Векторлық тәсіл. Қозғалысы бұл тәсілмен берілген нүктенің r

ВА F

1. Векторлық тәсіл. Қозғалысы бұл тәсілмен берілген нүктенің r

радиус-векторы уақытқа тәуелді функция ретінде беріледі, яғни:

r  r  ( t ).

=

(2.1.1) Нүктенің радиус-векторы координат жүйесінің бас нүктесі болатын бір О нүктеден жүргізіледі, бірақ координат жүйесінің берілуі нақтыланбайды (2.1-сурет). (2.1.1) өрнек нүктенің қозғалыс заңынемесе қозғалыс теңдеуідеп аталады.

2.1-сурет

Уақыт өзгерген кездегі радиус-вектор ұшының кеңістіктегі геометриялық орны нүктенің траекториясы немесе радиус- вектордың годографы деп аталады.

2. Координаттық тәсіл. Бұл тәсіл міндетті түрде координат жүйесінің берілуін талап етеді.

Oxyz

жүйесіндегі кез келген М нүктенің орны оның

x , y , z

координаттарымен анықталады. Олар уақыт өткен сайын өзгереді. Нүктенің қозғалыс заңын, яғни оның кез келген уақыттағы кеңістіктегі орнын білу үшін нүктенің координаттарының мәнін, яғни олардың уақытқа тәуелділігін білу керек (2.2-сурет):

), t ( x

x = y = y ( t ), z = z ( t )

. (2.1.2)

2.2-сурет

Бұл теңдеулер нүктенің декарттық координат жүйесіндегі қозғалыс теңдеулері деп аталады.

Егер нүкте тек бір жазықтықта (мысалы Оху жазықтығында) қозғалса, онда оның қозғалысы екі теңдеумен беріледі:

), t ( x

x =

y = y ( t )

. (2.1.3) Егер нүкте түзу сызықты қозғалыс жасайтын болса, онда оның қозғалысы бір теңдеумен анықталады (Ох өсін траектория

бойымен бағыттайтын боламыз). Сонымен, нүктенің түзу сызықты қозғалыс заңы:

).

t ( x

x =

(2.1.4) (2.1.2), (2.1.3) – нүкте траекториясының параметрлік теңдеулері. Бұл жерде параметр ретінде

t

уақыт алынған. Нүкте траекториясының теңдеуін координаттық түрде жазу үшін (2.1.2) немесе (2.1.3) теңдеулерінен уақытты жою керек.

Мысал. Нүкте Оху жазықтығында келесі теңдеулермен қозғалсын:

t2

12 y , t 2

x = = ;

(∗ )

мұндағы х, у – сантиметрмен, t – секундпен берілген.

Бұл теңдеулерден

t = 0

болған кезде нүкте М⁰(0,0) орнында, яғни координат жүйесінің бас нүктесінде, ал t₁=1 секунд болған кезде – М1(2,12) орнында және т.б. болатынын табуға болады. Сонымен,

(∗ )

теңдеулері шынымен де нүктенің кез келген уақыттағы орнын анықтайды екен. Біз t уақытқа әртүрлі мән беріп әрі суретте нүктенің осы уақытқа сәйкес орнын бейнелей отырып, оның траекториясын тұрғыза аламыз.

Қозғалысы

(∗ )

теңдеулермен берілген нүктенің траекториясын басқа жолмен табуға болады. Ол үшін бірінші теңдеуден уақытты өрнектейді:

2

t= x. Уақыттың осы мәнін екінші теңдеуге қойып, координаттық түрдегі нүкте траекториясы теңдеуін алады: y=3x². Сонымен, нүкте траекториясы – шыңы координат жүйесінің бас нүктесінде жататын, өсі Оу өсіне параллель парабола.

2.2-суреттен векторлық және координаттық тәсілдердің арасындағы байланысты аламыз:

k z j y i x

r   

 = ⋅ + ⋅ + ⋅

; (2.1.5) мұндағы

 i

,

 j

,

k 

– координат өстерінің бірлік векторлары.

Егер қозғалыс сфералық немесе цилиндрлік координат жүйесінде қарастырылса, нүктенің сәйкес координаттары уақыт функциялары ретінде беріледі:

) t ( z z ), t ( ),

t

( ϕ = ϕ =

ρ

=

ρ

; (2.1.6)

) t ( ),

t ( ),

t ( r

r= ϕ=ϕ θ=θ . (2.1.7) (2.1.6) теңдеулері нүктенің цилиндрлік координат жүйесіндегі, ал (2.1.7) – сфералық координат жүйесіндегі қозғалыс теңдеулері болады.

