Үйкеліс

ВА F

1) Түзу сызық бойымен біркелкі таралған күштер

1.6. Үйкеліс

1.6.1. Сырғанау үйкелісінің заңдары

Бір денені екінші бір дене бетімен қозғалтқан кезде денелердің жанасу жазықтығында олардың салыстырмалы сырғанауына кедергі күш пайда болатыны бізге белгілі. Бұл күш сырғанау үйкелісінің күшідеп аталады.

Мұндай күштердің пайда болуына қысым күші мен жанасушы беттердің кедір-бұдырлылығы және үйкелісетін денелердің жанасу бетінде пайда болатын ілінісу күші себеп болады. Сондықтан, кедір-бұдырлы беттің (

R 

) реакция күші екі құраушыдан тұрады: үйкелісетін денелердің жанасу беттеріне ортақ нормальмен бағытталатын (

N 

) нормаль реакция және жанама өстің бойымен қозғалысқа қарсы бағытталған (

F 

_Υйк

) сырғанау үйкелісінің күші (1.60-сурет).

1.60-сурет

Үйкеліс құбылысының барлық ерекшелігін зерттеу теориялық механика курсынан тыс күрделі физика- математикалық мәселе.

Инженерлік есептеулерде үйкеліс құбылысының негізгі ерекшеліктерін сипаттайтын, тәжірибелік жолмен алынған заңдылықтарды қолданады.

Теориялық механикада үйкелісетін денелер арасындағы құрғақ үйкеліс қарастырылады. Майланбаған жанасушы беттер

арасындағы үйкеліс құрғақ үйкеліс деп аталады. Құрғақ үйкеліс кезінде тыныштықтағы немее қозғалыстағы сырғанау үйкелісін ажыратады. Тыныштықтағы сырғанау үйкелісі тек актив күштерге тәуелді.

Құрғақ үйкелісті француз инженері Кулон зерттеген және оның негізгі заңдылықтарын тағайындаған. Бұл заңдылықтар үйкелісетін беттердің кедір-бұдырлығы үлкен емес және олар бірін бірі майыстырмайтын кезде ғана орын алады. Кулон заңдарын 1.61-суретте бейнеленген қондырғыда тәжірибе жасау арқылы алуға болады. Суретте бейнеленген Р дене тепе-теңдікте болса, мына теңдеулер орындалады:

, 0 P N F

, 0 F

T F

4 1 k

ky 4

1

k

∑

kx йк

∑

=

=

= −

Υ

= = − =

мұндағы

Т 

– жіптің керілу күші,

N 

– нормаль реакция,

P 

– жүктің ауырлық күші,

F 

_Υйк

– сырғанау үйкелісінің күші. Бұл теңдеулерден тепе-теңдік кезінде

N = P

, ал

T = F

_Υйк

болатынын аламыз. Т керілу күшінің сан шамасы Q жүгінің ауырлық күшіне тең екенін ескерсек, Q жүгінің ауырлық күші өскен сайын керілу күшінің өсетінін, демек үйкеліс күшінің де өсетінін көреміз. Q жүгінің ауырлық күшін жайлап өсірсек тепе- теңдік бұзылып, Р жүгі қозғалатын жағдайға келеміз. Сонда үйкеліс күші кейде шектік үйкеліс күші деп аталатын өзінің максималь

F 

^*_Υйк

мәніне жетеді. Енді

P 

нормаль қысым күшін өзгерткенде

F 

_Υ^*_йк

күшінің қалай өзгеретінін зерттеуге болады.

Осы тәжірибенің көмегімен

F 

_Υ^*_йк

күшінің жанасушы жазықтықтардың ауданына, материалына және өңделу дәрежесіне де тәуелділігін анықтауға болады.

1.61-сурет

Осылай алынған тыныштықтағы сырғанау үйкелісінің заңдылықтарын былай тұжырымдауға болады:

1. Бір денені екінші бір дененің бетімен қозғауға әрекет жасағанда олардың жанасу бетінде нөлден өзінің

F

_Υ^*_йк

максималь мәнінің арасында өзгере алатын үйкеліс күші пайда болады, яғни

Υ∗

Υ

≤

≤ F

_йк

F

_йк

0

. (1.6.1) 2. Үйкеліс күшінің максималь мәні нормаль қысымға (нормаль реакцияға) тура пропорционал, яғни

N f F

^* ₀

йк

= ⋅

Υ , (1.6.2) мұндағы өлшем бірлігі жоқ

f

₀ коэффициенті сырғанау үйкелісінің статикалық коэффициенті деп аталады.

