Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы

5sin

1. Дененің бірқалыпты айналуы. Бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық жылдамдығы тұрақты болады

2.3. Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы

Қозғалыстағы дененің барлық нүктелері қозғалмайтын бір (Ж) жазықтыққа параллель жазықтықтарда орын ауыстыратын болса, дененің қозғалысы жазық немесе жазық-параллель қозғалысдеп аталады.

Техникада дененің жазық-параллель қозғалысының мәні өте зор. Өйткені механизмдер мен машиналардың көптеген буындары осындай қозғалыс жасайды.

2.3.1. Қатты дененің жазық-параллель қозғалысының теңдеулері

Жазық-параллель қозғалыс жасайтын денені қарастырайық (2.27-сурет). Дененің барлық нүктелері (Ж) жазықтыққа параллель жазықтықтарда қозғалсын. Енді денені (Ж) жазықтыққа параллель Оху жазықтығымен қиямыз. Сонда Оху жазықтығында алынған

( )

S жазық қима қозғалмайтын (Ж) жазықтыққа параллель қозғалатын болады. (Ж) жазақтыққа перпендикуляр жүргізілген дене бойындағы кез келген MM′ түзуі ілгерілемелі қозғалыс жасайды. Бұл түзудің бойындағы барлық нүктелердің траекториялары, жылдамдықтары және үдеулері бірдей болады.

2.27-сурет Демек, дененің жазық-параллель қозғалысын зерттеу үшін

( )

S қиманың қозғалысын зерттеген жеткілікті болады екен. Ал

( )

S жазық қиманың өз жазықтығындағы (яғни Оху жазықтығындағы) орны оның бойындағы кез келген АВ кесіндінің орнымен анықталады. Ал АВ кесіндінің орны кез келген уақытта А нүктенің орнымен, яғни

A

нүктенің

A A

, y

x

координаттарымен және АВ кесіндінің x өсімен

құратын

ϕ

бұрышымен анықталады (2.28-сурет).

( ) ^S

қиманың орнын анықтау үшін таңдалған А нүктені полюс деп атайтын боламыз. Аталған

x

_A

, y

_A

, ϕ

шамалар уақытқа тәуелді өзгеріп отырады. Олай болса, кез келген уақытта қиманың Оху жазықтығындағы орнын анықтау үшін келесі тәуелділіктерді білу керек:

).

t ( f ), t ( f y ), t ( f

x

_A

=

_{1 A}

=

₂

ϕ =

₃ (2.3.1)

2.28-сурет

Бұл теңдеулер жазық қиманың өз жазықтығындағы қозғалыс теңдеулері деп аталады. Оларды қатты дененің жазық-паралель қозғалысының теңдеулері деп театайды.

(2.3.1) қозғалыс теңдеулерінің алғашқы екеуі қиманың

const

=

ϕ

болған кездегі қозғалысын анықтайды. Демек, дененің барлық нүктелері А полюсі сияқты қозғалып, қима бұл жағдайда тек ілгерілемелі қозғалыс жасайтын болады. Үшінші теңдеу қиманың x_A =const және

y

_A

= const

болған кездегі қозғалысын анықтайды. Бұл – А полюс қозғалмай, қима тек полюсті айналады дегенді білдіреді. Осыдан қатты дененің жазық-паралель қозғалысы оның полюспен бірге ілгерілемелі қозғалысы мен полюсті айнала қозғалысының қосындысынан тұратынын көреміз. Демек, қатты дененің жазық-параллель қозғалысын екі қозғалыстың қосындысы деп қарастыруға болады: дененің полюспен (А нүктесі) бірге ілгерілемелі

қозғалысы және дененің полюсті айналуы. Дене нүктелері жалпы жағдайда әртүрлі қозғалыс жасайтын болғандықтан, ілгерілемелі қозғалыс қай нүктенің полюс ретінде алынғанына тәуелді, ал айналмалы қозғалыс тәуелсіз болады.

