Кеңістіктегі күштер жүйесі

ВА F

1) Түзу сызық бойымен біркелкі таралған күштер

1.7. Кеңістіктегі күштер жүйесі

Жоғарыда айтылғандай,

Q a h

x = P ≤

, яғни

Q

h P ≤ a

.

Егер Р күшін көбейтсек, h

f<a болғанда үйкеліс күші өзінің шектік мәніне жеткенге дейін тепе-теңдік орын алады да, одан кейін сырғақ сырғи бастайды; ал егер

h

f> a болса, онда Р күші hQ

a -дан үлкен болысымен, дене А қырымен құлайды.

Өзіндік бақылау сұрақтары

1. Сырғанау үйкелісі қандай жағдайда пайда болады?

2. Сырғанау үйкелісі кезіндегі тепе-теңдік шарттары.

3. Сырғанау үйкелісінің заңдары.

4. Үйкеліс коэффициенті.

5. Үйкеліс бұрышы мен үйкеліс конусы.

6. Домалау үйкелісі қандай жағдайда пайда болады?

7. Домалау үйкелісі кезіндегі тепе-теңдік шарттары.

моменті ОАВ үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр бағытталған

m 

_O

( F  )

вектор болған еді (1.29-сурет):

F r ) F (

m_O  =×.

Екі вектордың векторлық көбейтіндісін анықтауыш түрінде жазып, m_O(F) векторының декарттық координат өстеріне проекцияларын анықтаймыз:

) yF xF ( k ) xF zF ( j ) zF yF ( i F F F

z y x

k j i ) F (

m _{z y x z y z}

z y x

O = = − + − + −







  .

F 

күшінің О нүктесіне қатысты моментінің (яғни m_O(F) векторының) осы нүкте арқылы өтетін кез келген өске проекциясы күштің осы өске қатысты моменті деп аталады.

Яғни, күштің О нүктесіне қатысты моменті векторының x, y, z өстеріне проекцияларын

F 

күшінің x, y, z координат өстеріне қатысты моментінің аналитикалық өрнектері ретінде жазуға болады:

 



 



−

=

−

=

−

=

. yF xF ) F ( m

, xF zF

) F ( m

, zF yF ) F ( m

x y z

z x y

y z x







(1.7.1)

Анықтама бойынша күштің өске қатысты моменті осы өстегі О нүктесінің орнына тәуелсіз.

Күштің өске қатысты моментін санау үшін басқа анықтаманы қолданады: күштің өске қатысты моменті деп, күштің өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясынан, өстің жазықтықпен қиылысу нүктесіне қатысты алынған алгебралық моментті айтады (1.68-сурет).

1.68-сурет

Осы анықтамаға сәйкес күштің өске қатысты моментін анықтау үшін күшті өске перпендикуляр жазықтыққа проекциялап, оң немесе теріс таңбамен алынған проекция модулін оның өстің жазықтықпен қиылысу нүктесіне қатысты иініне көбейту керек:

, h F ) F (

m

_z

 = ±

_xy

⋅

(1.7.2) мұндағы

F

_xy −

F 

күшінің өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясының модулі, h – F_xy

күшінің өстің жазықтықпен қиылысу нүктесіне қатысты иіні.

Егер F_xy

күші өстің оң ұшынан қарағанда денені сағат тіліне қарсы бұруға тырысса, күштің өске қатысты моментінің таңбасы оң, сағат тілімен бұруға тырысса теріс болады.

Күштің өске қатысты моменті күш денені осы өске қатысты бұруға тырысқандағы

F 

күшінің айналдырушы әсерін сипаттайды.

Күштің өске қатысты моменті екі жағдайда нөлге тең:

1) күш векторы өске параллель болғанда. Өйткені күштің өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясы нөлге тең (Рxy =0, 1.68-сурет);

2) күштің әсер ету сызығы өспен қиылысқанда. Бұл жағдайда күштің өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясының өстің жазықтықпен қиылысу нүктесіне қатысты иіні нөлге тең (h_Q =0, ^1.68-сурет).

