习题课 多元函数微分学

第九章

习题课

一、 基本概念

二、多元函数微分法

三、多元函数微分法的应用

多元函数微分法

一、 基本概念

连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性

1. 多元函数的定义、极限 、连续

• 定义域及对应规律

• 判断极限不存在及求极限的方法

• 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系

思考与练习

1. 讨论二重极限

y x

y x

xy 

 00

lim

解法 1

1 0 lim _{1 1}

00 

 



x y y

原式 x

解法 2 令y  kx, 0 lim 1

0 

 

 k

x k 原式 x

解法 3 令

, sin ,

cos



y r



r

x  

sin 0

lim cos 

 









原式 r

时 , 下列算法是否正确

?

分析 :

y x

y x

xy 

 00

解法 lim 1

1 0 lim _{1 1}

00 

 



x y y

x

解法 2 令y  kx, 0 lim 1

0 

 

 k

x k 原式 x

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况 ,

此法排除了沿曲线趋于原点的情况 .





时 例如 y  x²  x 1

lim ₂

2 3

0   

  x x x

原式 x

此时极限为 1 .

第二步 未考虑分母变化的所有情况 , 例如, y  _x^x_1时, ¹_y  ¹_x  1,

解法 3 令x  r cos



, y  r sin



, sin 0 cos

sin lim cos

0 

 



 





r

原式 r

此法忽略了 _的任意性 ,



时 当r  0,



  ^π₄

) sin(

2

sin cos

sin cos

sin cos

π4















 



r

r 极限不存在 !

由以上分析可见 , 三种解法都不对 , 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .

特别要注意 , 在某些情况下可以利用极坐标求极限 , 同时还可看到 , 本题极限实际上不存在 .















 

0 ,

0

0 ,

) ) (

, (

2 2

2 2

32 2 2

2 2

y x

y x

y x

y x y

x f

提示 : 利用 2xy  x²  y²,

12 2

2 )

4( ) 1

,

(x y x y

f  

) 0 , 0 ( 0

) , ( lim

00 f x y f

xy  





故 f 在 (0,0) 连

续又因; f (x,0)  f (0, y)  0, 所以 f_x (0,0)  f _y (0,0)  0 知

在点 (0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .

2. 证明 :

而  f _(0,0) 

, 0

0， 时

当x  y 

2 2

) 0 , 0 (

) (

)

( x y

f









2 2 2

2 2

] ) (

) (

[

) (

) (

y x

y x









 

0

所以 f 在点 (0,0) 不可微

!

32 2 2

2 2

] ) (

) (

[

) (

) (

y x

y x











例 1. 已知

求出 的表达式f (x, y) . 解法 1 令u  x  y ,

) , (u v

 f  uv   (u)

即 f (x, y)  xy  (x)

, )

0 ,

(x x

f 



) 1 (

) ,

(x y  x y  f

解法 2 _ f (x  y, x  y)  (x  y)(x  y)  (x  y) )

( )

,

(x y x y x

f  

 _{以下与解法 1 相同 .} ,

) (

) ,

( x y x y x² y² x y

f      

, )

0

(x x

f ， 

）

（

）

（u v y u v x  ₂¹  ,  ¹₂ 

则

x x 

 ( )

且 ,

y x

v  

) ( )

( )

( ^{2 1}₄ ²

41 u  v  u  v  u



二、多元函数微分法

显示结构

1. 分析复合结构 隐式结构 ⁽ 画变量关系图 )

自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个 数自变量与因变量由所求对象判定

2. 正确使用求导法则

“ 分段用乘 , 分叉用加 , 单路全导 , 叉路偏导”

注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性

例 2. 设 其中 f 与 F 分别 具

, 0 )

, , ( ,

)

(  

 x f x y F x y z z

解法 1 方程两边对 x 求导 , 得



 x

z d d

) 0 (x f  F₃  F₂  x 

z d d

 F1

 x f  F₃  F₂

 1

3

2 F

F f

x  

^{2 1}

F F

f x f

f

x     



2 2

1 f x F f f F F

x        有一阶导数或偏导数 ,

求

f x x f

z x

f y

x     

 d

d d

d

1 3

2 d

d d

d F

x F z

x

F y     



f x f  ) d 1 d

( x

 y

d . d

x z

  x F y

d d

2 0

d d

3  x F z

(1999 考 研 )

解法 2

0 )

, , ( ,

)

(  

 x f x y F x y z z

方程两边求微分 , 得

化简

消去 即可得dy . d d

x z

y F₂ d

  F₃d z  0 y

f x d

  d z  0 )

d (d

d

d z  f x  x f  x  y 0 d

d

d _{2 3}

1 x  F y  F z  F

x f

x

f )d

(  

x F₁ d

例 3.

