ВР

ал жылдамдық векторы ω-ның бағытымен ВР-ға перпендикуляр бағытталады (2.38-сурет).

Дәл осылай С нүктесі үшін де V_С V_СР

= , яғни:

СР

V_С =ω⋅ , (2.3.14) бұл жылдамдықтың векторы ω-ның бағытымен СР-ға перпендикуляр бағытталады (2.38-сурет).

(2.3.12) – (2.3.14) өрнектерінен мынаны аламыз:

ω

=

⋅

⋅

⋅

=

=

= CP

V BP V AP

V_{A B C}

. (2.3.15) Сонымен, жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығы нүктеден жылдамдықтардың лездік центріне дейінгі арақашықтыққа пропорционал, ал нүкте жылдамдығының векторы осы нүктені жылдамдықтардың лездік центрімен қосатын кесіндіге (лездік радиусқа) перпендикуляр бағытталады.

2.3.6. Жылдамдықтардың лездік центрінің орнын анықтаудың дербес жағдайлары

Жылдамдықтардың лездік центрінің негізгі қасиеттерін қолданып, жазық қима нүктелерінің жылдамдықтарының әртүрлі бағыттары үшін жылдамдықтардың лездік центрінің орнын анықтауға болады.

1. Егер жазық қиманың бір нүктесі (А нүкте) жылдамдығының шамасы мен бағыты, ал екінші нүктесі (В нүкте) жылдамдығының бағыты белгілі болса (2.39-сурет), онда жылдамдықтардың лездік центрі (Р нүкте) А және В нүктелерінен олардың жылдамдық векторларына жүргізілген перпендикуляр түзулердің қиылысу нүктесінде жатады.

V 

_A

векторының бағытымен

V 

_B

және

ω 

векторларының бағыты анықталады. (2.3.15) өрнегі бойынша жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығын және бұрыштық жылдамдығын анықтауға болады.

2.39-сурет

2.40-сурет

2.41-сурет

2. Егер жазық қиманың екі нүктесінің (А мен В) жылдамдықтарының векторлары параллель, шамалары белгілі және осы нүктелерді қосатын түзуге перпендикуляр бағытталса (2.40-сурет), онда жылдамдықтардың лездік центрі (Р нүкте) жылдамдық векторларының басы мен ұшы арқылы жүргізілген

түзулердің қиылысу нүктесінде жатады. Қиманың бұрыштық жылдамдығының бағыты нүкте жылдамдықтары бағытымен анықталады, ал оның шамасы мен қиманың басқа нүктелерінің жылдамдықтары (2.3.15) өрнегінен табылады.

3. Егер жазық қиманың екі нүктесінің (А және В) жылдамдықтарының векторлары параллель, бірақ осы нүктелерді қосатын түзуге перпендикуляр болмаса (2.41-сурет), онда V_A

мен V_B

векторларына тұрғызылған перпендикуляр түзулер қиылыспайды, демек жылдамдықтардың лездік центрі шексіздікте жатады. Бұл жылдамдықтардың лездік центрі жоқ дегенді білдіреді. Жылдамдықтардың проекциялары туралы теорема бойынша V_Acosα=V_Bcosα. Осыдан V_B =V_А және

А

B V

V 

= ; басқа нүктелер үшін де осылай болады. АР=∞ болғандықтан, (2.3.15) өрнегінен бұрыштық жылдамдықтың нөлге тең екенін көреміз:

ω = 0

. Бұл жағдайда дене лездік ілгерілемелі қозғалыс жасайды.

4. Егер дене қозғалмайтын бетпен сырғанаусыз домаласа, онда жылдамдықтардың лездік центрі (Р нүкте) денелердің жанасу нүктесінде жатады (2.42-сурет).

2.42-сурет

Қатты дененің жазық-параллель қозғалысының айналмалы қозғалыстан айырмашылығы – уақыт өткен сайын жылдамдықтардың лездік центрінің орны өзгеріп отырады.

