ТЕОРИЯЛЫҚ МЕХАНИКА

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Ә. Н. Төреқожаев Д. Т. Туғанбаева Б. Ж. Қырықбаев

ТЕОРИЯЛЫҚ МЕХАНИКА

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі оқулық ретінде ұсынған

Алматы 2019

ӘОЖ 531(075.8) КБЖ 22.21я73 Т 65

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігінің 2016 жылғы басылым жоспары бойынша басылды.

Пікір жазғандар:

Қалтаев А. Ж. - физ.-мат. ғыл. док., проф., әл-Фараби атындағы ҚазҰУ;

МахметоваН. М. - техн. ғыл. док., проф., М. Тынышбаев атындағы ҚазКжКА;

Наурызбаев К. А. - техн. ғыл. док., проф., ҚазБСҚА;

Машеков С. А. - техн. ғыл. док., проф., Қ. И. Сәтбаев атындағы ҚазҰТЗУ

Төреқожаев Ә. Н., Туғанбаева Д. Т., Қырықбаев Б. Ж.

Т65 Теориялық механика:Оқулық. /Төреқожаев Ә. Н., Туғанбаева Д. Т., Қырықбаев Б. Ж./Екінші басылым. – Алматы: ИП «Ашикбаева», 2019. – 502 б. Сурет 240. Библиогр. – 30 атау.

ISBN 978-601-80738-4-7

Оқулық теориялық механика пәнінің негізгі заңдары мен теоре- маларын және әр тараудың соңында студенттердің білімін тексеру сұрақ- тары мен есептерді шешу үлгілерін қамтиды.

Қазіргі кезде техникалық мамандықтарға сұраныстың өсуіне және мемлекеттік тілде білім алатын студенттер санының артуына байланысты қазақ тілінде жазылған «Теориялық механика» оқулығының мәні зор.

Ұсынылып отырған оқулық айтылған талаптарға сай, техникалық оқу орындарының оқу бағдарламасына сәйкес жазылған.

Бұл оқулық мұнай-газ мамандығында, сондай-ақ жоғары оқу орын- дарының басқа да техникалық мамандықтарында оқитын студенттерге, магистрлерге, докторанттарға, сонымен қатар ғылыми қызметкерлер мен өндіріс саласындағы инженерлерге арналған.

ӘОЖ 531(075.8) КБЖ 22.21я73 ISBN 978-601-80738-4-7

© Төреқожаев Ә. Н., Туғанбаева Д. Т., Қырықбаев Б.Ж., 2019

АЛҒЫ СӨЗ

Ғылыми қызметкерлер және мамандар ғылым мен техниканың тұрақты дамуына байланысты пайда болатын өзекті мәселелерді шешу үшін іргелі ғылымдар саласы бойынша жақсы дайындықта болуы керек. Осы мақсаттағы ең сара жол болашақ ғылыми қызметкерлер мен инженерлерді даярлау кезінде олардың оқу жоспарындағы іргелі ғылымдардың маңыздылығын арттыруда жатыр. Теориялық механика – физика-математика цикліндегі іргелі жалпы ғылыми пән.

Теориялық механиканы оқып үйрену болашақ маманға келешекте жұмысында кездесетін механикалық құбылыстарды дұрыс түсінуіне, соның арқасында өзінің кәсіптік еңбек жолында кездесетін ғылыми-техникалық жаңалықтарды игеруіне қажетті іргелі білім береді; оның логикалық ойлау және өз бетінше шешім қабылдау қабілетін дамытады; табиғат пен техникада болып жатқан үрдістердің математикалық модельдерін құруға дағдылануына, ғылыми қорытындылар жасай алуына, ғылыми көзқарасының кеңеюіне, жалпы мәдениетінің жоғарылауына ықпал етеді.

Машинажасау, металлургия, мұнай және газ саласы, тау- кен және т.б. мамандықтардың оқу жоспарына енген

«Материалдар кедергісі», «Механизмдер мен машиналар теориясы», «Машиналарды жобалау негіздері», «Сұйықтар мен газдар механикасы», «Гидравлика», «Серпімділік теориясы»

және т.б. жоғары білім алуға қажетті жалпы инженерлік пәндер теориялық механика курсының материалдарына негізделген.

Машиналар мен әртүрлі көлік динамикасын оқыту, көпірлер, тоннельдер, шахталар, электр машиналарын, станциялар, бөгеттер салу және оларды пайдалану, металдарды қысыммен өңдеу, мұнай мен газды өндіру және тасымалдау, мұнай мен газ құбырларын жобалау және пайдалану, механизмдерді есептеу, салу және пайдалану әдістерін, аспаптар мен жүйелерді құрастыру және жөндеу, т.б. тәсілдерін оқытуға бағытталған

арнайы инженерлік пәндерді меңгеру үшін де теориялық механиканы білу қажет.

Пәнді оқу барысында студент теориялық механиканың қатаң заңдарға сүйенген, іс жүзінде дәлелденген ғылым екендігі жайлы мағлұмат алады. Механиканың негізгі ұғымдары мен заңдарын және осы заңдардан туындайтын материалдық нүктенің, қатты дене мен механикалық жүйенің тепе-теңдігін және қозғалысын зерттеу тәсілдерін үйреніп, алған білімін басқа арнайы пәндерде кездесетін механика мәселелерін шешуге пайдалана алатын болады.