Нүкте бір жазықтықта қозғалған жағдайда оның қозғалысы полярлық координат жүйесінде берілуі мүмкін:

).

t ( ),

t ( r

r = ϕ = ϕ

(2.1.8) Бір жағынан цилиндрлік, сфералық, полярлық координат жүйелерінің, екінші жағынан декарттық координат жүйесінің арасында мынадай белгілі байланыстар бар:

. sin r y ,

cos r x

; sin r z , sin cos r y , cos cos x

; z z ,

sin y ,

cos x

ϕ

= ϕ

=

θ

= ϕ

θ

= ϕ θ ρ

=

= ϕ

ρ

= ϕ

ρ

=

(2.1.9)

2. Табиғи тәсіл. Табиғи тәсілді нүкте траекториясы алдын ала белгілі болған жағдайда пайдаланады. Қозғалысы осы тәсілмен берілген нүктенің траекториясы, траектория бойындағы доғаның бастапқы орны, қозғалыстың оң бағыты және

σ

доғалық координаты уақытқа тәуелді функция ретінде беріледі (2.3-сурет):

) t σ (

=

σ

. (2.1.10) (2.1.10) – қозғалысы табиғи тәсілмен берілген нүктенің қозғалыс заңы.

Сонымен, нүктенің қозғалысын табиғи тәсілмен анықтау үшін оның траекториясы, бас нүктесі және (2.1.10) қозғалыс заңы берілуі қажет екен.

2.3-сурет

Нүктенің

σ

доғалық координатын қозғалыстағы нүктенің жүріп өткен жолының s ұзындығымен шатастырмау керек. М нүктесінің кез келген t уақыттағы

σ

доғалық координаты нүктенің

[ 0 , t ]

уақыт аралығында жүріп өткен жолының s ұзындығына тең болу үшін, ол

M

₀ бастапқы орнынан қозғалыстың оң бағытына қарай қозғалуы тиіс.

Егер нүкте бастапқы уақытта М орнында болып, ал t уақытта М1 орынға келсе (2.3-сурет), онда

[ 0 , t ]

уақыт аралығында нүктенің тек бір бағытта жүріп өткен жолы былай анықталады:

0 0

1 0

1

M M M M

MM

s = = − = σ − σ

^.

Нүктенің

σ

доғалық координатының элементар dt уақыт аралығындағы өзгеруі доға дифференциалына тең:

dt ) t ( dt dt

dσ=dσ =σ ^.

Егер нүкте оң бағытта қозғалса доға дифференциалы

0 dt ) t (

d σ = σ  >

, ал теріс бағытта қозғалса бұл дифференциал 0

dt ) t (

dσ=σ < болады.

Нүктенің жүріп өткен жолының өсімшесі (нүктенің элементар орын ауыстыруы) әрқашан оң болады, яғни:

dt ) t ( d

ds = σ = σ 

. (2.1.11) Нүктенің кез келген

[ 0 , t ]

уақыт аралығындағы жүріп өткен жолы оның осы уақыт аралығында өтетін элементар орын ауыстырулары қосындысының шегі ретінде анықталады:

dt ) t ( s

t 0

∫ ^σ

= 

. (2.1.12) Нүктенің

σ

доғалық координаты және s жүріп өткен жолы метрмен өлшенеді.

2.1.3. Нүктенің жылдамдығы мен үдеуі

Енді нүкте қозғалысы әртүрлі тәсілмен берілген кезде оның негізгі кинематикалық сипаттамаларының қалай анықталатынын қарастырамыз.

Нүкте қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларының бірі – жылдамдық. Нүктенің жылдамдығы деп оның қозғалысының шапшаңдығы мен бағытын сипаттайтын векторлық шаманы айтады.

1. Векторлық тәсіл. Нүктенің t уақыттағы орны

 r ( ) t

, ал

t

t + ∆

уақыттағы орны ^r

(

^t+∆^t

)

радиус-векторымен анықталсын (2.4-сурет). Осы векторлардың айырмасын

r 

арқылы белгілейміз, яғни

∆

( t t ) ( ) r t r

r  

 = + ∆ −

∆

. (2.1.13) Бұл вектор нүктенің элементар

∆ t

уақыттағы элементар орын ауыстыруы деп аталады.

Элементар

 r

∆

орын ауыстыру векторының элементар

∆ t

уақытқа қатынасы нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады:

t . V

_op

r

∆

= ∆

 

(2.1.14) Орташа жылдамдықтың векторы

r 

∆

векторы сияқты бағытталады.

∆ t

нөлге ұмтылған кездегі

 r

∆

мен

∆ t

қатынасының шегі нүктенің жылдамдығы деп аталады:

dt ; r d t lim r V

t 0

=

∆

= ∆

→

∆



(2.1.15) демек, нүкте жылдамдығының векторы оның радиус- векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең:

dt r r V  d  

=

=

. (2.1.16) ММ1-дің шектік бағыты жанама болғандықтан, жылдамдық векторы траекторияға жанамамен қозғалыс бағытына қарай бағытталады (2.4-сурет).

2.4-сурет

Түзу сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторы түзудің бойымен бағытталып, оның тек сандық шамасы өзгереді. Ал қисық сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторының сандық шамасымен қатар бағыты да өзгереді.

Жылдамдықтың өлшем бірлігі ретінде м/с немесе км/сағ қолданылады.

Нүктенің үдеуі деп уақыт өткен сайын оның жылдамдығының модулі мен бағытының өзгеруін сипаттайтын векторлық шаманы айтады.