2.3.7. Есептерді шешу

Жазық-параллель қозғалыстағы дененің бұрыштық жылдамдығын немесе нүктелерінің сызықтық жылдамдығын анықтау үшін оның бір нүктесінің жылдамдығының модулі мен бағытын, ал екінші нүктесінің жылдамдығының мүмкін бағытын білу керек. Есепті шешуді осы кинематикалық сипаттамаларды анықтаудан бастайды.

Есептерді шешу реті

1. Полюстің жылдамдығын анықтау (полюс берілмеген болса).

2. Жазық қиманың екінші нүктесінің жылдамдығының бағытын анықтау.

3. Осы нүктенің жылдамдығын жылдамдықтардың проекциялары туралы теореманың көмегімен немесе жылдамдықтардың лездік центрінің орнын тауып, жылдамдықтар қатынасын пайдаланып табу.

4. Дененің лездік бұрыштық жылдамдығын табу.

Есептерді шығару үлгілері

1-есеп. Жылдамдықтардың лездік центрінің көмегімен горизонталь жазықтықпен сырғанаусыз домалайтын, радиусы R=20 см, центрінің жылдамдығы тұрақты әрі

V

_C

= 2

см/сек-қа тең доңғалақтың В және D нүктелерінің жылдамдықтарын анықтаңыз (2.43-сурет).

2.43-сурет

Шешуі. Полюстің жылдамдығы берілген –

V

_C

.

Доңғалақ жазық-параллель қозғалыс жасайды. Оның горизонталь жазықтықпен жанасу нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі (Р) болғандықтан, V_P =0. Демек V_B⊥

ВР. PВD тікбұрыш диаметрге сүйенгендіктен, доңғалақ құрсауының кез келген нүктесінің V_B

жылдамдық векторы D нүктесінен өтеді (2.43- сурет). Суреттен лездік радиустарды есептейміз:

20 R

CP = =

см, DP=2R=40см, 6

, 34 30 cos R

ВР=2 ⋅ ⁰ = см.

Енді жылдамдықтар қатынасын жазып, доңғалақтың бұрыштық жылдамдығын және оның В нүктесінің сызықтық жылдамдығын табамыз:

⇒

=

=

=

ω DP

V BP V CP

V_{C B D} 0,1

20 2 CP V_C = =

=

ω ^{рад/сек,}

ВР 3,46

V_B =ω⋅ = см/сек.

ω 

-ның бағытын білу үшін

V 

_C

векторын жылдамдықтардың лездік центрі Р-ға қарай қысқа жолмен бұрады (2.43-сурет).

Нүкте жылдамдықтардың лездік центрінен алыстаған сайын, оның сызықтық жылдамдығы өседі. Доңғалақтың D нүктесі Р-дан алыс жатқандықтан, оның жылдамдығы үлкен мәнге ие болады:

4 R 2 DP

V

_D

= ω

_д

⋅ = ω

_д

⋅ =

см/сек.

Доңғалақ немесе тістегеріш кез келген қозғалмайтын цилиндрлік бетпен сырғанаусыз домалаған кезде де жылдамдықтар дәл осылай таралады.

2-есеп. Ұзындығы ОА=30 см айналшақ I-жылжымайтын тістегеріштің ішіндегі радиусы

r = 20

см II-жылжымалы тістегерішті қозғалысқа келтіреді (2.44-сурет). Айналшақтың

бұрыштық жылдамдығы ω_OA =2рад/с. Механизмнің суреттегі орнына сәйкес II-тістегеріштің бұрыштық жылдамдығын және В нүктесінің сызықтық жылдамдығын табыңыз.

Шешуі. Берілген жазық механизмнің құрамындағы ОА айналшақ айналмалы, II-тістегеріш жазық-параллель қозғалыс жасайды, ал I-тістегеріш қозғалмайды. Айналшақтың А нүктесін полюс ретінде алып, сызықтық жылдамдығын есептейміз:

60 OA

V_A =ω_OA ⋅ = см/сек.