Ұсынылып отырған пәнді оқып үйрену үшін, тиісті матема- тикалық дайындық қажет. Теориялық механиканың барлық бөлімінде векторлық алгебра кеңінен қолданылады. Вектор- лардың координат өстеріне проекцияларын есептеуді, олардың геометриялық (векторлық үшбұрыш немесе көпбұрышты тұр- ғызу арқылы) және аналитикалық (координат өстеріне проек- циялары арқылы) қосындысын табуды, екі вектордың скалярлық және векторлық көбейтінділерін есептеумен қатар осы көбей- тулердің қасиеттерін білуді, ал кинематика мен динамика бөлім- дері векторларды дифференциалдауды қажет етеді. Сонымен қатар жазықтықтағы және кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координат жүйесін еркін қолдануды, осы өстердің бірлік век- торлары деген не екенін және олардың көмегімен вектор құрау- шыларының координат өстерінде қалай өрнектелетінін де білу керек.

Кинематиканы оқып үйрену үшін бір айнымалысы бар функцияларды дифференциалдай білуді, олардың графиктерін тұрғызуды, аналитикалық геометрияда оқылатын табиғи үшжақ- тық, траектория қисықтығы мен траекторияның қисықтық ра- диусы туралы түсініктерді, екінші ретті қисықтар теориясының негізін білуді міндеттейді.

Динамиканы оқу үшін жай функциялардың интегралдарын (анықталмаған және анықталған интегралдар) таба білу, бірнеше айнымалысы бар функциялардың дербес туындылары мен толық дифференциалдарын есептей білу, сонымен қатар айны- малылары бөлінетін бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер мен коэффициенттері тұрақты екінші ретті сызықтық диффе-

ренциалдық теңдеулерді (біртекті және біртекті емес) интег- ралдай білу қажет.

Пәнді оқу барысында есеп шығаруға дағдылануға ерекше көңіл бөлу керек. Берілген тақырыптың материалын оқығаннан кейін, алдымен оқулықта келтірілген есептердің шешулерін әдістемелік нұсқаулардағы олардың шешулеріне ерекше көңіл аударып, міндетті түрде түсіну керек. Содан кейін бірнеше ұқсас есепті өзіңіз шығаруға тырысыңыз.

Авторлар

КІРІСПЕ

Жаратылыстануда материяның түрлі қасиеттері мен оның әртүрлі күйі зерттеледі. Жаратылыстануды табиғи құбылыстар мен олардың заңдылықтары жайлы ғылым деуге болады.

Материя деп біз сезетін, бірақ біздің санамыздан тәуелсіз объективті шындықты айтады. Біз үшін зат деп аталатын материяның түрі өте маңызды. Барлық физикалық денелер, мысалы қатты денелер, сұйықтар, газдар, молекулалар, тіпті элементар бөлшектер (электрондар, протондар, нейтрондар, т.б.) заттан құралады.

Элементар бөлшектер арасындағы, сондай-ақ макроско- пиялық денелер арасындағы өзара байланыс жүйесі материяның өрісдеп аталатын басқа бір түрі болып табылады. Кеңістік пен уақыт материяның пайда болуының негізгі объективтік түрі болып есептеледі.

Жаратылыстану материяның әртүрлі қозғалысын зерттейді.

Теориялық механика механикалық қозғалыстың жалпы заң- дарын және қатты денелердің өзара әсерін, сонымен қатар дене- лердің өріспен (тартылыс, электромагниттік) өзара әсерін зерттейтін физика-математикалық ғылыми жаратылыстану пәні болып табылады.

Механика – материалдық денелердің қозғалысы мен өзара әсерлесуі туралы ғылым. Механикалық қозғалыс – денелердің бір-біріне қатысты кеңістіктегі орын ауыстыруы; ол материя қозғалысының бір түрі болып табылады. Механикада денелер- дің өзара механикалық әсерлесуінің өлшеуіші ретінде алынатын шаманы күш деп атайды.

Теориялық механикада өзінің қарапайым үлгілерімен беріл- ген және уақыт пен кеңістіктегі өзара орын ауыстыруына бай- ланысты қарастырылатын материалдық денелер туралы сөз болады.

Механикада материалдық денелердің мынадай үлгілері қолданылады: 1) материалдық нүкте және материалдық нүкте- лердің дискреттік жиынтығы (жүйе); 2) тұтас орта, атап айт-

қанда абсолют қатты дене және деформацияланатын қатты дене, аққыш, аморфты, сусымалы, сұйық және газ тәрізді денелер.

Теориялық механикада қарастырылатын заңдар, теоре- малар, қағидалар механикалық қозғалыстың жалпы заңды- лықтарын қамтиды. Себебі оларды дәлелдеу кезінде денелердің тек негізгі механикалық қасиеттері ғана қарастырылады.

Теориялық механикада орнатылған заңдар жаратылыстанудың басқа заңдары сияқты, өмірдегі объективті шындықты сипат- тайды. Теориялық механикада алынған заңдар мен қағида- лардың негізінде деформацияланатын денелердің механикасы (серпімділік теориясы, пластикалық теориясы, ағымдылық теориясы, қирау теориясы, гидромеханика, газдар динамикасы) оқытылады.

Сондықтан, теориялық механика жалпы механиканың, сондай-ақ көптеген инженерлік пәндердің негізі болып табылады.

Механиканың негізгі ұғымдары адамзаттың тарихи және экономикалық даму кезеңдерінде пайда болып, өмірмен үздіксіз байланыста дамыды. Теориялық механиканың дамуының және ғылым болып қалыптасуының бай тарихы бүкіл адамзат тарихымен әрі мәдениетімен тығыз байланысты. Механиканың алғашқы даму сатысында жетекші мәселелер теңізде жүзу қажеттілігінен туындады. Себебі, теңізде жүзу кезінде ай мен жарық жұлдыздардың жыл бойғы орналасуын көрсететін нақты астрономиялық кестелер қажет болды. Ол кезде аспан механикасының мәселелері маңызды еді. Бүгінгі күні теориялық механика техникада кең қолданылады (авиация, космонавтика, машина жасау, кибернетика, т.б.).

