Қатты дeнeнің жазық параллeль қозғалысы

86

Біліктің бетіндегі нүкте жылдамдығы осы жылдамдыққа жəне

1r

 ге тең. Сондықтан ₁  r a t, ₁ ^{a t}

  r^ . Іліністегі нүкте С-ның сызықтық жылдамдығы екі тістегерішке ортақ

1 1 2 2

vC  r   r , осыдан ₂ ¹ ₁ ¹

2 2

r r at

r r r

    ^

 . Осыны интегралдау арқылы айналу бұрышын өрнектейміз

2

1 1

2 2

2 2 2

r a t r a t

dt dt C

r r r r

    ^{ }  ^{ } 

 

 

^.

Егер айналу бұрышын бастапқы уақыт мезгілінен бастап есептесек, алынған өрнекке t=0 жəне φ2=0 қою керек, сонда С=0 шығады. Нəтижесінде тістегеріш 2-нің айналмалы қозғалыс заңдылығын табамыз

2 1

2

2 2

r a t

  ^{ }r r

 .

87

2.3.2-сурет

(2.3.3-сурет)

келтіріледі. Қозғалмайтын Ωξηζ жəне жазық фигура (S)-ке қатаң бекітілген Oxyz координаттар жүйелерін таңдап алайық (2.3.2-сурет).

Қозғалмалы Oxyz координаттар жүйесінің бас нүктесі О-ны бұдан былай «полюс»-дейміз.

Полюс О-ның өстеріне қатысты координаттарын ξ₀ жəне η₀ деп белгілейік. Сонда, мына теңдеулер

     

0 t , 0 t . 0 t .

      (2.3.1.1) жазық фигураның қозғалмайтын Ωξη координаттар жазықтығындағы қозға-лысын анықтайды. Демек, бұлар жазық фигураның өз жазықтығындағы қозға-лысының, күрделі қозғалыс екенін көр-сетеді.

Оны негізгі екі қүрауышы қозғалысқа жіктеуге болады. Олардың біреуі, жылдамдығы полюс жылдам- дығына тең, ілгерілемелі қозғалыс, ал екіншісі, қозғалмайтын центр ретінде қарас-тырылатын полюс О арқылы өтіп, жазық фигура жазықтығына перпендикуляр орналасатын лездік өс жанындағы, лездік айналыс.

2.3.2 Жазық параллeль қозға-

лыстағы қатты дeне (жазық фигура- ның) нүктелeрінің жылдамдықтары

Полюс ретінде алынған нүктені О деп белгілейік (2.3.3-сурет).

Мұндағы,   M, r OM, ₀  O..

Бұл үш вектор қозғалыстың кез келген мезгілінде мынадай векторлық теңдікті қанағаттандырып отырады

 r

 ₀

 . (2.3.2.1)

(2.3.2.1)-теңдіктің екі жағын да

дифференциалдасақ, мынадай теңдік аламыз dt

r d dt d dt

d  ⁰  , (2.3.2.2) мұндағы v_M ,

dt d 

⁰

0 v

dt d 

. Ал (2.3.2.1) теңдігінің оң жағындағы екінші қосылғыш вектор, қозғалысы қарастырылып отырған, М нүктесінің қозғалмалы Oxy жүйесіне қатысты жылдамдығын өрнектейді. Бұл жылдамдық

88

2.3.4-сурет векторын _MO-деп белгілейміз.

Оқығанда оны М нүктесінің полюс О- ға қатысты алынған жылдамдығы деп атаймыз. Осы белгілеулер арқылы (2.3.2.2)-теңдікті мына түрде жазамыз

М О МО.

   (2.3.2.3) 1–теорема. Жазық фигураның кез келген нүктесінің жылдамдығы полюс жылдамдығы мен осы нүктенің полюске қатысты алынған

жылдамдығының геометриялық қосындысына тең.

М нүктесінің полюске қатысты жылдамдығы келесі формуламен анықталады

МО ОМ

   (2.3.2.4) Оның шамасы _МО   ОМ , бағыты _МО ОМ жəне бұрыштық жылдамдық бағытына сəйкес (2.3.4-сурет).

Жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтарын есептеуге қолданылатын екінші теореманы (2.3.2.3) теңдіктен оңай алуға болады. Оның екі жағын да ОМ түзуіне проекциялаймыз. Сонда

cos cos

М O

    . (2.3.2.5) 2–теорема. Жазық фигураның кез келген екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелер арқылы жүргізілген түзуге проекциялары өзара тең болады.

2.3.3 Жазық фигура нүктeлeрінің жылдамдықтарын

жылдамдықтардың лeздік цeнтрін пайдалану арқылы есептeу Жылдамдықтардың лездік центрі

деп, берілген лездік уақыт t мезгілінде, жылдамдығы нөлге тең болатын жазық фигура жазықтығының бір нүктесін айтамыз.