V 

A

векторы

ω 

_OA

бағытымен ОА-ға перпендикуляр бағытталады.

2.44-сурет

2.45-сурет

Жазық-параллель қозғалыстағы II-тістегеріштің жылдамдықтарының лездік центрі (Р нүкте) екі тістегеріштің жанасу нүктесінде жатады (2.45-сурет). Енді жылдамдықтар қатынасын жазамыз:

BP V AP V_{A B}

II= =

ω . (a) 2.45-суреттен лездік радиустарды есептейміз:

20 r

AP= = см, 2 20 2 r AP AB

BP= ²+ ² = = см.

Енді (a) өрнегінен тістегеріштің бұрыштық жылдамдығын және В нүктесінің сызықтық жылдамдығын анықтаймыз:

AP 3 V_A

II= =

ω ^{рад/сек,} 60 2

AP BP

V_B =V^A⋅ = см/сек.

ω 

II

-нің бағытын білу үшін V_A

векторын жылдамдықтардың лездік центріне қарай қысқа жолмен бұрады, ал

V 

_B

векторы

ω 

_II

-нің бағытымен ВР лездік радиусқа перпендикуляр бағытталады (2.45-сурет).

3-есеп. Суретте бейнеленген вертикаль бағытта қозғалатын А сырғақтың жылдамдығы V_A =15см/с. Онымен бұлғақ арқылы жалғанған В сырғақ горизонталь бағытта қозғалады.

Механизмнің суреттегі орнына сәйкес В нүктенің жылдамдығын және АВ бұлғақтың бұрыштық жылдамдығын табыңыз, мұндағы АВ=45 см (2.46-сурет).

Шешуі. Жылдамдығы белгілі А нүктені полюс етіп аламыз.

А және В сырғақтары ілгерілемелі, ал АВ бұлғақ жазық- параллель қозғалыс жасайды. В сырғақтың жылдамдығының бағытын тауып, А мен В нүктелерінің жылдамдықтарына тұрғызылған перпендикуляр түзулердің қиылысу нүктесінде жататын АВ бұлғақтың жылдамдықтарының лездік центрінің орнын (Р нүкте) анықтап (2.47-сурет), жылдамдықтар қатынасын жазамыз:

BP V AP V

_{A B}

АВ

= =

ω

. (ә)

2.46-сурет 2.47-сурет 2.47-суреттен лездік радиустарды есептейміз:

5 , 22 30 sin AB

AP= ⋅ ⁰ = см;

9 , 38 30 cos AB

BP= ⋅ ⁰ = см.

Енді (ә) өрнегін пайдаланып, В нүктесінің сызықтық жылдамдығын және бұлғақтың бұрыштық жылдамдығын табамыз:

9 , AP 25

BP V_B V^A ⋅ =

= см/сек;

67 , AP 0 V

_A

АВ

= =

ω

рад/сек.

ω 

АВ

-ның бағытын полюстің V_A

векторын жылдамдықтардың лездік центріне қысқа жолмен бұрып, ал V_B векторын

ω 

_АВ

-ның бағытымен ВР-ға перпендикуляр тұрғызып анықтайды (2.47-сурет).

Бұлғақтың В нүктесінің жылдамдығын жазық қиманың екі нүктесінің жылдамдықтарының проекциялары туралы теореманы пайдаланып анықтауға да болады. Ол үшін аталған

теореманы А және В нүктелері арқылы өтетін Вх өсіне проекциялаймыз (2.47-сурет):

0 A

0

Bcos60 V cos30

V = ^.

Осыдан:

9 , 25 3 2 15

1 2 15 3 60 cos

30 V cos

V ₀

0 A

B = ⋅ = ⋅ = = ^см/сек.

