 축약형구조 식(3)은 다음과 같은 관계가 존재함을 알 수 있다.

B(L) =−A⁻₀¹A⁰(L) ₍₄₎

A₀u=e (5)

이러한 관계를 이용하면, 외부충격에 대한 경제의 반응을 추정하는데

축약형 VAR를 이용할 수 있다. 식(3)의 축약형구조는 u가 당기의 구조

교란항의 관계만을 포함하기 때문에 y(t−s)와 u(t)는 직교

(orthogonal)조건을 가지게 되고, 따라서 전통적인 VAR 추정을 이용하

여 B(L)의 추정치를 구할 수 있다.

이제 문제는 A₀를 어떻게 추정하는가 하는 문제로 좁혀지게 된다. 만 일 우리가 A₀를 추정하여 추정치를 구해낼 수 있다면, 축약형 VAR로 추정한 B(L)와 A₀를 이용하여 외부충격에 대한 거시경제의 동적 반응 을 추정할 수 있게 된다. A₀를 추정하기 위해서는 당기의 변수들 간에 어떠한 상호작용이 발생하는가에 대한 사전적인 지식이 필요하며, 이러 한 사전적 지식은 경제적 인과관계에 바탕을 두어야 한다. 이러한 사전 적 경제관계를 바탕으로 A₀의 제약을 둘 수 있다. 여기서 제약이라 함 은 A₀의 각 항이 추정되어야 하는 계수인지 아닌지를 구분하는 식별가 정이 된다. 다시 말해서 A₀가 포함하는 각 항이 추정되어야 하는 항인 지 추정되지 말아야하는 항인지를 구분하는 것을 의미한다.¹¹⁾

가. 순환구획(recursive block)을 규정한 구조적 VAR의 설정

일반적인 VAR의 추정은 상기의 설명과 같은 방법으로 추정할 수 있 다. 여기서는 거시경제뿐만 아니라 산업활동에 대한 유가충격의 반응을 살펴보는 것을 목적으로 하므로 개별산업에 대한 유가충격의 반응을 모 형에 포함하여 추정하는 방법을 고려할 수 있다. 본고에서는 거시경제의 충격과 산업의 고유한 자체 충격을 식별하여 구분하는 실증적 모형구조 로 거시경제와 산업 각각의 순환구획(recursive block)을 가진 구조적

VAR를 설정하였다. 유가충격의 영향을 분석하기 위하여 거시경제 충격

11) 이러한 제약에 대해서는 구조적 VAR의 추정 부분에 더 자세히 설명되어 있다.

과 산업 고유의 충격의 영향으로부터 산업의 생산, 가격, 재고, 출하 등 산업활동의 유가충격효과를 구분하는 것이 필요하다. 이러한 유가충격 영향을 구분하는 객관적인 방법은 과거의 자료를 이용하여 실증적으로 분석하는 방법이라 할 수 있으며, 이를 위하여 구조적 VAR모형을 설정 하는데 거시경제의 활동과 개별산업의 활동에 대한 순환적 연결고리를 모형에서 구분하여 설정하였다. 모든 산업을 하나의 모형에 포함시키는 것은 모형이 너무 광범위해지기 때문에 모형에 하나의 산업을 포함시켜 각 산업마다의 유가충격 영향을 각각 추정하는 형태의 방법을 이용하였 다.¹²⁾

거시경제와 산업변수로 구성된 축약형 VAR 모형을 다음과 같이 상정 할 때, 이는 앞서의 식(3)과 같다.

y_t= B(L)y_t+u_t (6)

식(6)에서 y_t는 거시경제변수와 산업변수로 구분할 수 있다. y_1t를 거 시경제변수벡터, y_2t를 산업변수벡터라고 한다면, 두 변수벡터의 순환구 획을 고려하는 형태로 축약형 모형 변수를 다음과 정의할 수 있다.

y_t=^⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

y_1t

y_2t ^, B(L) =^⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

B₁₁(L) B₂₁(L)

