第五节 极限运算法则

第一章

二、 极限的四则运算法则

三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则

第五节

极限运算法则

时 ,



^,



^, 有 min ₁ ₂

 

一、 无穷小运算法则

定理 1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证 : 考虑两个无穷小的和 设. lim 0 ,

0







x

x lim 0 ,

0







x x

,

 0





_



_{1  0,当0}  x  x₀ 



_{1 时 , 有}



 ^₂ ,

2  0





^当 0  x  x₀ 



_{2 时} ^, _有



 ^₂ 取 则当 0  x  x₀ 











  



^₂



^₂ 



因此 lim ( ) 0.

0











x x

这说明当x  x_{0 时} ,







_{为无穷小量} .

说明 : 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，



 





 

 

 



 π

1 π

2 1 π

lim ₂1 _{2 2}

n n

n n n

n  1

( P57 题 4 (2) )

解答见课件第二节 例 5

类似可证 : 有限个无穷小之和仍为无穷小 .

定理 2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .

证 : 设 x U^ (x₀ ,



₁ ), u  M 又设 lim 0,

0







x

x 即 



 0, ^



₂ ^{ 0,}_当 x U^ (x₀ ,



₂ ) 时 , 有  _M^

取

^

^{ min}

 ^

₁ ^,

^

₂



^, _{则当 x U}^ _{(x0 ,}

_

_{) 时} , 就有





u u



 M  _M^   故 lim 0,

0

 u





x

x 即 u



_是 x  x_{0 时的无穷小 .} 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .

推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小

例 1. 求 sin . lim x

x

x

解 :  sin x  1 1 0

lim 



 x

x

利用定理 2 可知 sin 0 .

lim 



 x x

x

说明 : y = 0 是

x

y  sin x _{的渐近线 .}

O ^x

y

x y  sin x

二、 极限的四则运算法则

, )

( lim ,

) (

lim f x  A g x  B _则有



 ( )]

) (

lim[ f x g x lim f (x)  lim g(x) 证 : 因lim f (x)  A, lim g(x)  B , 则有





 



 A g x B x

f ( ) , ( )

( 其

中  ,  _为无穷小 )

于是 f (x)  g(x)  (A 



)  (B 



) ) (

)

(  







 A B

由定理 1 可知







_{也是无穷小 ,再利用极限与无穷小} B

A 



的关系定理 , 知定理结论成立 定理 3 . 若

推论 : 若lim f (x)  A, lim g(x)  B, _且 f (x)  g(x), 则 A B . ^{( P46} 定理 5 )

) ( )

( )

(x  f x  g x



利用保号性定理证明 .

说明 : 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情 形 .

提示 : 令

定理 4 . 若lim f (x)  A, lim g(x)  B , _则有

 )]

( ) (

lim[ f x g x lim f (x) lim g(x)

提示 : 利用极限与无穷小关系定理及本节定理 2 证 明 说明. : 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情

形 .

推论 1 .lim[C f (x)]  C lim f (x) _{( C 为常数 )} 推论 2 . lim[ f (x)]ⁿ  [lim f (x)] ⁿ _{( n 为正整数 )} 例 2. 设 n 次多项式P_n (x)  a₀  a₁x  a_nxⁿ, ^试证

).

( )

(

lim ₀

0

x P x

P_{n n}

x

x 



证 : 

 ( ) lim

0

x P_n

x

x a0 a x

x xlim₀

1 

  aⁿ _{x x} xⁿ

0

lim

) (x₀ P_n



B

 A

为无穷小

( 详见书 P44)

B

 2



 B

1

) ( 1

x

 g x U^ (x₀) 定理 5 . 若lim f (x)  A, lim g(x)  B , _且 B≠0 , 则有

)  (

) lim (

x g

x f

) ( lim

) ( lim

x g

x f

证 : 因lim f (x)  A, lim g(x)  B , _有 , )

( ,

)

(x  A



g x  B 



f _其中



,



设 B

A x

g x

f 

 ( ) )



(

B A B

A 



 





) (

1



 

B

B (B



 A



)

有界 无穷小

B

 A

由极限与无穷小关系定理 , 得

B A x

g x

f 

) (

) lim (

) ( lim

) ( lim

x g

x

 f





 B A x

g x f

) (

) 因此  _为无穷小 , (

定理 6 . 若lim x A, lim y_n B ,

n n

n  







 则有

) (

lim )

1

( _{n n}

n x  y





n n xn y



lim

) 2 (

, 0

0 )

3

( 当y_n  且 B  时

B A y

x

n n

n 



lim

B A 

 B

 A

提示 : 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由

定理 3 , 4 , 5 直接得出结论 .

x = 3 时分母为 0 !

3 lim 1

3 

 

 x x

x

例 3. 设有分式函数 , ) (

) ) (

( Q x

x x P

R  _其中P(x), Q(x) _都是 多项式 , Q(x₀)  0, _{试证 :} lim ( ) ( ₀) .

0

x R x

x R

x 



证 : 

 ( ) lim

0

x

x R

x lim ( )

) ( lim

0 0

x Q

x P

x x

x x





) (

) (

0 0

x Q

x

 P  R(x₀)

说明 : 若Q(x₀)  0, 不能直接用商的运算法则 . 例 4.