4-есеп. Ұзындығы ОА=20 см айналшақ АВ бұлғақты қозғалтады. Айналшақтың бұрыштық жылдамдығы

с рад /

OA

= 2

ω

^. Механизмнің суреттегі орнына сәйкес В мен С нүктелерінің сызықтық жылдамдығын, АВ бұлғақтың бұрыштық жылдамдығын табыңыз. Бұл жерде АВ=30 см, АС=20 см (2.48-сурет).

2.48-сурет

Шешуі. Берілген жазық механизмнің құрамындағы ОА айналшақ айналмалы, АВ бұлғақ жазық-параллель, ал В сырғақ түзу сызықты ілгерілемелі қозғалыс жасайды. Айналшақтың А нүктесін полюс етіп алып, сызықтық жылдамдығын есептейміз:

40 OA

V

_A

= ω

_OA

⋅ =

см/сек.

VA

векторы

ω 

_OA

-ның бағытымен, ОА-ға перпендикуляр бағытталады.

В нүктесіндегі сырғақтың жылдамдығы бағыттаушылардың өсімен бағытталады. Енді А және В нүктелерінің жылдамдық

векторларына перпендикуляр түзулер тұрғызу арқылы АВ бұлғақтың жылдамдықтарының лездік центрін анықтап (2.49- сурет), (2.3.15) өрнегін жазамыз:

CP V BP V AP

V_{A B C}

AB = = =

ω . (б)

2.49-суреттен лездік радиустарды санаймыз:

60 AB 2

AP= ⋅ = см, BP=AP⋅cos30⁰ =30 3см, 9

, 52 BP BC

CP= ² + ² ≈ см.

2.49-сурет

Енді (б) өрнегінен бұлғақтың бұрыштық жылдамдығын және В мен С нүктелерінің сызықтық жылдамдықтарын табамыз:

67 , AP 0 V_A

AB= =

ω рад/сек,

6 , 34 BP

V_B =ω_AB⋅ = см/сек,

4 , 35 CP

V_C =ω_AB⋅ = см/сек.

Анықталған шамалардың векторлары 2.49-суретте көрсетілген.

Енді АВ бұлғақтың В нүктесінің жылдамдығын жылдамдықтардың проекциялары туралы теореманың көмегімен анықтауды көрсетеміз. Ол үшін аталған теореманы А және В нүктелері арқылы өтетін түзуге проекциялаймыз:

6 , 34 3 20 30 cos V

V_B = _A ⁰ = = см/сек.

2.3.8. Жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің үдеуі

Жазық қиманың кез келген нүктесінің үдеуін анықтау үшін (2.3.4) теңдігін ескеріп, (2.3.6) өрнегін былай жазамыз:

. V

V_B= _А +ω×ρ Енді осы өрнекті дифференциалдаймыз:

dt d dt

d dt V d dt V

d _B = _А + ω×ρ+ω× ρ



 





. (2.3.16) Бұл теңдеудегі

A A А B

B

B V a

dt V , d a dt V

V

d   

 



=

=

=

= (2.3.17) А және В нүктелерінің үдеулерін, ал:

VBA

dt

d   

= ρ

× ω

ρ= (2.3.18) В нүктесінің А полюсті айналғандағы жылдамдығын береді, ал

ε

= ω ω =   dt

d (2.3.19) қиманың бұрыштық үдеуінің векторы.

(2.3.17) – (2.3.19) теңдіктерін (2.3.16)-ға қойып, мынаны аламыз:

BA A

B a V

a     

 = +ε×ρ+ω× . (2.3.20) Бұл өрнектегі соңғы екі қосылғыш А нүктесі бекітулі болған кездегі В нүктенің үдеуін анықтайды, сондықтан олардың қосындысы В нүктесінің А нүктеден қима жазықтығына перпендикуляр өтетін өсті айналғандағы үдеуін береді:

BА VBA

a =ε×ρ+ω ×  . (2.3.21) Біз нүкте үдеуінің бұл құраушыларымен қатты дененің айналмалы қозғалысында кездескен едік. Оларды сондағы атауларымен қалдырып, В нүктесінің А полюсті айналғандағы центрге тартқыш және айналмалы үдеулерін аламыз:

ρ

× ε

=

× ω

=     



_айн

ВА BA

цВА

V , а

а

. (2.3.22)

Бұл үдеулердің модульдері В нүктесінің А полюсті айналғандағы центрге тартқыш және айналмалы үдеулері деп аталады:

AB V

) V , sin(

V

a^ц_ВА =ω⋅ _BА⋅ ω^∧_BА =ω⋅ _BА =ω²⋅

, (2.3.23) AB

) , sin(

a^айн_ВА =ε⋅ρ⋅ ε^∧ρ =ε⋅ρ=ε⋅

. (2.3.24) (2.3.23) және (2.3.24) өрнектерін алған кезде

ω 

бұрыштық жылдамдық пен

ε 

бұрыштық үдеу векторларының қима жазықтығына перпендикуляр екені ескерілген, яғни:

BА) 900

V ,

(ω^∧ =

және (ε^∧,ρ)=90⁰_{, ал}

AB V_BА =ω⋅ρ=ω⋅ ^.

Айналмалы қозғалыстың ережесі бойынша, В нүктесінің А полюсті айналғандағы центрге тартқыш үдеуінің

a 

^ц_BА

векторы В нүктесінен А полюске қарай, ал В нүктесінің А полюсті айналғандағы айналмалы үдеуінің

а 

^айн_ВА

векторы

ε 

бағытымен АВ-ға перпендикуляр бағытталады (2.50-сурет).

(2.3.21) теңдігін ескеріп, (2.3.20) теңдеуін былай жазуға болады:

ВА А

В а а

а = + , (2.3.25) немесе (2.3.22) теңдігін ескерсек:

айнВА цВА

А ВА А

В

а а а а а

а      

+ +

= +

=

, (2.3.26)

бұл теңдеу жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің үдеулерін қосу туралы теореманы береді. Сонымен, жазық- параллель қозғалыстағы дененің кез келген нүктесінің (В нүкте) үдеуі полюстің (А нүкте) үдеуі мен осы нүктенің (В нүкте) полюсті айналғандағы центрге тартқыш және айналмалы үдеулерінің геометриялық қосындысына тең.

В нүктесі үдеуінің бағыты 2.50-суретте көрсетілген.

2.50-сурет

А нүктесі (полюс) қисық сызықты қозғалыс жасаған жағдайда оның үдеуі жанама және нормаль (немесе айналмалы қозғалыстағы дененің нүктесі болғанда айналмалы және центрге тартқыш) үдеулердің геометриялық қосындысы ретінде анықталады, яғни

цА А

А а а

а  

 = ^τ + немесе а_А =а^айн_А +а^ц_А^. Сонда (2.3.26) теңдік былай жазылады:

айнВА цВА цА айнА ВА А

В а а а а а а

а = + = + + + . (2.3.27) В нүктесі қисық сызықты қозғалыс жасаған жағдайда немесе айналмалы қозғалыстағы дененің нүктесі болғанда бұл нүктенің үдеуін келесі қосындымен алмастыруға болады:

цВ В

В

а а

а  

 =

^τ

+

немесе

а 

_В

= а 

^айн_В

+ а 

^ц_В^.

Сонда үдеулерді қосу туралы (2.3.26) теорема былай жазылады:

айнВА цВА айнА цА

ВА ц А

айн В

В

а а а а а а а

а        

+ + +

= +

=

+

. (2.3.28)

В нүктесінің А полюсті айналғандағы толық үдеуінің модулі төмендегі өрнекпен анықталады:

4 ВА АВ 2

а = ε +ω ; (2.3.29) осы үдеу векторының АВ түзуімен құратын бұрышы:

tg 2

ω

= ε

µ . (2.3.30) Соңғы өрнектен µ бұрышының полюске тәуелсіз екенін көреміз.