ограниченность и компактность

Ноябрь—декабрь, 2011. Том 52, № 6

УДК 517.51

ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ВЕСОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА Р. Ойнаров

Аннотация. Рассматриваются интегральные операторы с неотрицательными яд- рами и переменными пределами интегрирования, для которых при более слабых, чем ранее исследованные, условиях на ядра получены критерии ограниченности и компактности в весовых пространствах Лебега.

Ключевые слова: интегральный оператор с переменными пределами интегриро- вания, пространство Лебега, ограниченность, компактность.

§1. Введение

Пусть I = (a, b), −∞ ≤ a < b ≤+∞, 1 < p, q < ∞, ¹_p +_p¹′ = 1, ρ и w — неотрицательные, измеримые и п. в. конечные наIфункции такие, чтоρ^p,w^q, w^−q′ и ρ^−p′ локально суммируемые наI.

Множество всех измеримых п. в. конечных наI функцийf таких, что

kfkp,ρ≡ kρfkp=



 Zb a

|ρf|^p





1 p

<∞, обозначим через Lp,ρ≡Lp(ρ, I).

Рассмотрим интегральные операторы

K+f(x) =

β(x)Z

α(x)

K(x, s)f(s)ds, x∈I, (1)

K₋g(s) =

β(s)Z

α(s)

K(x, s)g(x)dx, s∈I, (2)

изLp,ρ вLq,w. В случае, когдаK(x, s)≡1, оператор (1) обозначается через

Hf(x) =

β(x)Z

α(x)

f(s)ds, x∈I, (3)

c 2011 Ойнаров Р.

и называетсяоператором Харди — Стеклова[1].

На граничные функцииαиβ накладываем следующие условия:

(i) α(x) и β(x) локально абсолютно непрерывные и строго возрастающие функции наI;

(ii) α(x)<β(x) для любого x ∈ I и lim

x→aα(x) = lim

x→aβ(x) = a, lim

x→bα(x) =

x→blimβ(x) =b.

В последнее десятилетие начались интенсивные исследования вопроса огра- ниченности и компактности операторов (1)–(3) в весовых пространствах Лебега [1–7] и в банаховых функциональных пространствах [8]. Достаточно хорошо изучен оператор (3) (см. [1–5, 7]). Благодаря введению понятия «фарватер- функции» в работах В. Д. Степанова и Е. П. Ушаковой [1, 7] получены кри- терии ограниченности и компактности оператора (3) в интегральной форме, полностью аналогичные случаю, когда одна из граничных функций операто- ра (3) постоянная, и найдена связь между ограниченностью оператора (3) и неравенствами видаkwfkq ≤C(kρf^′ks+kvfkp).

Ограниченность операторов (1)–(3) устанавливается применением блочно- диагонального метода [1–8], суть которого заключается в разбиении интеграль- ного оператора с двумя переменными пределами интегрирования на сумму ин- тегральных операторов только с одним переменным пределом интегрирования и последующем применении полученных результатов для таких операторов.

Впервые такой метод применен для оператора Харди — Стеклова (3) в работе Э. Н. Батуева и В. Д. Степанова [2], когдаα(x) =αx, β(x) =βx, a= 0,b=∞, а общий случай с условиями (i) и (ii) был изложен в кандидатской диссертации Э. Н. Батуева [4], выполненной и защищенной в 1991 г. под научным руковод- ством В. Д. Степанова. Поэтому, опираясь на истоки этого метода, далее его будем называтьблочно-диагональным методом Батуева — Степанова.

Операторы вида (1) исследованы в [6–8] в случае, когда их ядроK(x, s)≥0 удовлетворяет условию

1

d(K(x, β(z)) +K(z, s))≤K(x, s)≤d(K(x, β(z)) +K(z, s)) (4) при

a < z≤x < b, α(x)≤s≤β(z), (5) а операторы вида (2) [1, 7] — при условии

1

d(K(x, z) +K(α(z), s))≤K(x, s)≤d(K(x, z) +K(α(z), s)) (6) для

a < s≤z < b, α(z)≤x≤β(s), (7) что позволяет применение блочно-диагонального метода Батуева — Степанова, где d≥1 — постоянная, не зависящая от x,z иs.

В случае, когдаα(x) =a,β(x)≡x, т. е. когда оператор (1) имеет вид

Kf(x) = Zx a

K(x, s)f(s)ds, (8)

а его ядро K(x, s)≥0 удовлетворяет условию [9]

1

d(K(x, z) +K(z, s))≤K(x, s)≤d(K(x, z) +K(z, s)) (9)

при a < s ≤ z ≤ x < b, оператор (8) был объектом многих исследований (см. [10–13] и приведенную там библиографию). Критерии (Lp,ρ → Lq,w)- ограниченности и компактности оператора (8) даны в [14].

