Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі

ВА F

1.5. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі

1.5.1. Күштің центрге қатысты моментінің алгебралық шамасы

Әсер ету сызықтары бір жазықтықта жатып, кез келген тәртіппен бағытталатын күштер жүйесі жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі деп аталады. Мұндай күштердің жазықтықтың кез келген О нүктесіне қатысты моменттерінің векторлары осы жазықтыққа перпендикуляр болып, бір түзудің бойымен бағытталады. Сонда бұл моменттердің бағыттарын бір бірінен таңба бойынша айырып,

F 

күшінің О центріне қатысты моментін алгебралық шама ретінде қарастыруға болады. Бұл шаманы m_O(F)

деп белгілейді.

F 

күшінің О центріне қатысты моментінің алгебралық шамасы плюс немесе минус таңбамен алынған күш модулі мен күштің нүктеге қатысты иінінің көбейтіндісіне тең:

h F ) F (

m

_O

 = ± ⋅

. (1.5.1)

Механикада қабылданған оң координаттар жүйесінде күш денені центрге қатыстысағат тіліне қарсы бұруға тырысса күш моментінің таңбасы оң, сағат тілімен бұруға тырысса теріс болады. Егер күштің әсер ету сызығы центрден өтсе оның моменті нөлге тең (1.43-сурет). Осы суреттегі күштер үшін:

. 0 ) F ( m

, h F ) F ( m

, h F ) F ( m

3 O

2 2 2 O

1 1 1 O

=

⋅

−

=

⋅

=







1.43-сурет

1.5.2. Қос күш моментінің алгебралық шамасы

Қос күштің моменті оны құрайтын күштердің біреуінен екіншісінің түсу нүктесіне қатысты алынған моментке тең болғандықтан, бір жазықтықта жатқан қос күштер үшін қос күштің де моментін алгебралық шама ретінде қарастыруға болады. Бұл шаманы

m

немесе М деп белгілейді.

Қос күш моментінің алгебралық шамасы плюс немесе минус таңбамен алынған, оны құрайтын күштердің біреуінің модулі мен қос күш иінінің көбейтіндісіне тең:

m=±F⋅d. (1.5.2) Егер қос күш денені сағат тіліне қарсы бұруға тырысса, онда қос күш моментінің таңбасы оң, ал сағат тілімен бұруға тырысса теріс болады (1.44, а, ә-суреттер). Осы суреттерде бейнеленген (F₁, F₁′

) және (F₂, F₂′

) қос күштер үшін:

1 1

1 F d

m = ⋅ , m₂=−F₂⋅d₂.

Қос күш моменті оның денеге әсерін толық сипаттағандықтан, әдетте қос күшті оның моментінің айналдыру бағытын көрсететін доға тілімен бейнелейді (1.45-сурет) (m₁>0, m₂<0^).

1.44-сурет 1.45-сурет Құрамында момент векторларының қосындысы бар (1.3.4) пен (1.3.5) өрнектері қос күш моментінің алгебралық шамасы үшін де орын алатынын айту керек. Бұл өрнектердегі векторлық қосындылардың орнында тек алгебралық қосындылар болады.

1.5.3. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру

«Статиканың негізгі теоремасы» жазықтықтағы күштер жүйесі үшін де орын алады. Демек, жазықтықтағы күштер жүйесін де О келтіру нүктесіне түскен бір

F 

күшпен және моменті

M 

_O

-ға тең бір қос күшпен алмастыруға болады. Тек бұл жағдайда күш пен қос күш бір жазықтықта (күштердің әсер ету жазықтығында) жатады (1.46, а-сурет, қос күш доға тілімен бейнеленген). Бас вектор мен бас моменттің мәндері (1.4.3) және (1.4.4) өрнектермен беріледі. Сонымен, жазықтықтағы күштер жүйесі үшін:

∑

∑

∑

= = =

=

=

=

ⁿ

1 k

k O O

n 1 k

ky y

n 1 k

kx

x

F , F F , M m ( F )

F 

, (1.5.3) соңғы теңдіктегі моменттер мен қосындылардың барлығы алгебралық моменттер мен алгебралық қосындылар болады.