3. Сырғанау үйкелісінің статикалық коэффициенті үйкелісетін денелердің затына және жанасушы беттердің өңделуі мен физикалық күйіне (температурасына, ылғалдылығына, т.б.) тәуелді. Оның шамасы арнайы тәжірибелер жасау арқылы анықталып, техникалық анықтамаларда келтіріледі.

4. Үйкеліс күшінің

F

_Υ^*_йк максималь мәні үйкелісетін денелердің жанасушы беттерінің ауданына тәуелсіз.

Осы заңдылықтардан сырғанау үйкелісі әсер ететін дене тепе-теңдікте болу үшін мынандай қосымша тепе-теңдік шартының орындалуы қажет:

N f

F

_Υйк

≤

₀

⋅

. (1.6.3)

1.6.2. Үйкеліс бұрышы және үйкеліс конусы

Жоғарыда айтылған үйкеліс заңдарын көрнекті түрде түсіндіру үшін үйкеліс бұрышы мен үйкеліс конусы деген ұғымдарды енгізген ыңғайлы.

Актив күштер әсер ететін дене тепе-теңдіктің шектік жағдайында болсын. Бұл жағдайда

F

_йк

Υ



үйкеліс күші өзінің

*

F

йк Υ



максималь мәніне жетеді, реакция күші де өзінің

R 

^*

максималь мәніне дейін өсіп, үйкелісетін денелердің жанасу беттеріне ортақ нормальмен максималь бұрыш құратын болады.

Сонымен, үйкеліс бұрышы деп максималь толық реакция күші мен жанасушы беттерге түскен ортақ нормаль арасындағы ең үлкен ϕ0 бұрышын айтады (1.62-сурет). Бұл сурет бойынша:

N F tg

* 0

йк

=

Υ

ϕ

^.

Бірақ F^*_Υйк =f₀⋅N. Сондықтан, үйкеліс бұрышы мен үйкеліс коэффициенті арасындағы байланысты аламыз:

0 0

f

tg ϕ =

. (1.6.4)

1.62-сурет

1.63-сурет

R*

максималь толық реакция векторының геометриялық орны төбесі денелердің жанасу нүктесінде жататын конустық бет береді. Бұл конус үйкеліс конусы деп аталады. Егер сырғанау үйкелісінің коэффициенті қозғалыстың барлық бағытында бірдей болса, конустық бет дөңгелек конус болады (1.62-сурет).

Егер үйкеліс коэффициенті мүмкін қозғалыс бағытына тәуелді болса, үйкеліс конусы дөңгелек болмайды.

Енді үйкеліс конусын пайдаланып, кедір-бұдырлы жазықтықта жатқан дененің тепе-теңдік шартын алайық. Денеге әсер ететін барлық актив күштерді нормальмен

α

бұрыш құратын

F 

күшпен алмастырып (1.63-сурет), тепе-теңдік шарттарын құрамыз:

. 0 cos F N F

, 0 F

sin F F

3 1 k

kn 3

1 k

йк k

∑

∑

=

= τ Υ

= α

−

=

=

− α

=

Осы теңдеулерден:

, sin F

F

_Υйк

= α

N = F cos α

.

Тепе-теңдік кезінде (1.6.3) шарты орындалатынын ескерсек, tgα≤f₀ немесе tgα≤tgϕ₀, яғни тепе-теңдік кезінде

ϕ

0

≤

α

болатынын аламыз. Бұл шарт әсер етуші F

күшінің сан шамасына тәуелді емес. Олай болса, кедір-бұдырлы жазықтықта жатқан дене тепе-теңдікте болу үшін денеге әсер ететін актив күштердің тең әсерлі күшінің әсер ету сызығы үйкеліс конусының ішімен немесе оның құраушысымен бағытталуы қажет және жеткілікті екен. Бұлай болмаған жағдайда, яғни

F 

күшінің әсер ету сызығы үйкеліс конусының сыртымен өтсе, дене тепе-теңдікте болмайды. Нормальмен

ϕ

0

≤

α

бұрыш құратын ешқандай күшпен денені жазықтық бойымен қозғалта алмаймыз. Денелердің қысылып қалуын немесе өзінен өзі тоқтап қалуын осылай түсіндіруге болады.

