О ГРУППЕ С ЦЕНТРОМ ИНДЕКСА БОЛЬШЕ ДВУХ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Студенттер мен жас ғалымдардың

«Ғылым және білім - 2014»

атты IX Халықаралық ғылыми конференциясының БАЯНДАМАЛАР ЖИНАҒЫ

СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ

IX Международной научной конференции студентов и молодых ученых

«Наука и образование - 2014»

PROCEEDINGS

of the IX International Scientific Conference for students and young scholars

«Science and education - 2014»

2014 жыл 11 сәуір

Астана

УДК 001(063) ББК 72

Ғ 96

Ғ 96

«Ғылым және білім – 2014» атты студенттер мен жас ғалымдардың ІХ Халықаралық ғылыми конференциясы = ІХ Международная научная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование - 2014» = The IX International Scientific Conference for students and young scholars «Science and education - 2014».

– Астана: http://www.enu.kz/ru/nauka/nauka-i-obrazovanie/, 2014. – 5830 стр.

(қазақша, орысша, ағылшынша).

ISBN 978-9965-31-610-4

Жинаққа студенттердің, магистранттардың, докторанттардың және жас ғалымдардың жаратылыстану-техникалық және гуманитарлық ғылымдардың өзекті мәселелері бойынша баяндамалары енгізілген.

The proceedings are the papers of students, undergraduates, doctoral students and young researchers on topical issues of natural and technical sciences and humanities.

В сборник вошли доклады студентов, магистрантов, докторантов и молодых ученых по актуальным вопросам естественно-технических и гуманитарных наук.

УДК 001(063) ББК 72

ISBN 978-9965-31-610-4 © Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық

университеті, 2014

2161

2. Темиргалиев Н., Кудайбергенов С.С., Шоманова А.А. Применения квадратурных формул Смоляка к численному интегрированию коэффициентов Фурье и в задачах восстановления // ИзвВУЗов. Математика. – 2010. – №3. – С.52-71.

УДК 512.54

О ГРУППЕ С ЦЕНТРОМ ИНДЕКСА БОЛЬШЕ ДВУХ Сарсембаева Галия Абаевна

galiya2810@mail.ru

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар, Казахстан Научный руководитель – И.И. Павлюк

В работе [1] дано описание черниковских групп с конечными классами сопряженных элементов. Такие группы конечны над центром. Возник вопрос: может ли в группе с нетривиальным центром центр иметь индекс два? В этом случае факторгруппа по центру будет обладать элементами порядка два (инволюциями). В теории групп группы с инволюциями занимают особое положение (это, в частности, простые группы). Группы с инволюциями требуют особого рассмотрения. В работе установлено, что в группе с нетривиальным центром центр может иметь индекс превосходящий число два.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть aⁿ есть наименьшая положительная степень элемента a группы G, равная нейтральному элемента G, то есть: 1) aⁿ е,n0, 2) если a^k е,k 0, то kn. В этом случае говорят, что есть элемент a конечного порядка, а именно порядка n [2, с. 26].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Каждая группа, все элементы которой имеют конечный порядок, называется периодической [2, с. 27].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. С каждой подгруппой H группы G можно связать множества



h h H G



H    

 , , которые называются левыми смежными классами группы G по подгруппе H. Аналогично определяется H- правый смежный класс [2, с. 51].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Число смежных классов в каждом из разложений группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы в группе G. Если число смежных классов, конечно, то H называется подгруппой конечного индекса. [2, с. 53].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Подгруппы, относительно которых левые и

правые смежные классы совпадают, называются нормальными делителями группы G [3, с. 29].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Говорят, что группа удовлетворяет условию минимальности (для подгрупп), если всякая убывающая цепочка ее подгрупп H₁ H₂ ... обрывается на конечном шаге, то есть H_n H_n1 ... при некотором n. Очевидно, всякая группа с условием минимальности - периодическая, поскольку бесконечная циклическая группа не удовлетворяет этому условию [3, с. 172].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Подгруппа, порожденная одним элементом a, называется циклической [3, c. 26].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Всякое конечное расширение прямого произведения квазициклических групп, взятых в конечном числе, будем называть черниковской группой [4, с. 173].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Множество тех элементов из H, которые перестановочны с M поэлементно, то е с т ь ^CH(^M)



^{x x}^H,^mx ^m,^m^M



называется централизатором множества M в подгруппе H и является нормальной подгруппой нормализатора N_H(M). Если M состоит из одного элемента, то его нормализатор и централизатор в H совпадают [4, с. 33].

