Қозғалысы векторлық тəсілмeн берілген нүктeнің үдeуі Нүктенің қозғалысы векторлық теңдеуімен берілген дейік, сонда

2.1 Нүкте кинeматикасы

2.1.3 Қозғалысы векторлық тəсілмeн берілген нүктeнің үдeуі Нүктенің қозғалысы векторлық теңдеуімен берілген дейік, сонда

нүктенің Oxyz–координаттық жүйе- дегі радиус-векторы r уақыт t-ның бірмəнді, үздіксіз дифференциалданатын функция- сы ретінде анықталады

 

^.

r  r t     (2.1.2.3) (2.1.2.3)-теңдеу нүктенің жылдам- дық векторы v^_ -ның уақытқа тəуелді өзгеруін көрсететін, мынадай теңдеуді береді

dr .

v  dt (2.1.2.4) Нүктенің қозғалысы кезінде жылдамдық векторы өзінің шамасын да, бағытын да өзгертіп отырады. Жылдамдықтың уақыт өтуіне байланысты өзгеруінің тездігін сипаттаушы физикалық шаманы үдеу деп атайды. Осы шаманы анықтайтын t мезгілінде М нүктесінің жылдамдығы  болады дейік (2.1.6-сурет), ал уақыт t1=t+Δt-ға, тең болған сəтте, ол ₁   болсын. Осы Δt уақыты аралығындағы

2.1.6-сурет

63

жылдамдық векторы  -ның өсімшесі Δ -ны геометриялық жолмен табу үшін, траекторияның M нүктесінде жылдамдықтар паралле- лограмын құрамыз. Осы параллелограмм диагоналін өрнектейтін қосындыдан Δ -ны табамыз

1 .

  

   (2.1.3.1) Жылдамдық өсімшесі Δ -ның сəйкес уақыт өсімшесі Δt-ға қатынасын алайық

î ðò , a v

t

 

 (2.1.3.2) мұндағы, a_{î ðò} векторын нүктенің Δt уақыт аралығындағы орташа үдеуі дейміз. Осы анықтамадан берілген уақыттағы, яғни лездік үдеудің анықтамасын алуға болады.

Нүктенің берілген уақыттағы үдеуі деп, Δt уақыт өсімшесі нөлге ұмтылғандағы орташа үдеудің ұмтылған шегін айтамыз

2

0 0 2

lim _{î ðò} lim .

t t

v dv d r

a a

t dt dt

   

    

 (2.1.3.5) Сонымен, берілген уақыт мезгіліндегі нүктенің үдеуі деп жыл- дамдық векторының уақыт бойынша алынған бірінші туындысына немесе нүктенің радиус-векторының уақыт бойынша алынған екінші туындысына тең болатын векторлық шаманы айтамыз.

Лездік үдеу векторы a, траекторияның М нүктесіндегі жанаспа жазықтығында жатады жəне М нүктесінен траекторияның ойыс (ішкі) жағына қарай бағытталады. Траектория жазық қисық болса, онда оның барлық нүктесіндегі жанаспа жазықтық бірдей бір жазықтық болады. Ол қисық сызықтың өз жазықтығына дəл келеді.

2.1.4 Қозғалысы координаттық тəсілде берілген нүкте

жылдамдығын анықтау

Нүктенің Oxyz санақ жүйесіндегі қозғалысы координаттық тəсілде берілген. Демек, нүктенің осы санақ жүйесіндегі коорди- наттары x, y, z уақытқа тəуелді функциялар түрінде беріледі

1

 

x  f t , y  f t2

 

z  f t3

 

. (2.1.4.1) Қозғалыс тендеулері (2.1.4.1) арқылы берілген М-нүктесінің жылдамдығын анықтауға қажетті формулаларды табуымыз керек.

