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ฟงกชันหลายตัวแปร 1

2301116 ก II ก !"

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ก/ n = 2 % &%& ก (x, y)

ก/ n = 3 % &%& ก (x, y, z)

#$!0"% ก $ก#$*, $ ก %

f(x) = x² f(x, y) = x² + y² f(x, y, z) = x³ + xy - z²

ℝ ℝⁿ

ℝⁿ=ℝ×ℝ×⋯×ℝ



n

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*ก &ก 1, #0&'#$%& *,ก $! #$%&+%2 *3

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f:D → %&+ D ⊆ ' u = f(x₁,x₂,...,x_n) % %ก x₁,x₂,...,x_n

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1. #$%&'(ก f(x, y) = x/y

2. ก $*, #$%&'(ก f (,&$ / %!/#$%&

fx , y=



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ℝ ℝⁿ

ก !" 5

ก ก !"

f:D → %&+ D ⊆ % %ก 0$,*'ก(ก$4 ก*")&

&& #$ z = f(x, y) % f(x, y) = 8 – 2x – y.

ℝ ℝ²

ก !" 6

ก ก ก !"

ก ก !"f x , y=x²3 y²e^x

2y²

ก !" 7

*, P(x₀, y₀) %"-$*")&&

*, (x, y) %"-$ % &'' '! $ (x, y) 0"$ (x₀, y₀) !

%2 ก&%"5$26&$7ก A(a, b) '&7& r + B(A; r) =

% ก !! A %"-$) * S ก. %&+&%2 ก&%"5$ B(A; r) 26%"-

%2 S

% ก !! A %"-$ S ก. %&+ ก %2 ก&%"5$ B(A; r)

&$ ,6$* S '& ,6$0&* S

$) *'$

∥x , yx_0,y₀∥=



^{xx02yy02}

{x , y∈ℝ²:∥x , ya , b∥r}

ก !" 8

% ก !! A %"-$& S ก. %&+ ก%2 ก&%"5$ B(A; r),

1. ( / ! $ 0"8%"-$) * $+$& %2

(0, 0)

(2, 2)

(1, 2)

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^{BA ; r{A}}^∩S≠∅

S={x , y: 1x2, 1y2}

ก !" 9

*, f %"-ก ก D 0" #$ D & S

*, (x₀, y₀) %"-$& S % ก !! f(x, y) && %"- ! L %&+

(x, y) %, *ก, (x₀, y₀) %2 S

ก. %&+ ' ε > 0 ก $*,'& δ > 0 26 *,

| f(x, y) – L | < ε ก 9 (x, y) * S 26 ||(x, y) – (x₀, y₀)|| < δ

*ก/ S % ก D % %%(

& & 4.2.1

lim

x , y x_0,y₀ on S

fx , y=L

lim

x , y x_0,y₀

f x , y=L ℝ

ก !" 10

L ( )

ε (x,y)

f

D

(a,b)

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1, ,! ก S 26%"-%2 #$%& D

' (x₀, y₀) %"-$& S % 0$,!

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f(x, y) ,0&&& $$ก ! 1. $! & 0"80&&

,%ก & &

lim

x , y x_0,y₀ on S

f x , y=L lim

x , y x_0,y₀ fx , y=L

lim

x , y 0, 0

x²y²

x²y², lim

x , y0, 0

x y

x²y², lim

x , y 0, 0

x y² x²y⁴

*, f ' g %"-ก ก D 0" *")&& ' (x₀, y₀) %"-$

& D '*, c %"- !*$ 9 '0$,!

1, f(x, y) = c ก (x, y) *#$%& D ,!

1, f(x, y) = x ก (x, y) *#$%& D ,!

1, f(x, y) = y ก (x, y) *#$%& D ,!

:;< 4.2.1

lim

x , y x_0,y₀ f x , y=y0

lim

x , y x_0,y₀

f x , y=c

lim

x , y x_0,y₀ fx , y=x0

ℝ

ก !" 13

*, ' '0$,!

:;< 4.2.1 ( )

lim

x , y x_0,y₀

f x , y=A lim

x , y x_0,y₀ fx , ygx , y=AB lim

x , y x_0,y₀

fx , ygx , y=AB lim

x , y x_0,y₀ fx , y×gx , y=A B lim

x , y x_0,y₀

fx , y gx , y=A

B B≠0

lim

x , y x_0,y₀

∣f x , y∣=∣A∣ lim

x , y x_0,y₀^{f x , y=}^A A0 lim

x , y x_0,y₀gx , y=B

ก !" 14

1. & 0"8

#ก &

lim

x , y 3, 4

2 xy



^{x2y2 x , ylim 2,1 y}



^x23y

lim

x , y 1, 1

y²xy²

xyy lim

x , y 0,0e^2xy lim

x , y 0, 0

xyxy

y lim

x , y 0,0

e^xcos xsin y

ก !" 15

ก $*, f(x, y), g(x, y) %"-ก26

& !!ก M ' δ 26 | f(x, y) | < M

ก (x, y) *#$%& f 0 < || (x, y) - (x₀, y₀)|| < δ

&

'0$,!

2. &

:;< 4.2.2

lim

x , yx_0,y₀gx , y=0 lim

x , y x_0,y₀ fx , ygx , y=0 lim

x , y 0, 0

x²y

x²y²=0, lim

x , y0, 0

x³y³ x²y²=0

ก !" 16

*, f ' g %"-ก ก D 0" *")&& ' (x₀, y₀) %"-$*

% ก !! f &! & %+$ (x₀, y₀) ก. %&+

f(x₀, y₀) 0$,

0$,

S %"-%2 #$%& f %+ S ก. %&+ f %+ก$* S

& 4.2.2

lim

x , yx_0,y₀

fx , y lim

x , y x_0,y₀ fx , y=fx0,y0 ℝ ℝ²

ก !" 17

*, f ' g %"-ก&! & %+$ (x₀, y₀) ' c %"- !

ก f+g, f-g, cf, fg ' | f | &! & %+$ (x₀, y₀)

1, g(x₀, y₀) ≠ 0 0$,! ก f/g &! & %+$ (x₀, y₀)

,%ก ก( & !"กก&! & %+ก$*

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3. ( / ! ก 0"8 %+$*$

:;< 4.2.3

fx , y=

∑

i=0 m

∑

j=0 n

c_{i j}xⁱy^j

fx , y=

x²y²

x²y² x , y≠0, 0

0 x , y=0, 0

ก !" 18

*, f:D₁→ ' g:D₂→ #$( f %"-%2 D₂ ก

"'ก f ' g %$,! g ○ f &#$

g ○ f(x, y) = g(f(x, y))

1, f:D₁→ ' g:D₂→ #$( f %"-%2 D₂ 1, f &

! & %+$ (x₀, y₀) ' g &! & %+$ f(x₀, y₀) ,!'0$,!

g ○ f &! & %+$ (x₀, y₀)

4. ( / ! ก 0"8 %+$*$

& 4.2.3 ':;< 4.2.4

f₁x , y=sin x²y , f₂x , y=e^xy

xy , f₃x , y=



^xy2

ℝ ℝ

ℝ ℝ

1. $! f &! & %+%2 S ก $*, 0"8

2. ( / ! f &! & %+$ (0, 0) +0&

#! & %+

f₁x , y=sinx²y, S=ℝ²

f₂x , y=lnxy1, S={x , y∣xy1} f₃x , y=e^xy

xy , S={x , y∣xy≠0}

f₄x , y=

{

^{1xxyy x , yx , y≠0, 0=0, 0}

}