9 3 lim ₂4

2

3 





 x

x x

x ( 3)( 3)

) 1 )(

3 lim (

3  



 

 x x x x

x

6

 2

3

 1 若

例 5 . 求 . 4 5

3 lim ₂2

1  



 x x x

x

解 : x = 1 时 ,

3 2

4 lim ² 5

1 





 x x x

x  0

3 1

2

4 1

5 1²









 



 



 

 5 4 3 lim ₂2

1x x

x

x

分母 = 0 , 分子≠ 0

, 但因

例 6 . 求 . 1 2

5

9 3

lim 4 ₂

2











 x x x x

x

解 : x   时, 分子  , 分母   .

2 2

1 1

1 1

2 5

9 3

lim 4

x x x x

x  



 





分子分母同除以 x² , 则

5

 4

“ 抓大头”

原式

一般有如下结果：

为非负常数 ) n

m b

a 0, , ( _{0 0} 



m n 

当 ^{( 如 P47 例 5 )}

( 如 P47 例 6 ) ( 如 P47 例 7 )

m m m

x

a x

a x

a  ^  





1 

1

lim 0

n n

n b x b

x

b0  1 ^1 

,

0 0

b a

, 0

 ,

m n  当

m n  当

三、 复合函数的极限运算法则

定理 7.

设

, )

( lim

0

a

x x

x 

  且 x 满足0  x  x₀  _{1 时}

, , )

(x  a

 _{又lim f (u) A,}

a

u 

 则有

 [ ( )]  lim

0

x

x f

x  f u A

a

u 

 ( ) lim

证 : f u A

a

u 

 ( )

lim   0,   0, _当 0  u  a  时 , 有 f (u)  A  

a

x x

x 

 ( ) lim

0

   0, __{2  0,}^当

2

0  x  x0 



_{时 , 有}(x)  a  对上述

取  ^min



₁^, ₂



^, _则当 0  x  x₀   _时

a x) 

(  u  a  故

 0

A x

f [( )]  f (u)  A   ,

①

因此①式成立 .

定理 7. 设lim ( ) ,

0

a

x x

x 

  _且 x 满足0  x  x₀ 



_{1 时} , ,

)

(x  a

 _又 lim f (u) A,

a

u 

 则有

 [ ( )]  lim

0

x

x f

x  f u A

a

u 

 ( ) lim

说明 : 若定理中lim ( ) ,

0



 x 

x

x  _{则类似可得}

 [ ( )]  lim

0

x

x f

x  f u A

u 



 ( ) lim

例 7. 求

解 : 令

9. lim ₂ 3

3 



 x x

x

9 3

2 

  x

u x _{, 仿照例}

4

 u 

x 3

lim 6

1 3

lim 1

3 



 x

x

∴ 原式 = u

ulim₆¹

 6

 1

6

 6

( 见 P34 例 5 )

例 4

例 8 . 求

解 : 方法 1

1. lim 1

1 



 x x

x

, x

u  _则 lim 1,

1 

 u 令 x

1 1 1

1 ²



 





u u x

x  u 1

∴ 原式 lim( 1)

1 

  u

u  2

方法 2

1 lim 1

1 



 x x

x 1

) 1 )(

1 lim (

1 



 

 x

x x

x lim( 1)

1 

  x

x

 2

内容小结

1. 极限运算法则

(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则

(3) 复合函数极限运算法则

注意使用条件

2. 求函数极限的方法

(1) 分式函数极限求法 ) 0

1 x  x _{时 , 用代入法} ( 要求分母不为 0

0 ) )

2 x  x _{时 , 对}

00 型 , 约去公因

 子

 x

)

3 _{时 , 分子分母同除最高次}

幂 “ 抓大头”

(2) 复合函数极限求法 设中间变量

Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7

思考及练习

1. 若lim f (x)存在,lim g(x)不存在, )]

( )

(

lim[ f x  g x _{是否存在 ? 为什么}

答 : 不存在 否则由. ?g(x)  [ f (x)  g(x)] f (x)

利用极限四则运算法则可知 lim g(x) _{存在 ,与已知条件} 矛盾 .

3 ? 2

lim 1_{2 2 2 2} 









 





 n

n n

n n

n 

解 : 原式 ₂ 2

) 1 lim (

n n n

n

 



 1 )

1 2( lim 1

n

n 

  2

 1 2.

问

3. 求 lim x ( x² 1 x).

x  





解法 1 原式 =

x x

x

xlim^ ₂ 1

1 1 1

lim 1

2 



 

x

x 2

 1

解法 2 令 1 , t  x

 

t t t

t

1 1 1

lim 1 ₂

0  

 

2

 1 则

原式 = ₂

2 0

1 lim 1

t t

t



 

 

1 1

lim 1

0  2 

 ^t  t

 0

t

4. 试确定常数 a 使lim (³ 1 ³  )  0.



 x a x

x

解 :令 1 ,

t  x 则

 

t a t

t  

  3 0 3

1 1 lim

0

0 1 

 a

t

a t

t



 



3 3 0

lim 1



¹



⁰

lim ^{3 3}

0   

  t a

t

故

1

 因此 a

作业

P49 1

⁽⁵⁾ ， (7) ， (9) ， (12) ， (14)

2

⁽¹⁾ ， (3)

3

⁽¹⁾

5

备用题

设 f (x)

解 : 利用前一极限式可令

b x

a x

x x

f ( )  2 ³  2 ²   再利用后一极限式 ,

得

x x f

x

) lim (

3  0

可见 a  3 , b  0

是多项式 , 且

3 2

( ) 2

lim 2,

x

f x x

x



 

, ) 3

lim (

0 

 x x f

x 求 f (x) .

) (

lim0 x a b

x 

 

故 f (x)  2x³  2x²  3x