Осы мақсатпен жоғарыда көрсетілген dr .

v  dt (2.1.4.2)

64

векторлық теңдеуіндегі r =OM радиус-векторын оның Oxyz өстеріндегі құраушылары арқылы өрнектейік

.

r  xi  yj  zk (2.1.4.3) (2.1.4.3) өрнегін (2.1.4.2) –теңдіктегі орнына қояйық

 

d xi yj zk .

v dt

 

 (2.1.4.4) Осыдан

dx dy dz .

v i j k

dt dt dt

   (2.1.4.5) Енді жылдамдық векторы v -ны үш құраушыға жіктеп, оны (2.1.4.5) теңдігінің сол жағына қоямыз

x y z .

dx dy dz

v i v j v k i j k

dt dt dt

     (2.1.4.6) (2.1.4.6) тепе-теңдігіндегі өзара тəуелсіз i, j,k векторының алдындағы коэффициенттерді теңестіреміз

, , .

x y z

dx dy dz

v v v

dt dt dt

   (2.1.4.7) (2.1.4.7) формулалары нүкте жылдамдығы v^_ -ның координаттық өстердегі проекцияларын өрнектейді. Жылдамдық проекциялары табылғаннан кейін вектордың өзі де толық табылады. Оның модулі мына формуламен анықталады

2 2 2.

x y z

v v v v (2.1.4.8) Осыдан соң жылдамдық векторының бағыттаушы косинустарын есептей аламыз

x y z

cos( v ,i ) v v, cos( v , j ) v v, cos( v ,k ) v v .   (2.1.4.9)

2.1.5 Қозғалысы координаттық тəсілмeн берілгeн нүктeнің

үдeуін анықтау

Қозғалмайтын Oxyz координаттар жүйесіндегі нүкте қозғалысы

1

 

x  f t , y  f t2

 

z  f t3

 

. (2.1.5.1) теңдеулерімен анықталады дейік. Осы теңдеулер арқылы нүкте үдеуін қалай есептеуге болатынын көрейік. Нүкте үдеуі деп (2.1.3.4) не (2.1.3.5) векторлық теңдікпен берілген векторды айтамыз. (2.1.3.5) теңдіктің оң жағындағы радиус-вектор r -ді координаттар өстеріне жіктеп жазуға болады

65

.

r  xi  yj  zk (2.1.5.2) (2.1.5.2)-дегі r векторының компоненттерін (2.1.3.4) теңдігіне қойып

 

2

2 .

d xi yj zk

a dt

 

 (2.1.5.3) (2.1.5.3) теңдігінің оң жағындағы туындыны есептеп шықсақ, мына теңдікке келеміз

2 2 2

2 2 2 .

d x d y d z

a i j k

dt dt dt

   (2.1.5.4) Енді үдеу векторы a-ны үш құраушыға жіктеп оны (2.1.5.4) теңдігінің сол жағына қоямыз

2 2 2

2 2 2 .

x y z

d x d y d z

a i a i a i i j k

dt dt dt

     (2.1.5.5)

(2.1.5.5) теңдігі орынды болуы үшін, бұл теңдіктің екі жағында тұрған өзара тəуелсіз i, j,k бірлік векторларының əрбіреуінің араларындағы коэффициенттері бірі-біріне тең болуы керек

2 2 2

2 , ^y 2 , 2 .

x z

x y z

dv d x dv d y dv d z

a a a

dt dt dt dt dt dt

      (2.1.5.6)

Үдеу модулі мына формуламен анықталады

2 2 2.

x y z

a  a a a     (2.1.5.7) Үдеу векторының кеңістіктегі бағыты оның бағыттаушы косинустарымен анықталады

x y z

cos( a ,i ) a a, cos( a , j ) a a, cos( a ,k ) a a   . (2.1.5.8)

2.1.6 Қозғалысы табиғи тəсілмeн берілгeн нүктeнің

жылдамдығын анықтау

Нүкте М-нің қозғалысы координаттар жүйесінде табиғи тəсілде берілген дейік. Демек, нүктенің траекториясы АВ көрсетілген (2.1.8-сурет). Осымен қатар, доғалық қашықтық S OM ^ уақытқа тəуелді функция ретінде берілген S = f(t). Енді нүктенің жылдамдығын есептеу жолын көрсетейік. Ол үшін жылдамдық векторының анықтамасы (2.1.2.3)–те берілген жəне О1 санақ нүктесі, қашықтықты есептеуде оң бағытты пайдаланамыз

66

v dr

 dt ,

мұндағы, r нүктенің радиус векторы.