Нетрудно видеть, что условия (4) и (5) равносильны выполнению условия (9) на ядраK(x, s)e ≡K(x, β(s)) приs≤z≤x≤α⁻¹(β(s)),s∈I, и условия (6) и (7) эквивалентны выполнению условия (9) на ядра K(x, s)b ≡K(α(x), s) при β⁻¹(α(x))≤s≤z≤x,x∈I.

Здесь при более слабых, чем (4) и (6), условиях на ядра операторов (1) и (2) устанавливаются (Lp,ρ→Lq,w)-ограниченность и компактность операторов (1) и (2).

В работе полагаем ⁰₀ = 0,∞ ·0 = 0. СоотношениеA≪BозначаетA≤cB, где константа c > 0 может зависеть только от несущественных параметров.

ПишемA≈B вместоA≪B ≪A. Всюду далее Z— множество целых чисел, χD(·) — характеристическая функция множестваD⊂R.

Работа организована следующим образом. В§2 даются необходимые поня- тия, обозначения и известные утверждения, используемые при доказательстве основных результатов, которым посвящен§3.

§2. Необходимые обозначения, понятия и утверждения

Пусть [c, d] ⊂ I. Для каждого целого n ≥ 0 определим классы ^O_n^±(c, d) (см. [15]) ядер операторов (1) и (2) и договоримся писатьK(·,·)≡K_n(·,·), если K(·,·)∈^On^±(c, d).

Сначала определим классы ^O_n⁺(c, d), n ≥ 0. Пусть Š_c,d = {(x, s) : c ≤ s ≤ x≤ d} и K⁺(·,·) — неотрицательная, измеримая и определенная на Š_c,d функция, неубывающая по первому аргументу. Функция K⁺(·,·) ≡ K₀⁺(·,·) принадлежит классу ^O₀⁺(c, d) тогда и только тогда, когда K₀⁺(·,·) имеет вид K₀⁺(x, s)≡v(s).

Пусть определены классы ^O_i⁺(c, d), i = 0,1, . . . , n−1, n ≥ 1. Функция K⁺(·,·) ≡ K_n⁺(·,·) принадлежит классу ^O_n⁺(c, d) тогда и только тогда, когда существуют функции K_i⁺(·,·) ∈ ^Oi⁺(c, d), i = 0,1, . . . , n−1, и число hn > 0 такие, что

K⁺(x, s)≡K_n⁺(x, s)≤hn

Xn i=0

K_n,i⁺ (x, t)K_i⁺(t, s) приc≤s≤t≤x≤d, где

K_n,i⁺ (x, t) = inf

c<s<t

K_n⁺(x, s)

K_i⁺(t, s), i= 0,1, . . . , n−1, K_n,n⁺ (·,·)≡1.

По определениюK_n⁺(x, s)≥K_n,i⁺ (x, t)K_i⁺(t, s),i= 0,1, . . . , n−1, приc≤s≤t≤ x≤d, поэтому

K_n⁺(x, s)≈ Xn i=0

K_n,i⁺ (x, t)K_i⁺(t, s), c≤s≤t≤x≤d, (10) где константы эквивалентности зависят отhn иn≥0.

Нетрудно видеть, что если для функции K⁺(·,·) существуют функции K_i⁺(·,·)∈^Oi⁺(c, d),i= 0,1, . . . , n−1, и функцииϕn,i(·,·)≥0,i= 0,1, . . . , n−1, измеримые и определенные наŠc,d, такие, что

K⁺(x, s)≈

n−X1 i=0

ϕn,i(x, t)K_i⁺(t, s) +K⁺(t, s)

при c ≤ s ≤ t ≤ x ≤ d, то K⁺(x, s) ≡ K_n⁺(x, s) ∈ ^On⁺(c, d). Поэтому далее K_n,i⁺ (x, t), i = 0,1, . . . , n−1, будем считать произвольными неотрицательными измеримыми и определенными наŠc,dфункциями, удовлетворяющими условию (10).

Пусть функция K⁻(·,·) определена, как выше, за исключением неубыва- ния по первому аргументу. Вместо него потребуем невозрастания по второму аргументу.

Определим классы^O_n⁻(c, d),n≥0. Они состоят из функций видаK⁻(x, s)≡ K₀⁻(x, s) = u(x). Пусть определены классы ^O_i⁻(c, d), i = 0,1, . . . , n−1, n≥1.

ФункцияK⁻(·,·)≡K_n⁻(·,·) принадлежит классу^O_n⁻(c, d) тогда и только тогда, когда существуют функцииK_i⁻(·,·)∈^Oi⁻(c, d),i= 0,1, . . . , n−1, и числоhn>0 такие, что

K⁻(x, s)≡K_n⁻(x, s)≤h_n Xn i=0

K_i⁻(x, t)K_i,n⁻ (t, s), c≤s≤t≤x≤d, где

K_n,n⁻ (·,·)≡1, K_i,n⁻ (t, s) = inf

t≤x≤d

K_n⁻(x, s)

K_i⁻(x, t), i= 0,1, . . . , n−1.