2162

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Централизатор всей группы G называется ее центром и обозначается Z(G) [3, с. 33].

ТЕОРЕМА. Если нетривиальная произвольная группа Gобладает центром Z(G), то его индекс |G:Z(G)| в группе G превосходит число два.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что индекс центра Z(G) группы G в группе G равен 2, т.е. |G:Z(G)|=2. Очевидно, G имеет представление GZ(G)aZ(G)и будем полагать она нетривиальна, где элемент aG\Z(G). Так как факторгруппа G\Z(G) имеет порядок два, то она циклическая. Отсюда следует, что коммутант Gгр({[a,b]}), порожденный всевозможными коммутаторами [a,b]a^1b^1ab, где a,bG, содержится в центре, т.е. G^` Z(G)[4].

Докажем, что GZ(G). Предположим , что существует элемент xZ(G)\G'. Поскольку (gG)(aZ(G))^g aZ(G), что следует из разложения GZ(G)aZ(G) ,то

)) (

(zZ G (a^zg^z az₁). Отсюда a^g az₁z^1 az₂, где z₂  z₁z^1. Отсюда следует, что элементы смежного класса aZ(G)группыG по центру сопряжены между собой. Поскольку для элемента aG\Z(G)выполнено соотношение aG', то элемент a сопряжен с элементом ax, т.е. в G существует элемент gG такой что a^gx^g a. Отсюда

 

^g

g x

a

a^1  ^1 и (x^1)^g G'. Поскольку коммутант группы G является ее нормальным делителем, то ( ) '

1

1 g G

x ^g 



 и x^1G', xG'. Мы предполагали что xG'. Противоречие.

Таким образом, Z(G)G'.

Отсюда следует, что коммутант G' собственная подгруппа индекса два: С другой стороны фактор группы GG/Z(G) циклическая группа порядка два, порожденная элементом смежным классом aZ(G). Возьмем x₁yG. Эти элементы лежат в некоторых смежных классах (aZ(G))^k(aZ(G))^e, значит xa^kz₁, ya^ez₂, где z ,z Z(G). Рассмотрим произведение xy a^kz₁a^ez₂ a^ka^ez₁z₂ a^kez₁z₂ a^ekz₂z₁ a^ea^kz₂z₁a^ez₂a^kz₁ yx.

Таким образом, xy yx и группа G абелева. Отсюда коммутант G' группы G равен }

{

' e

G . Так как Z(G)G', то Z(G){e}. Таким образом, группа G тривиальна.

Противоречие.

Теорема доказана.

Примером групп с нетривиальным центром могут служить 2-группа порядка 8:

} , , , , ,

{ ₁ ^{2 3 2 3}

8 ea a a b aba b a b

G  с генетическим кодом a⁴ b⁴ e;baa³b. У этой группы )

(

' Z G

G , но |G:Z(G)|4. Он, естественно, больше двух.

Список использованных источников

1. Сарсембаева Г.А. О черниковских группах // Сборник докладов III Республиканской студенческой научно-практической конференции по математике, механике и информатике (7-8 апреля 2011 г.). – Астана, 2011. – С. 140-141.

2. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967. – 648 с.

3. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. – Москва:

Наука, 1978. – 212 с.

4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.М. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982. – 248 с.

УДК 512.5

РАСЧЕТ РИСКОВ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ КАЗАХСТАНА В СТРАХОВАНИИ АВТОМОБИЛЕЙ