Қатты дененің жазық-паралель қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларына полюстің жылдамдығы мен үдеуі (V_A,a_A)

және дененің полюсті айналғандағы бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуі

( ω  , ε  )

жатады. Олар дене қозғалысының (2.3.1) теңдеулерінен анықталады:

2 A 2 A A

2 A 2 A

A (x ) (y ) , a (x ) (у )

V =  +  =  +  ^,

ϕ

= ε ϕ

=

ω  ,  

.

Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеудің

( ω  , ε  )

векторлары қима жазықтығына перпендикуляр бағытталады.

2.3.2. Жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы

Жылдамдығы белгілі А нүктені полюс етіп алып, жазық қиманың өз жазықтығындағы қозғалысын қарастырайық (2.29- сурет).

2.29-сурет

А және В нүктелерінің

 r

_A

және

 r

_B

радиус-векторларын жүргізіп, А-дан В-ға жүргізілген векторды

ρ 

деп белгілейік.

Сонда суреттен:

ρ +

=  



А

B

r

r

. (2.3.2) Енді (2.3.2) теңдеуінен уақыт бойынша бірінші туынды аламыз:

dt d dt

r d dt

r

d

_B

=

_A

+ ρ







. (2.3.3) Жазық қима қозғалған кезде

ρ 

векторының модулі тұрақты, ал бағыты өзгеретін болғандықтан, осы вектордан уақыт бойынша алынған туынды В нүктесінің А полюсін айналғандағы жылдамдығының векторы болады. Бұл жылдамдықты

V 

_BA

деп белгілеп, оны анықтайтын өрнек аламыз:

ρ

× ω ρ =

= ρ

=   

 

dt

V

_BA

d

. (2.3.4)

Бұл вектор ω-ның бағытымен АВ-ға перпендикуляр бағытталған, ал оның сан шамасының өрнегі:

V

_BA

= ω ⋅ AB

. (2.3.5)

2.30-сурет

А және В нүктелерінің радиус-векторларының туындылары осы нүкте жылдамдықтарының векторлары екенін ескеріп, мына өрнектерді жазамыз:

A A A B

B

B

r V

dt r , d V dt r

r

d 



 





=

=

=

=

^,

нәтижесінде, жазық-параллель қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтарын қосу туралы теореманы аламыз: жазық қиманың кез келген В нүктесінің жылдамдығы А полюстің жылдамдығы мен осы нүктенің полюсті айналғандағы жылдамдығының геометриялық қосындысына тең:

BA A

B

V V

V    +

=

. (2.3.6)

V 

B

векторының сан шамасы мен бағытын параллелограмм тұрғызу арқылы анықтауға болады (2.30-сурет).

2.3.3. Жылдамдықтар планы

Жазық қима нүктелерінің жылдамдықтарын қосу туралы (2.3.6) теорема қима нүктелерінің жылдамдықтарын жылдамдықтар планы деп аталатын қарапайым әрі көрнекті тұрғызу арқылы анықтауға мүмкіндік береді.

2.31, а-суретте бейнеленген жазық қиманың А, В, С және D нүктелерінің жылдамдықтары белгілі болсын. Кез келген О нүктеден А, В, С, D нүктелерінің жылдамдықтарына тең және олармен бағыттас Oa, Ob, Oc, Od кесінділерін салып,

d , c , b ,

a нүктелерін түзу кесінділермен қосамыз (2.31, ә-сурет).

Осы орындалған тұрғызу жылдамдықтар планы деп аталады. Oa , ^→

→

Ob ,

→

Oc ,

→

Od кесінділері жылдамдықтар планының сәулелері, ал

a , b , c , d

нүктелері шыңдары деп аталады.

2.31, ә-суреттегі aOb үшбұрышынан: Ob^→ =Oa^→ +ab^→, немесе

+ →

=V ab V_B _A

. (2.3.7) (2.3.6) өрнегі бойынша:

BA A

B

V V

V    +

=

. (2.3.8) (2.3.7) мен (2.3.8) өрнектерін салыстырып, ab V_BA

→ = болатынын көреміз. Дәл осылай bc V_BC

→ =

; cd V_CD

→ =

; т.т.

болады.