Как в (10), каждый класс ^O_n⁻(c, d),n ≥1, ядер K_n⁻(·,·) характеризуется соот- ношением вида

K_n⁻(x, s)≈ Xn i=0

K_i⁻(x, t)K_i,n⁻ (t, s), c≤s≤t≤x≤d, (11)

гдеK_i,n⁻(·,·),i= 0,1, . . . , n−1, можно считать произвольными неотрицательны- ми функциями, удовлетворяющими условию (11).

Ядра классов ^O₁⁺(c, d) и^O₁⁻(c, d) соответственно характеризуются соотно- шениями

K₁⁺(x, s)≈K_1,0⁺ (x, t)v(s) +K₁⁺(t, s), (12) K₁⁻(x, s)≈K₁⁻(x, t) +u(x)K_0,1⁻ (t, s) (13) при c ≤ s ≤ t ≤ x ≤ d, причем в (12) функция K₁⁺(x, s) неубывающая по первому аргументу, аK₁⁻(x, s) в (13) невозрастающая по второму аргументу.

Будем говорить, чтофункцияK^±(·,·)принадлежит^O_n^±(I),n≥0, если она принадлежит^O_n^±(c, d) для любого [c, d]⊂I.

Функцию K(·,·), удовлетворяющую условию (9), можно считать неубыва- ющей по первому аргументу и невозрастающей по второму аргументу, так как она эквивалентна функции, обладающей этими свойствами [16]. Поэтому из (9), (12) и (13) вытекает, что функция, удовлетворяющая условию (9), принадлежит

O

+

1 (I)∩^O1⁻(I).

Пусть функция K⁺(·,·) ≥ 0 определена и измерима на множестве Š⁺ = {(x, s) :a < x < b, α(x)≤s≤β(x)} и неубывающая по первому аргументу.

Для целогоn≥0 определим классы^O_n⁺(α, β(·), Š⁺). Класс^O₀⁺(α, β(·), Š⁺) состоит из функций вида K⁺(x, s) ≡ K₀⁺(x, s) = v(s) при (x, s) ∈ Š⁺. Пусть определены классы ^O_i⁺(α, β(·), Š⁺), i= 0,1, . . . , n−1,n≥1. ФункцияK⁺(·,·) принадлежит ^O_n⁺(α, β(·), Š⁺) тогда и только тогда, когда существуют опреде- ленные и измеримые на Ša,b ={(x, t) :a < t≤x < b} функции K_n,i⁺(x, t)≥0,

i= 0,1, . . . , n−1, и функцииK_i⁺(·,·)∈^Oi⁺(α, β(·), Š⁺),i= 0,1, . . . , n−1, такие, что

K⁺(x, s)≡K_n⁺(x, s)≈ Xn i=0

K_n,i⁺ (x, t)K_i⁺(t, s), K_n,n⁺ (·,·)≡1, (14) при

a < t≤x < b, α(x)≤s≤β(t), (15) где константы эквивалентности не зависят от x,t иs.

ФункциюK_n,i⁺ (x, t),i= 0,1, . . . , n−1, можно определить как K_n,i⁺ (x, t) = inf

α(x)≤s≤β(t)

K_n⁺(x, s)

K_i⁺(t, s) приa < t≤x < b.

Если в (14) и (15) заменимsнаβ(s), то получим, что включениеK⁺(x, s)∈

O

n+(α, β(·), Š⁺) эквивалентно условиюK⁺(x, β(s))∈^On⁺(△⁻(t)) для любогоt∈ I, где△⁻(t) = [β⁻¹(α(t)), t].

Пусть, теперь, функция K⁻(·,·) ≥ 0 определена, измерима на множестве

Š⁻ = {(x, s) : a < s < b, α(s) ≤x ≤β(s)} и невозрастающая по второму ар- гументу. Определим классы ^O_n⁻(α(·), β, Š⁻), n≥0 . К классу ^O₀⁻(α(·), β, Š⁻) отнесем все функции вида K⁻(x, s) ≡ K₀⁻(x, s) = u(x) при всех (x, s) ∈ Š⁻. Пусть определены классы^O_i⁻(α(·), β, Š⁻),i= 0,1, . . . , n−1,n≥1. Тогда функ- ция K⁻(·,·) принадлежит классу ^O_n⁻(α(·), β, Š⁻) тогда и только тогда, когда существуют функции K_i,n⁻(t, s), i = 0,1, . . . , n−1, определенные и измеримые на множестве Š_a,b, и функции K_i⁻(x, t) ∈ ^O_i⁻(α(·), β, Š⁻), i = 0,1, . . . , n−1, такие, что

K⁻(x, s)≡K_n⁻(x, s)≈ Xn i=0

K_i⁻(x, t)K_i,n⁻ (t, s), K_n,n⁻ (·,·)≡1, (16) при

a < s≤t < b, α(t)≤x≤β(s), (17) где константы эквивалентности не зависят от x,t иs.