Енді тепе-теңдікте болмайтын жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің қандай қарапайым түрге келтірілетінін көрейік. Бұл бас вектор мен бас моментке байланысты.

1. Егер берілген күштер жүйесі үшін

F  = 0

, M _O =0

болса, онда күштер жүйесі тепе-теңдікте болады.

1.46-сурет

2. Егер берілген күштер жүйесі үшін F=0

, ал M_O ≠0 болса, онда күштер жүйесі моменті M_O

бір қос күшке парапар болады. Бұл жағдайда қос күштің моменті центрге тәуелсіз.

3. Егер берілген күштер жүйесі үшін

F  ≠ 0

болса, онда күштер жүйесі бір тең әсерлі күшке келтіріледі. Бұл жерде екі жағдай орын алады:

а) F≠0

, M_O =0

. Бұл жағдайда күштер О центрінен өтетін бір тең әсерлі күшке келтіріледі.

ә)

F  ≠ 0

,

M 

_O

≠ 0

. Бұл жағдайда

F  F 

′ =

, ал F F

−

′′= _деп алып, моменті

M 

_O

қос күшті (

F  ′ , F  ′′

) екі күшпен бейнелеуге болады (1.46, ә-сурет). Егер қос күштің иіні

d = OC

болса, онда:

d F

M

_O

= ⋅

. (1.5.4) Енді теңестірілген күштер ретінде

F 

пен

F  ′′

күштері жойылады да, күштер жүйесі С нүктеге түскен жалғыз F F

′= күшпен алмасады. С нүктенің орны келесі шарттармен анықталады:

1) OC=d (OC F

⊥ ) арақашықтығы (1.5.4) теңдікті қанағаттандыруы керек;

2) С нүктесіне түскен

F′ 

күшінің О центрге қатысты моментінің таңбасы

M

_O-ның таңбасымен бірдей болуы керек.

Сонымен, тепе-теңдікте болмайтын жазық күштер жүйесі не бір тең әсерлі күшке (

F  ≠ 0

болғанда), не бір қос күшке (

F  = 0

болғанда) келтіріледі.

1.5.4. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті

Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі үшін де бас вектор барлық күштердің геометриялық қосындысы болады әрі декарттық координаттар жүйесінің екі өсіне проекцияланады:

∑

∑

= =

=

=

ⁿ

1 k

ky y

n 1 k

kx

x

F , F F

F

. (1.5.5)

Бас вектордың сандық шамасы (модулі) мына өрнекпен:

F= F_x² +F_y² , (1.5.6) ал бағыты – бағыттаушы косинустармен анықталады:

F. ) F y , F ( cos F ,

) F x , F (

cos ^∧ = ^x ^∧ = ^y

(1.5.7) Бұл жағдайда да О нүктеге қатысты бас момент барлық күштердің О нүктеге қатысты моменттерінің алгебралық қосындысына тең:

∑

=

=

ⁿ

1 k

О k

О

m ( F )

М 

. (1.5.8) Егер денеге күштермен қатар қос күштер әсер ететін болса, онда олардың моменттері жүйенің бас моментіне қосылады.

1.47-сурет

Мысал. 1.47-суретте бейнеленген денеге әсер ететін

3 2 1,F ,F F ,

P   

күштер жүйесін О центріне келтіріңіз. Бұл жердегі 30

P= Н,

F

₁

= F

₂

= F

₃

= 20

Н,

a = 0 , 3

м, b=0,5м, α=60⁰. Шешуі.Берілген күштер жүйесін О центріне келтіру үшін, координат өстерін суреттегідей бағыттап, (1.5.5) және (1.5.8) өрнектерінің көмегімен күштер жүйесінің бас векторының проекциялары мен бас моментін аламыз:

, F cos F cos F F

F

_{1 2 3}

4 1 k

kx

x

= ∑ = − α − α −

=

, sin F sin F P F

F

_{1 2}

4 1 k

ky

y

= ∑ = − − α + α

=

a F b 2 sin F a cos F Pb )

F (

М m

1 2 3

4 1 k

О k

О

= ∑ = − + α ⋅ + α ⋅ + ⋅

=



.

Осы өрнектерге күштердің сан мәндерін қойып, күштер жүйесінің бас векторының проекциялары мен бас моментінің сандық мәндерін аламыз:

40

F

_x

= −

Н,

F

_y

= − 30

Н,

M

_O

= 11 , 3

Н⋅м.