Теориялық механика үш бөлімнен тұрады: статика, кинематика, динамика. Статика сөзі тыныштықта болу, бір орында тұру, қозғалмау деген ұғымды білдіретін гректің «status»

сөзінен алынған.

Статика материалдық денелерге түсірілген күштердің жиынтығы мен күштер жүйесін ең қарапайым түрге келтіруге мүмкіндік беретін амалдар туралы ілім болып табылады. Соны- мен қатар статикада берілген күштер жүйесінің әсеріндегі материалдық денелердің тепе-теңдік шарттары алынады. Бұдан былай материалдық дененің тепе-теңдігі деп оның алынған

санақ жүйесіне қатысты тыныштығын айтамыз, яғни дененің салыстырмалы тепе-теңдігін немесе салыстырмалы тынышты- ғын қарастыратын боламыз. Мысалы, Жерге қатысты тыныш- тықта болатын дене шындығында Жермен бірге қашықтағы жұлдыздармен байланысқан қозғалмайтын координат жүйесіне қатысты қозғалады.

Материалдық нүктені, яғни ең қарапайым үлгіні қарас- тырғанда ғана тепе-теңдік ұғымы оның инерция бойынша түзу сызықты бірқалыпты қозғалысымен байланыстырылады. Инер- циямен қозғалатын денені, егер оған сырттан күш түсірілмесе, тепе-теңдіктегі дене деп қарастыруға болады. Бірақ мұндай қозғалыс өте күрделі болғандықтан, бұл жағдайда дене тепе- теңдігі деп тек қана қарастырылған қозғалмайтын жүйедегі дене тыныштығын түсінеді.

Кинематика сөзі қозғалыста болу деген ұғымды білдіретін гректің «kinema» сөзінен шыққан. Кинематика материалдық де- не қозғалысының геометриялық қасиеттерін басқа денелермен немесе физикалық өрістермен әсерлесуінен тәуелсіз зерттейді.

Сондықтан, кинематиканы кейде уақыт ұғымы бар қозғалыс геометриясы деп атайды. Кинематикада қозғалыстың негізгі сипаттамаларына траектория, жүріп өткен жол, қозғалыстың жылдамдығы мен үдеуі жатады.

Теориялық механикада неше түрлі қозғалыстар: аспан дене- лерінің, Жердің жасанды серіктерінің, ракеталардың орбиталық қозғалыстары, машиналардың, ауадағы ұшақтардың тербелмелі қозғалыстары, басқару аспаптарының, кемелердің, т.б. қозғалыс- тары қарастырылады.

Динамика сөзі күш деген ұғымды білдіретін гректің

«dinamicos» сөзінен шыққан. Динамика күш әсеріндегі мате- риалдық денелердің қозғалысын зерттейді. Динамикада мате- риалдық денелерге түсірілген күштер тепе-теңдікте болмайтын жағдаймен кездесеміз. Мәселе әсер етуші күштер мен олардың әсерінен болатын дене қозғалысының арасындағы байланысты зерттеуде, қозғалыстың жалпы заңдарын орнатуда болады.

Бұл мәселені шешу үшін барлық материалдық денелерді көлемін ескермеуге болатын материалдық нүктелерге ойша бөлшектейміз. Басқаша айтқанда, барлық денелерді материал- дық нүктелердің жиынтығы мен жүйесі деп қарастырамыз.

Алдымен жеке бір материалдық нүкте қозғалысының заңдарын зерттеумен айналысамыз. Одан кейін алынған нәтижелерді бірнеше материалдық нүктеге немесе механикалық жүйеге қолданамыз. Осы жолмен кез келген материалдық дене қозға- лысының жалпы заңдарына келеміз.

Динамика екі бөлімнен тұрады: материалдық нүкте дина- микасы және механикалық жүйе динамикасы. Механикалық жүйе динамикасында материалдық денелердің қозғалысының жалпы заңдары алынады. Материалдық нүкте динамикасын механикалық жүйе динамикасына кіріспе ретінде қарастыруға болады, алайда оны жеке де қарастырады.

Теориялық механиканың заңдары мен аксиомалары көп- теген зерттеушілердің еңбектерінің нәтижесінде пайда болған.

Бұл жұмыстардың бастамасы ерте заманғы Египет пен Грекияда қарапайым машиналарды қолдану тәжірибесіне негізделіп, механиканың алғашқы заңдылықтары алынған. Әрине, ол кезде қазіргі заманғы тұжырымдар жүйесі әлі қалыптаспаған еді.

Алғашқы елеулі ғылыми нәтижелерді біздің дәуірге дейінгі 287-212 жылдардағы Архимедтің еңбектерінен табуға болады.

Ол алғашқы даму деңгейінде қарапайым машиналар туралы мәліметтерді және денелер тепе-теңдігі (статика) туралы ұғым- ды айқындаған. Көне заманғы және орта ғасырдағы механика- ның даму тарихына терең тоқталмай-ақ, қазіргі классикалық механиканың пайда болуына ықпал жасаған көрнекті ғалымдар жайлы айта кетейік. Бұл жерде алдымен Николай Коперник (1473-1543) пен Иоганн Кеплерді (1571-1630) еске алу керек.

Кеплер Марс планетасының қозғалысын зерттеу нәтижесінде планеталардың қозғалыс заңын алды. Осының негізінде Ньютон бүкіл әлемдік тартылыс заңын ашты. Коперник планеталардың Күн айналасындағы гелиоцентрлік қозғалыс теориясын жасады.