Здесь функциюK_i,n⁻ (·,·),i= 0,1, . . . , n−1, можно определить как K_i,n⁻ (t, s) = inf

α(t)≤x≤β(s)

K_n⁻(x, s)

K_i⁻(x, t) приa < s≤t < b.

Если в (16) и (17) заменим x на α(x), то, как выше, видим, что условие K⁻(x, s)∈^On⁻(α(·), β, Š⁻) эквивалентно условиюK⁻(α(x), s)∈^On⁻(△⁺(t)) для любогоt∈I, где△⁺(t) = [t, α⁻¹(β(t))].

Приведем известные утверждения, необходимые при доказательстве основ- ных результатов. Из лемм 2.1 и 2.2 работы [7] следует

Лемма 1. Пусть1< p≤q <∞иa≤c < d≤b. Тогда для(Lp,ρ(α(c), β(d))

→Lq,w(c, d))-нормы операторов

H⁺f(x) =

β(x)Z

α(c)

f(t)dt, H⁻g(s) =

β(d)Z

α(s)

g(t)dt имеют место соотношения

kH⁺k ≈ sup

c<t<d



 Zd

t

w^q(x)dx





1 q



β(t)Z

α(c)

ρ^−p′(s)ds





1 p′

,

kH⁻k ≈ sup

c<t<d



 Zt

c

w^q(x)dx





1 q



β(d)Z

α(t)

ρ^−p′(s)ds





1 p′

.

Из теорем 5 и 6 в [15] вытекает

Лемма 2. Пусть1< p≤q <∞,a≤c < d≤bи ядро оператораK⁺f(x) = Rx

c

K(x, s)f(s)ds,x∈(c, d), принадлежит классу^O_n⁺(c, d)∪^On⁻(c, d),n≥1. Тогда оператор K⁺ : Lp,ρ(c, d) → Lq,w(c, d) ограничен тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий

B⁺₁ = sup

c<z<d



 Zd z

w^q(x)



 Zz

c

K^p′(x, s)ρ^−p′(s)ds





q p′

dx





1 q

<∞,

B⁺₂ = sup

c<z<d



 Zz c

ρ^−p′(s)



 Zd z

K^q(x, s)w^q(x)dx





p′ q

ds





1 p′

<∞,

при этом для(Lp,ρ(c, d)→Lq,w(c, d))-нормы оператораK⁺ имеет место соотно- шениеkK⁺k ≈B₁⁺≈B₂⁺.

Лемма 3. Пусть1< p≤q <∞,a≤c < d≤bи ядро оператораK⁻g(s) = Rd

s

K(x, s)g(x)dx,s∈(c, d), принадлежит классу^O_n⁺(c, d)∪^On⁻(c, d),n≥1. Тогда оператор K⁻ : Lp,ρ(c, d) → Lq,w(c, d) ограничен тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий

B₁⁻= sup

c<z<d



 Zz c

w^q(s)



 Zd z

K^p′(x, s)ρ^−p′(x)dx





q p′

ds





1 q

<∞,

B₂⁻= sup

c<z<d



 Zd z

ρ^−p′(x)



 Zz c

K^q(x, s)w^q(s)ds





p′ q

dx





1 p′

<∞,

при этом для (Lp,ρ(c, d) →Lq,w(c, d))-нормы kK⁻k оператораK⁻ имеет место соотношениеkK⁻k ≈B₁⁻≈B₂⁻.

§3. Основные результаты Положим

A⁺₁(z) = sup

y∈△⁻(z)



 Zz y

w^q(x)





β(y)Z

α(z)

K^p′(x, s)ρ^−p′(s)ds





q p′

dx





1 q

,

A⁺₂(z) = sup

y∈△⁻(z)





β(y)Z

α(z)

ρ^−p′(s)



 Zz y

K^q(x, s)w^q(x)dx





p′ q

ds





1 p′

,

A⁻₁(z) = sup

y∈△⁺(z)



 Zy z

w^q(s)





β(z)Z

α(y)

K^p′(x, s)ρ^−p′(x)dx





q p′

ds





1 q

,

A⁻₂(z) = sup

y∈△⁺(z)





β(z)Z

α(y)

ρ^−p′(x)



 Zy

z

K^q(x, s)w^q(s)ds





p′ q

dx





1 p′

,

A^±_i = sup

a<z<b

A^±_i (z), i= 1,2.

Напомним, что△⁺(z) = [z, α⁻¹(β(z))],△⁻(z) = [β⁻¹(α(z)), z].