2.31-сурет

Демек, жылдамдықтар планының шыңдарын қосатын әрбір кесінді қиманың сәйкес нүктесінің оған дейінгі нүктені полюс ретінде айналғандағы жылдамдығының векторы болады екен. Сондықтан,

AB

ab=ω⋅ , ab⊥AB; BC

bc=ω⋅ , bc⊥BC;

cd=ω⋅CD, cd⊥CD; т.т.

Суреттен abcd көпбұрышының ABCD көпбұрышына ұқсас екенін әрі оған қатысты жазық қиманың айналу бағытына қарай 90⁰-қа бұрылғанын көреміз.

Жылдамдықтар планын тұрғызу. Жазық қима нүктелерінің жылдамдықтар планын тұрғызу үшін қиманың бір нүктесі жылдамдығының модулі мен бағытын, ал екінші бір нүктесінің жылдамдығы бағытталатын түзуді білу керек.

Сурет жазықтығында қозғалатын АВС үшбұрышты қиманың А нүктесі жылдамдығының модулі мен бағыты, ал В нүктесінің жылдамдығы бағытталатын түзу белгілі болсын (2.32, а-сурет). Жылдамдықтар планын тұрғызып, В және С нүктелерінің жылдамдығын анықтау керек. Кез келген О нүктеден Oa V_A

→ =

сәулесін және V_B

жылдамдығы бағытталатын түзуге параллель түзу жүргіземіз. Бізге жылдамдықтар планының шыңдарын қосатын кесінділер қиманың сәйкес нүктелерін қосатын кесінділерге перпендикуляр болатыны белгілі.

Жылдамдықтар планының b шыңын анықтау үшін

a

шыңынан АВ-ға перпендикуляр түзу жүргіземіз. Осы түзудің В нүктесінің жылдамдығы бағытталатын түзумен қиылысу нүктесі –

b

шыңы, ал Ob^→ сәулесі – В нүктесінің жылдамдығы болады:

VB

Ob 

→ =

(2.32, ә-сурет).

2.32-сурет

Жылдамдықтар планының с шыңын алу үшін

a

және

b

шыңдарынан үшбұрыштың АС және ВС қабырғаларына перпендикуляр түзулер жүргізу керек. Осы түзулердің қиылысу

нүктесі – с шыңы, ал Oc^→ сәулесі – С нүктесінің жылдамдығы болады. Дәл осындай тұрғызудың көмегімен, жазық қиманың кез келген нүктесінің жылдамдығын анықтауға болады.

Мысалы, 2.33, а-суретте бейнеленген механизмнің А, В, С және D нүктелерінің жылдамдықтарын жылдамдықтар планын тұрғызып табайық. Механизмнің А нүктесінің V_A жылдамдығының модулі мен бағытын, ал В нүктесінің V_B жылдамдығы бағытталатын түзуді біле отырып, АВ бұлғағының жылдамдықтар планын тұрғызамыз.

2.33-сурет Кез келген О нүктеден V_A

жылдамдығының модулі мен бағытын бейнелейтін Oa ^→ сәулесін саламыз. Одан кейін О нүктеден О1В-ға параллель түзу, ал Oa^→ сәулесінің ұшынан АВ- ға перпендикуляр түзу жүргіземіз. Бұл түзулерді жылдамдықтар планының

b

шыңы болатын нүктеде қиылысқанша созамыз.

Сонда Ob^→ сәулесі В нүктесі жылдамдығының (VB

) модулі мен бағытын анықтайды.

АВ бұлғақтың С нүктесінің жылдамдығын анықтау үшін

ab

кесіндісін АС:СВ

= ac : cb

қатынаста бөліп, c нүктесін табамыз. Енді С нүктесі жылдамдығының модулі мен бағытын бейнелейтін Oc сәулесін жүргіземіз. ^→

АВ бұлғағының жылдамдықтар планына сүйеніп, СD бұлғағының жылдамдықтар планын тұрғызамыз. Ол үшін О нүктесінен О2D-ға перпендикуляр, ал Oc ^→ сәулесінің ұшынан – СD-ға перпендикуляр түзу жүргіземіз. Бұл түзулерді жылдамдықтар планының d шыңы болатын нүктеде қиылысқанша созамыз.