Егер жазық фигураның қандайда бір нүктесінің жылдамдығы берілсе жəне оның екінші бір нүктесінің

жылдамдығының бағыты ғана белгілі болса, онда бұл фигура жазықтығының кез келген нүктелерінің жылдамдықтарын жылдамдықтардың лездік центрі арқылы табуға болады.

2.3.5-сурет

89

Жазық фигура (S)-тің бір нүктесі М1-дің жылдамдық векторы ₁ берілсін жəне оның екінші бір нүктесі М₂-нің жылдамдық векторы жататын түзу бағыты белгілі болсын дейік (2.3.5-сурет).

М₁ жене М₂ нүктелерінің жылдамдықтарының берілген бағыт- тары арқылы лездік центр Р-ның орнын табамыз.

Олардың жылдамдықтары лездік радиустар РМ1, РМ2, РМ3

ұзындықтарына пропорционал болып келеді

1,

1 PM

v   v₂  PM₂, ₃   PM₃,

мұндағы, ω жазық фигураның Р центрді айналысының лездік бұрыштық жылдамдығы. Оны белгілі жылдамдық арқылы табуға болады: ¹

1

PM .

   Осыдан қалған екі теңдіктердегінi орнына қойсақ

,

1 2 1

2 PM

v PM

v 

1 1 3

3 PM

v PM

v  .

Жылдамдықтар бағыттары: _М1  РМ₁, _М2  РМ₂,_М3  РМ₃.

2.3.4 Жазық параллeль қозғалыстағы қатты дeне нүкте-

лeрінің үдeулeрі

Жазық фигураның кез келген М нүктесінің үдеуі осы фигураның лездік ілгерілемелі жəне полюсті айнала қоғалысының үдеулерінің қосындысынан тұрады, яғни

2

O MO

M

M A MO

dv dv

a dv a a

dt dt dt

     . (2.3.4.1) Мұндағы а_МO - М нүктесінің полюске қатысты үдеуі, ол аМO^

жанама жəне аМOⁿ нормаль құраушыларына жіктеледі. Онда

n MA MA

A

M a a a

a   ^  . (2.3.4.2) (2.3.4.2)–формула келесі теореманы береді.

Теорема. Жазық фигураның қандайда бір нүктесінің жазық қозғалыс кезіндегі толық үдеуі полюс үдеуі мен бұл нүктенің полюске қатысты алынған үдеуінің векторлық қосындысына тең.

М нүктесінің полюске қатысты жанама жəне нормаль үдеулері келесі формулдармен анықталады:

, ⁿ ( )

MO MO MO

a^   ОМ a   v   ОМ (2.3.4.3)

90

Олардың шамалары: a_MO^   ОМ, a_MOⁿ ² ОМ , бағыттары:

aМО^ ОМ жəне бұрыштық үдеу бағытына сəйкес, a_МОⁿ полюске қарай бағытталады.

1-мысал. Қосиін-бұлғақты механизмде қосиіннің айналу центрі жылжыма В-ның көлденең траекториясынан а қашықтықта орна- ласқан (2.3.6-сурет). Қосиіннің бұрылу бұрышы   k t заңды- лығымен өзгереді, мұнда-ғы k тұрақты коэффи-циент. Қосиіннің ұзын-дығы OA r , ал

бұлғақтың ұзындығы AB l . Бұлғақ AB-ның жазық параллель қозғалыс теңдеулерін анықтау керек.

Шешуі: бас нүктесі O болатын қозғалмайтын xOy координаттар жүйесін жүргіземіз. Бас нүктесі А болатын қозғалмалы x1Ay1

координаттар жүйесін таңдап аламыз. Сонымен, қосиіннің A нүктесі полюс болады. Полюстің қозғалыс теңдеулерін жазамыз

A cos cos , A sin sin .

x OA   r kt y OA   r kt

Бұлғақтың бұрылу бұрышы мен уақыт арасындағы байланысы болатын үшінші теңдеуді табу үшін, AB кесіндісін y осіне проекциялаймыз. x1 жəне x осьтерінің арасындағы бұрышты  арқылы белгілеп, мынадай теңдік аламыз

sin sin

AB  OA  a,

немесе, AB l , OA r ,   k t болғандықтан

sin r sin a

l kt l

    .

Бұлғақ AB-ның жазық параллель қозғалыс теңдеулері мынадай болады

A cos

x  r kt, y_A  r sinkt, sin r ^sinkt a

l l

  ^  .

2-мысал. Радиусы R 0,5 м түзу рельс бойымен сырғанамай дөңгелеп қозғалады жəне оның центрінің жылдамдығы тұрақты

0 10

v  м с. Дөңгелектің көлденең жəне вертикаль диаметрлерінің соңғы A, B, C, D нүктелерінің жылдамдықтарын жəне дөңгелектің бұрыштық жылдамдығын анықтау керек.

2.3.6-сурет 

91

Шешуі: І-тəсіл (жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтары туралы теореманы пайдалану).

Полюс ретінде О центрін қабылдаймыз (2.3.7-сурет). Онда дөңгелектің кез келген нүктесінің жылдамдығы полюс жылдамдығы мен полюсті айнала қозғалыс жылдамдығының геометриялық қосындысына тең, мысалы v_A  v_O v_AO. Дөңгелек сырғанамай дөңгелеп қозғалатын болғандықтан дөңгелек пен рельстің жанасушы А нүктесінің жылдамдығы нөлге тең v_А=0, яғни А нүктесі лездік жылдамдық центрі болып табылады. Бұл нүктеде полюсті айнала қозғалыс жылдамдығы v_АО-мен полюс жылдамдығы v_O-ның шамалары тең, ал бағыттары қарама-қарсы, яғни v_АО  v_О.

A, B, C жəне D нүктелерінен полюске дейінгі ара қашықтықтары бірдей. Сондықтан, нүктелердің полюсті айнала қозғалыс жылдамдықтары өзара тең, яғни v_BO v_CO v_DO v_AO v_O.

Əрбір нүктеден полюс жылдамдығы v_О-ны жəне дөңгелектің радиусына перпендикуляр полюсті айнала қозғалыс жылдамдығын тұрғызып алатынымыз

2 2 2 10 2 14,14 / ,

B O BO O

v  v v v     м с

2 20 / ,

С O АO O

v v v  v  м с

2 2 2 14,14 / .

D O DO O

v  v v v   м с Бұрыштық жылдамдығы

О 10

0,5 20 vВО v

рад с ВО R

     .

ІІ-тəсіл (жылдамдықтар лездік центрін пайдалану).

2.3.7-сурет

92

Дөңгелектің жылдамдықтар лездік центрі A–ны полюс ретінде қабылдаймыз. Онда дөңгелектің барлық нүктелерінің жылдамдықтары лездік жылдамдық центрін айнала қозғалыс жылдамдықтары болады. Барлық нүктелердің жылдамдықтарының шамалары мынадай қатынастармен анықталады

C O O 2 20

v v PC v

 PO    м с, 2 14,14

B O O

v v PB v

 PO    м/c,

2 14,14

D O O

v v PD v

 PO    м/c.

Мұндағы PB = PD = R 2.

Бұрыштық жылдамдығы мынадай қатынаспен анықталады

10 20

0,5

O O

v v

рад с

PO R

     .

3-мысал. Радиусы 12R  см тістегерішті радиусы сондай

қозғалмайтын тістегеріштің осі О-ға қатысты айнала қозғалатын қосиін ОА қозғалысқа келтіреді. Қосиін  8 рад с бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады жəне бұрыштық жылдамдығы

с рад

2

 . 2-тістегеріштің N нүктесінің үдеуін анықтау керек

(2.3.8.а-сурет).

2.3.8-сурет

а)  б) 

93

Шешуі: Есепті шешу үшін 2-тістегеріштің қозғалысын қарастырамыз. Ондағы А нүктені полюс ретінде қабылдап, А нүктесінің жылдамдығын жəне үдеуінің құраушыларын анықтаймыз:

A

2

2 2 2

2 0,24 2 0,48 /с,

0,24 8 1,92 /с , 0,24 2 0,96 /с .

A An

v OA R м

a OA м

a OA м



 





      

    

    

vA, a_A, a_An векторларының бағыттары 2.3.8,а-суретте көрсетілген.

Тістегеріш 2-нің бұрыштық жылдамдығы ₂ анықтаймыз.

Тістегеріштің жанасу P нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі болады, сондықтан ₂ ^0,48 4 /

0,12

A A

v v

рад с AP R

     .

2-ның бағытын (тістегеріштің айналу бағытын) v_A анықтайды.

Тістегеріш 2-нің бұрыштық үдеуі ₂ ні анықтаймыз. AP = R шамасы барлық уақытта тұрақты, сондықтан

2 2 2

1 1,92

16 /

0,12

A

A a

d dv

рад с dt R dt R

 

       .

Нүкте N-нің үдеуін мынадай формуламен анықтаймыз

n

N A An NA NA

a  a _ a a^ a . Бұл үшін a_NA^ жəне a_NAⁿ үдеулерінің шамаларын анықтаймыз.

Біздің жағдайда NA R , сонда

2 2 0,12 16 1,92 /с aNA^  NA    м ,

2 2

2 0,12 16 1,92 /с

n

aNA  NA    м .

Енді a_A, a_An, a_NA^ , a_NAⁿ векторларының бағыттарын көрсетеміз (2.3.8,б-сурет). Nx жəне Ny осьтерін жүргізіп, a_N үшін векторлық теңдікті осы осьтерге проекциялаймыз

0,96 1,92 2,88 /с2 n

Nx An NA

a  a a    м ,

1,92 1,92 3,84 /с2

Ny A NА

a  a _ a^    м . Осыдан ^{2 2} 4,8 /с²

N Nx Ny

a  a a  м .

94

2.4.1 сурет