Галилео Галилей (1564-1642) маңызды зерттеулер жүргізді.

Ол механиканың негізгі заңы – Инерция заңын ашты.

XVII ғасырдың көрнекті ғалымдарына Христиан Гюйгенс (1629-1695) пен Рене Декартты (1596-1650) жатқызуға болады.

Жаратылыстанудың ғылым ретінде дамуының бірінші кезеңі Ньютонның (1643-1727) еңбектерімен аяқталады. Ньютон өзінің «Натуралдық философияның математикалық бастама- лары» (1687) деген көрнекті еңбегінде сол кездегі механиканың

жетістіктерінің басын қосып біріктірді. Бұл кітапта классикалық механиканың негізі келтірілген. Бүкіл әлемдік тартылыс заңын ашу Ньютонның өте зор жетістігі болды.

Ньютонның классикалық механикасы XVIII-XIX ғғ. бойы дамыды, ал XX ғ. бұл даму қазіргі салыстырмалылық теория- сына әкелді.

XVIII ғасырдың көрнекті ғалымдарының ішінен Иоганн Бернуллиді (1667-1748), Жан Леон Даламберді (1717-1783), Михаил Васильевич Ломоносовты (1711-1765), Леонард Эйлерді атауға болады. Жозеф Луи Лагранж (1776-1813) аналитикалық механиканың негізін қалады.

XIX ғ. теориялық механика ерекше қарқынды дамыды.

Уильям Гамельтонның (1805-1865), Карл Якобидің (1805-1851), Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855) еңбектері механиканың аналитикалық тәсілдерін ілгері дамытты. Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861), Николай Егорович Жуковский (1847-1921), Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869-1942), Софья Васильевна Ковалевская (1850-1891), Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894), Александр Михайлович Ляпунов (1857- 1918), Иван Всеволодович Мещерский (1859-1935), Константин Эдуардович Циолковский (1857-1935) және басқа ғалымдар XIX-XX ғғ. теориялық механиканың барлық бөлімдерінің да- муына баға жетпес үлес қосты.

Ғарыш кемелері мен осы кемелерді Жердің жасанды се- ріктерінің орбитасына және Күн жүйесіндегі планеталарға, Айға шығаратын керемет ракеталардың жасалуы XX ғ. ІІ жарты- сындағы механиканың қол жетпес жетістіктеріне жатады.

Механика өзінің жаратылыстанудағы және техникадағы жаңалықтарымен адамзатты әлі де қуанта береді.

1. ҚАТТЫ ДЕНЕ СТАТИКАCЫ

1.1. Статиканың негізгі ұғымдары мен аксиомалары 1.1.1. Абсолют қатты дене. Статиканың мәселелері Статика – денеге түсірілген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіретін және олардың тепе-теңдік шарттарын тағайындайтын теориялық механиканың бөлімі.

Механикада денелердің кеңістікте қозғалмайды деп алынған бір денеге қатысты қозғалысы қарастырылады.

Қозғалмайтын денемен тік бұрышты декарттық санақ жүйесін байланыстырады. Ондай қозғалмайтын санақ жүйесін абсолюттік немесе инерциалдық санақ жүйесі деп атайды. Көп жағдайда жермен байланысқан санақ жүйесін инерциалдық абсолюттік жүйеге жатқызуға болады.

Теориялық механика қатты денелердің қозғалысын және тыныштығын қарастырады. Абсолют қатты дене деп кез келген екі нүктесінің арақашықтығы ешқандай жағдайда өзгермейтін денені айтады.

Статика бөлімінде денеге әсер ететін күштерге байланысты екі мәселе қарастырылады:

1) абсолют қатты денеге әсер ететін күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру;

2) денеге әсер ететін күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттарын анықтау.

1.1.2. Статиканың негізгі ұғымдары

Денелер арасындағы механикалық әсерді сипаттайтын шама күш деп аталады. Күш – статиканың негізгі ұғымы.

Күштің әсерінен денелер қозғалады немесе деформацияланады.

Механикада қарастырылатын шамалар скалярлық және векторлық болып бөлінеді. Скалярлық шамалар тек қана сандық мәнімен толық сипатталады. Векторлық шамалар сандық мәнімен қатар, бағытымен де сипатталады. Күш – векторлық шама. Күштің денеге әсері оның сандық шамасымен (модулімен), түсу нүктесімен және бағытымен анықталады (1.1-сурет).

1.1-сурет

Күшті таңдалған масштабта, ұзындығы күштің шамасын анықтайтын

F 

векторымен бейнелейді. Бұл вектордың басы күштің түсу нүктесімен дәл келеді (1.1-сурет, А нүкте), бағыты күш бағытын анықтайды.

Күш векторы бағытталған MN түзуі күштің әсер ету сызығы деп аталады (1.1-сурет).

Күштің өлшем бірлігі халықаралық СИ өлшем бірліктер жүйесінде – 1 Н (Ньютон), техникалық өлшем бірліктер жүйесінде – 1 кГ (килограмм күш).

Енді келесі анықтамаларға тоқталайық.

1. Бір денеге әсер ететін (F₁,F₂,...,F_n

) күштер жиынтығы күштер жүйесі деп аталады.

2. Егер дененің күйін өзгертпей, оған әсер ететін (

F 

₁

, F 

₂

, ... , F 

_n

) күштер жүйесін басқа бір (P₁,P₂,...,P_m

) күштер жүйесімен алмастыруға болатын болса, онда мұндай екі жүйе парапар жүйелер деп аталады:

(

F 

₁

, F 

₂

, ... , F 

_n

)

∾

⁽P1,P2,...,Pm

).