→

Od сәулесі D нүктесі жылдамдығының (V_D

) модулі мен бағытын анықтайды. Oa^→ ,

→

Ob,

→

Oc,

→

Od сәулелері (2.33, ә-сурет) жазық механизмнің барлық берілген нүктелерінің жылдамдықтарының модулі мен бағыты болады.

Енді жазық қима нүктесінің берілген жылдамдығы оның екінші бір нүктесінің жылдамдығы бағытталатын түзуге параллель болатын жағдайды қарастырайық. Жылдамдықтар планын тұрғызу үшін бізге екінші нүктенің жылдамдығының модулін білу керек.

2.34-сурет

Мысалы, егер жазық қиманың А мен В нүктелерінің жылдамдықтары АВ кесіндісіне перпендикуляр (2.34, а-сурет) және А нүктесінің жылдамдығының модулі ғана белгілі болса, онда жылдамдықтар планындағы АВ-ға перпендикуляр түзу В нүктесі жылдамдығының бағытымен беттесіп, жылдамдықтар планының b шыңын анықтау мүмкін болмайды (2.34, ә-сурет).

VB

Ob 

→ =

сәулесін салып, жылдамдықтар планының b шыңын алу үшін В нүктесі жылдамдығының модулін білу керек.

Қалған нүктелердің (мысалы С нүктесінің) жылдамдықтарын анықтау алдыңғы мысалдардағыдай жүргізіледі: ac⊥AC, bc⊥BC.

Мысал. Механизмнің ϕ=135⁰ орнына сәйкес жылдамдықтар планын тұрғызып, 2.35-суреттегі көпбуынды механизмнің барлық нүктелерінің жылдамдығын анықтаңыз.

Қозғалысты бастайтын О1А айналшақтың бұрыштық жылдамдығы белгілі: _OA const

1 =

ω . Қозғалмайтын О1, О2 және О3 нүктелерінің орындары



₁

, 

₂

, 

₃ және



₄

арақашықтықтармен анықталады.

2.35-cурет

Шешуі. 2.35-суретте бейнеленген механизм О1АВО2

топсалы төртбуыннан, СDE үшбұрышты пластинадан, О3D айналшақтан және EF бұлғақ пен F сырғақтан тұрады. О1АВО2

төртбуынның АВ бұлғағы С нүктесінде СDE пластинамен, ал

СDE буыны О3D-мен және EF бұлғақпен топсаның көмегімен жалғанған. Механизмнің О1А, О2В және О3D буындары қозғалмайтын О1, О2 және О3 нүктелерге қатысты айналады; АВ, СDЕ, ЕF буындары (бұлғақтар) – жазық-параллель; ал F буыны (сырғақ) – ілгерілемелі қозғалыс жасайды. Бұл механизм О1А бастапқы буынның айналмалы қозғалысын F сырғақтың ілгерілемелі қозғалысына түрлендіру үшін қызмет етеді.

Шеңбер бойымен қозғалатын А, В, D нүктелерінің, сондай-ақ бағыттаушыларының бойымен қозғалатын F нүктесінің траекториялары, демек олардың жылдамдық векторлары бағытталатын түзулер белгілі.

Механизмді берілген орнына сәйкес таңдап алынған масштабпен бейнелейміз (2.36, а-сурет). Айналшақтың бұрыштық жылдамдығын біле отырып, А нүктесінің жылдамдығын санаймыз:

, A O V_{A OA 1}

1 ⋅ ω

= .

A O V_A ⊥ ₁

Жылдамдықтар планын тұрғызу үшін жылдамдықтар масштабын таңдап, осы масштабпен Oa^→ V_A

= сәулесін жүргіземіз (2.36, ә-сурет). В нүктесінің жылдамдығын анықтау үшін, жылдамдықтар планындағы О нүктеден V_B

жылдамдығы бағытталатын түзу (V_B⊥O₂B

), ал а шыңынан – АВ бұлғаққа перпендикуляр түзу жүргізіп, жылдамдықтар планының b шыңын әрі Ob V_B

→ =

сәулесін аламыз. С нүктесінің жылдамдығын анықтау үшін ab кесіндісін мынандай қатынаста бөлеміз:

AB. ab AC AB ac

AC ab

ac = ⇒ = ⋅

О нүктесінен с нүктеге сәуле жүргіземіз. Сонда Oc V_C

→ = болады.

