复变函数第13讲

(1)

1 第

六章共形映射

§6.4 几个初等函数构成的映射

§6.4 几个初等函数构成的映射

一、幂函数

二、指数函数

三、综合举例

(2)

2 第

六章共形映射

n, z w 

一、幂函数

( n  2 整数 )

e

ⁱⁿ^, rn

w  则有

e

ⁱ^, r z  令

1. 映射特点

zn

w 

n w z 

. arg

,

|

|w  rⁿ w  n 即

R Rⁿ

π n₀ 2

0 

 ²_n^π

幂函数扩大顶点在原点的角形域 ( 或扇形域 ) 。特点 w  zⁿ

类似地，根式函数作为幂函数的逆映射，其映射 w  ⁿ z 特点是缩小顶点在原点的角形域 ( 或扇形域 ) 。

0 ⁿ^⁰

(3)

3 第

六章共形映射

2. 保形性

单值性解析性

n, z w 

一、幂函数

( n  2 整数 )

(1) 在平面上处处可导，且 ; d

d  nzⁿ_₁ z

z w

. d 0

d 

z (2) 当时， z  0 w

在 z平面上不是双方单值的，

对于 w  z⁴,

幂函数在平面上除原点外是第一类保角映射。

结论 w  zⁿ z

在角形域上，如果，则幂函数 w  zⁿ 是共形映射。

0   0 ₀  ²_n^π

比如：

1 

e

z

π2 i

e

,

2 πi

z 

取则 z₁⁴  z₂⁴ .

(4)

4 第

六章共形映射

解令则 ₁

e

⁴ ⁱ ,

π

z

w  ^ w  w₁⁴.

π i

z

w₁ 

e

^ ⁴

14

w w  .

0 Im

, 8

|

:

}

{

 

 z z z

G

如图，所求的象区域 G 为：

2 π4

i

2 (w₁)

π 8 8



) (w

2 π4 π

4 i

2 (z)

(5)

5 第

六章共形映射

15

2 z

z  i

z

i w z



 ₅ 

4 4 5

) (

1 4 z z 

i z

i w z



 

2 2

解

π 4

5

) (z

π5 ) (z₁

) (z₂ )

(w 1

1

P157 例 6.14

(6)

6 第

六章共形映射

二、指数函数

^w 

e

^z

π y4

y (z)

x

w ex

w 

e

z

v

u

(w)

回顾有 w 

e

^z 

e

^x(cos y  isin y) 

e

^x

e

ⁱ^y,

π y 2

由 z 的实部得到 w 的模；

由 z 的虚部得到 w 的辐角

。即 |w| 

e

^x,

, 2

Arg w  y  kπ

) , 2 , 1 , 0

(k    





x

z

y

, y i x z   令

(7)

7 第

六章共形映射

1. 映射特点

w 

e

z

h ⁽^h^ ²^π⁾

指数函数将水平带形域变为角形域。

特点 w 

e

^z

二、指数函数

^w 

e

^z

) 2 (h π

e

1

w  z

i π

1 1



π i

特别有 π

hi

)

(z (w)

)

(z₁ (w₁)

πh z

1

z w₁ w ^π_h (?) ^单值性？

(8)

8 第

六章共形映射

2. 保形性

单值性

解析性在平面上处处可导，且 0. d

d 

e

^z  z

z w

在 z 平面上不是双方单值的，

指数函数在平面上是第一类保角映射。

结论 w 

e

^z z

在水平带形域上，如果则指数函数 w 

e

^z

是共形映射。

h y 



0 h 2π,

二、指数函数

^w 

e

^z

取 z₁  x₁  i y₁, z₂  x₁  i( y₁  2π), 比如：

.

2

1

e

^z  ^z 则

(9)

9 第

六章共形映射

. 0 Re

, 1

|

:

}

{

 

 z z z

G

如图，所求的象区域 G 为：

解令则 w₁  iz , w 

e

^w¹.

e

^w1

w 

1 iz , w 

π2

 i π2 i )

(w₁

i

i ^(w⁾

π2 π2



) (z

(10)

10 第

六章共形映射

e

^z2

w  π i

z

z¹   2

1 2 2z z  解

π2 i i

π ⁽^z⁾

π2 i ⁽^z¹⁾

i

π ⁽^z²⁾ ) (w )

( 2

e

2 ^z ⁱ

w

 



P158 例 6.15

(11)

11 第

六章共形映射

三、综合举例

(1) 预处理

工具几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。

目标使区域的边界至多由两段圆弧 ( 或直线段 ) 构成。

(2) 将区域映射为角形域 ( 或者带形域 )

另一个 ( 交 ) 点映射为 0 。

z₂

[ ]

主要步骤 ^{( 一般 )}

方法将区域边界的一个交点z₁映射为 ;

工具 1 , z1

k z

w   .

1 2

z z

z k z

w 

  或者

(12)

12 第

六章共形映射

(4) 将上半平面映射为单位圆域

工具 w  zⁿ, w  ⁿ z . ( 对于角形域 ) ( 对于带形域 )

e

^z . w 

工具 . ( 无附加条件 )

i z

i w z



 

( 由附加条件确定 ) .