Теорема 1. Пусть1< p≤q <∞. Если ядро оператора(1)принадлежит

O

n+(α, β(·), Š⁺)∪^On⁻(β⁻¹(·), α⁻¹, Š⁺),n≥1, то

(i)оператор(1) (L_p,ρ→L_q,w)-ограничен тогда и только тогда, когда выпол- няется условиеA⁺_i <∞хотя бы при одномi= 1,2, при этом для(Lp,ρ→Lq,w)- нормы оператора(1)имеет место соотношениеkK+k ≈A⁺₁ ≈A⁺₂;

(ii)оператор(1) (Lp,ρ→Lq,w)-компактен тогда и только тогда, когдаA⁺_i <

∞и lim

y→aA⁺_i (y) = lim

y→bA⁺_i (y) = 0хотя бы при одном i= 1,2.

Теорема 2. Пусть1< p≤q <∞. Если ядро оператора(2)принадлежит

O

n−(α(·), β, Š⁻)∪^On⁺(β, α⁻¹(·), Š⁻),n≥1, то

(i)оператор(2) (Lp,ρ→Lq,w)-ограничен тогда и только тогда, когда выпол- няется условиеA⁻_i <∞ хотя бы при одномi= 1,2, при этом для L_p,ρ→L_q,w нормы оператора(2)имеет место соотношениеkK₋k ≈A⁻₁ ≈A⁻₂;

(ii)оператор(2) (Lp,ρ→Lq,w)-компактен тогда и только тогда, когдаA⁻_i <

∞и lim

z→aA⁻_i (z) = lim

z→bA⁺_i (z) = 0хотя бы при одном i= 1,2.

Сначала докажем теоремы 3 и 4, которые являются частными случаями теорем 1 и 2 соответственно, а затем докажем теоремы 1 и 2.

Теорема 3. Пусть1< p≤q <∞. Если ядро оператора(1)принадлежит

O

n+(α, β(·), Š⁺),n≥1, то

(i)оператор(1) (Lp,ρ→L_q,w)-ограничен тогда и только тогда, когда выпол- няется условиеA⁺_i <∞хотя бы при одномi= 1,2, при этомkK+k ≈A⁺₁ ≈A⁺₂; (ii)оператор(1) (Lp,ρ→Lq,w)-компактен тогда и только тогда, когдаA⁺_i <

∞и lim

z→aA⁺_i (z) = lim

z→bA⁺_i (z) = 0хотя бы при одном i= 1,2.

Теорема 4. Пусть1< p≤q <∞. Если ядро оператора(2)принадлежит

O

n−(α(·), β, Š⁻),n≥1, то

(i)оператор(2) (Lp,ρ→L_q,w)-ограничен тогда и только тогда, когда выпол- няется условиеA⁻_i <∞хотя бы при одномi= 1,2, при этомkK₋k ≈A⁻₁ ≈A⁻₂; (ii)оператор(2) (Lp,ρ→Lq,w)-компактен тогда и только тогда, когдаA⁻_i <

∞и lim

z→aA⁻_i (z) = lim

z→bA⁺_i (z) = 0хотя бы при одном i= 1,2.

Доказательство теоремы 3. (i). Достаточность. Пусть A⁺_i < ∞ хотя бы при одномi= 1,2. Для доказательства (Lp,ρ →Lq,w)-ограниченности оператора (1) применим блочно-диагональный метод Батуева — Степанова.

Для фиксированногоt0∈I построим последовательность точек{tk}k∈Z⊂ I : tk+1 = α⁻¹(β(tk)), k ∈ Z, и положим △k ≡ △⁺(tk), δk = [τk, τk+1], где τk=α(tk) =β(t_k−1),k∈Z.

Из условий (i), (ii), наложенных на функции α(·) и β(·), следует, что I = S

k △k=S

k

δk. Тогда для функцииf ≥0 имеем

kwK+fk^qq= Zb a

w^q(x)





β(x)Z

α(x)

K(x, s)f(s)ds





q

dx

=X

k

Z

△k

w^q(x)





β(x)Z

α(x)

K(x, s)f(s)ds





q

dx. (18)

Так какα(t_k)≤α(x)≤α(t_k+1) =β(t_k)≤β(x)≤β(t_k+1) приx∈ △k, то

β(x)Z

α(x)

K(x, s)f(s)ds=

α(tZk+1) α(x)

K(x, s)f(s)ds+

β(x)Z

β(tk)

K(x, s)f(s)ds, x∈ △k. (19)

Следуя [1], рассмотрим операторы

T_k⁺f(x) =

α(tZk+1) α(x)

K(x, s)f(s)ds, T_k⁺:Lp,ρ(δk)→Lq,w(△k),

S_k⁺f(x) =

β(x)Z

β(tk)

K(x, s)f(s)ds, S_k⁺:Lp,ρ(δk+1)→Lq,w(△k).