СDЕ буынының С нүктесі жылдамдығының модулі мен бағыты, ал D нүктесінің жылдамдығы бағытталатын түзу (_V^_D⊥O3D) белгілі. О нүктеден О3D-ға, ал с шыңынан СD-ға

перпендикуляр түзулер жүргіземіз. Олардың қиылысу нүктесі d шыңын әрі Od V_D

→ =

сәулесін береді.

СDЕ буынның екі нүктесінің жылдамдығын (

V 

_C

мен

V 

_D

) біле отырып, Е нүктесінің жылдамдығы бағытталатын түзу белгісіз болса да, оның жылдамдығын анықтауға болады. Ол үшін с және d шыңдарынан СЕ және DЕ кесінділеріне перпендикуляр түзулер жүргіземіз. Олардың қиылысу нүктесі жылдамдықтар планының е шыңы болады.

О нүктеден е шыңына сәуле жүргізсек, Oe V_E

→ =

болады. EF буынының Е нүктесі жылдамдығының модулі мен бағыты, ал F нүктесі жылдамдығы бағытталатын түзу белгілі. F нүктесінің жылдамдығын анықтау үшін О нүктеден F нүктесінің траекториясына параллель түзу, ал е шыңынан – EF бұлғаққа перпендикуляр түзу жүргіземіз. Осы түзулердің қиылысу нүктесі f шыңын әрі Of V_F

→ =

сәулесін береді.

2.36-cурет

→

Ob^,

→

Oc^,

→

Od,

→

Oe және Of^→ сәулелерді жылдамдықтар масштабына сәйкес өлшеп, В, С, D, Е және F нүктелерінің 2.36, ә-суретте бейнеленген жылдамдықтарын анықтаймыз.

2.3.4. Жазық қиманың екі нүктесінің жылдамдық- тарының проекциялары туралы теорема

Жазық қима нүктелерінің жылдамдықтарынын (2.3.6) өрнегінің көмегімен тікелей анықтау әдетте күрделі есептеулерді және күрделі тұрғызуларды талап етеді. Алайда, қима нүктелерінің жылдамдықтарын осы өрнектің көмегімен қарапайым әдіспен анықтауға болады. Осындай әдістің бірін келесі теорема береді.

Теорема. Жазық қиманың екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелер арқылы өтетін түзуге проекциялары өзара тең.

2.37-сурет

Дәлелдеу. Берілген уақытта жазық қиманың А нүктесінің VA

жылдамдығы, ω бұрыштық жылдамдығының айналу бағыты мен модулі белгілі болсын (2.37-сурет). Сонда В нүктесінің жылдамдығы (2.3.6) өрнегімен анықталады. Енді А және В нүктелері арқылы х өсін жүргізіп, (2.3.6) өрнегін осы өске проекциялаймыз:

V

_Bx

= V

_Ax

+ V

_BAx, (2.3.9)

VBA

векторы х өсіне перпендикуляр болғандықтан, 0

V_BAx = болады.

Сонымен (2.3.9) өрнегінен мынаны аламыз:

Ax

Bx

V

V =

, немесе

V_Bcosβ=V_Acosα. (2.3.10) 2.3.5. Жылдамдықтардың лездік центрі

Жазық қима нүктелерінің жылдамдықтарын анықтаудың тағы бір қарапайым әдісі жылдамдықтардың лездік центрі ұғымына негізделген.

Жазық қиманың берілген уақытта жылдамдығы нөлге тең нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі деп аталады.

Теорема. Егер жазық қиманың бұрыштық жылдамдығы нөлге тең болмаса

( ω ≠ 0 )

, онда жылдамдықтардың лездік центрі бар болады.

2.38-сурет

Теореманы дәлелдеу үшін А нүктесінің жылдамдығынөлге тең болмасын (V_A≠0)

. Нөлге тең болса бұл нүкте анықтама бойынша жылдамдықтардың лездік центрі болар еді. А нүктесінен бұрыштық жылдамдықтың бағытына қарай, оның