第三节 全微分

第九章

*

二、全微分在近似计算中的应用

应用

第三节

一元函数 y = f (x) 的微分 ) ( x o

x A

y    



x x

f

y  ( )

d 近似计算

估计误差 本节内容 :

一、全微分的定义

全微分

一、全微分的定义

定义 : 如果函数 z = f ( x, y ) 在定义域 D 的内点 ( x , y )  z  f (x  x , y  y)  f (x, y)_可表示成

, ) ( o y

B x

A

z     



其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关

， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分 , 记

作 dz  d f  Ax  By 若函数在域 D 内各点都可微

,

2

2 ( )

)

(x  y

 

则称函数 f ( x, y ) 在点 ( x, y) 可微，

处全增量

则称此函数在 D 内可微 .

ΔΔ

A x B y

 y B x

A f

z  d     d

) ,

( )

,

( x x y y f x y

f

z      





^{( ) ( )}



lim0 

 Ax  By  o

 

下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 :

(1) 函数可微

函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可 微

) ,

( lim

00 f x x y y

yx    



 



当函数可微时 :

得

z

yx 



 

lim00  0

) , (x y

 f

函数在该点连续

偏导数存在 即

定理 1^{( 必要条件 )}若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可 微 ,

则该函数在该点的偏导数

y z x

z







 ,

y y x z

x

z z 



 

 

  d

) , ( )

,

( y f y

f

xz  



x z



 

同样可证 B, y

z 



 y

y x z

x

z z 



 

 

  d

证 : 因函数在点 (x, y) 可微 , 故

, ) (  o

y B x

A

z     

 ,

 0

y 令

) ( x o

x

A  



必存在 , 且有

得到对 x 的偏增量

x

x   x

因此有 x

xz

x 

 



lim0  A

反例 : 函数f (x, y) 

易知 f_x (0, 0)  f _y (0, 0)  0 , _但 ] )

0 , 0 ( )

0 , 0 (

[ f x f y

z  _x   _y 



注意 : 定理 1 的逆定理不成立 .

2

2 ( )

)

( x y

y x











2

2 ( )

)

( x y

y x









 

2

2 ( )

)

( x y

y x









 

 ⁰

偏导数存在函数 不一定可微 ! 即 :

0

, ^{2 2}

2

2  

 x y

y x

y x

0 ,

0 x²  y² 

]

) ,

(

[ f x  x y  y



定理 2 ( 充分条

件 ) y

z x

z







 ,

证：z  f (x  x, y  y)  f (x, y)

) 1 ,

0

( ₁ ₂  x

y x

f_x  

 [ ( , ) ]



 





y y

y x

f _y ( , ₂ )













 f_x (x ₁ x, y y) x

) ,

(x y y

f  



)]

, (

[  f x y

 f (x, y  y)

y y

x

f _y  

[ ( , ) ]

若函数 z  f (x, y)_的偏导数 ,

) ,

( 连续

在点 x y _{则函数在该点可微分} .

 

0 lim

00 



 

 

xy

, 0 lim

00 



 

 

xy



z

y y

x f

x y

x

f_x   _y 

 ( , ) ( , )

y y

x f

x y

x f

z  _x   _y 

 ( , ) ( , )



 



 x  y _{ }

所以函数 z  f (x, y) (x, y)

y x  



 

在点 可微 .



 



 lim 0

00 



 

 

xy

, 0 lim

00 



 

 

xy

注意到 , 故有

) (

 o



 

 x x

u

推广 : 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 . 例如 , 三元函数u  f (x, y, z)

 u d

习惯上把自变量的增量用微分表示 ,

 u d

记作 d_x u

故有下述叠加原理 u

u u

u d_x d _y d_z

d   

称为偏微分 . y y u d



  z

z u d



  x x

u d





y u

d d_z u

的全微分为



 

 y y

u z

z u 





于是

u u

u _{y z}

x ,d ,d

d

例 1. 计算函

数 z  e^xy在点 (2,1) 处的全微分 .