Сонымен, берілген күштер жүйесі проекциялары 40

F_x =− Н,

F

_y

= − 30

Н-ға тең, О келтіру центрінен өтетін, сандық мәні 50Н-ға тең бір

F 

күшке және моменті 3

, 11

M_O = Н⋅м-ге тең қос күшке келтіріледі.

1.5.5. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

Күштер жүйесінің жалпы тепе-теңдік шарттарынан жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің векторлық түрдегі тепе-теңдік шарттары алынады:

0 M , 0

F  = 

_O

=

.

Бұл шарттарды аналитикалық түрде жазуға болады.

1. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдік шарттарының негізгі түрі: жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің координаттың екі өсіне (х пен у) проекцияларының қосындысы мен күштер жазықтығындағы кез келген О центрге қатысты моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

∑ ∑

∑

= = =

=

=

=

ⁿ

1 k

n 1 k

О k ky

n 1 k

kx

0 , F 0 , m ( F ) 0

F 

. (1.5.9) Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің аналитикалық тепе-теңдік шарттарын бұдан басқа тағы екі түрде жазуға болады.

2. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдік шарттарының бірінші түрі: жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің күштер жазықтығындағы бір өске (х өсіне) проекцияларының

қосындысы мен осы өске перпендикуляр түзуде жатпайтын екі нүктеге (А және В) қатысты моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

∑ ∑

∑

= = =

=

=

=

ⁿ

1 k

n 1 k

В k А k

n 1 k

kx

0 , m ( F ) 0 , m ( F ) 0

F  

. (1.5.10)

3. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдік шарттарының екінші түрі: жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктеге (А, В және С) қатысты моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

∑

∑ ∑

=

= =

=

=

= ⁿ

1 k

С k n

1 k

n 1 k

В k

А(Fk) 0, m (F ) 0, m (F ) 0

m   

. (1.5.11) Егер есеп шығарған кезде күштің нүктеге қатысты иінін санау қиын болса, онда күшті құраушыларға жіктеп, Вариньон теоремасын қолдану керек.

4. Жазықтықтағы параллель күштер жүйесінің тепе- теңдігі. Егер денеге әсер ететін күштер бір-біріне параллель болса, онда Ох өсін оларға перпендикуляр, ал Оу өсін – параллель бағыттауға болады (1.48-сурет). Сонда күштердің әрқайсысының Ох өсіне проекциясы нөлге тең болып, (1.5.9) теңдеулердің біріншісі тепе-теңдікке айналады. Нәтижесінде, параллель күштер жүйесі үшін тек екі тепе-теңдік теңдеу қалады:

∑

∑

= =

=

=

ⁿ

1 k

О k n

1 k

ky

0 , m ( F ) 0

F 

, (1.5.12) бұл жерде Оу өсі күштерге параллель.

1.48-сурет

(1.5.10) теңдеулерінен параллель күштер жүйесі үшін тепе- теңдіктің басқа түрін аламыз:

∑ ∑

= =

=

n

=

1 k

n 1 k

В k

А

( F

k

) 0 , m ( F ) 0

m  

. (1.5.13) Әрине, А мен В нүктелері бір түзудің бойында жатпайды.

1.5.6. Таралған күштер. Қатаң бекітпе. Денелер жүйесінің тепе-теңдігі

Дененің бір нүктесіне түскен күш қадалған күш деп аталады. Бұдан басқа түзу бойына, жазықтық бетіне немесе көлемге түскен күштер де бар. Мұндай күштер таралған күштернемесе таралған жүктемелердеп аталады.

Инженерлік есептеулерде әртүрлі заңдылықпен таралған жүктемелерді жиі кездестіруге болады. Енді бір жазықтықта жатқан таралған күштердің кейбір қарапайым түрлерін қарастырамыз.

Жазықтықтағы біркелкі таралған күштер жүйесі жүктелген кесіндінің ұзындық бірлігіне келетін күш шамасымен, яғни

q

таралу қарқындылығымен сипатталады. Қарқындылық Ньютон бөлінген метрмен (Н/м) өлшенеді.