(2.1.2.3)–дің екі жағынан модуль алайық d r .

v dr

dt dt

  (2.1.6.1) Бұл жерде уақыт дифференциалы dt оң таңбалы шама екені ескеріледі. Енді радиус векторы дифференциалының моду- ліне тең болатынын пайдаланайық

.

dr  dS (2.1.6.2) (2.1.6.1) теңдегі арқылы (2.1.6.2) өрнегінен мынадай формуланы аламыз

dS.

V dt (2.1.6.3) Доғалық координаттың уақыт бойынша алынған туындысының таңбасы “+”, не “–” болуы мүмкін. Егер қозғалыс доғаны есептеудің оң бағытында орындалса, онда dS dt 0 болатындықтан

0

v dS dt  ал қозғалыс доғалық қашықтықты есептеу бағытына қарсы бағытта орындалатын жағдайда dS dt 0. Траекторияның М нүктесінде жүргізілген жанаманың бірлік векторын  деп белгілейік.

Бұл  векторы S доғалық қашықтықты есептеудің оң бағытына сəйкес бағытталатынын ескерсек, онда (2.1.6.3)-ті векторлық түрде жаза аламыз

  .

Сонымен, нүкте қозғалысы табиғи тəсілде берілген болса, онда оның жылдамдығының модулі де, бағыты да толық анықталады.

2.1.7 Табиғи үш жақ. Табиғи өстер. Үдeу векторының жанама жəне нормаль құраушылары

1. Табиғи үш жақ. Табиғи өстер. Траекторияның бір-біріне шексіз жақын орналасқан үш нүктесі арқылы өтетін жазықтық, оның ортаңғы нүктесіне жүргізілген, жанаспа жазықтық деп аталады.

Жанамаға перпендикуляр, М нүктесі арқылы өтетін, N- жазықтығы траекторияның осы нүктедегі нормаль жазықтығы деп аталады.

0

2.1.8-сурет

67

Траекторияның М нүктесіндегі жанама арқылы өтетін нормаль жəне жанаспа жазықтықтарға перпендикуляр үшінші жазықтық траекторияның сол нүктедегі түзулеуші жазықтығы деп аталады (2.1.9-сурет). Жанаспа жазықтықта жатқан нормаль қисықтың М нүктесіндегі бас нормаль деп, ал жанаспа жазықтыққа осы нүктеде жүргізілген перпендикуляр бинормаль деп аталады. Жанаманың оң бағыты ( бірлік векторы) қозғалыспен бағыттас келеді. Бас нормальдың оң бағыты (n бірлік векторы) траекторияның ойыс жағына қарай бағытталады. Бинормальдың оң бағыты (b бірлік векторы)  жəне n векторларымен оң координаттар жүйесін құрайтындай етіп алынады. Бас нүктесі М болатын бұл координаттар жүйесі М n b табиғи координаттар жүйесі деп немесе табиғи үшжақ деп аталады. Координаттар жазықтары екі-екіден алынған бірлік векторларымен анықталады. ( ,n) – жанаспа жазықтық, (n,b ) – нормаль жазықтық, (b , ) – түзулеуші жазықтық.