1.6.3. Домалау үйкелісі

Бір дененің екінші бір дене бетімен домалаған кезде пайда болатын кедергі домалау үйкелісі деп аталады.

Кедір-бұдырлы горизонталь жазықтықта жатқан радиусы R, салмағы Р дөңгелек цилиндрді қарастырайық. Егер дөңгелектің өсіне

F

^*_Υйк күшінен кіші

S 

күшті түсірсек (1.64, а-сурет), цилиндр мен жазықтық жанасатың А нүктесінде цилиндрдің жазықтық бетімен сырғанауына кедергі болатын

F 

_Υйк

үйкеліс күші пайда болады. 1.64, а-суреттен N=P, ал

S 

пен

F 

_Υйк

күштері домалауға әкелетін қос күш құратынын көреміз. Егер барлық күштердің А нүктесіне қатысты моменттерінің қосындысын құрсақ (бұл қосынды

S ⋅ R

^-ге тең), шамасы өте аз, кез келген

S 

күштің әсерінен дене домалай бастайды.

1.64-сурет

Шындығында бұлай болмайды, өйткені денелердің деформациялануына байланысты, олар бір АВ алаңында жанасады (1.64, ә-сурет).

S 

күшінің әсерінен

N 

реакция күші А нүктесінен

S 

күшінің әсер ету бағытына қарай h қашықтыққа ығысады. Сонымен, цилиндрдің домалауына кедергі жасайтын (

Р  , N 

) қос күш пайда болады. Егер күштердің А нүктесіне қатысты моменттерінің қосындысын құрсақ, мынаны аламыз:

h N R S ) F (

m

_k

4 1 k

A

= − ⋅ + ⋅

∑

=



, тепе-теңдік орын алғанда:

S ⋅ R = N ⋅ h

.

Домалауға кедергі болатын қос күш моментіне тең N⋅h шамасы домалау үйкелісінің моменті деп аталады:

h N

M

_дом

= ⋅

. (1.6.5)

S 

күші өскен сайын h ығысу қашықтығы арта түседі де, белгілі бір шектік δ мәнге жеткенде тепе-теңдік бұзылып, цилиндр домалайды. Бұл жағдайда үйкеліс моменті өзінің ^*

Mдом

максималь мәніне жетеді. Ол (1.6.5) өрнегіне сәйкес былай анықталады:

M

^*_дом

= δ ⋅ N

. (1.6.6)

δ пропорционалдық коэффициентін тыныштықтағы домалау үйкелісінің коэффициенті деп атайды. (1.6.6) өрнегінен оның өлшем бірлігі ұзындықтың өлшем бірлігіндей екенін көреміз.

Сонымен, цилиндр тепе-теңдікте болғанда мынандай қосымша тепе-теңдік шарттың орындалуы қажет:

дом

M

*_дом

M ≤

немесе N

S≤Rδ . (1.6.7) δ домалау үйкелісі коэффициентінің шамасы денелердің затына, беттердің физикалық күйіне тәуелді және тәжірибе жасау арқылы анықталады. Бірінші жуықтауда оны цилиндрдің бұрыштық жылдамдығына және сырғанау жылдамдығына тәуелсіз деп есептеуге болады.

Көптеген заттар үшін R

δ қатынасы f⁰ _{сырғанау} үйкелісінің статикалық коэффициентінен әлдеқайда кіші болады. Сондықтан техникада мүмкіндігінше сырғанауды домалаумен алмастыруға тырысады.

Мысал. Көлбеу жазықтықта жатқан радиусы R цилиндр (1.65-сурет)

α

бұрышының қандай мәнінде тыныштықта болатынын анықтаңыз. Домалау үйкелісінің коэффициенті

δ

болсын.

1.65-сурет

Шешуі.

α = α

₁ болғандағы тепе-теңдіктің шектік орнын қарастырамыз.

P 

күшін

P 

₁

мен

P 

₂

құраушыларға жіктеп, ығыстырушы күштің S=P₁=Psinα₁, ал нормаль реакцияның

1

2 Pcos

P

N= = α болатынын табамыз. Сонда (1.6.6) өрнегі бойынша:

1

1 Pcos

sin R

P α = δ α немесе

tgα₁=Rδ.