0

B₂₂(L) ^, u_t=^⎛_⎜

⎝

⎞⎟

⎠

u_1t u_2t

여기서 y_1t는 거시경제변수로 구성된 n₁ 1벡터이고, y_2t는 개별산업 변수로 구성된 n₂ 1벡터이며, n₁+n₂=n이다. B(L)은 순환구획을 가진 시차연산자(L)의 다항계수행렬을 의미하며, B₁₁, B_{21, B22에 대해} 서는 어떠한 제약도 없다.¹³⁾ 한편, 축약형 모형의 교란항 벡터는 평균이

12) 이러한 방법을 이용한 연구로서 Davis and Haltiwanger(2001), Lee and Ni (2002) 등을 참조할 수 있다.

13) 이와 동일한 계수행렬에 대한 제약을 부가한 연구로는 앞서 언급한 바와 같이

0이고, 공분산행렬은 다음과 같다.

E(u_tu_t) =^⎛_⎜

⎝

⎞⎟

⎠

Ω_{1 1} Ω_{2 1}

Ω₁₂ Ω₂₂ =Ω

상기와 같이 순환구획(recursive block)을 가진 축약형 모형의 추정은

근접형 VAR(Near-VAR)의 추정방법을 사용한다. 거시경제 구획에는 산

업변수를 포함하고 있지 않기 때문에 이러한 모형은 일반적인 축약형

VAR와 동일한 형태가 아니다. 이렇게 어떤 변수를 포함하거나 제외하

였기 때문에 시스템의 추정식의 우변이 동일하지 않은 형태의 VAR모형 을 근접형 VAR(Near-VAR)라 명명하고 있다.¹⁴⁾ 추정식간의 우변이 서로 다르기 때문에 각각의 추정식을 OLS(Ordinary Least Squares)로 추정하 는 것이 일치(consistent)추정량을 보장하지만, 유효성(efficiency)을 보장 하지는 않는다. 따라서 효율성을 향상시키기 위하여 SUR(Seemingly Unrelated Regressions)의 추정방법을 이용하여 추정하게 된다.¹⁵⁾ 이와 같이 SUR를 이용하여 식(6)을 추정하면 Bˆ(L)과 uˆ_t, Ωˆ를 추정할 수 있 다. 그러나 이렇게 추정한 uˆ_t에서는 경제를 구성하는 변수들의 당기 오 차항간에 상관관계를 가지고 있기 때문에 독립적인 충격을 구분할 수가 없다. 이러한 당기 오차항의 독립적인 충격을 식별하기 위하여 구조적 VAR(Sturctural VAR 또는 Identified VAR) 모형을 추정할 필요가 있다.

구조적 VAR 모형은 다음과 같이 설정할 수 있다. 우선 식(6)에 A_0행 렬을 곱하면 다음과 같은 식을 도출할 수 있다.

Davis and Haltiwanger(2001), Lee and Ni(2002) 등을 열거할 수 있다.

14) 이러한 형태 이외에도 시차의 길이가 추정식간에 서로 다른 VAR 모형, 또는 제3의 변수가 포함되는 추정식을 갖는 경우의 VAR 모형도 근접형 VAR로 취 급할 수 있다.

15) SUR의 추정에 대해서는 Greene(1997)을 참조할 수 있다.

A₀^⎛_⎜

⎝

⎞⎟

⎠

y_1t y_2t=A₀^⎛_⎜

⎝

⎞⎟

⎠

B₁₁(L) B₂₁(L)

0 B₂₂(L)

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

y_1t y_2t +^⎛_⎜

⎝

⎞⎟

⎠

e_1t

e_2t ⁽⁷⁾

이 때 식(7)의 교란항벡터는 축약형 교란항벡터와 다음의 관계를 가지 고 있다고 가정한다.

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

e_1t

e_2t =A₀^⎛_⎜

⎝

⎞⎟

⎠

u_1t

u_2t ⁽⁸⁾

또한, 구조적 충격의 공분산행렬은 다음과 같이 대각행렬로 주어지며,

구조적 VAR의 교란항벡터 e_t는 정규분포를 가지는 것으로 가정한다.