Нәтижесінде, күш пен өс бір жазықтықта жатса күштің өске қатысты моменті нөлге тең болады деген қорытынды жасаймыз.

1.7.2. Күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті Бас вектор мен бас моменттің анықтамасы бойынша, бас вектор барлық күштердің геометриялық қосындысы, ал бас момент барлық күштердің О нүктесіне қатысты моменттерінің геометриялық қосындысы. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі үшін бұл екі вектор декарттық координат жүйесінің үш өсіне проекцияланады:

∑

∑

∑

= = = = =

= ⁿ

1 k

kz z

n

1 k

ky y

n

1 k

kx

x F , F F , F F ,

F (1.7.3)

M m (F ), M m (F ), M m (F ).

n

1 k

k z z

n

1 k

k y y

n

1 k

k x

x

∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

=   

(1.7.4) Ал олардың сандық шамалары мен бағыттаушы косинустары төмендегі өрнектермен анықталады:



















=

=

= + +

=















=

=

= + +

=

∧

∧

∧

∧

∧

∧

M . ) M z , M ( cos

M , ) M y , M ( cos

M , ) M x , M ( cos

; M M M M

F. ) F z , F ( cos

F , ) F y , F ( cos

F, ) F x , F ( cos

; F F F F

O z O

O y O

O x O

2 z 2 y 2 x O

z y x 2 z 2 y 2 x













1.7.3. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру

Кез келген күштер жүйесі жалпы жағдайда О нүктесіне түскен бас векторға тең бір

F 

күшке және моменті M _O бас моментке тең бір қос күшке келтіріледі. Енді тепе-теңдікте болмайтын кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі қандай қарапайым түрге келтірілетінін қарастырайық. Бұл

F 

бас вектор мен M _O

бас моменттің мәніне байланысты.

1. Егер берілген күштер жүйесі үшін

F  = 0

, ал M _O ≠0 болса, онда күштер жүйесі бір қос күшке келтіріледі. Бұл жағдайда оның M_O

бас моменті центрге тәуелсіз болып, мына өрнектермен анықталады:

. ) F ( m M

, ) F ( m M

, ) F ( m M

n 1 k

k z z

n 1 k

k y y

n 1 k

k x

x

∑ ∑ ∑

=

=

=

=

=

=   

2. Егер берілген күштер жүйесі үшін F≠0

, ал M_O =0 болса, онда күштер жүйесі әсер ету сызығы О центрінен өтетін бір

F 

тең әсерлі күшке келтіріледі. Тең әсерлі күштің мәнін мына өрнектер арқылы табуға болады:

∑

∑

∑

= = =

=

=

=

ⁿ

1 k

kz z

n 1 k

ky y

n 1 k

kx

x

F , F F , F F

F

.

3. Егер берілген күштер жүйесі үшін

F  ≠ 0

, M_O ≠0

, бірақ F

M_O 

⊥ болса, онда күштер жүйесі О центрінен өтпейтін бір

F 

тең әсерлі күшке келтіріледі.

Шынында да, M _O F

⊥ болған кезде

M 

_O

векторымен бейнеленетін қос күш пен

F 

күші бір жазықтықта жатады (1.69- сурет). Егер қос күшті құратын

F′ 

пен

F  ′′

күштерінің модулін

F 

күшінің модуліне тең деп алып, оларды 1.69-суреттегідей етіп орналастырсақ,

F 

пен

F  ′′

күштері өзара теңестіріледі де, жүйе әсер ету сызығы

O

₁ нүктесінен өтетін бір F F

′= _тең әсерлі күшпен алмасады. OO₁ арақашықтығы (OO₁ F

⊥ ) келесі өрнекпен анықталады:

⇒

⋅

=F d, M_O

F d M OO₁= = ^O .