2 Қисық сызық қисықтығы. Нүктенің траекториясын жалпы жағдайда кеңістіктегі қисық сызық деп санаймыз. Нүкте траектория- сының М нүктесі берілсін. Траекторияның осы нүктесінде жəне оған жақын орналасқан екінші нүктесі M₁ арқылы  жəне ₁ жанама бірлік векторларын жүргізейік (2.1.10-сурет). M1 нүктесі берілген М нүктесінен S қашықтықта болсын, ₁ векторын М нүктесіне параллель көшірейік. М нүктесіндегі  жəне ₁ екі бірлік векторлар арасындағы бұрышты  деп белгілейік. Бұл бұрыштың S доға ұзындығына қатынасын алайық

орт. S k



 

 (2.1.7.1) (2.1.7.1) қатынасын траек- торияның ММ1 доғасының орташа қисықтығы дейміз.

Осы орташа қисықтық ұғы- мын пайдалана отырып қи- сықтық, яғни траекторияның берілген нүктедегі қисықтығы деген ұғым енгізе аламыз.

2.1.10-сурет       2.1.8-сурет

68

Қисықтың берілген М нүктесіндегі қисықтығы деп орташа қисықтықтың S нөлге ұмтылғандағы шегіне тең шаманы айтамыз

lim0 _{î ðò} .

S k k

   (2.1.7.2) Орташа қисықтық өрнегі (2.1.7.1) арқылы (2.1.7.2) теңдігін мына түрде жазайық

lim0 .

x k

S



 

 

 (2.1.7.3) (2.1.7.3)-теңдіктің сол жағындағы қатынастың алымының жəне бөлімінің де шекті мəндерін анықтайық.

S нөлге ұмтылғандағы немесе M1 нүктесінің траектория бойымен берілген М нүктесіне ұмтылғандағы  бұрыштың шекті мəнін d деп белгілеп, бұл бұрышты сыбайластық бұрыш деп атаймыз.

S-тің M₁ нүктесінің траектория бойымен М-ге ұмтылғандағы шегі d доға элементіне тең. Осы түсіндірмелерді пайдалана отырып, (2.1.7.3)-анықтаманы былай жазамыз

d . k dS

  (2.1.7.4) (2.1.7.4)-формула қисық сызықтың берілген М нүктесіндегі қисықтығын анықтайды. Ол былай айтылады. Траекторияның берілген нүктесіндегі қисықтығы элементар сыбайластық бұрыштың доға элементіне қатынасына тең шама.

3 Қисықтың берілген нүктедегі қисықтық радиусы.

Қисықтың М нүктесі берілсін, оның осы М нүктесіндегі қисықтық радиусы деп осы нүктедегі k–ға кері шаманы айтамыз. Қисықтың берілген М нүктесіндегі қисықтық радиусы  десек, онда ол осы айтылған анықтама бойынша мынаған тең

1.

  k (2.1.7.5) 4 Үдеу векторының жанама жəне нормаль құраушылары.

Кеңістікте бойымен М нүктесі қозғалатын қисық берілсін, нүктенің траектория бойындағы М орнына

S OM 

доғасы сəйкес келеді. Бұл доғаның t –уақытқа тəуелділігі берілсін

 

^.

S  f t (2.1.7.6) Қозғалыс заңы (2.1.7.6) теңдігі түрінде берілген М нүктесінің үдеуінің 2.1.11-сурет 

69

векторы ā-ны табиғи өстер бағытта-рындағы құраушыларға жіктеу керек. Осы мақсатты көздеп жылдамдық векторы  -ны жанама бірлік векторы  арқылы өрнектейік

.

v v (2.1.7.7) мұндағы, v, жылдамдық векторы  -ның  бағытындағы проекциясы vr=v. Егер нүкте қозғалысы доға S-тың ұзындығы есептеудің оң бағытына бағыттас орындалса, онда vr=v, ал егер оның қозғалысы S-ті есептеудің оң бағытына қарсы бағытта өтетін болса , онда vr= -v.