设 u  f (x, y, z) _{有二阶连续偏导数 , 且}z  x² sin t, ,

) ln(x y

t   _求 , .

2

y x

u x

u











解 :

u z y x

t x

y x

 

 x

u f₁ f₃ (2x sint  x² cost )

 





y x

2u

 

f12 f₁₃ ( x² cost )

 f₃₃  1 )

cos ( ²

y t x

x   cos )

sin 2

( ²

y x

t t x

x  





 

 f₃

y t x

x  1 cos

2 ² ₂

) (

y x x

  sin t  ^x_^1y (x  y)  cost 1

 y

x 

 1

y x 

 1

 

 

 f32

练习题

1. 设函数 f 二阶连续可微 , 求下列函数的二阶偏导 数 .

2

y x

z







) ,

( )

3 (

) (

) 2 (

) (

) 1 (

2 2 2

x x y

f z

x x y

f z

x f y

x z









2. P130 题 12

解答提示 :

: ) (

) 1 (

2

x f y

x z 

: ) (

) 2 (

2

x x y

f

z  

x y x

f y y x

z 2

) (

2 

 





x f y

y

z   2





x f y x

f y x

y    



 2 2 (1 )

2 2 2

x f

y 



 2 ₂³

f y 

 2

 





y x

2z

 





y x

2z

 

f y

2 ( ₂² )

x

 y

x f

y 

2 (1 ₂² ) x

 y

 

 f  x

y

2

2 第 1 题

 



 





2 2

2 2

x f y y

x

z 2 ( ) x

y

f21 ₂² f₂₂ x

y 

 :

) ,

( )

3 (

2

x x y

f z 

2

2 f x

y y

z  





x u v

x v u



 



  P130 题 12

设 x  e^u cosv, y  e^u sin v, z  uv, 求

y z x

z







 ,

z v u

y x y x x

z





得 由 x  e^u cosv, y  e^u sin v ,

得 由z  uv,

v v

u v

x e^u cos d e^u sin d

d  

提示 :

v v

u v

y e^u sin d e^u cos d

d  

① y

u v y

v u



 



  y z



 ②

利用行列式解出 du, dv ：

v v

v v

v y

v x

u

u u

u u

u u

cos e

sin e

sin e

cos e

cos e

d

sin e

d

d 





x u





y

x d

d 

 e^u cosv e^u sin v y

u





代入①即得 _^_x^{z ;} x

v





y x

v d d

d   e^u sin v e^u cosv y v





x v x

u







 及 将

代入②即得 ^{z .} v

u 

 及 将

t t d

y t x

z x x

y

x ^{  }



^

0

e sin ,

2 e

) , ,

(x y z f

u  _{有连续的一阶偏导数} , )

(x y

y  _及 z  z(x) _{分别由下两式确定}

求 . d d

x u

又函数

答案 : _{1 2}

 

₃

) sin(

) (

1 e d

d f

z x

z f x

x f y

x

u ^x 



 

 





( 2001 考研 ）

3. 设

三、多元函数微分法的应用

1. 在几何中的应用

求曲线在切线及法平面( 关键 : 抓住切向量 ) 求曲面的切平面及法线 ( 关键 : 抓住法向量 ) 2. 极值与最值问题

• 极值的必要条件与充分条件

• 求条件极值的方法 ( 消元法 , 拉格朗日乘数法 )

• 求解最值问题

3. 在微分方程变形等中的应用

• 最小二乘法

例 4. 在第一卦限作椭球面 ₂ 1

2 2

2 2

2   

c z b

y a

x 的切平面 ,

使其在三坐标轴上的截距的平方和最小 , 并求切点 . 解 : 设 ( , , ) ₂ 1,

2 2

2 2

2   

 c

z b

y a

z x y x

F _切点为 M (x₀, y₀, z₀),

则切平面的法向量为

2 ,

20

a

 x



  2 ,

20

b

y 

20

2 c

z M

即   z  c

y z b

x y a

x

02 20

02 ₂ 1

02 2

02 2

02   

c z b

y a

1 x 切平面方程

0 )

2 (

20  0 

 z z

c ) z

2 (

20 y y0

b

y 

 ) 2 (

20 x x0

a

x 

) ,

,

(F_x F_y F_z n 

问题归结为求



²



²



²



²



²



²

z c y

b x

s  a  

在条件 ₂²  ₂²  ₂² 1 c

z b

y a

x 下的条件极值问题 . 设拉格朗日函数



²



²



²



²



²



²

z c y

b x

F  a   



 



