2.2 Қатты дeнeнің қарапайым қозғалыстары .1 Қатты дeнeнің ілгерілeмeлі қозғалысы
2.2.2 Қатты дененің қозғалмайтын өс төңірегіндегі айнал- малы қозғалысы
Қозғалмайтын өсті айнала қозғалатын дене деп, екі нүктесі қозғалмайтын денені айтамыз. Қозғалмайтын нүктелерді қосатын түзу оның айналу өсі болады.
Қозғалмайтын Qо жəне Q жазықтықтарының арасындағы екі жақты бұрыш φ қатты дененің айналу бұрышы деп аталады. Бұл бұрыш берілген дененің кез келген уақыт мезгіліндегі орнын бірмəнді анықтайды. Демек, қозғалмайтын өсті айналатын қатты дененің бір ғана еркіндік дəрежесі болады. Дененің қозғалмайтын өс
79
төңірегіндегі орны бір параметрмен анықталады. Мұндай параметр рµлін φ бұрышы атқарады. Ол уақыттың бірмəнді функциясы болып келеді
t . (2.2.2.1) Бұл (2.2.2.1) теңдеуі қатты дененің айналу заңы немесе айналу теңдеуі деп аталады.
Айналу бұрышы дің таңбасын анықтауда оң бұранда ережесіне сүйенеміз. Егер бұрышы айналу өсі O Qin -оң ұшынан қарағанда қоз- ғалмайтын Q0 жарты жазықтықтан Q жарты жазықтыққа қарай сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытта сана-латын болса, айналу бұрышын оң таңбалы деп санаймыз. Ал егер ол кері бағытпен анықталса, оны “–” таңбамен алуымыз керек. Айналу бұрышы үнемі радианмен өлшенеді.
Дененің қозғалмайтын өсті айналуын сипаттауға қажетті екінші бір кинематикалық шаманы бұрыштық жылдамдық деп атайды. Оның алгебралық шамасы ω əрпімен белгіленеді. Бұрыштық жылдамдық ω дененің айналу бұрышы φ-дің уақыттың өтуіне қарай өзгеру тездігін белгілейтін шама. Алдымен белгілі бір уақыт аралығына сəйкес келетін айналу бұрышының өзгеруін қарастырайық. Егер оның t уақытына сəйкес мəні φ(t) –болсын, ал уақыттың t1 =t+Δt мезгіліндегі мəні φ(t+Δt) болсын. Демек Δt уақыт аралығында дене Δφ бұрышына айналыс жасайды
t t
t ,
(2.2.2.2) осындағы айналу бұрышының өсімшесі (2.2.2.2)-нің оған сəйкес келетін уақыт өсімшесі Δt -ға қатынасын құрайық та, оны ωорт деп белгілейік
î ðò .
t
(2.2.2.3)
î ðò орташа бұрыштық жылдамдығы деп атайды. (2.2.2.3)-тің екі жағында Δt→0 кездегі шегі
0 0 0
lim î ðò lim , lim î ðò .
t t t t t
(2.2.2.4) 2.2.2-сурет
80
(2.2.2.4)-тің оң жағындағы шек φ(t) функциясының туындысын береді.
Ал оның сол жағындағы шек дененің берілген t уақыт мезгіліндегі бұрыштық жылдамдығы ω-ны береді. Осы түсіндір- мелерді қабылдап (2.2.2.4) теңдігін мына түрде жазамыз
d . dt
(2.2.2.5) Бұрыштық жылдамдық векторлық шама. – векторы дененің айналу өсінің бойында орналасып, оң бұранда ережесіне сəйкес келетін бағытпен бағытталады.
Жоғарыда айтылған φ бұрышын санаудың оң бағыты жөніндегі анықтаманы ескере отырып, бұрыштық жылдамдық векторын мынадай формуламен өрнектеуге болады
d ,
k k
dt
(2.2.2.6) мұндағы k , Oz өсінің бірлік векторы.