Қозғалыстағы нүктенің

t

уақыттағы орны М жылдамдығы

V 

, ал

t + ∆ t

уақыттағы орны

М

₁ жылдамдығы

V 

₁

болсын (2.5-сурет).

2.5-сурет

V 

1

векторын

М

₁ нүктеден М нүктеге көшіріп,

∆ t

уақыт аралығындағы жылдамдықтың өзгеру векторы деп аталатын вектор енгіземіз:

V V V ₁ 

−

=

∆ . (2.1.17) Осы вектордың өзгеріс болатын уақытқа қатынасы

∆ t

уақыт аралығындағы нүктенің орташа үдеуідеп аталады:

t a

_op

V

∆

= ∆

 

. (2.1.18) Бұл вектор

V 

∆

векторы сияқты бағытталады.

∆ t

нөлге ұмтылған кездегі

V 

∆

мен

∆ t

қатынасының шегі нүктенің үдеуі деп аталады:

dt V d t lim V a

t 0



 

∆ =

= ∆

→

∆ (2.1.19) немесе (2.1.16) теңдігін ескерсек,

r dt V

r d dt

V a d

2

2  

=  = = = . (2.1.20)

Сонымен, нүкте үдеуінің векторы оның жылдамдық векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға немесе радиус-векторынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең.

Үдеудің өлшем бірлігі ретінде

м сек

² қолданылады.

Түзу сызықты қозғалыс кезінде нүкте үдеуінің векторы нүкте қозғалатын түзудің бойымен, қисық сызықты қозғалыс кезінде нүкте траекториясының ойыс жағына қарай бағытталады.

2. Координаттық тәсіл.

Oxyz

декарттық координат жүйесіндегі нүкте қозғалысын қарастырайық. (2.1.5) өрнегіндегі

k , j ,

i

бірлік векторларының тұрақты екендігін ескеріп, (2.1.16)-дан мынаны аламыз:

dtk j dz dt i dy dt dx dt

r

V d   

+ +

=

= ^.

Осыдан нүкте жылдамдығы векторының декарттық координат өстеріне проекцияларын аламыз:

dt z V dz , dt y V dy , dt x

V_x =dx=  _y = =  _Z = =. (2.1.21)

Сонда нүкте жылдамдығының векторы былай жазылады:

k V j V i V

V _x _y _z + +

= . (2.1.22) Нүкте жылдамдығының шамасы (модулі) мына өрнекпен:

2 z 2 y 2

x

V V

V

V = + +

, (2.1.23) ал бағыты төмендегі бағыттаушы косинустармен анықталады:

V ) V z , V cos(

V , ) V y , V cos(

V , ) V x , V

cos(^∧ = ^x ^∧ = ^y ^∧ = ^z

. (2.1.24)

Енді нүктенің үдеуін анықтау үшін (2.1.20) өрнекке сәйкес (2.1.22) теңдігінен уақыт бойынша туынды аламыз:

dt k j dV dt i dV dt dV dt

V

a d ^x ^y ^z 

= = + + ^.

Осыданнүкте үдеуінің векторының декарттық координат өстеріне проекцияларын аламыз:

. z dt V

a dV , y dt V

a dV , x dt V

a_x =dV^x = _x = _y = ^y = _y = _Z = ^z = _z= (2.1.25) Сонда нүкте үдеуінің векторы былай жазылады:

k a j a i a

a= _x+ _y+ _z; (2.1.26) нүкте үдеуінің шамасы (модулі) келесі өрнекпен анықталады:

2 z 2 y 2

x

a a

a

a = + +

. (2.1.27) Үдеу векторының бағыттаушы косинустарытөмендегідей болады:

a ) a z а, cos(

a , ) a y а, ( cos a ,

) a x а,

cos(^∧ = ^x ^∧ = ^y ^∧ = ^z. (2.1.28) 3. Табиғи тәсіл. Нүктенің

t

уақыттағы орны

 r ( ) t

, ал

t

t + ∆

уақыттағы орны ^r

(

^t+∆t

)

радиус-векторымен анықталсын (2.6, а-сурет). ММ доғасының ұзындығын ^∪ ₁

∆ σ

деп белгілейміз. 2.6, а-суретте

∆ σ

>0, ал 2.6, ә-суретте

∆ σ

<0.

Енді (2.1.15) өрнегін түрлендіреміз:

lim t lim r

t lim r

t lim r V

t 0 t 0

t 0

t 0 ∆

σ

⋅ ∆ σ

∆

= ∆

∆ σ

⋅∆ σ

∆

= ∆

∆

= ∆

→

∆

→

∆

→

∆

→

∆





 

; (2.1.29)

мұндағы

σ σ=

∆ = σ

∆

→

∆ 

dt d lim t

t 0

. (2.1.30)

2.6-сурет Егер

∆ σ

>0 болса, онда

σ

∆

∆r

векторы

 r

∆

-мен бағыттас, ал

σ

∆

<0 болса

r 

∆

-ге қарсы бағытталады. Демек, екі жағдайда да доға санағының оң бағытына қарай бағытталады екен. Сонда сандық шамасы бірге тең

σ

∆

= ∆

σ

^∆→