解 : 



 x z

2

2 2e

) 1 , 2 , (

) e 1 , 2

( 



 





y z x

z

y x

z e d 2e d

d ^{2 2}

) 1 , 2

(  



例 2. 计算函数 y ^yz 的全微分 . x

u e

sin 2 





解 : d u  1d x  ( ₂¹ cos ₂^y  )d y  y e^yzd z

 

 y , z

e^xy

y xe^xy

) d 2 d

(

e² x  y



z

ze y

可知当

*

二、全微分在近似计算中的应用

1. 近似计算

由全微分定义

x y

) ( )

, ( )

,

(x y x f x y y o 

f

z  _x   _y  



) ,

(x x y y

f     f_x (x, y)x  f _y (x, y)y 较小时

, f x y x f x y y

z

z   _x   _y 

 d ( , ) ( , ) z

d

及 有近似等式

:



 f (x, y)

( 可用于误差分析或近似计算 )

( 可用于近似计算 )

半径由 20cm 增大

解 : 已 知

, π r²h V 



V

, 100 ,

20 

 h

r

) 1 ( 20

π 05

. 0 100

20 π

2      ²  



V

即受压后圆柱体体积减少了 200 π cm³ . 例 3. 有一圆柱体受压后发生形变 , 到 20.05cm ,

则 r h

r  π

2  π r²h

1 ,

05 .

0   



 r h

) (

π

200 cm³





高度由 100cm 减少到 99c

体积的近似改变量m , .

求此圆柱体

h r

例 4. 计算1.04^2.02 的近似值 . 解 :

设

x y

y x

f ( , )  , 则

 ) , (x y f_x

取 x  1, y  2,

则 1.04^2.02  f (1.04, 2.02 )

y f

x f

f  _x   _y 

 (1, 2) (1, 2) (1, 2) 08 . 1 02

. 0 0

04 . 0 2

1    



 ) , (x y f _y

1 ,



x y

y x ^y ln x

02 . 0 ,

04 .

0  



x y

分别表示 x , y , z 的绝对误差界 ,

2. 误差估计

利用 z  f_x(x, y)x  f _y (x, y)y

z y

x,δ ,δ 令δ

z 的绝对误差界约为

y y

x x

z f (x, y) δ f (x, y) δ

δ  

z 的相对误差界约为

y y x x

z

y x f

y x f

y x f

y x f

z δ

) , (

) , δ (

) , (

) ,

( 

 

则

y y x x

z

y x f

y x f

y x f

y x f

z δ

) , (

) , δ (

) , (

) ,

( 

 

特别注意

时，

y x z  )

1

( z x y

y

z δx δ

δ  

, )

2

( 时

x z  y

y x

y

x δ

δ 



类似可以推广到三元及三元以上的情形 .

z x

z δ

δ  ( ₂ )

x

 y

y

 x  δ _y x

1

y

 x

• 乘除后的结果相对误差变大

• 很小的数不能做除数

例 5. 利用公

式 S  ₂¹ absin C















12.5 0.01, b 8.3 0.01, C 30 0.1 a

求计算面积时的绝对误差与相对误差 . 解： _{S a}

a S δ

δ 

 

C a

bsin δ 2

 1

1800 δ π

, 01 . 0 δ

δ , 30 ,

3 . 8 ,

5 .

12      

 b C _{a b C}

a

13 . 0 δ _S  故绝对误差约为

又 S  ¹₂ absin C

所以 的相对误差约为δ ^S









 12.5 8.3 sin30 2

1

C b

asin δ 2

 1 abcosC δ _C 2

 1

94 .

 25 13

.

 0 

计算三角形面积 . 现测得

b b

S δ



  _C

C S δ



 

例 6. 在直流电路中 测得电压 , U = 24 V ,

解 : 由欧姆定律可知 4 6

24 



 I

R U _{(  )}

所以 R 的相对误差约为





 U I R

I U

R δ δ

δ 0.3  + 0.5 

R 的绝对误差约为



 R

δ R 0.8 

0.3;

定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差 .