Дененің айналмалы қозғалысын сипаттаушы үшінші кинема- тикалық шама, бұрыштық үдеу ұғымына тоқтап өтейік. Алдымен орташа бұрыштық үдеуді анықтаймыз. Берілген t уақыт мезгіліндегі айналмалы қозғалыстың бұрыштық жылдамдығы ω(t) болсын, ал t+Δt уақыт мезгілінде ол ω(t+Δt) болсын дейік. Сонда Δt уақыт аралығында бұрыштық жылдамдық өсімшесі мынаған тең болады
t t
t .
(2.2.2.7) Осы шамалар қатынасын дененің Δt уақыты аралығындағы орташа бұрыштық үдеу деп атап, оны εорт əрпімен белгілейміз
î ðò .
t
(2.2.2.8) Бұл қатынасты пайдалана отырып, дененің берілген уақыт t мез- гіліндегі, яғни лездік бұрыштық үдеудің анықтамасын бере аламыз.
Берілген уақыттағы бұрыштық үдеу деп орташа бұрыштық үдеудің Δt→0 кездегі үдеудің шегін айтамыз. Бұрыштық үдеуді ε-деп белгілесек, айтылған анықтама мына формуламен беріледі
0 0
lim î ðò lim .
t t t
(2.2.2.9)
(2.2.2.9)–теңдіктің оң жағында ω(t) функциясының уақыт
бойынша алынған туындысы тұрғанын ескерсек, оны мына түрде қайталап жаза аламыз
81
d dt
немесе
2 2 . d
dt
(2.2.2.10) Бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдықтан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең немесе φ айналу бұрышынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең болатын шама. Бұрыштық үдеу векторы де айналу өсінің бойында орналасады. Бұрыштық үдеу векторын мынадай формуламен өрнектеуге болады
d k dt
немесе
2
2 .
d k dt
(2.2.2.11) Бір қалыпты айналмалы жəне бір қалыпты айнымалы айналмалы қозғалыстар. Егер қозғалыс кезінде бұрыштық үдеу ε=0 болса, онда қозғалыс ω=const тұрақты бұрыштық жылдамдықпен орындалады. Мұндай қозғалысты бір қалыпты айналмалы қозғалыс деп атаймыз. Осындай қозғалыстың бұрыштық жылдамдығының анықтамасынан мынадай өрнек алынады
. d dt
Егер t0 = 0 болғанда φ = φ0 десек, соңғы теңдіктен мынадай формула шығады
0 t,
(2.2.2.12) мұндағы бастапқы φ0 = 0 болып келген жағдайда (2.2.2.12)–теңдіктен
,
t жəне . t
(2.2.2.13) Дененің айналысы кезінде оның бұрыштық үдеуі ε т±рақты болатын болса, онда мұндай айналмалы қозғалысты бір қалыпты айнымалы дейміз.
Бұрыштық үдеу анықтамасынан .
d dt
Бұл теңдікті сəйкес алынған шектерде (t0=0 саналады) интег- ралдау арқылы, мынадай формула аламыз
0 t.
(2.2.2.14) Бұл формуламен ε=const болған жағдайдағы бұрыштық жылдамдық анықталады. (2.2.2.13)–тің екі жағында dt-ға көбейтіп интегралдау арқылы мынадай формула аламыз
2
0 0
1 .
t 2 t
(2.2.2.15)
82
2.2.3 Айналмалы қозғалыстағы дeнe нүктeлeрінің жылдам-
дықтары жəне үдeулeрі
Қозғалмайтын өсті айналатын қатты дене нүктелерінің қозғалысын қарастырайық. Мұндай дененің барлық нүктелерінің қозғалыс кезіндегі траекториялары, жазықтықтары айналу өсіне перпендикуляр, ал центрлері айналу өсінде жататын, концентрлі шеңберлер болады. Дененің айналу өсінен h қашықтықта жатқан кез келген бір нүктесі М-ді алайық. Бұл нүктенің жылдамдығының шамасы
ds d
v h h .
dt dt
(2.2.3.1)
формуласымен есептелінеді, ал векторы, радиусы h, центрі О нүктесінде жататын шеңберге жанамамен, айналыс болатын жаққа қарай бағытталады (2.2.3- сурет).