0

0 0

e

z z z w ⁱ z



 ^  ₀ , z₀

(3) 将角形域 ( 或者带形域 ) 映射为上半平面

三、综合举例

主要步骤 ^{( 一般 )}

(13)

13 第

六章共形映射

1 1

1 

 

 z z z

12

2 z

z 

i z

i w z



 

2 2

z i

z 



 

1 1 ²



 







w ₂



 



 i

z

z 



 

1 1

注从上半单位圆域到上半平面的映射为 .

2



 





1 1



 

 z

w z ( 错 ) ！！ z2

w  ？解

1

1 0

) (z

) (z₂ )

(w

0 1 

1 1



) (z₁ P161 例 6.18

(14)

14 第

六章共形映射

z z₁

i z

i w z



 

2 2

解

2



 





1 1

1

2 1 

 

 z

z z

z i

z 



 

1 1 ²



 



 w 

z i

z 



 

1 1 ²



 





1 1

 0

) (z

1 1

 0

)

(z₁ (z₂)

1

1

) (w

(15)

15 第

六章共形映射

2

3 z

z  

i z

i w z



 

5

 5

z1

2 z

2 

z z11 ²



 





1 1

3

4 3 

 

 z

z z 解

2 2



) (z

1

1

) (z₁

1 1

 (z₂)

1 1



) (w

1 1



) (z₃

) (z₄

z i

z 



 2 2 ²



 



 w 

z i

z 



 2 2 ²



 





(16)

16 第

六章共形映射

将 i 0,  i ,

故 ₁ . i z

i i z

z 

  得 k  i ,

有 ₁ , i z

i k z

z 

 k 

再要求将 1 1, 解

共形映射将 D 映射成单位圆域。

例设区域 D 由两个圆弧围成 ( 如图所示 ) ，

i z

i i z

z 

 

1

16

2 z

z 

π6

i z

i w z



 

2 2

i i z

i

i z 



 ⁶



 







w ₆



 



 i

i z

i

i z 





i

i

r π6

1

) (z

)

(z₁ (z₂)

1

1

) (w

0 1 

,

 1

其中求一 r

P160 例 6.17

(17)

17 第

六章共形映射

将 2 , 0 0,

故 .

1   2 z z z

得 k  1,

有 ,

1   2 z k z

z _k

再要求将 1 i  i , 解

1 2 iz z 

2 3 2πz z 

e

3

4 z

z 

i z

i w z



 

4

 4

z1

 2 z

z

12 i ⁽^z²⁾

1 1



) (w

i

π ⁽^z³⁾ ) (z₄ )

(z₁ 12 2 2

 ¹

) (z 0

i 0



i 1



w ^z^²

z ⁾  i

(

2πi

e

2 z

z ⁾  i

(

2πi

e

P159 例 6.16

(18)

18 第

六章共形映射

解

2 2

 4

) (z

3

1 2 iz z 

2 3 π3 z z 

e

3

4 z

z 

i z

i w z



 

4 4

) (z₁

i

3 (z₂)

1 1



) (w

i

π ⁽^z³⁾ ) (z₄

0 3

2 1 

z z  2

 2 z

6



w

e

ⁱ⁽ ⁾  i

 i

) (

e

i π3

2 z

2 z

2 z

2 3 z

π

(19)

19 第

六章共形映射

e

1

2 z

z  z

i z₁  

2 3 iz z 

2



 





z i

i

w i _



 

e e

1 1

2



 





3 3

1 1

z w z



 

解 π

π 2

 2

) (z

π2

 i π2 i )

(z₁

i

i

) (z₂

) (w

1 1



) (z₃ P162 例 6.19

(20)

20 第

六章共形映射

1 

z 1

z

1

2 z

z  π 2

2











 

w 1 i

e

^ ²^π^zⁱ

e

1 i ^ ²^π^zⁱ

2



 





2 2

e e

1 1

z i

i

w i _



 

( 利用前例的结果 )

例

映射将 D 映射成上半平面。

设区域 , 求一共形 2

| 1 2

| 1 2,

| 1 2

| 1 , 0 Im

:

}

{

    

 z z z z

* D

) (z₁

π2 π2



) (z₂

) (w

0 1

1

解 ⁽^z⁾

1 1 P162 例 6.20

(21)

21 第

六章共形映射

z2

w 

0 1

1 0 1 

1

z 1

z

1 1

1

2 1 

 

 z z z

解

)

(z₁ (z₂)

) (w

例

* 设区域 D 如图所示，求一共形映射将 D 映射成单位圆域。

D

1

1

) (z

1 1



 

z w z

(22)

22 第

六章共形映射

a z

z₁  

12

2 z

z 

2 2

3 z h

z  

3

4 z

z 

i z

i w z



 

4 4

例

映射成单位圆域。

求一共形映射，将有割痕的上半平面 Rez  a, 0  Imz  h

*

解 _h_i

a

) (z

i

h (z₁)

h2



) (z₂

) (w

) (z₃

) (z₄

i h

a z

i h

a w z







 

2 2

) (

(23)

23 第

六章共形映射

复变函数 第13讲

§6.4 几个初等函数构成的映射

一、幂函数

二、指数函数

三、综合举例

一、幂函数

e

e

一、幂函数

e

e

e

e

}

{

) (

) (

二、指数函数

e

e

e

e

e

e

e

e

e

二、指数函数

e

e

e

e

e

二、指数函数

e

e

e

}

{

e

e

e

e

三、综合举例

e

e

三、综合举例

e

e

e

e

e

e

e

e e

e

e

e e

}

{

休息一下 ……

复变函数第13讲