δ

нөлге дейін кемігенде

α

₁ бұрышы да нөлге дейін кемиді. Осыдан,

α

бұрышының кез келген

α < α

₁ мәнінде тепе-теңдік орын алады деген тұжырым жасаймыз.

1.6.4. Есептерді шешу Есептерді шешу реті

Бұл бөлімнің есептерін шығарғанда жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің тепе-теңдік теңдеулеріне сырғанау үйкелісі әсер ететін дененің қосымша тепе-теңдік шартын қосу керек.

Есептерді шығару үлгілері

1-есеп. АВ арқалығы А ұшымен тегіс қабырғаға, ал В ұшымен үйкеліс коэффициенті

f = 0 , 2

-ге тең кедір-бұдырлы еденге тірелген (1.66-сурет). Тепе-теңдік кезіндегі ϕ бұрышын анықтаңыз.

1.66-сурет

Шешуі. Арқалыққа

P 

– ауырлық күші,

N 

_A

, N_B – нормаль реакция күштері, F_Υйк

– үйкеліс күші әсер етеді.

Осы күштер жүйесінің тепе-теңдік теңдеулері:

, 0 F

N F

4 1

k

∑

kx

=

A

−

йк

=

= Υ

, 0 P N F

4 1 k

B

ky

= − =

∑

=

. 0 cos AB N 2 sin

P AB ) F (

m

_A

4 1 k

k

B

= ϕ − ⋅ ϕ =

∑

=



Осы теңдеулерден:

ϕ

=

= ϕ

=

= _Υ tg

2 N P F , 2tg N P , P

N_{B A йк A} ^.

Үйкеліс күшіне қойылатын қосымша тепе-теңдік шарты мынаны береді:

f 2 tg P

f 2tg N P

f

F_Υйк ≤ ⋅ _B ⇒ ϕ≤ ⇒ ϕ≤ ^.

Сонымен, тепе-теңдік кезінде ϕ бұрышы мынадай болуы керек:

f 2 arctg

≤

ϕ ^,

яғни ϕ≤arctg0,4 немесе ϕ≤21⁰48′^.

2-есеп. Сырғақтың вертикаль симметрия жазықтықтағы қимасының өлшемдері

2 a

және

2 h

(1.67-сурет). Сырғаққа әсер ету сызықтары тік төртбұрыштың С центрінде қиылысатын

Q 

вертикаль және

P 

горизонталь күштер түскен. Сырғақтың тепе-теңдік шарттарын анықтаңыз.

Шешуі. Суретте әсер ету сызығы белгісіз

N 

нормаль күші мен

F 

_Υйк

үйкеліс күшін бейнелейміз.

N 

күшінің әсер ету сызығы С нүктесінің оң жағынан х қашықтықта өтеді деп есептейміз (1.67-сурет). Сондықтан x≤a екені сөзсіз. Тепе- теңдік теңдеулерін құрамыз:

, 0 F

P

F

_йк

4 1 k

kx

= −

_Υ

=

∑

=

, 0 Q N F

4 1 k

ky

= − =

∑

=

. 0 h F x N ) F (

m

_йк

4 1 k

k

C

= ⋅ −

_Υ

⋅ =

∑

=

^

Бұл теңдеулерден:

Q h P N

h x F

, P F

, Q

N =

_Υйк

= =

^Υйк

⋅ =

^.

1.67-сурет Үйкеліс заңы бойынша:

N f

F

_Υйк

≤ ⋅

, яғни P≤f ⋅Q^.

Жоғарыда айтылғандай,

Q a h

x = P ≤

, яғни

Q

h P ≤ a

.

Егер Р күшін көбейтсек, h

f<a болғанда үйкеліс күші өзінің шектік мәніне жеткенге дейін тепе-теңдік орын алады да, одан кейін сырғақ сырғи бастайды; ал егер

h

f> a болса, онда Р күші hQ

a -дан үлкен болысымен, дене А қырымен құлайды.

Өзіндік бақылау сұрақтары

1. Сырғанау үйкелісі қандай жағдайда пайда болады?

2. Сырғанау үйкелісі кезіндегі тепе-теңдік шарттары.

3. Сырғанау үйкелісінің заңдары.

4. Үйкеліс коэффициенті.

5. Үйкеліс бұрышы мен үйкеліс конусы.

6. Домалау үйкелісі қандай жағдайда пайда болады?

7. Домалау үйкелісі кезіндегі тепе-теңдік шарттары.