1.69-сурет

Егер күштер жүйесінің бас векторы

F  ≠ 0

болса, онда қарастырылған жағдай кез келген параллель күштер жүйесі үшін немесе бір жазықтықта жатқан күштер үшін әрқашан орын алатынына көз жеткізуге болады.

1.70-сурет

4. Егер берілген күштер жүйесі үшін F ≠0

, M_O ≠0 және F//M_O

болса (1.70, а-сурет), онда күштер жүйесі бір

F 

күшке және осы күшке перпендикуляр жазықтықта жататын (P,P′

) бір қос күшке келтіріледі (1.70, ә-сурет). Күш пен қос күштің мұндай жиынтығы динамикалық винтдеп аталады, ал

F 

векторы бойымен бағытталатын түзу винттің өсіболады. Одан әрі күштер жүйесі осы күйде қалады.

5. Егер берілген күштер жүйесі үшін

F  ≠ 0

, M_O ≠0

, бірақ

F 

пен M _O

векторлары бір біріне не перпендикуляр, не параллель болмаса, онда күштер жүйесі бұл жолы да динамикалық винтке келтіріледі. Бірақ винттің өсі О центрінен өтпейді.

1.71-сурет Мұны дәлелдеу үшін M _O

векторын екі құраушыға жіктейміз:

F 

-тің бойымен бағытталған

m 

₁

векторға және

F 

-ке перпендикуляр

m 

₂

векторға (1.71-сурет). Демек, ,

cos M

m₁= _О α m₂ =M_Оsinα, мұндағы

α

–

F 

пен M _O векторларының арасындағы бұрыш. Сонда

m 

₂

векторы бейнелейтін қос күш пен

F 

күшін 1.69-суретте көрсетілген

жағдай сияқты,

O

₁ нүктесінен өтетін

F′ 

тең әсерлі күшпен алмастыруға болады. Сонда берілген күштер жүйесі F F

′= күшпен және

F′ 

векторына параллель, моменті

m 

₁

-ге тең қос күшпен алмасады. Жылжымалы вектор болғандықтан,

m 

₁

векторын

O

₁ нүктесіне түсіруге болады. Нәтижесінде, өсі шынымен де

O

₁ нүктесінен өтетін динамикалық винт аламыз.

1.7.4. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің тепе- теңдік шарттары

Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің тепе-теңдігінің қажет және жеткілікті шарттары векторлық түрде былай жазылады:

, 0 F F

n

1 k

k

=

= ∑

=



 M m ( F ) 0

n 1 k

k O

O

= ∑ =

=

 



. Бірақ

F 

пен

М 

₀

векторлары

F

_x

= F

_y

= F

_z

= 0

және

0 M M

M

_x

=

_y

=

_z

=

болғанда ғана нөлге тең. Сондықтан, күштердің мынадай аналитикалық тепе-теңдік шарттарын аламыз:









=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

. 0 ) F ( m ,

0 ) F ( m ,

0 ) F ( m

; 0 F ,

0 F ,

0 F

n 1 k

k z n

1 k

k y n

1 k

k x

n 1 k

kz n

1 k

ky n

1 k

kx





 ^(1.7.5)

Сонымен, кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі тепе- теңдікте болу үшін барлық күштердің координат өстерінің үшеуіне проекцияларының қосындысы мен олардың осы өстерге қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

(1.7.5) теңдеулер жүйесі сонымен қатар кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі әсер ететін қатты дененің тепе-теңдік шарттары болады. Олардың бірінші үш теңдеуі дененің өстер бойымен жылжымайтындығын, ал cоңғы үш теңдеуі өстерді айнала алмайтындығын сипаттайды.

Денеге күштермен бірге моменті

М 

қос күш әсер етсе, онда оның моменті соңғы үш теңдеуге қосылады.

Егер денеге әсер ететін күштердің бәрі өзара параллель болса, онда бір өсті, мысалы

z

өсін күштерге параллель етіп аламыз (1.72-сурет). Сонда күштердің әрқайсысының х пен у өстеріне проекциялары және олардың z өсіне қатысты моменттері нөлге тең болады.