 



  ₂ 1

2 2

2 2

2

c z b

y a

 x

) 0 ,

0 ,

0

(x  y  z 

切平面在三坐标轴上的截距为 ,

0 2

x

a ,

0 2

y b

0 2

z c



²



²



²



²



²



²

z c y

b x

F  a   



 



 



  ₂ 1

2 2

2 2

2

c z b

y a

 x 令 2



²



₂²

x a x

F_x   a  2 ₂  0 a

 x

 

2 0

2 _{2 2}

2

2  



 b

y y

b y

F_y b 

 

^{2 0}

2 ² ₂²  ₂ 



 c

z z

c z

F_z c 

2 1

2 2

2 2

2   

c z b

y a

x

c b

a

a x a



 

c b

a

b y b



 

c b

a

c z c



 

由实际意义可知 



 









 





c b

a

c c c

b a

b b

c b

a

a

M a , ,

为所求切点 .

唯一驻点

例 5. _{求旋转抛物面} z  x²  y² _与平面 之间的最短距离 .

解 : 设

2 6 2

1   

 x y z

d

为抛物面 上任一点，则 P )

, ,

(x y z

P z  x²  y²

的距离为 0

2

2  



 y z x

问题归结为

(min) )

2 2

(x  y  z  ² 约束条件 : x²  y²  z  0 目标函数 :

2 2 



 y z x

作拉氏函数

2 2

2   







 

到平面

) (

) 2 2

( )

, ,

(x y z x y z ² z x² y²

F        

8. , 1

4 , 1

4

1  

 y z

x 令

2

2 y

x

z  

解此方程组得唯一驻点

0 2

) 2 2

(

2     

  x y z y

F_y 

0 )

2 )(

2 2

(

2      

  x y z 

F_z

0 2

) 2 2

(

2     

  x y z x

F_x 

由实际意义最小值存在 ,

4 2 1 4

1 4

1 6

min  1   

d 4 6

 7 故

上求一点 , 使该点处的法线垂直 于

练习题：

1. 在曲面z  xy

, 0 9

3   

 y z

x 并写出该法线方程 .

提示 : 设所求点为(x₀, y₀, z₀) , _{则法线方程为}

0 0

0 y y z z

x

x 

 

 

利用 1

1 3

1

0

0  x   y

得 x₀  3 , y₀  1, z₀  3 平面

y0 x₀ 1

0 0

0 x y

z 

法线垂直于平面 点在曲面上

2. 在第一卦限内作椭球面 ₂²  ₂²  ₂² 1 c

z b

y a

x 的切平面

使与三坐标面围成的四面体体积最小 , 并求此体积 . 提示 : 设切点为(x₀, y₀, z₀),

) 1

( ₂

2 2

2 2

2   



 c

z b

y a

z x y x

F 

用拉格朗日乘数法可求出(x₀, y₀, z₀ ) .

则切平面为

所指四面体体积

2 1

0 2

0 2

0   

c z z b

y y a

x x

0 0 0

2 2 2

6 1

z y x

c b V  a

V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大

, 故取拉格朗日函数

( 见例 4)

3. 设 f (x, y), (x, y)_{均可微 ,}

在约束条件 (x, y)  0且下的一个极值点

, (A) 若 f_x(x₀, y₀)  0,则 f_y(x₀, y₀)  0 , 0 )

,

( 

_y x y

 _{已知 (x0, y0) 是 f (x, y)}

下列选项正确的是 ( ) 0

) ,

( ,

0 )

, ( )

(B 若 f_x x₀ y₀  则 f_y x₀ y₀  0 )

, ( ,

0 )

, ( )

(C 若 f_x x₀ y₀  则 f_y x₀ y₀  0 )

, ( ,

0 )

, ( )

(D 若 f_x x₀ y₀  则 f_y x₀ y₀  提示 : 设F  f (x, y)  (x, y),

0 )

, ( )

,

(   

 

 f x y x y

F_{x x} _x

0 )

, ( )

,

(   

 

 f x y x y

F_{y y} _y

()

, 0 )

,

( _{0 0} 

_y x y

 ⁽₍ ^,_{, )}⁾,

0 0

0 0

y x

y x f

y

y

   _^

 _{代入 () 得}

D

(2006 考研 )

作业

P129 5 ， 6 ， 10 ，

15 ， 17