Из (18) и (19) имеем kwK+fk^qq≈X

k

Z

△k

w^q(x) T_k⁺f(x)q

dx+X

k

Z

△k

w^q(x) S⁺_kf(x)q

dx

≤X

k

T_k^+q Z

δk

|ρf|^{p q}_p

+X

k

S_k^+q Z

δk+1

|ρf|^{p q}_p

≪max sup

k

T_k⁺,sup

k

S⁺_k q

kρfk^qp. Отсюда

kK+k ≪max sup

k

T_k⁺,sup

k

S_k⁺ , (20)

где T_k⁺ и S_k⁺ — нормы операторовT_k⁺ и S_k⁺ соответственно из L_p,ρ(δ_k) в L_q,w(△k) и изL_p,ρ(δ_k+1) вL_q,w(△k).

По условию ядроK(·,·) оператора (1) принадлежит^O_n⁺(α, β(·), Š⁺), поэто- му приx≥tk,α(x)≤s≤β(tk) =α(tk+1) в силу (14) и (15) имеем

K(x, s)≡Kn(x, s)≈ Xn i=0

Kn,i(x, tk)Ki(tk, s).

Следовательно, дляx∈ △k

T_k⁺f(x)≈ Xn i=0

T_k,i⁺f(x), (21)

где

T_k,i⁺f(x) =K_n,i(x, tk)

β(tZ k) α(x)

K_i(tk, s)f(s)ds, i= 0,1, . . . , n, K_n,n(·,·)≡1.

Из (21) имеемT_k⁺≤ Pⁿ

i=0

T_k,i⁺, гдеkT_k,ik— норма оператораT_k,i⁺ изL_p,ρ(δk) в L_q,w(△k). Так как операторыT_k,i⁺,i= 0,1, . . . , n, по сути, операторы Харди, то в силу леммы 1 получим

kT_kk ≪ Xn i=0

sup

z∈△k



 Zz tk

w^q(x)K_n,i^q (x, t_k)dx





1 q



β(tZk) α(z)

K_i^p′(t_k, s)ρ^−p′(s)ds





1 p′

≪ sup

z∈△k



 Zz tk

w^q(x)





β(tZk) α(z)

K^p′(x, s)ρ^−p′(s)ds





q p′

dx





1 q

≈ sup

z∈△k





β(tZk) α(z)

ρ^−p′(s)



 Zz tk

K^q(x, s)w^q(x)dx





p′ q

ds





1 p′

.

Отсюда

sup

k∈ZkTkk ≪ sup

a<y<b

sup

z∈△⁺(y)



 Zz y

w^q(x)





β(y)Z

α(z)

K^p′(x, s)ρ^−p′(s)ds





q p′

dx





1 q

≈ sup

a<y<b

sup

z∈△⁺(y)





β(y)Z

α(z)

ρ^−p′(s)



 Zz

y

K^q(x, s)w^q(x)dx





p′ q

ds





1 q

= sup

a<z<b sup

y∈△⁻(z)





β(y)Z

α(z)

ρ^−p′(s)



 Zz y

K^q(x, s)w^q(x)dx





p′ q

ds





1 q

=A⁺₂ ≈A⁺₁. (22) Оценим kS_kk, k ∈ Z. Величина kS_kk является наилучшей постоянной в неравенстве



 Z

△k

w^q(x)





β(x)Z

β(tk)

K(x, s)f(s)ds





q

dx





1 q

≤ kSkk Z

δk+1

|ρ(s)f(s)|^pds ¹_p

.

Здесь, произведя замену s =β(y) и полагая f(β(y))β^′(y) = g(y) с учетом δk+1= [β(tk), β(tk+1)], имеем



 Z

△k

w^q(x)



 Zx tk

K(x, β(y)g(y)dy





q

dx





1 q

≤ kSkk Z

△k

|ρ(y)g(y)˜ |^pdy ¹_p

,

где ˜ρ(y) =ρ(β(y))(β^′(y))^1−pp .

Из (14), (15) следует, как сказано выше, чтоK(x, β(y))∈^On⁺(△k), поэтому на основании леммы 2

kSkk ≪ sup

z∈△k





tZk+1

z

w^q(x)



 Zz tk

K^p′(x, β(y))(˜ρ(y))^−p′dy





q p′

dx





1 q

≈ sup

z∈△k



 Zz tk

(˜ρ(y))^−p′





tZk+1

z

K^q(x, β(y))w^q(x)dx





p′ q

dy





1 p′

.

Отсюда, произведя заменуβ(y) =s, имеем

kS_kk ≪ sup

z∈△⁻(tk+1)





tZk+1

z

w^q(x)





β(z)Z

α(tk+1)

K^p′(x, s)ρ^−p′(s)ds





q p′

dx





1 q

=A⁺₁(tk+1)≈A⁺₂(tk+1).