1.72-сурет

Олай болса, параллель күштердің тепе-теңдік шарттары қалған үш теңдеумен беріледі (басқа теңдеулер теңбе- теңдікке айналады):

. 0 ) F ( m ,

0 ) F ( m ,

0 F

n 1 k

k y n

1 k

k x n

1 k

kz

= ∑ = ∑ =

∑

= = =





(1.7.6)

Сонымен, кеңістіктегі параллель күштер жүйесі тепе- теңдікте болу үшін барлық күштердің осы күштерге параллель өске проекцияларының қосындысы және олардың қалған екі өске қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Есеп шығарғанда тең әсерлі күштің моменті туралы Вариньон теоремасын қолдану керек. Өйткені моменті саналатын күшті құраушыларға жіктеп, осы құраушылардан қажетті өске қатысты момент санау күштің өске қатысты моментін анықтауды жеңілдетеді.

1.7.5. Есептерді шешу Есептерді шешу реті

Бұл тараудың есептерін шығару реті жазықтықтағы күштер жүйесіне есеп шығарғандай болады. Тепе-теңдігі қарастырылатын денені анықтағаннан кейін, суретте оған әсер ететін барлық берілген күштер мен байланыс реакцияларын кескіндеп, осы күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттарын құру керек. Алынған теңдеулер жүйесінен белгісіз күштер анықталады.

Егер координат өстерін белгісіз күштердің басым көпшілігімен қиылысатын етіп немесе оларға перпендикуляр бағыттаса, онда математикалық шешуі қарапайым болатын теңдеулер жүйесі алынады.

Есептерді шығару үлгілері

1-есеп. Салмағы 200 Н рама А нүктесінде сфералық топса (шар) және В нүктесінде цилиндрлік топса (ілмек) арқылы қабырғаға бекітілген. Раманы Е нүктесіндегі шегеге байланған СЕ жібі горизонталь ұстап тұр,

. ВАС 30 ЕСА=∠ = ⁰

∠ Жіптің керілу күшін, А мен В

нүктелердегі тіректердің реакция күштерін табыңыз (1.73- сурет).

1.73-сурет

Шешуі. Тепе-теңдігі қарастырылатын раманы байланыстардан босатып, олардың әсерін

T , R , R , R , R ,

R_Ax _Ay _Az _Bx _Bz 

реакция күштерімен алмастырамыз (1.74-сурет). Раманың ауырлық күші оның диагональдарының қиылысу нүктесіне түседі, ал жіптің

T 

керілу күші Е нүктесіне бағытталады.

1.74-сурет

b BC , a

AB= = деп белгілейміз де, кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі әсер ететін раманың тепе-теңдік теңдеулерін құрамыз:















=

−

⋅ + +

=

=

⋅

⋅

−

=

=

⋅

⋅

− +

=

∑

∑

∑

=

=

=

, 0 P 60 cos T R R F

, 0 30 cos 30 cos T R F

, 0 60 cos 30 cos T R R F

7 0 1 k

Bz Az kz

0 7 0

1 k

Ay ky

0 0

Bx 7

1 k

Ax kx

(1)

 





 







=

⋅

−

=

=

⋅ +

⋅

⋅

−

=

=

⋅ +

⋅

−

⋅

⋅

=

∑

∑

∑

=

=

=

. 0 a R ) F ( m

, 2 0 P b b 30 sin T ) F ( m

, 0 a 2 R

P a a 60 cos T ) F ( m

Bx 7

1 k

k z 7 0

1 k

k y

Bz 7 0

1 k

k x







(2)

(2) жүйенің екінші және үшінші теңдеулерінен мынаны аламыз:

0 R , H 200 P

T = =

_Bx

=

.