3. Егер дененің күйін өзгертпей, оған әсер ететін (

F 

₁

, F 

₂

, ... , F 

_n

) күштер жүйесін бір

R 

күшпен алмастыруға болатын болса, онда бұл күш тең әсерлі күш деп аталады:

(

F 

₁

, F 

₂

, ... , F 

_n

)

∾ ^{R }

^.

4. Егер дене күштер жүйесінің әсерінен тепе-теңдікте болса, онда бұл жүйе теңестірілген немесе нөлге парапар жүйе деп аталады:

(

F 

₁

, F 

₂

, ... , F 

_n

)

∾

^0.

1.1.3. Статиканың аксиомалары

Математикалық дәлелдеусіз қабылданатын теңдеулер мен теоремаларды аксиома дейді. Статика осындай аксиомаларға сүйенеді.

1-аксиома (екі күштің тепе-теңдігі туралы аксиома). Екі күш әсер ететін қатты дене тепе-теңдікте болу үшін олардың модульдері тең болып, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті (1.2-сурет). Демек,

, F F 

₂



₁

−

=

F 

₂

F 

₁

,

=

(

F 

₁

, F 

₂

)

∾

^0.

1.2-сурет

2-аксиома (нөлге парапар күштер жүйесін қосу немесе алып тастау туралы аксиома). Қатты денеге әсер ететін кез келген күштер жүйесіне нөлге парапар күштер жүйесін қосып не алып тастағаннан, алғашқы күштер жүйесінің денеге әсері өзгермейді.

1 және 2-аксиомалардың салдары. Күшті өзінің әсер ету сызығының бойымен кез келген басқа нүктеге көшіруге болады, одан күштің денеге әсері өзгермейді.

Шынында да, дененің А нүктесіне түскен

F 

күшінің әсер ету сызығының бойындағы В нүктеге

F 

₁

, F 

₂

күштерін F

F F₁ ₂ 

=

−

= болатын етіп түсірейік (1.3-сурет). Сонда

F 

пен

F 

2

күштері жойылады да,

F 

күші В нүктеге түскен болады.

1.3-сурет Сонымен,

F 

күшін бейнелейтін векторды күштің әсер ету сызығының бойындағы кез келген нүктеге түскен деп есептеуге болады. Мұндай вектор жылжымалы вектор деп аталады. Демек, күш –жылжымалы вектор.

Алынған нәтиже тек абсолют қатты денеге әсер ететін күштер үшін ғана орындалады.

3-аксиома (күштер параллелограммы туралы аксиома).

Қатты дененің бір нүктесіне түскен екі күшті осы күштердің геометриялық қосындысына тең әрі сол нүктеге түскен тең әсерлі күшпен алмастыруға болады (1.4-сурет). Тең әсерлі күш күштерден тұрғызылған параллелограмның диагоналімен анықталады:

2

1 F

F R  

+

= ^.

1.4-сурет

4-аксиома (әсер және қарсы әсердің теңдігі туралы аксиома). Екі дене бір-біріне әрқашан сан мәндері тең, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді (1.5-сурет):

1 2 2

1

F

F 

₋

= − 

₋

,

F 

₁₋₂

= F 

₂₋₁

.

1.5-сурет

5-аксиома (қатаю туралы аксиома). Күштер жүйесі әсер ететін кез келген деформацияланатын денені тепе-теңдіктегі абсолют қатты дене ретінде қарастыруға болады.

Мысалы, екі күш әсер ететін иілгіш жіп (деформацияланатын дене) тепе-теңдікте болу үшін, күштердің модульдері тең болып, бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы жеткілікті шарт бола алмайды. Себебі жіп тепе- теңдікте болу үшін, әсер ететін күштер жіпті созатындай болып бағытталуы керек. Сонда ғана жіп тепе-теңдікте болады.

1.1.4. Байланыстар және олардың реакциялары

Қозғалыс еркіндігі басқа денелермен шектелмеген дене еркін, ал шектелетін дене еркін емес дене деп аталады. Берілген дененің қозғалысын шектейтін әрі онымен жанасатын дене байланыс деп аталады. Берілген дене байланысқа бір күшпен әсер етеді. Ол – қысым күші. Байланыс та берілген денеге бір күшпен әсер етіп, оның қозғалысын шектейді. Бұл күш байланыс күші (реакция күші) немесе байланыс реакциясы деп аталады. Статиканың төртінші аксиомасы бойынша, қысым күші мен реакция күшінің шамалары тең, бір түзудің бойымен қарама- қарсы бағытталған болады. Реакция күштерінің мәндері денеге әсер ететін актив (белгілі) күштерге тәуелді әрі алдын ала белгісіз болып, дененің мүмкін қозғалысына қарсы бағытталады. Байланыс дене қозғалысын бірнеше бағытта

шектейтін жағдайда реакция күштерінің бағыты белгісіз болғандықтан, кейбір байланыстардың реакция күштерінің бағыттарын актив күштерге тәуелсіз көрсетуге болады. Енді осындай байланыстардың негізгі түрлерін қарастырамыз.

1. Қозғалмайтын тегіс бет (жазықтық). Берілген дененің үйкелісін елемеуге болатын жазықтық тегіс жазықтық (тегіс бет) деп аталады. Дене тегіс беттің үстінде жатса, онда байланыс реакциясы жанасу нүктесіне түсіп, жанасушы беттерге ортақ нормаль бойымен бағытталады. Егер байланыс денемен өзінің бір бұрышымен ғана түйіссе, реакция күші денеге перпендикуляр, ал керісінше болған жағдайда байланысқа перпендикуляр бағытталады (

N 

– нормаль реакция, 1.6-сурет).