相对误差为 测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5 

,

= 0.032 (  )

= 0.8 

求用欧姆

内容小结

1. 微分定义

:

) )

, (

( 以z  f x y 为例



z f_x(x, y)x  f _y (x, y)y

 z

d

^f_x^{(x, y)dx  f} _y ^{(x, y)dy}

2

2 ( )

)

(x  y

 

2. 重要关系 :

) (

 o

函数可导 函数可微

函数连续

定义

3. 微分应用

• 近似计算

• 估计误差



z ^f_x ^{(x, y)x  f} _y ^{(x, y)y} )

,

(x x y y

f    

y y

x f

x y

x

f_x ( , )  _y ( , )

绝对误差 相对误差



 f (x, y)

y y

x x

z f (x, y) δ f (x, y) δ

δ  

y y x x

z

y x f

y x f

y x f

y x f

z δ

) , (

) , δ (

) , (

) , (

δ  

思考与练习

_{1. P75 题 5 ； P129}

题 1

函数 z  f (x, y)在 (x₀, y₀) _{可微的充分条件是 ( )}

; )

, ( )

, ( )

(A f x y 在 x₀ y₀ 连续

) ,

( )

, ( ,

) , ( )

(B f_x x y f_y x y 在 x₀ y₀ 的某邻域内存在 ; y

y x f

x y

x f

z

C)   _x( , )  _y( , ) (

0 )

( )

(x ²  y ² 

当 时是无穷小量

;

2

2 ( )

) (

) , ( )

, ) (

( x y

y y

x f

x y

x f

D z ^{x y}







 



 





2. 选择题

D

答案 : z

03 . 0 ,

1

01 . 0 ,

2  

  



y y

x

x  0.02

z d

03 . 0 ,

1

01 . 0 ,

2  

  



y y

x

x  0.03

也可写作 :

当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03

3. P129 题 7

z f

y f

x f

f _y (0,0,0)d _y (0,0,0)d _z (0,0,0)d

d _(0,0,0)   



4. 设 ,

cos cos

cos 1

cos cos

) cos ,

,

( x y z

x z

z y

y z x

y x

f   



  求d f _(0,0,0) .

解 :

x x x

f ( ,0,0) 3 cos

 



 

₀

cos ) 3

0 , 0 , 0

(  

 

 x x

f_x x

4

 1

利用轮换对称性 , 可得

4 ) 1

0 , 0 , 0 ( )

0 , 0 , 0

(  _z 

y f

f

) d d

1 (d

z y

x  



注意 : x , y , z 具有

轮换对称性

. d ,

arctan z

y x

y

z x 求



 

答案 : d_{2 2}d

d x y

y x

x z y





 

作业

P74 1

(3) , (4) ;

3 ;

^*

6 ;

*

9 ;

^*

11

5. 已知

在点 (0,0) 可微 .

备用题

在点 (0,0) 连续且偏导数存在 ,

续 , 而 f (x, y)

 ) , (x y f

) 0 , 0 ( )

, ( 1 ,

sin 2 2 

 x y

y y x

x

) 0 , 0 ( )

, ( ,

0 x y 

证 : 1) 因 ₂1 ₂

sin x y

xy 

0 )

, ( lim

00 

 f x y

xy  f (0,0)

但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数

 xy 所以

 ) , (x y f

) 0 , 0 ( )

, ( 1 ,

sin 2 2 

 x y y

xy x

) 0 , 0 ( )

, ( ,

0 x y 

) , (x y f_x

, )

0 , 0 ( )

,

( 时

当 x y 

, )

0 , 0 ( )

,

( 沿射线 趋于 时

当点P x y y  x ,

0 )

0 ,

(x 

 f  f_x (0,0)  0 ; _同理 f _y (0,0)  0.

 y ^sin ₂¹ ₂ y

x  ^{2 2 3}

2

)

(x y

y x

 

2 2

cos 1

y x  )

, ( lim) (0,0)

,

( f_x x y

x

x 

极限不存在 ,  f_x (x, y)_在点 (0,0) 不连续 ; 同理 , f _y (x, y) _{在点 (0,0) 也不连}

x ( x lim0

 2 | |

sin 1

x ³

3

|

| 2

2 x

 x )

|

| 2 cos 1

x 2)

3)

 ) , (x y f

) 0 , 0 ( )

, ( 1 ,

sin 2 2 

 x y y

xy x

) 0 , 0 ( )

, ( ,

0 x y 

, ) (

)

(x ²  y ²

 

4) 下面证明 f (x, y) 在点 (0,0)_{可微 :}



y f

x f

f  _x   _y 

 (0,0) (0,0)





sin 1 y

x  

   x  ^0 0

. )

0 , 0 ( )

,

(x y 在点 可微

 f

说明 : 此题表明 , 偏导数连续只是可微的充分条件 .

令 则