Қатты дененің қозғалмайтын нүктені айнала қозғалысы

94

2.4.1 сурет

95

 _- нутация бұрышы, zOz₁ жазықтығында жатады, Oz₁ жəне Oz өстерінің арасындағы бұрыш.

Аталған тоғыз бұрыштар Эйлер бұрыштары арқылы өрнектеліп, қатты дененің сфералық қозғалысын зерттеуді жеңілдетеді. Бір нүктесі қозғалмайтын қатты дене қозғалыста болған кезде Эйлер бұрыштары өзгеріп отырады.

Егер қатты дененің сфералық қозғалысының төмендегі теңдеулері (қатты дененің сфералық қозғалысының теңдеулері)

 

^{t ,}

 

^{t ,}

 

^{t .}

      (2.4.1.1) берілсе, онда əр уақыт мезетінде сəйкес Эйлер бұрыштарын табуға болады, демек, дененің қозғалмайтын жүйеге қатысты орнын анықтауға болады.

Эйлер-Даламбердің теоремасы «Қозғалмайтын нүктесі бар кез келген дененің қарапайым орын ауыстыруы дегеніміз, осы қозғалмайтын нүкте арқылы өтетін айналымның кейбір лездік айналу өсі төңірегінде қарапайым бұрылысы болатынын білдіреді» деп тұжырымдайды. Лездік айналу өсі осы уақыт мезетінде ғана қозғалыссыз болады жəне кез келген басқа уақыт мезетінде бұл басқа өс болып кетеді. Лездік айналу өсі дененің қозғалмайтын нүктесі арқылы өтіп, оның шеткі жоғарғы қабаты мен құрастырылған қабатын қозғалысы барысында сипаттайды.

Дененің қозғалысын сипаттау үшін бұрыштық жылдамдық векторы енгізіледі. Бұрыштық жылдамдық векторы  лездік айналу өсінде орналасқан жəне оның төбесінен айналуы сағат тілі жүрісіне қарсы бағытталған.

Қатты дененің лездік бұрыштық жылдамдығын, айналу қозғалысы секілді, вектор ретінде көрсетеміз. Вектор, айналу қозғалысы секілді, лездік айналу өсінің бойында жатады, ал оның бағытын денеге қараған кезде, ол сағат тіліне қарсы бағытта қозғалатын жаққа қарай бағыттаймыз. Бұрыштық жылдамдық векторын дененің қозғалмайтын нүктесіне түсірген ұтымды болады.

Дененің лездік бұрыштық жылдамдығын  символымен белгілейміз.

Дененің сфералық қозғалысы кезінде  шамасы, жалпылама алғанда, модулі мен бағыты өзгереді. Сонымен сфералық қозғалыстағы дененің лездік бұрыштық үдеуі деп  шамасының модулі мен бағытының өзгеруін сипаттайтын шаманы, яғни

d . dt

  

(2.4.1.2)

96

Векторлар  жəне  бір осьтің бойымен бағытталмайды. Лездік бұрыштық жылдамдық векторы  лездік айналу өсінің бойымен бағытталады, ал  векторы бұрыштық үдеуі өсі деп аталатын өстің бойымен бағытталады.

Лездік бұрыштық жылдамдық пен лездік бұрыштық үдеу, бір ғана қозғалмайтын нүктесі бар қатты дененің кинематикалық күйін сипаттайтын, негізгі шамалар болып табылады.

Бұрыштық жылдамдық өзгерісін ұзындығы жəне бағыты бойынша бұрыштық үдеу көрсетеді, сондықтан бұрыштық үдеу жəне бұрыштық жылдамдық коллинеарлы емес. Нүктенің жылдамдық векторы сияқты, бұрыштық жылдамдық векторының соңын сипат- тайтын траекторияға бұрыштық үдеу жанама бойымен бағытталған.

Дене нүктесінің үдеуі мен жылдамдығы мынадай формуламен анықталады

айн ос айн ос

, , , .

v  r a a a a   r a  v , (2.4.1.3) Мысал. - Қозғалмалы конустың Ox өсі қозғалмайтын Oz1 өсіне қатысты тұрақты ₁ бұрыштық жылдамдықпен айнала қозғалады (2.4.2-сурет). Осы қозғалмалы конус қозғалмайтын конустың бүйір бетімен сырғанамай домалайды. P, A, B нүктелерінің жылдамдықтарын жəне қозғалмалы конустың бұрыштық жылдамдығын, сонымен қатар ₁ 1рад с, OA = 50 см, α = 30°

болғанда В нүктесінің үдеуін анықтау керек.

Шешуі. Ең алдымен дене айналысының лездік өсін орналастырып алайық. Қозғалмайтын конус бетімен қозғалмалы конус сырғанамай қозғалатын болғандықтан, P нүктесін қос-қанда, осы уақыт мезетінде қозғалмалы конустың барлық нүктелері қозғалмайтын конус нүкте- лерімен сəйкес келеді. Бұл нүктелердің жылдамдықтары нөлге тең. Бұдан шығатын қорытынды, біріншіден, дененің лездік айналу өсі осы уақыт мезетінде OP түзуінде орналасқан, екіншіден, P нүктесінің жылдамдығы нөлге тең.