1.6-сурет

2. Созылмайтын иілгіш байланыстар (жіп, арқан, сым арқан, шынжыр, т.б.). Мұндай байланыстың реакциясы байланыс бойымен, оның іліну нүктесіне қарай бағытталады (

T 

– иілгіш байланыстың керілу күші, 1.7-сурет).

1.7-сурет

3. Салмақсыз жіңішке сырық. Бұл байланыстың реакциясы сырықтың денемен бекітілу нүктесіне түседі. Сырық түзу сызықты болса реакция күші сырықтың бойымен, ал қисық сызықты болса сырықтың басы мен ұшын қосатын түзудің бойымен бағытталады. Сырықтың өзі сығылуы немесе созылуы мүмкін (

S 

– сырықтың реакциясы, 1.8, а-суретте бейнеленген сырық сығылады, ал 1.8, ә-суреттегі сырық созылады).

1.8-сурет

1.9-сурет

4. Цилиндрлік жылжымайтын топса (тірек). Мұндай байланыс қатты денеге топсаның өсіне перпендикуляр жазықтықта айналуға мүмкіндік береді. Бірақ, бекітулі нүкте топса өсіне перпендикуляр жазықтықта қозғала алмайды.

Реакция күші осы жазықтықта жатады әрі актив күштердің әсерінен кез келген бағытта бағытталуы мүмкін. Сондықтан мұндай байланыстың реакциясы x және y өстерімен бағытталған екі құраушыға жіктеледі.

1.9-суретте

F 

₁

және

F 

₂

күштері әсер ететін АВ арқалығы бейнеленген. Оның А ұшы жылжымайтын цилиндрлік топсамен бекітілген, В ұшы тегіс бетке сүйенген. Цилиндрлік топсаның

белгісіз R_A

реакция күшін R_Ax

және R_Ay

екі құраушыға жіктеп, тегіс беттің

N 

_B

реакциясын бетке нормаль бойымен бағыттайды. Жылжымайтын топсалы тіректің

R 

_A

реакция күшінің шамасы күштер параллелограмы туралы аксиомамен анықталады:

2 Ay 2

Ax

A R R

R = + ^.

5. Цилиндрлік жылжымалы топса (тірек). Мұндай байланыстың реакциясы топса өсіне перпендикуляр жазықтықта жатып, тірек жазықтығына перпендикуляр бағытталады. (R_B – жылжымалы топсалы тіректің реакциясы, 1.10, 1.11-суреттер).

1.10-сурет

1.11-сурет

6. Сфералық топса. Мұндай топса дененің бір нүктесін қозғалтпайды, бірақ дене осы нүктені айналатындықтан, байланыс реакциясы кеңістікте кез келген бағытта болуы

мүмкін. Сондықтан сфералық топсаның (1.12, а-сурет) R реакция күші x, y және z өстерімен бағытталған үш құраушыға жіктеледі (R_Ox,R_Oy,R_Oz

– сфералық топсаның реакция күшінің құраушылары, 1.12, ә, б-суреттер).

1.12-сурет

Сфералық топсаның реакция күшінің шамасы параллелепипед ережесі бойынша анықталады:

2 Oz 2

Oy 2

Ox

R R

R

R = + +

.

Есеп шығарған кезде келесі қағиданы қолданатын боламыз.

Байланыстардан арылу қағидасы (принципі). Кез келген еркін емес денені еркін дене ретінде қарастыруға болады. Ол үшін дененің қозғалысын шектейтін байланыстарды ойша алып тастап, олардың әсерін реакция күштерімен алмастыру керек.

Мысал. 1.13-суретте бейнеленген қабырғаға сүйенген АВ арқалығын қарастырайық. Қабырға мен еден арқалық үшін байланыс болып, оның қозғалыс еркіндігін шектеп тұр.

P 

– арқалықтың ауырлық күші, ал N_A, N_B

– байланыс реакциялары.

Есеп шығарған кезде байланыстарды ойша алып тастап, арқалықты (P,N_A,N_B

) күштер жүйесі әсер ететін еркін дене ретінде қарастыратын боламыз.

1.13-сурет

Өзіндік бақылау сұрақтары

1. Теориялық механика пәні нені зерттейді?

2. Статика нені зерттейді?

3. Күш, күштер жүйесі, парапар жүйелер, тең әсерлі күш, теңестірілген күштер.

4. Статиканың аксиомалары және олардың салдары.

5. Байланыс деген не?

6. Реакция күштерінің әсер ету сызықтары белгілі байланыстардың негізгі түрлері және олардың реакциялары.

7. Байланыстардан арылу қағидасы (принципі).

1.2. Күштерді қосу. Жинақталатын күштер жүйесі 1.2.1. Күштерді геометриялық қосу. Күштерді жіктеу Механиканың көптеген есебінің шешуі векторлық алгебрадағы векторларды, соның ішінде күш векторларын қосу амалымен тығыз байланысты. Бұдан былай жүйедегі күштердің геометриялық қосындысына тең шаманы бас вектор деп атайтын боламыз. Күштердің геометриялық қосындысы туралы ұғымды тең әсерлі күш ұғымымен шатастыруға болмайды.

Себебі көптеген күштер жүйесінің тең әсерлі күші болмайды, ал кез келген күштер жүйесініңбас векторын санауға болады.

1.14-сурет 1. Екі күшті қосу.