(2.2.3.1)-ші формула нүкте М-нің жылдамдығын геометриялық əдіспен табуға мүмкіндік береді. Ал жылдамдықты векторлық тəсілді қолданып табуға да болады. Ол үшін берілген нүкте М-нің Oxyz өстер жүйесіндегі r OM радиус-векторын алайық. Осы r жəне векторының векторлық қөбейтіндісін құрайық: r (2.2.3-сурет).
Бұл көбейтіндінің модулі
sin , .
r r r h
(2.2.3.2) (2.2.3.2)–теңдік, векторлық көбейтіндінің модулі, нүкте жылдам- дығының (2.2.3.1) формуламен есептелінетін модуліне тең екенін көрсетеді. Осыдан соң r векторының бағытына тоқтайық. Бұл вектор, үшбұрыш ΔO1MO жазықтығына М-нүктесіне тұрғызылған перпендикуляр бойыменен векторымен бірдей бір жаққа қарай бағытталғанын 2.2.3-суреттен көруге болады. Сонымен бұл айтылғандардан, екі вектор, r жəне бір-біріне тең екенін көреміз. Демек мынадай формуланың орынды екені дəлелденеді
.
v r (2.2.3.3)
(2.2.3.3)–формула қатты дене кинематикасындағы маңызды
формула. Бұл формула Эйлер формуласы деп аталады.
2.2.3-сурет
83
Дененің кез келген нүктесі М, радиусы h=О1М жəне жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр орналасқан, шеңбер сыза отырып қозғалады дедік. Демек бұл нүктенің толық үдеуін екі құраушыға жіктеу арқылы анықтай аламыз (2.2.4-сурет). Шеңбер бойымен қозғалған нүктенің жанама үдеуі
dv d
à h h ,
dt dt
(2.2.3.4) жəне оның нормаль үдеуі
2 2
n
a v h.
(2.2.3.5) Егер дененің айналмалы қозғалысы үдемелі болса, онда жанама үдеу жылдамдықпен бірдей бір жаққа қарай бағытталады, ал ол кемімелі болған жағдайда жанама үдеу жылдамдыққа қарама-қарсы жаққа қарай бағытталады. Ендігі жерде айналмалы қозғалыстағы М нүктесінің толық үдеуі ā- векторын құраушылары ā жəне ān
арқылы анықтау мына формулалар арқылы жүргізіледі
a a a n ,n (2.2.3.6)
2 2 2 4
a a an h . (2.2.3.7) Егер r векторының модулі |r |=const болып, оның бағыты ғана уақыт өсуіне қарай өзгеретін болса, онда (2.2.3.3)-формуладан мынадай теңдік алынады
dr r .
dt (2.2.3.8) Бұл теңдіктегі радиус-вектор r -дің бұрылуының бұрыштық жылдамдығы. Енді (2.2.3.8) теңдігінің екі жағынан уақыт бойынша туынды алайық
dv d dr
r .
dt dt dt
(2.2.3.9) 2.2.4-сурет
84
(2.2.3.9)–теңдіктің оң жағындағы қосылғыш векторларды жеке- жеке қарастырайық. Ондағы бірінші қосылғыш вектор модулі М- нүктесінің жанама үдеуіне тең
a h r
r r
dt r
d sin , . (2.2.3.10) (2.2.3.10)–тің оң жағындағы бірінші вектор, М-нүктесіндегі жылдамдық векторы мен бағыттас. Демек, бұдан
.
a r dt r
d (2.2.3.11) Ал енді ондағы екінші қосылғыш вектордың модулі
.
2
an
dt h
d
(2.2.3.12)
Бұл вектор МО1 түзуінің бойымен О1 центріне қарай, айналу өсіне перпендикуляр бағытталады. Демек
2 n.
dr v h a
dt (2.2.3.13) Сонымен, (2.2.3.4)-(2.2.3.4) формулаларын векторлық тəсілді қолданып та алуға болатынын
көрсеттік.
Атанаққа оралған жіпке ілінген жүк A, атанақты айналмалы қозғалысқа келтіре отырып, тыныштық қалпынан бірқалыпты үдемелі төменгі бағытта қозғалады
(1.17.3.а-сурет). Атанақ
бірінші 3 сек арлығында 9 айналыс жасайды. Атанақтың диаметрі D=30 см. Атанақ бетіндегі нүктенің жəне жүктің 5 сек уақыт мезгіліндегі жылдамдығын жəне үдеуін табу керек.
Шешуі: атанақтың тең айнымалы айналмалы қозғалыс теңдеуін жəне бұрыштық жылдамдығының формуласын жазамыз
2
0 0
2 t t
,
а) б) 1.17.3-сурет
85
1.17.4-сурет
0 t
.
Бастапқы 0 0, 0 0 мəндерін ескере отырып, аламыз:
2
2
t
, t. Атанақтың t 3c уақыт мезгілінде айналу бұрышы белгілі:
2 N 18 рад
. Сонда атанақтың бұрыштық үдеуі
2 2
2 4 рад с t
жəне t 5c уақыт мезгіліндегі бұрыштық жылдамдығы t 4 5 20 рад с.
Атанақтың бетіндегі B нүктесінің (1.17.3.б-сурет) сызықтық жылдамдығын, жанама жəне нормаль үдеулерін осы уақыт мезетінде анықтаймыз
0,15 20 9,42
vB R м/с,
0,15 4 1,88
aВ R м/с2,
2 2
5 0,15 (20 ) 591,6
aBn R м/с2.
Атанақтың бетіндегі нүктенің толық үдеуінің модулі
2 2 1,882 591,62 592B B Bn
a a a м/с2.
Жүктің жылдамдығы атанақтың бетіндегі нүктенің сызықтық жылдамдығына тең
A B 9,42
v v м/с.
Жүктің үдеуі атанақтың бетіндегі нүктенің жанама үдеуіне тең
A B 1,88
a a м/с2.
1.17.2-мысал. Радиусы r1
тістегеріш 1-ге отырғызылған радиусы r білікті жүк В айналмалы қозғалысқа келтіреді. Жүк тыныштық қалпынан қозғалып бастайды жəне тұрақты а үдеуімен қозғалады. Тістегеріш 1-мен іліністе болатын радиусы r2 тістегеріш
2-нің қозғалыс заңдылығын табу керек (1.17.4-сурет).
Шешуі: жүк В бастапқы жылдамдықсыз тұрақты а үдеуімен қозғалады, сондықтан кез келген уақыт мезетінде vB a t болады.
86
Біліктің бетіндегі нүкте жылдамдығы осы жылдамдыққа жəне
1r
ге тең. Сондықтан 1 r a t, 1 a t
r . Іліністегі нүкте С-ның сызықтық жылдамдығы екі тістегерішке ортақ
1 1 2 2
vC r r , осыдан 2 1 1 1
2 2
r r at
r r r
. Осыны интегралдау арқылы айналу бұрышын өрнектейміз
2
1 1
2 2
2 2 2
r a t r a t
dt dt C
r r r r
.Егер айналу бұрышын бастапқы уақыт мезгілінен бастап есептесек, алынған өрнекке t=0 жəне φ2=0 қою керек, сонда С=0 шығады. Нəтижесінде тістегеріш 2-нің айналмалы қозғалыс заңдылығын табамыз
2 1
2
2 2
r a t
r r
.