第七节 常系数齐次线性微分方程

常系数 第七节

齐次线性微分方程

基本思路 :

求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 ( 代数方程 ) 之根

转化

第七章

二阶常系数齐次线性微分方程 :

) ,

(

0 p q为常数

y q y

p

y     

x

y  er

和它的导数只差常数因子 , 代入①得

0 e

)

(r²  pr  q ^{r x} 

2  pr  q  0 r

称②为微分方程①的特征方程 ,

1. 当p²  4q  0 _时 , ② 有两个相异实根r₁, r₂,

方程有两个线性无关的特解 : y₁  e^{r1 x}, y₂  e^{r2 x}, 因此方程的通解为 y  C₁ e^{r1 x}  C₂ e^{r2 x}

(

r

_{为待定常数} ^),

x

r 为常数时,函数 er

因为

①

所以令①的解为

②

则微分 其根称为特征根 .

) ,

(

0 p q为常数

y q y

p

y     

2   

2. 当p²  4q  0 _{时 ,} 特征方程有两个相等实根r¹  r² 则微分方程有一个特解

)

1 (

2 y u x

y 

设另一特解 ( u (x) 待定 ) 代入方程得

: e^{r1 x} [ _{(u   2r1u  r1}²_{u )}  p(u  r₁u ) ^{ qu}



^{ 0}

r1

注意 是特征方程的重根

 0 u 

取 u = x , 则 得

, e ¹

2 x r x

y  _{因此原方程的通解为}

x

x r

C C

y  ( ₁  ₂ )e ¹

2

,

 p



^y₁ ^{ er1 x .}

) ( e^{r1 x} u x



0 )

( )

2

( ₁    ₁²  ₁  

  r p u r p r q u u

) ,

(

0 p q为常数

y q y

p

y     

特征方程 r²  pr  q  0

3. 当p²  4q  0 _{时 ,} 特征方程有一对共轭复根









i , ₂ i

1   r  

r

这时原方程有两个复数解

: y₁  e^{(i  )}x  e^{ x} (cos



x  i sin



x ) y₂  e^{(i )} x  e^{ x} (cos



x  i sin



x ) 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特 解 : y₁  ¹₂ ( y₁  y₂)

) ( _{1 2}

i 2

1

2 y y

y  

x



x

 cos

 e

x



x

 sin

 e 因此原方程的通解为

) sin

cos (

e C₁ x C₂ x

y  ^{ x}







小结 :

) ,

(

0 p q为常数

y q y

p

y     

,

2  pr  q  0 特征方程 : r

x r x

r C

C

y  ₁ e ¹  ₂ e ²

2 1, : r r 特征根

2

1 r

r  _实根

2 2

1 p

r

r    y  (C₁  C₂x )e^{r1 x}





i

2

1_,  

r y  e^{ x} (C₁ cos



x  C₂ sin



x ) 特 征 根 通

解

以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .

若特征方程含 k 重复 根

, i







 r

若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应

项 ^{k r x}

k x C x

C

C )e

( ₁  ₂  ^1







 C x C x ^ x

C _k ^k

x



 [( )cos

e _{1 2}  ¹

] sin

)

( D₁  D₂x   D_k x^k1



x

 

则其通解中必含 对应项

) (

1 0

) 1 1 (

)

(ⁿ a y ⁿ a_n y a_n y a_k 均 均 均 均

y  ^  _   

特征方程 : rⁿ  a₁ r^n1  a_n1r  a_n  0

) ,

(以上C_i D_i 均为任意常数

推广 :

例 1.

0 3

2   

  y y

求方程 y ^{的通解 .} 解 : 特征方

程

, 0 3

2  2r  

r _特征根 : r₁  1, r₂  3 , 因此原方程的通解为 y  C₁ e^x  C₂ e^3x

例 2. 求解初值问题 0 d

2 d d

d

2

2   s 

t s t

s

,

0  4



s t 2

d 0

d t t    s

解 : 特征方程r²  2r 1  0 _有重根 r₁  r₂  1, 因此原方程的通解为 s  (C₁  C₂ t )e^{ t}

利用初始条件得 C₁  4,

于是所求初值问题的解为 s  (4  2t )e^{ t}

2  2 C

例 3.

x x

O 解 :

质量为 m 的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 , 在无外力作用下做自由运动 ,

初始 求物体的运动规律

0,

速度为v x  x(t).