F 

₁

және

F 

₂

күштерінің

R 

геометриялық қосындысы параллелограмм ережесі бойынша (1.14, а-сурет) немесе осы параллелограмның бір жартысын бейнелейтін күштер үшбұрышын тұрғызу (1.14, ә-сурет) арқылы анықталады. Сонда

R 

күшінің модулі және оның құраушы күштермен құратын бұрыштары төмендегі өрнектермен анықталады:

R F₁² F₂² 2F₁F₂cos(F₁,F₂), + ∧

+

=  

(1.2.1)

.

) F , F ( sin

R )

R , F ( sin

F )

R , F ( sin

F

2 1 1

2 2

1

∧

∧

∧ = =











 (1.2.2)

1.15-сурет

2. Бір жазықтықта жатпайтын үш күшті қосу. Бір жазықтықта жатпайтын

F 

₁

, F 

₂

, F 

₃

күштерінің

R 

геометриялық қосындысы осы күштерден тұрғызылған параллелепипедтің диагоналімен (параллелепипед ережесі) анықталады әрі бейнеленеді (1.15-сурет).

3. Күштер жүйесін қосу. Кез келген күштер жүйесінің геометриялық қосындысын (бас вектор) жүйедегі күштерді параллелограмм ережесі бойынша қосу арқылы немесе күштер көпбұрышын тұрғызу арқылы анықтауға болады (1.16, а-сурет).

Күштер көпбұрышын тұрғызу әдісі көрнекті әрі ыңғайлы. Осы әдіспен F₁,F₂,F₃, ...,F_n

күштерінің геометриялық қосындысын анықтау үшін кез келген О нүктеден (1.16, ә-сурет) масштабпен алғанда

F 

₁

күшін бейнелейтін Oa^→ векторын, оның ұшынан

F 

₂

күшін бейнелейтін

ab

^→ векторын,

ab

^→ -ның ұшынан

F 

3

күшін бейнелейтін

bc

^→ векторын, т.б. векторларды саламыз.

Соңғы векторға дейінгі вектордың

m

ұшынан

F 

_n

күшін бейнелейтін

mn

^→ векторын саламыз. Бірінші вектордың басын соңғы вектордың ұшымен қосып, қосылғыш күштердің геометриялық қосындысын немесе бас векторын бейнелейтін

→

On R

= векторын аламыз: R F₁ F₂ F₃ ... F_n + + + +

= немесе

∑

=

=

ⁿ

1 k

F

k

R  

. (1.2.3)

1.16-сурет

4. Күштерді жіктеу. Берілген күшті құраушыларға жіктеу деп, тең әсерлі күші осы күш болатын бірнеше күштің жүйесін анықтауды айтады. Бұл мәселе қосымша шарттар берілгенде ғана шешіледі. Осыған байланысты екі дербес жағдайды қарастырайық:

а) күшті берілген екі бағыт бойынша жіктеу. Бұл мәселені шешу қабырғалары берілген бағыттарға параллель, диагоналі жіктелуші күш болатын параллелограмм тұрғызуға тіреледі. Мысалы, 1.14, а-суретте

R 

күшінің АВ мен АD бағыттары бойынша

F 

₁

және

F 

₂

күштерге қалай жіктелгені көрсетілген. Бұл жердегі

F 

₁

мен

F 

₂

күштері

R 

күшінің құраушылары (әрине,

R 

күші және АВ мен АD түзулері бір жазықтықта жатады).

ә) күшті берілген үш бағыт бойынша жіктеу. Егер берілген бағыттар бір жазықтықта жатпаса, онда мәселенің шешуі диагоналі жіктелуші

R 

күші, қырлары берілген бағыттарға параллель болатын параллелепипед тұрғызуға тіреледі (1.15-сурет).

1.2.2. Күштің өске және жазықтыққа проекциясы Статика есептерін шешудің аналитикалық әдісі күштің (кез келген басқа вектордың да) өске проекциясы туралы ұғымға негізделген.

Күштің өске проекциясы деп күш модулінің, күш векторы мен өстің оң бағыты арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең алгебралық шаманы айтады.

Егер бұл бұрыш сүйір болса күш проекциясының таңбасы оң, доғал болса теріс болады. Егер күш векторы өске перпендикуляр бағытталса, күштің өске проекциясы нөлге тең.

Сонымен, 1.17-суретте бейнеленген күштер үшін:

P.

P ,

0 P

sinβ, β) Q

(90 cos Q Q cosβ, α Q

cos Q dc Q

sinαi α) F

(90 cos F F ,

cosα F ab F

y x

0 y

x

0 y

x

=

=

⋅

=

−

⋅

=

⋅

−

=

⋅

=

=

⋅

=

−

⋅

=

⋅

=

=

(1.2.4)

1.17-сурет

F 

күшінің Оху жазықтығына проекциясы деп, оның басы мен ұшынан жазықтыққа түсірілген перпендикуляр түзулердің арасында жататын F_xy =OC^→

векторын айтады (1.18-сурет).

Күштің жазықтыққа проекциясы тек сандық мәнімен емес, Оху жазықтығындағы бағытымен де сипатталатындықтан векторлық шама болады. Оның модулі: F_xy =Fcosθ, мұндағы

θ

– F

күші мен оның F_xy

проекциясы арасындағы бұрыш.

1.18-сурет

Кейде күштің өске проекциясын анықтау үшін, алдымен оны өс жатқан жазықтыққа проекциялап, одан кейін осы проекцияны қажетті өске проекциялаған ыңғайлы. Мысалы, 1.18-суреттегі күш үшін осылай жасалған:

. sin F F

, sin cos F sin F F

, cos cos F cos F F

z xy y

xy x

θ

⋅

=

ϕ

⋅ θ

⋅

= ϕ

⋅

=

ϕ

⋅ θ

⋅

= ϕ

⋅

=

(1.2.5)

1.2.3. Күштерді аналитикалық тәсілмен беру

Күшті аналитикалық түрде беру үшін оның кеңістіктегі бағыты анықталатын Оxyz координат өстерінің жүйесін таңдау қажет. Механикада координаттардың оң жүйесін қолданады.