 2.4.2 сурет

97

Ox өсінде жатқан А нүктесінің жылдамдығы

1 1 50 50 / .

vA   OA   cм c.

А нүктесінен лездік айналу өсіне дейінгі ара қашықтық h₁-ді белгілеу арқылы дененің бұрыштық жылдамдығын табамыз

1

2рад/с.

sin

A A

v v

h OA

   

  Ары қарай B нүктесінің жылдамдығын анықтаймыз

2 2 1 100см/с.

vB    h h  В нүктесінің үдеуін анықтаймыз.  векторы қозғалмайтын Oz1 өсінің төңірегінде айналады, оның бұрыштық жылдамдығы ₁ модулі бойынша тұрақты болғандықтан

 векторының модулі де тұрақты

1 2рад/с= const.

sin OA

   OA 

 

Осыған байланысты, оның уақыт бойынша алынған туындысын, яғни  векторын, мына формула бойынша анықтаймыз       ₁ . Бұл вектор y өсі бойымен бағытталып, ₁ жəне  векторлары орналасқан жазықтыққа перпендикуляр. Оның модулі

2 1 sin( ) 1,732рад/с

2

        .

В нүктесінің радиус-векторын қозғалмайтын нүкте арқылы жүргіземіз жəне оның үдеуінің құраушы векторларын анықтаймыз

/ cos 57,74 rB OB OA   см,

айн айн 2

B, B=100см/с ,

B B

a   r a   O

ос , ос 200 /с2

B B B B

a  v a  v  см .

Косинустар теоремасы бойынша a_B^айн и a_B^ос векторларының арасындағы бұрышы 120°-қа тең, нүкте үдеуінің модулін табамыз

айн 2 ос 2 айн ос 0 2

( ) ( ) 2 cos120 173,21см/с .

B B B B B

a  a  a  a a  

Айналмалы үдеу векторы жылдамдық векторымен бір түзудің бойында жатпайды.

2.4.2 Еркін қатты дененің қозғалысы

Еркін қатты дененің кеңістіктегі орнын анықтау үшін екі координаттар жүйесін алайық: Ox y z_{2 2 2} қозғалмайтын жүйесі жəне қозғалыстағы денеге бекітілген қозғалмалы жүйесі Oxyz. Сонымен қоса, тағы бір Ox y z_{1 1 1} жүйесін аламыз, бұл жүйенің басы екінші

98       2.4.3 сурет

жүйенің басымен бір нүктеде, яғни O нүктесінде болады, ал өстері қозғалмайтын жүйенің өстеріне параллель орналасқан (2.4.3-сурет).

Дененің қозғалмайтын координаттар жүйесіне қатысты кеңістіктегі орны, қозғалмалы жүйенің



^Oxyz



кеңістіктегі орнымен толығымен анықталады. Бұл қозғалмалы жүйенің, қозғал- майтын жүйеге қатысты орны, координаттар жүйесінің басы O нүктесімен жəне Ox Oy Oz, , осьтерінің Ox y z_{1 1 1} жүйесіне қатысты орнымен анықталады.

Бұл кезде O нүктесінің қозғалмайтын жүйеге қатысты орны оның x y z₂, ,_{2 2} коорди- наттарымен, ал Oxyz жүйесінің

1 1 1

Ox y z жүйесіне қатысты орны Эйлер бұрыштарымен анықта- лады.

Дене еркін қозғалыста болған кезде, оның O x y z_{2 2 2 2} қозғалмайтын жүйеге қатысты кеңіс- тіктегі орнын анықтайтын алты шамалардың барлығы да өзгереді.

Дененің қозғалысы белгілі болу үшін, аталған алты шамалардың барлығы да, уақытқа тəуелді функциясы ретінде берілу керек, демек

2_O 1( ), 2_O 2( ), 2_O 3( ), x  f t y  f t z  f t

4( ), 5( ), 6( ).

f t f t f t

      (2.4.2.1) Бұл теңдеулер, еркін қатты дене қозғалысының теңдеулері деп аталады. Сонымен, еркін қатты дененің еркіндік дəрежесі – алтау.

Алғашқы үш тəуелділіктер ілгерілемелі қозғалысқа, ал екінші үш тəуелділіктер – сфералық қозғалысқа сəйкес келеді.

Сфералық қозғалыс қазіргі жағдайда О полюсі арқылы өтетін лездік айналу өсінің төңірегіндегі қарапайым бұрылыстар сериясында берілуі мүмкін болғандықтан, дененің кез келген нүктесінің жылдамдығы мен үдеуі сəйкесінше ілгерілемелі қозғалыстың жылдамдығы мен үдеуінің, сонымен қатар полюске қатысты қозғалыстағы нүктенің жылдамдығы мен үдеуінің геометриялық жиынтығына тең болады. Еркін қатты дене қозғалысының жылдамдығы мен үдеуін анықтау үшін мынадай формуланы жазамыз

99       2.5.1-сурет

, ( )

O O

v v    a  a         . (2.4.2.2) Мұнда v жəне a – дененің М нүктесінің жылдамдығы мен үдеуі;

vO жəне a_O – О полюсінің жылдамдығы мен үдеуі;  – дененің бұрыштық жылдамдығы. Oxyzқозғалмалы координат жүйесіндегі М нүктесінің радиус-векторы  .

2.5 Қатты дененің күрделі қозғалысы