Табылған Т-ның мәнін (2) жүйенің бірінші теңдеуіне қойып,

R

_Bz^-ті табамыз:

. 0 2) T a 2 P a a ( ) 1 a 60 cos 2 T

P a a (

R_Bz =1⋅ ⋅ − ⋅ ⁰⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =

Сонда (1) жүйенің үшінші теңдеуінен

R

_Az-ті санаймыз:

. H 100 60

cos T P R

R

_Az

= −

_Bz

+ − ⋅

⁰

=

(1) жүйенің бірінші және екінші теңдеулерінен

R

_Ax пен

R

Ay-ті аламыз:

, H 6 , 86 60 cos 30 cos T

R

_Ax

= ⋅

⁰

⋅

⁰

=

. H 150 30

cos 30 cos T

R

_Ay

= ⋅

⁰

⋅

⁰

=

Сонымен,

, H 6 , 86

R

_Ax

= R

_Ay

= 150 H , R

_Az

= 100 H ,

,

H 200

T=

R

_Bx

= R

_Bz

= 0 H .

2-есеп. А және В нүктелердегі мойынтіректердің үстінде жатқан горизонталь білікке С нүктесінде радиусы 20 см шкивке сым арқан арқылы оралған дененің

Q = 250 H

салмақ күші және білікпен тік бұрыш құрап қатты бекітілген DЕ сырыққа кигізілген дененің P=1кН салмақ күші әсер етеді. AC=20см,

см, 70

CD= BD=10см^. Тепе-теңдік кезінде DЕ сырығы вертикальдан 30⁰-қа ауытқып тұр. Біліктің өсінен Р дененің ауырлық центріне дейінгі



арақашықтықты, А мен В нүктелеріндегі тірек реакцияларын анықтаңыз (1.75-сурет).

Шешуі. Тепе-теңдігі қарастырылатын білікті байланыстардан босатып, олардың әсерін реакция күштерімен алмастырамыз. Білікке әсер ететін (R_Ax,R_Az,R_Bx,R_Bz,P,Q)

күштер кеңістіктегі кез келген күштер жүйесін құрады (1.76-сурет).

Білік осы күштер жүйесінің әсерінен тепе-теңдікте болғандықтан, тепе-теңдік теңдеулерін жазамыз:

 



 



=

−

− +

=

= +

=

∑

∑

=

=

, 0 P Q R

R F

, 0 R R

F

Bz Az

6 1 k

kz 6

1 k

Bx kх Ax

(1)















=

⋅

−

=

=

⋅

⋅

−

⋅

=

=

⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

∑

∑

∑

=

=

=

. 0 AB R ) F ( m

, 0 30 sin P r Q ) F ( m

, 0 AB R AD P AC Q ) F ( m

Bx 6

1 k

k z

0 C

6

1 k

k y

Bz 6

1 k

k x



 



(2)

1.75-сурет

Алынған теңдеулер жүйесінің соңғы теңдеуінен:

0 R

_Bx

=

^.

1.76-сурет

(2) теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуінен



-дің мәнін аламыз:

см 5 10 , 0 1000

20 250 30

sin P

r Q

0

C =

⋅

= ⋅

= ⋅

 ^.

Одан кейін (2) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен

R

Bz^-ті, ал (1) теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуінен

R

_Az^-ті санаймыз:

H 950 1 , 0 ) 9 P 2 Q (

R_Bz = ⋅ + ⋅ ⋅ = ,

H 300 P

Q R

R

_Az

= −

_Bz

+ + =

. 0

R_Bx = болғандықтан, (1) теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінен:

0 R

_Ax

=

. Сонымен,

см 10 ,

H 950 R

, H 300 R

, 0 R

R

_Ax

=

_Bx

=

_Az

=

_Bz

=  =

. Өзіндік бақылау сұрақтары

1. Күштің өске қатысты моментінің сандық мәні және момент таңбасы қалай анықталады?

2. Күштің өске қатысты моментінің аналитикалық өрнектері қандай?

3. Күштің өске қатысты моменті қандай жағдайда нөлге тең болады?

4. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің бас векторы.

5. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің бас моменті.

6. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесін қандай қарапайым түрге келтіруге болады?

7. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары.

8. Кеңістіктегі параллель күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары.