Нүкте қозғалысының кейбір жеке түрлері

2.1 Нүкте кинeматикасы

2.1.8 Нүкте қозғалысының кейбір жеке түрлері

71

Егер барлық уақытта да а=0 жылдамдықтың шамасы тұрақты, яғни v const болса, қозғалыс бірқалыпты қозғалыс деп аталады.

Егер тек қана жеке уақыт кезеңі үшін а=0 болса, онда алгебралық жылдамдық өзінің экстремалды мəнін қабылдағаны. Ал барлық уақытта да а=аn=0 болса, онда нүкте бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болғаны.

72

қозғалыс кезінде нүктенің жанама үдеуі нөлге тең болады да, толық үдеуі өзінің нормаль құраушысына тең болып келеді. Қисық сызықты бірқалыпты қозғалысты сипаттайтын формулалар мына түрде жазылады

2

, 0, v .

v const a_ a

    (2.1.8.4) Нүкте жылдамдығын өрнектейтін теңдеуді интегралдау арқылы бірқалыпты қисық сызықты қозғалыс заңын табамыз

0 0 .

s s v t (2.1.8.5) 4. Қисық сызықты бірқалыпты айнымалы қозғалыс.

Нүктенің жанама үдеуі қозғалыс кезінде үнемі тұрақты, яғни ,

a const (2.1.8.6) болса, онда қисық сызықты қозғалыс бірқалыпты айнымалы қозғалыс деп аталады. Мына теңдікті түрлендіре отырып оны мына түрде жазайық

.

dv a dt _ (2.1.8.7) Осы теңдеуді интегралдау арқылы қозғалыс жылдамдығының өзгеру заңын табамыз

0 ,

v v a t_ (2.1.8.8) мұндағы, ν0 нүктенің t0=0 болған кездегі бастапқы жылдамдығы.

Қисық сызықты бірқалыпты айнымалы қозғалыс заңын



0



.

ds  v a t_ (2.1.8.9) Теңдеуін интегралдау арқылы мына түрде аламыз

2

0 0

1 .

s s v t  2at (2.1.8.10) мұндағы, s₀ бастапқы қашықтық.

5. Қисық сызықты қозғалыстың жалпы жағдайы. Үдеу векторы жылдамдық векторының өзгеру тездігін анықтайды. Ол жалпы жағдайда жанама жəне нормаль құраушыларға жіктеледі.

Жанама үдеу жылдамдық векторының сан мəнінің өзгеруін, ал нормаль үдеу жылдамдық бағытының өзгеруін сипаттайды. Жалпы жағдайда, жылдамдықтың өзгеруі толығынан қарастырылатындықтан

0, _n 0

a_  a  болып келеді.

Жалпы жағдайдағы қисық сызықты қозғалыс үдемелі жəне кемімелі деген екі түрге бөлінеді. Үдемелі қозғалыс кезінде a_ жəне v шамаларының таңбалары бірдей, ал кемімелі қозғалыс кезінде бұлардың таңбалары қарама-қарсы болып келеді. Басқаша айтқанда, үдемелі қозғалыс кезінде жанама үдеу векторы жылдамдық

73

векторымен бірдей бір жаққа қарай бағытталады, ал кемімелі қозғалыс кезінде ол жылдамдық векторына қарама-қарсы бағытта болады.



²

n 

a оң шама болғандықтан нормаль үдеу бас нормальмен

бірдей бағытталады. Нормаль үдеу траекторияның қисықтық центріне қарай бағытталуына байланысты, ол кейде центрге ұмтылғыш үдеу деп те аталынады. Осыдан, бұрын айтылған үдеу векторының үнемі траекторияның ойыс жағына қарай бағытталатындығын, нормаль үдеу туралы берілген осы түсінік, оны айқындай түседі.

1-мысал. Нүкте қозғалысының берілген x 3sin ,t y3cost теңдеулерінен оның траекториясының теңдеуін анықтау, сонымен қатар нүктенің бастапқы орнынан саналатын қашықтығын траектория бойында нүкте қозғалысының заңдылығы арқылы көрсету қажет.

Шешуі: Теңдеулердің екі жағын квадраттап жəне олардың мүшелерін қоссақ, алатынымыз x²  y²  9 sin²t  9 cos ,²t немесе

2 9

2  y 

x . Сонымен, нүкте траекториясы – центрі бас нүктесінде болатын радиусы 3 бірлікті ұзындықтағы шеңбер (1.16.2-сурет).

Траектория бойында қозғалыс заңдылығын анықтаймыз. x жəне ^y координаттарынан t бойынша туынды таба отырып, алатынымыз 3 cos , 3 sin

x   t y    t.

Осыны қолданып, келесіні аламыз

2 2 2

0 0 0

3

t t t

s 



vdt 



x^  y^  z dt^ 



dt немесе s  3 t. Алынған теңдеу траектория бойында нүкте қозғалысының заңдылығын береді. Берілген теңдеулерден t 0 болғанда

0, 3

x y , яғни нүкте M₀ орнында болатындығын жəне t өсіп бастағанда оң таңбаны қабылдап х өсетінін, ал y кемитінін көреміз.

2 мысал. Қосиін ОА тұрақты ω бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады жəне OA AB a  (1.16.3-сурет). Қосиін-бұлғақты механизм бұлғағының ортасында орналасқан М нүктесінің жəне жылжыма В-ның жылдамдықтарын табу керек.

Шешуі: М жəне В нүктелерінің қозғалыс теңдеулері берілмеген, сондықтан, оларды құру қажет. Механизмді кез келген орнында кескіндейміз. М жəне А нүктелерінен өстерге МD, МЕ жəне АК перпендикуляр түзулерді тұрғызамыз. Онда алатынымыз

1.16.2-сурет

74

cos cos ,

xM OD OK  KD OA    AM  

sin , yM  MD MB  

. cos 2

2    



OB OK AB

x_B

Мұнда

, 2,

AB OA a AM   a   t ескере отырып, M жəне B нүктелерінің қозғалыс теңдеулерін құрамыз

 

3 cos

2 ,

M

a t

x   

 ^sin

 

2 ,

M

a t

y  

 xB   ² a ^cos

 

t ^. M жəне B нүктелерінің жылдамдықтарын анықтаймыз

3

 

Mx M 2

v  x   a  sin t ,

 

My M 2

v  y  acos t ,

 

2 2 8 2 1

M Mx My 2

v  v v   a  sin t  ,

 

B B 2

v  x    a  sin t _.

3-мысал. Дизельдің қосиін жұдырықшасының қозғалысы

2 2

75 cos 4 , 75 sin 4

x  t y   t теңдеулерімен берілген (t – секундамен, x,y – сантиметрмен өлшенеді). Жұдырықша жылдамдығын, жанама жəне нормаль үдеулерін табу керек.

Шешуі: Нүкте жылдамдығының осьтерге проекцияларын анықтаймыз

600 4 2

vx   x  t sin t , v_y  y 600 t cos t4 ². Жылдамдық модулі

2 2 6002 2 24 2 6002 2 24 2 600

x y

v v v   t sin t   t cos t  t см/с.

Нүктенің жанама үдеуі жылдамдықтың жанама өске проекциясынан уақыт бойынша алынған бірінші туындысына тең

(600 ) dv d t 600

a dt dt

 

    см/с².

Нүкте толық үдеуінің координаттар остерінде проекцияларын анықтаймыз

2 2 2

4800 4 600 4

x x

a   v  t cos t  sin t ,

2 2 2

4800 4 600 4

y y

a v    t sin t  cos t .

Үдеу модулі мынадай өрнектермен анықталады 1.16.3 сурет

75

2 2 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 4 2

4800 4 2 4800 600 4 4

600 4 4800 4 2 4800 600 4 4

600 4 4800 600 .

x y

a a a t cos t cos t sin t

sin t t sin t cos t sin t

cos t t

          

          

    

Толық үдеу мен жанама жəне нормаль құраушыларының арасында мынадай байланыс бар

2 2 2

a  an a_ .

Онда нүктенің нормаль үдеуі

2 2 4800 2

an  a a_  t .

4-мысал. Пойыз радиусы R=800 м шеңбер доғасы бойымен тең кемімелі қозғалыс жасайды жəне s=800 м жол жүргенде, бастапқы жылдамдығы v0=54 км/сағ, ал соңғы жылдамдығы v=18 км/сағ тең болады (1.16.4-сурет). Пойыздың бастапқы жəне соңғы орнындағы толық үдеулерін, сонымен қатар осы доғаның ұзындығын жүріп өтетін уақытын анықтау қажет.

Шешуі: пойыздың бір нүктесінің қозғалысын қарастырамыз, мысалы ауырлық центрінің. Доғалық

координаттың бас О нүктесін қозғалатын нүктенің бастапқы М0

орнына қойып, қозғалыстың бағытын оң бағыт ретінде қабылдаймыз (1.16.4- сурет). Онда s0=0.

Нүктенің тең айнымалы қозғалысы үшін, қозғалыс теңдеуі жəне

жылдамдығы төмендегі

формулалармен анықталады

2

0 2

s v t   a t^  , v v ₀ a t_  .

Мұндағы жанама кернеу тең кемімелі қозғалыс жағдайында теріс сан болып келеді.

Осы екі теңдеуден аламыз

0 0

0

0

( ) 2

, , .

2

v v v v t s

a s v t t

t v v



  

    



Есептің берілгені бойынша нүктенің жүрген жолы s=800 м, бастапқы жылдамдығы v0=54 км/сағ=15 м/с, соңғы жылдамдығы v=18 км/сағ=5 м/с, шеңбер доғасының қисықтық радиусы R=800 м.

Осыны ескере отырып табамыз

1.16.4-сурет

76

2 800 5 15 2

80 , 0,125 /

5 5 80

t    c a_     м с

 .

Нүктенің бастапқы жəне соңғы орнындағы нормаль үдеуінің шамалары

0

2 2

0 15 2

800 0,28

n

a v м с

 R   , ^{2 52} 0,03 ²

n 800

a v м с

 R   .

Толық үдеудің бастапқы жəне соңғы орнындағы шамалары

0

2 2 2 2 2

0 _n 0,125 0,28 0,308

a  a_ a    м с ,

2 _n2 0,1252 0,032 0,129 2

a  a_ a    м с .

Мысал. Дизельдің қосиін жұдырықшасының қозғалысы:

2 2, 75sin4 4

cos

75 t y t

x   теңдеулерімен берілген. Жұдырықша жылдамдығын, жанама жəне нормаль құраушы үдеулерін табу керек.

Шешуі. Нүкте жылдамдығының өстерге проекцияларын анықтаймыз

. 4 cos 600

, 4 sin 600

2 2

t t

y V

t t

x V

y x

















 (1) Жылдамдық модулі мынадай формуламен анықталады

t t

t t

t V

V

V  _X²  _У²  600^{2 2}sin²4 ² 600^{2 2}cos²4 ²  600 (см/с). (2) Жанама құраушы үдеуі жылдамдықтың жанама өске проекциясынан уақыт бойынша алынған бірінші туындысына тең

) 600 600

( 



 dt

t d

dt

a_ dV^ (см/с²). (3) Жылдамдықтың сəйкес өстердегі проекцияларынан уақыт бойынша бірінші туындыларын есептей отырып, үдеудің координаттар өстеріне проекцияларын анықтаймыз

2 2

2 cos 4 600 4

4800 t t Sin t

V

a_x  _x      ,

2 2

2 sin 4 600 cos 4

4800t t t

V

a_y  _y      .

Үдеу модулі мынадай формуламен анықталады

2 4

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 4

2 2 2

. 600 4800

, 4 cos 600

4 sin 4 cos 600 4800 2

4 sin 4800

4 sin 600

4 sin 4

cos 600 4800 2

4 cos 4800



















































t a

t

t t

t t

t

t t

t t

a a

a _{x y}

(4)

77

Толық үдеу мен жанама жəне нормаль құраушыларының арасында мынадай байланыс бар

2 2

2 a a

a  _n  . (5) (3)-ті ескере отырып (5) жəне (4)-тен алатынымыз

4 2

2 4800 t

a_n  .

Осыдан 4800t2

a_n  (см/с²).

2.2 Қатты дeнeнің қарапайым қозғалыстары