Екі жағынан уақыт бойынша туынды алу арқылы (2.1.7.7)-ді мына түрге келтіреміз

dv d

a v .

dt dt

 

  (2.1.7.8) Бірлік векторы  -дың дифференциалы, мынаған тең екені белгілі

.

d  d n         (2.1.7.9)

Осы (2.1.7.9)–теңдікте əрі қарай түрлендірейік

d d d dS v .

n n n

dt dt dS d

  

 

   (2.1.7.10) мұндағы, ρ траекторияның М нүктесіндегі қисықтық радиусы. Соңғы (2.1.7.10) теңдікті ескерсек (2.1.7.8)–теңдіктен үдеу векторының мынадай жіктелуін аламыз

dv v2

a n.

dt

   (2.1.7.11) Бұдан, үдеудің жанама жəне бас нормаль бағыттары бойынша (2.1.11-сурет) тек екі құраушыға жіктелетінін көреміз. Демек, үдеу векторы жанаспа жазықтықта жатады, сондықтан да оның бинормальдағы құраушысы нөлге тең болады деген қорытындыға келеміз. Олай болса, үдеудің табиғи үшжақ өстеріндегі құраушылары мына түрде беріледі

2 2

n b

2

dv d s v

à , a , a 0.

dt dt 

    (2.1.7.12) Үдеу векторының,  бағытындағы құраушысы a_   d v dt жанама (тангенцияль) үдеу, ал оның n-бағытындағы құраушысы

2

an  n v  нормаль үдеу болады, (2.1.7.8)–теңдікті қысқаша мына түрде жазуға да болады (2.1.11-сурет)

a a _



ann. (2.1.7.13) Оның модулі

70

2 2 2

2 2

n

dv v

a a a .

 dt 

   

         (2.1.7.14) Жанама үдеу жылдамдықтың шама жағынан өзгеруін сипат- тайды, өйткені ол жылдамдықтың модулінен уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең. Олай болса, нормаль үдеу жылдамдықтың бағытының өзгеруін сипаттауға тиіс. Нормаль үдеудің шамасы əруақытта оң сан болғандықтан, толық a үдеу траекторияның қисықтық центріне қарай бағытталғандықтан оны центрге тартқыш үдеу деп те атайды. Толық үдеудің бағыты, оның бас нормальдың оң бағытымен жасайтын μ-бұрышымен анықталады (2.1.11-сурет)

n

tg a . a

   (2.1.7.15) Осы формуладан, жанама үдеу a_-дың таңбасына қарап, яғни жылдамдық модулі v-ның өсуіне не кемуіне байланысты, толық

үдеудің бас нормальдан қозғалыстың бағытына қарай, не оған қарсы бағытқа ауытқитынын көртеміз. Егер а >0

(жылдамдықтың шамасы уақыт өткен сайын

өсіп отыратын) болса, онда жанама үдеу а_ де қозғалыстың бағытына қарай бағытталады.

Мұндай қозғалыс үдемелі қозғалыс деп аталады (2.1.12-сурет). Егер а_ ≠0 болса, онда қозғалыс қисық сызықты қозғалыс, ал аn =0 (=∞) болса, онда ол түзу сызықты қозғалыс болады. Тек жеке уақыт кезеңінде ғана аn =0 болса, онда сол сəтте қозғалушы нүкте траекторияның кері иілу нүктесінде (2.1.13-сурет) болғаны, не сол сəтте нүктенің жылдамдығы нөлге тең (v0) болғаны.

Егер а<0 (жылдамдық шамасы қозғалыс кезінде кеміп отыратын) болса, а_ жəне ā векторлары қозғалысқа қарсы бағытталады, ал қозғалыс кемімелі қозғалыс деп аталады (2.1.12,б-сурет).

2.1.12-сурет

2.1.13-сурет

71

Егер барлық уақытта да а=0 жылдамдықтың шамасы тұрақты, яғни v const болса, қозғалыс бірқалыпты қозғалыс деп аталады.

Егер тек қана жеке уақыт кезеңі үшін а=0 болса, онда алгебралық жылдамдық өзінің экстремалды мəнін қабылдағаны. Ал барлық уақытта да а=аn=0 болса, онда нүкте бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болғаны.