Тогда

sup

k∈ZkSkk ≪A⁺₁ ≈A⁺₂. (23)

Из (20), (22) и (23) следует

kK+k ≪A⁺₁ ≈A⁺₂. (24) Необходимость. Пусть kK+k < ∞ и z ∈ △⁻(t), t ∈ I. Из (Lp,ρ → L_q,w)-ограниченности оператора (1) следует (L_q^′_,w⁻¹ →L_p^′_,ρ⁻¹)-ограниченность сопряженного оператора

K^∗₊g(s) =

αZ⁻¹(s) β⁻¹(s)

K(x, s)g(x)dx. (25)

Положим g0(x) = χ_[z,t](x)w^q(x), тогда в силу локальной суммируемости функций w^q, w^−q′ имеем 0 < kw⁻¹g0kq^′ = kwkq,(z,t) = γ < ∞. Используя условия (14) и (15), получим

kK+k=kK^∗₊k ≥ kρ⁻¹K^∗₊g0kp^′

kw⁻¹g0kq^′

≥ 1 γ





β(z)Z

α(t)

ρ^−p′(s)





α⁻¹Z (s) β⁻¹(s)

K(x, s)g0(x)dx





p^′

ds





1 p′

≫ 1 γ





β(z)Z

α(t)

ρ^−p′(s)



 Zt z

K(x, s)g0(x)dx





p^′

ds





1 p′

≫ 1 γ





β(z)Z

α(t)

K_i^p′(z, s)ρ^−p′(s)ds





1 p′ Zt

z

K_n,i(x, z)w^q(x)dx, i= 0,1, . . . , n.

Следовательно,

β(z)Z

α(t)

K_i^p′(z, s)ρ^−p′(s)ds <∞, i= 0,1, . . . , n.

Поэтому зададим пробные функции в виде

fi(s)≡fi,t(s) =χ[α(t),β(z)](s)K_i^p′−1(z, s)ρ^−p′(s), i= 0,1, . . . , n.

Тогда

kρfikp=





β(z)Z

α(t)

K_i^p′(z, s)ρ^−p′(s)ds





1 p

, i= 0,1, . . . , n. (26)

Используя условия (14) и (15), имеем

kwK+fikq ≥



 Zt z

w^q(x)





β(x)Z

α(x)

K(x, s)fi(s)ds





q

dx





1 q

≥



 Zt z

w^q(x)





β(z)Z

α(t)

K(x, s)K_i^p′−1(z, s)ρ^−p′(s)ds





q

dx





1 q

≫



 Zt

z

K_n,i^q (x, z)w^q(x)dx





1 q β(z)Z

α(t)

K_i^p′(z, s)ρ^−p′(s)ds, i= 0,1, . . . , n. (27)

Тогда из (26) и (27) следует kK+k ≫

Xn i=0

kwK+f_ikq

kρf_ikp

≥ Xn i=0



 Zt z

K_n,i^q (x, z)w^q(x)dx





1 q



β(z)Z

α(t)

K_i^p′(z, s)ρ^−p′(s)ds





1 p′

≈



 Zt z

w^q(x)





β(z)Z

α(t)

K^p′(x, s)ρ^−p′(s)ds





q p′

dx





1 q

≈





β(z)Z

α(t)

ρ^−p′(s)



 Zt z

K^q(x, s)w^q(x)dx





p′ q

ds





1 p′

.

Откуда в силу произвольностиz∈ △⁻(t),t∈I, имеем

∞>kK+k ≫A⁺₁ ≈A⁺₂. (28) Из (24) и (28) получим, чтоkK+k ≈A⁺₁ ≈A⁺₂.

П. (i) теоремы 3 доказан.

(ii). Необходимость.Пусть оператор (1) (Lp,ρ→Lq,w)-компактен. Тогда он ограничен, следовательно, по утверждению п. (i)A⁺_i <∞,i= 1,2. Положим f¯_i,t(s) =_kρf^fi,t(s)

i,tkp,i= 0,1, . . . , n.

Пустьg∈L_p^′_,ρ⁻¹. Тогда Zb

a

g(s) ¯f_i,t(s)ds=

β(z)Z

α(t)

g(s) ¯f_i,t(s)ds≤





β(z)Z

α(t)

|ρ⁻¹g|^p′dt





1 p′

.

Так как z ∈ △⁻(t), из t → a (t → b) вытекаютz → a (z → b), α(t) → a (α(t)→b) иβ(z)→a(β(z)→b), то

tlim→a β(z)Z

α(t)

|ρ⁻¹g|^p′dt= lim

t→b β(z)Z

α(t)

|ρ⁻¹g|^p′dt= 0.

Следовательно, при каждом i = 0,1, . . . , n t-семейство функций ¯fi,t слабо сходится к нулю при t→aиt→b. Тогда lim

t→akwK+f¯i,tkq = lim

t→bkwK+f¯i,tkq= 0, i= 0,1, . . . , n, в силу (Lp,ρ→L_q,w)-компактности оператора (1).