Яғни Оz өсінің оң ұшынан қарағанда Ох өсінен Оу-ке бұрылу сағат тіліне қарсы бағытта болады (1.19-сурет).

F 

күшін бейнелейтін векторды тұрғызу үшін, оның

F

шамасы, координат өстерімен құратын

α , β , γ

бұрыштары белгілі болу керек.

Сонымен,

F , α , β , γ

шамалары

F 

күшін береді екен. Күш түсетін А нүктенің

x , y , z

координаттары қосымша берілуі тиіс.

1.19-сурет

Механика есептерін шешу үшін күшті оның F_x,F_y,F_z ^– координат өстеріне проекциялары арқылы беру тиімді. Осы проекцияларды біле отырып, күштің модулін (шамасын) және координат өстерімен құратын бұрыштарын мына өрнектер бойынша анықтауға болады:







= γ

= β

= α

+ +

=

F. cos F F,

cos F F ,

cos F

, F F F F

y z x

2 z 2 y 2 x

(1.2.6)

Егер барлық күштер бір жазықтықта орналасса, әр күшті оның Ох пен Оу өстеріне проекциялары арқылы беруге болады.

Сонда күшті проекциялары арқылы анықтайтын өрнектер былай жазылады:







= β

= α

+

=

F. cos F F ,

cos F

, F F F

x y

2 y 2 x

(1.2.7)

1.2.4. Күштерді аналитикалық тәсілмен қосу

Күш векторларының арасындағы қатынастардан олардың проекциялары арасындағы қатынастарға өту немесе күштерді аналитикалық тәсілмен қосу геометрияның келесі теоремасына сүйенеді: күштердің векторлық қосындысының кез келген өске проекциясы, қосылғыш күштердің осы өске проекцияларының алгебралық қосындысына тең.

Демек, егер

∑

=

=

= + + +

+

ⁿ

1 k

k n

3 2

1

F F ... F R F

F      

болса, онда

. F R

, F R

, F R

n 1 k

kz z

n 1 k

ky y

n 1 k

kx

x

∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

=

(1.2.8)

y x

, R

R

және

R

_z белгілі болса, (1.2.6) өрнегіне сәйкес мынаны аламыз:







= γ

= β

= α

+ +

=

R . cos R R ,

cos R R ,

cos R

, R R R R

y z x

2 z 2 y 2

x (1.2.9)

(1.2.8) және (1.2.9) өрнектері күштерді аналитикалық қосу мәселесін шешуге мүмкіндік береді.

Бір жазықтықта орналасқан күштер үшін:







= β

= α

+

=

R . cos R R ,

cos R

, R R R

x y

2 y 2

x (1.2.10)

Мысал. Бір жазықтықта жатқан үш күштің қосындысын анықтаңыз (1.20, а-сурет).

F = 17 , 32

Н, T=10Н,

P = 24

Н.

1.20-сурет

Шешуі. Берілген күштердің координат өстеріне проекцияларын (1.2.8) өрнегінің көмегімен табамыз:

6 0 c o s T 3 0 c o s F F

R

⁰

3 1 k

0 k x

x

= ∑ = − =

=

1 5 , 0 1 0 8 6 6 , 0 3 2 ,

1 7 ⋅ − ⋅ =

= _Н,

P 6 0 s i n T 3 0 s i n F F

R ⁰

3

1 k

0 k y

y =

∑

=− + − =

=

2 4 2 4 8 6 6 , 0 1 0 5 , 0 3 2 ,

1 7 ⋅ + ⋅ − =−

− ^Н.

Сонда (1.2.10) өрнектері бойынша:

26 ) 24 ( 10 R

R

R= ²_x + ²_y = ² + − ² = Н,

13 12 R cos R 13,

5 R

cosα=R^x = β= ^y =− .

Сонымен, R=26Н,

α = 67

⁰

2 0 ′

,

β = 157

⁰

2 0 ′

^.

Осы мысалды геометриялық тәсілмен шешу үшін, алынған масштабқа сәйкес (мысалы, 1 сантиметр – 10Н) P,F

және

T 

күштерінен күштердің көпбұрышын тұрғызу керек (1.20, ә-

сурет). Осы көпбұрыштың тұйықтаушы

ad

^→ қабырғасы алынған масштабта

R 

-дің модулі мен бағытын анықтайды. Егер, мысалы, өлшеу бойынша

ad ≈ 2 , 5

см болса,

R ≈ 25

Н болады да, аналитикалық тәсілмен салыстырғанда 4 %-дық ауытқу аламыз.

1.2.5. Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күші Әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштер жинақталатын күштер деп аталады (1.21, а-сурет). Абсолют қатты денеге әсер ететін күш жылжымалы вектор болғандықтан, жинақталатын күштер жүйесі бір нүктеге түскен күштер жүйесіне парапар (1.21, ә-сурет, О нүкте).

1.21-сурет

Теорема. Жинақталатын күштер жүйесінің күштердің геометриялық қосындысына (бас векторына) тең және олардың әсер ету сызықтарының қиылысу нүктесіне түсетін тең әсерлі күші болады.

Теореманы дәлелдеу үшін, әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысатын F₁,F₂,F₃, ...,F_n

жинақталатын күштер жүйесін қарастырамыз (1.21, а-сурет). Статиканың 1 және 2- аксиомаларының салдарына сүйеніп, барлық күштерді