立坐标系如图 , _设 t = 0 时物体的位置 x  x₀, 为

取其平衡位置为原点建

0

d 0

d v

t x

t _ 

0,

0 x

x _{t } 

2 

2

d d

t

x  k ² x  0

t n x

d 2 d

因此定解问题为

由第六节例 1 (P323) 知 , 位移满 足

方程 : ²₂  d

d t

x k ² x  0

特征方程 : r²  k ²  0, _{特征根 :} r_{1, 2}  i k t

k C

t k C

x  ₁ cos  ₂ sin 利用初始条件得 : C₁  x₀,

故所求特解 :

t k k

t v k x

x  ₀ cos  ⁰ sin

A

) sin( 



 A k t

x0

k v₀



方程通解 :

1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )

k C₂  v⁰

 

0 0 2

02

02 , tan

v x k k

x v

A    

解的特征

:  Asin(k t 



) x

xA0

 A

x

O t

简谐振动 A: 振幅 ,  : 初相 , 周期 :

T  2k m :

k  c _固有频率

T



d 0 d

0

0  

 v

t x



下图中假设 ^x _t0 ^{ x}₀ ^{ 0,} t

( 仅由系统特性确定 )

方程 :

特征方程 : r²  2nr  k ²  0

2 2 2

,

1 n n k

r    

特征根 :

小阻尼 : n < k

这时需分如下三种情况进行讨论 :

2) 有阻尼自由振动情况

大阻尼 : n > k

临界阻尼 : n = k

2 

2

d d

t

x k ² x  0 t

n x d 2 d

) sin

cos (

e C₁ t C₂ t

x  ^nt







) (



 k ²  n²

t r t

r C

C

x  ₁ e ¹  ₂ e ²

t

t n

C C

x  ( ₁  ₂ )e^

解的特征 解的特征 解的特征

例 4.求方程 y⁽⁴⁾  2y   5y   0 ^{的通解 .} 解 : 特征方程r⁴  2 r³  5r²  0, _{特征根 :}

i 2 1

,

0 _{3, 4}

2

1  r  r  

r

因此原方程通解为





 C C x

y _{1 2} e^x (C₃ cos2x  C₄ sin 2x ) 例 5. 解方程 y⁽⁵⁾  y⁽⁴⁾  0.

解 : 特征方程 :

,

4 0

5  r 

r _特征根 :

1 ,

0 ₅

4 3

2

1  r  r  r  r 

r

原方程通解 : y  C₁  C₂x  C₃x²  C₄x³  C₅ e^x ( 不难看出 , 原方程有特解1, x, x², x³, e^x )

0 2

)

(r²   ^{2 2}   ²r²  例 6. 0 ( 0 ).

d

d ₄

4

4 



w 





x 解方程 w

解 : 特征方程 :



 ⁴

4



r

即 (r²  2



r 



²)( r²  2



r 



²)  0 其根为 ( 1 i ),

2 2

,

1 





r (1 i )

4 2

,

3  





r 方程通解 :

w e ²x



 )

sin 2 cos 2

(C₁



x _ C₂



x

2 x

e

 

 )

sin 2 cos 2

(C₃



x _ C₄



x

例 7. 解方程 y⁽⁴⁾  2y   y  0 . 解 : 特征方程

:

0 1

2 ²

4  r  

r

0 )

1

(r²  ²  即

特征根为 r_{1, 2}  i, r_{3, 4}  i 则方程通解 :

x x

C C

y  ( ₁  ₃ ) cos  (C₂  C₄ x )sin x

内容小结

) ,

(

0 p q 为常数

y q y

p

y     

特征根 : r₁ , r₂

(1) 当 时 , 通解

为

x r x

r C

C

y  ₁ e ¹  ₂ e ²

2

1 r

r 

(2) 当 时 , 通解

为

x

x r

C C

y  ( ₁  ₂ )e ¹

2

1 r

r 

(3) 当 时 , 通解

为 sin ) cos

(

e C₁ x C ₂ x

y  ^{ x}







2 i

,

1 







r

可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .

思考与练习

求方程 y   a y  0 _{的通解 .}

答案 : a  0 : _通解为 y  C₁  C₂ x :

 0

a 通解为 y  C₁ cos a x  C₂ sin a x :

 0

a 通解为 y  C₁ e ^{a x}  C₂ e^{ a x}

作业 P340 1

(3) , (6) , (10)

;

2

(2) , (3) , (6) ;

3

备用题

求一个以 y1  ^ex, y2  ²x^ex, y3  ^{cos 2}x^, x

y₄  3sin 2 _为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程 并求其通解 .,

解 : 根据给定的特解知特征方程有根 : r₁  r₂ 1, r_3,4   2i

因此特征方程为 ( r 1)² ( r²  4)  0 即 r⁴  2r³  5r²  8r  4  0

0 4

8 5

) 2

4

(  y   y   y  y  故所求方程为 y

其通解为 y  (C₁  C₂x)e^x  C₃ cos2x  C₄ sin 2x