Как в (27), имеем Xn

i=0

kwK+f¯_i,tkq≫ sup

z∈△⁻(t)

Xn i=0



 Zt z

K_n,i^q (x, z)w^q(x)dx





1 q

×





β(z)Z

α(t)

K_i^p′(z, s)ρ^−p′(s)ds





1 p′

≈A⁺₁(t)≈A⁺₂(t).

Поэтому lim

t→aA⁺_i (t) = lim

t→bA⁺_i (t) = 0,i= 1,2.

(ii). Достаточность. ПустьA⁺_i <∞ и lim

t→aA⁺_i (t) = lim

t→bA⁺_i (t) = 0 хотя бы при одном i = 1,2. Из условия A⁺_i < ∞ в силу утверждения (i) опера- тор (1) (Lp,ρ → L_q,w)-ограничен. Пусть a < c < d < b. Рассмотрим оператор χ_[c,d]K+f(x)≡χ_[c,d](x)K+f(x). Операторχ_[c,d]K+ ограничен изL_p,ρ вL_q,w, но действие его изL_p,ρвL_q,wравносильно действию изL_p,ρ(α(c), β(d)) вL_q,w(c, d).

Из A⁺_i <∞следует, что



 Zd c





β(d)Z

α(c)

w^p′(x)K^p′(x, s)ρ^−p′(s)ds





q p′

dx





1 q

<∞.

Следовательно (см. [17, теорема 6.3]), оператор χ_(c,d)K+ компактен из L_p,ρ(α(c), β(d)) в L_q,w(c, d), это равносильно его (Lp,ρ → L_q,w)-компактности.

Тогда

kK+−χ_[c,d]K+k ≤ kχ_(a,c)K+k+kχ_(d,b)K+k, (29) где k · k — норма указанных операторов из Lp,ρ в Lq,w. Ядро χ_(a,c)(x)K(x, s) (χ_(d,b)(x)K(x, s)) оператора χ_(a,c)K+ (χ_(d,b)K+) удовлетворяет условию (14) и (15), стало быть, по утверждению (i)

kχ_(a,c)K+k ≪ sup

a<z<cA⁺_i (z), kχ_(d,b)K+k ≪ sup

d<z<b

A⁺_i (z), i= 1,2. (30)

Согласно (29), (30) оператор (1) является равномерным пределом компакт- ных операторовχ_[c,d]K+ приc→a, d→b. Следовательно, он компактен.

Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Докажем достаточность утверждения (i).

Остальное доказывается, как в теореме 3.

ПустьA⁻_i <∞хотя бы при одномi= 1,2. Применяя блочно-диагональный метод Батуева — Степанова дляg≥0, получим представление

kwK₋gk^qq≈X

k

Z

△k

w^q(s)(T_k⁻g(s))^qds+X

k

Z

△k

w^q(s)(S_k⁻g(s))^qds.

Отсюда, как в теореме 3,

kK₋k ≪max{sup

k kT_k⁻k,sup

k kS⁻_kk}, (31)

где

T_k⁻g(s) =

β(tZk) α(s)

K(x, s)g(x)dx, T_k⁻:L_p,ρ(δk)→L_q,w(△k),

S_k⁻g(s) =

β(s)Z

α(tk+1)

K(x, s)g(x)dx, S_k⁻:L_p,ρ(δ_k+1)→L_q,w(△k).

По условию теоремы ядро K(·,·) принадлежит ^O_n⁻(α(·), β, Š⁻), поэтому в силу (16) и (17) при s∈ △k иα(t_k+1)≤x≤β(s) имеет место соотношение

K(x, s)≡Kn(x, s)≈ Xn i=0

Ki(x, tk+1)Ki,n(tk+1, s).

Поэтому дляs∈ △k имеем

S_k⁻g(s)≈ Xn i=0

K_i,n(tk+1, s)

β(s)Z

α(tk+1)

K_i(x, tk+1)g(x)dx= Xn i=0

S_k,i⁻g(s),

где

S_k,i⁻g(s) =Ki,n(tk+1, s)

β(s)Z

α(tk+1)

Ki(x, tk+1)g(x)dx, i= 0,1, . . . , n.

Отсюда kS⁻_kk ≪ Pⁿ

i=0kSk,ik, гдеkSk,ik — норма оператораS_k,i⁻,i= 0,1, . . . , n, из L_p,ρ(δk+1) в L_q,w(△k). Так как все S_k,i, i = 0,1, . . . , n, являются операторами Харди, в силу леммы 1

kS_k⁻k ≪ Xn

i=0

sup

z∈△⁻(tk+1)





tZk+1

z

w^q(s)K_i,n^q (t_k+1, s)ds





1 q

×





β(z)Z

α(tk+1)

K_i^p′(x, t_k+1)ρ^−p′(x)dx





1 p′