E(e_te_t)=^⎛_⎜⎝D₁ ^⎞_⎟⎠

0 0

D₂ =D ₍₉₎

여기서 D_1과 D_{2는 각각} n_1과 n₂차원의 대각행렬이다. A_{0는 상기의} 축약형 모형에서 가정한 바와 같이 순환구획을 가지고 있다고 가정한다.

A₀=^⎛_⎜

⎝

⎞⎟

⎠

A₁₁ A₂₁

0

A₂₂ ⁽¹⁰⁾

이 A_{0행렬은 축약형} VAR의 교란항을 구조적 VAR의 교란항으로 전 환시키는 역할을 하며, 이를 통하여 변수들 각각의 독립적인 충격을 식 별할 수 있게 된다. 이러한 독립적인 충격의 식별은 각 변수들의 충격에 대한 반응함수 도출을 가능하게 한다.

이러한 A₀가 어떻게 구성되는가는 경제이론이나 정보의 흐름 등을 이용하여 설정하게 된다. 이러한 설정을 위한 가정을 식별가정 (identifying assumptions)라고 하며 이는 모형의 특성에 따라 개별적으 로 설정하게 된다. 이러한 식별가정을 어떻게 설정하는가는 아래에서 자 세하게 다루었으며, 여기서는 설정된 A₀를 어떻게 추정하는지를 살펴보 았다.

모든 알려지지 않은 모수를 Θ라고 가정할 때, y_t−j에 대한 y_{t의 가우} 시안 밀도함수(Gaussian density function)는 다음과 같이 표현할 수 있 다.

f(y_t|y_t−1, .., y_t−l,Θ) = (2π)^−n/2|Ω|^−1/2exp(−u_tΩ⁻¹u_t/2 ) (11) 이제 축약형 VAR에서 추정한 공분산추정치(Ωˆ)를 대입하고 구조적 모수가 나타나는 형태로 표본로그우도함수(sample log likelihood function)를 표현하면 다음과 같다.

L(A₀) =

Σ

_{t= 1}

T

log[f(y_t|y_t−1, ..., y_t−l,Θ^*)]

=−(Tn/2 )log(2π) + (T/2 )^log|A0|²−log|D|^2€

−(T/2 )trace(D⁻¹A₀ΩˆA₀D⁻¹)

(12) 이러한 우도함수를 극대화하는 최우추정법(maximum likelihood estimation, MLE)으로 A₀를 추정할 수 있다. 물론 이때, 우도함수 식

(12)는 두 개의 분리된 형태의 우도함수로 표현되며, 거시경제부문과 산

업부문이 각각의 순환구획을 가지는 것으로 가정하였으므로 거시경제부 문은 일반적으로 OLS(Ordinary Least Squares)를 이용하여 A₁₁을 추정 할 수 있다.

상기와 같이 MLE를 이용하여 당기구조계수행렬 A₀를 추정한 후에 앞서 축약형 VAR에서 추정한 시차계수행렬 등을 이용하여 각 변수둘의 특정충격에 대한 충격반응함수를 구할 수 있다. 일반적으로 VAR모형은 이동평균(moving average; MA) 형태로 전환할 수 있다. 다시 말해서 식 (6)은 다음과 같이 표현할 수 있다.

y_t=

Σ

_{s= 0}

∞

Ψ_su_t−s =

Σ

_{s= 0}

∞

Ψ_sA⁻₀¹e_t−s (13) 이때 Eu_tu_t=Ω이며, Ee_te_t=D라고 앞서 가정한 바와 같다. 이러 한 형태로의 전환은 각 변수의 충격에 대한 반응을 다음과 같은 도출을 가능하게 한다. K기 앞선 전망에서의 오차는 다음과 같이 표현할 수 있 다.

Σ

s= 0 K−1

Ψ_sA⁻₀ ¹e_t−s (14) 이 때의 구조 교란항벡터 e_t는 시간에 대하여 서로 상관관계를 갖지 않으며, 당기에서도 서로 상관관계를 갖지 않는다.