第二节微积分基本公式

(1)

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二、积分上限的函数及其导数三、牛顿 – 莱布尼茨公式

一、引例

第二节

微积分的基本公式

第五章

(2)

一、引例

在变速直线运动中

,

已知位置函数

s(t)

_{与速度函数}

v(t)

之间有关系

:

) ( )

(t v t s 

物体在时间间隔

[T₁ , T₂]

_{内经过的路程为}

)

( )

( d

)

( ₂ ₁

2 1

T s T

s t

t

T v

T  



这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

. .

) ( )

(

是的原函数

这里

s t v t

(3)

) (x



x

h x 



二、积分上限的函数及其导数

, ] , [ )

(x C a b

f 

_{则变上限函数}



 ^x

a f t t x) ( )d

 (

证

:  x, x  h[a, b] ,

_则有

h

x h

x ) ( )

( 

  



h

 1



_a^x^^h ^f ⁽^t⁾^d^t ^



_a^x ^f ⁽^t⁾^d^t





^

 ^x ^h

x f t t

h ( ) d

1  f ( ) (x    x  h)

h

x h

x

h

) ( )

lim (

0



  

  lim ( )

0 f 

 h  f (x) )

(x

 ^



定理

1.

若

. ]

, [ )

(

在上的一个原函数是

f x a b

] , [ )

(x C a b

f 



) (x f y 

x a b

y

O

(4)

说明

:

1)

定理

1

证明了连续函数的原函数是存在的

.

2)

其他变限积分求导

:



_x^b ^f ^t ^t

x ( )d d

d   f (x)



⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^d

d

d ^x

a f t t

x

  f [(x)]^(x)

同时为通过原函数计算定积分开辟了道路

.



₍⁽ ₎⁾ ⁽ ⁾^d

d

d ^x

x f t t x





) ( )]

( [ )

( )]

(

[ x x f x x

f      ^





 

 _d^d_x 



_^a₍_x₎ ^f ⁽^t⁾^d^t



_a^⁽^x⁾ ^f ⁽^t⁾^d^t

(5)

) sin (

e^^cos² ^x  x

例

1.

求

lim₀

 x

x t

t d

1 e

cos



^ 2

x2

解

:

原式

lim0

 

 x

00

x

2 2e

 1

说明

例

2.

确定常数

a , b , c

的值

,

使

( 0).

d ) 1

ln(

lim sin

0 2  







 c c

t t

x x

a

x b x

解

:  x  0

时

, ax  sin x  0, c  0,  b  0.

00

原式

=

) 1

ln(

lim cos₂

0 x

x a

x 



 c

x

x a

x  

 0 2

lim cos

c

≠0 ,

故

a 1.

_又由

1 cos x

_～

¹₂ x² _,

_得

c  ¹₂.

洛

(6)



t t

f t x

f ( ) ^x ( )d



0



例

3.

设

f (x)

在

[0, )

内连续

,

且

f (x)  0,

^证明

 ) (x

F ^xt f (t) dt



0 ^x _f ₍_t₎ _d_t



0

在

(0, )

_{内为单调递增函数}

.

证

: F(x) 

 

²

0^x f (t) dt



t t

f x

f

x ( ) ^x ( )d



0

 

²

0^x f (t)dt



t t

f x

f ( ) ^x ( )d



0 ⁽^x ^ ^t⁾ _ ₀

. )

0 )

(

在（，

 

内为单调增函数

 F x

只要证

0 )

( 

 x F



 

²

0^x f (t)dt



x f

x ) ( )

(  

 ) (x f

) 0

(    x

(7)

三、牛顿 – 莱布尼茨公式

上的一个原在

是连续函数

设

F(x) f (x) [a,b] )

( )

( d

)

(x x F b F a

b f

a  



⁽

^牛顿

^-

^{莱布尼茨公}

式

)

证

:

根据定理

1 ,

, )

( d

)

(x x

是

f x

的一个原函数

x f



a

^故

C x

x f x

F ^x

a 





⁽ ⁾^d

) ( ,

a x 

令得

C  F(a),

因此

^x f (x)dx F(x) F(a)

a  



, b x 

再令得

) ( )

( d

)

(x x F b F a

b f

a  

 ^记作 ^

^F⁽^x⁾

^

^a^b ^ ^F⁽^x⁾ _a^b

定理

2.

函数

,

则

或

(8)

例

4.

计算

. 1

d

3

1 2



_ _^x_x

解

: x

x

x arctan 1

d

3

1 2 



_  _₁³ ^ ^arctan ³ ^ ^arctan(^¹⁾ 3

 π π

12

 7

例

5.

计算正弦曲线

y  sin x

在

[0, π]

上与

x

轴所围成的面积

.

解

: ^A ^



₀^π^sin ^x ^d^x

x

cos

 0

π  (11)  2 4 )

(  π



O y

x x

y  sin

π

(9)

例

6.

汽车以每小时

36 km

的速度行驶

,

速停车

, a  ⁵ m/ s²

解

:

设开始刹车时刻为

t  0,

_{则此时刻汽车速度}

0 

v  ^{36 1000}₃₆₀₀^ (m/ s) 10(m/ s)

刹车后汽车减速行驶

,

其速度为

t

a v

t

v( )  ₀  10  5t

当汽车停住时

,v(t)  0,

_即

10  5t  0,

_得

t  2(s)

故在这段时间内汽车所走的距离为



 ²

0v(t) dt

s ^



₀²⁽¹⁰ ^ ⁵^t⁾^d^t ^

^

¹⁰^t ^ ²⁵ ^t²

^

₀² ^¹⁰^(m)

36(km/ h)

刹车 , 问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度

车到停车走了多少距离

?

(10)

内容小结

, ) ( )

( ,

] , [ )

(x C a b F x f x

f 

且

 

设则有

1.

微积分基本公式



_a^b ^f ⁽^x⁾^d ^x 

积分中值定理

) )(

( b a

F 

  _ _F₍_b₎ _ _F₍_a₎

微分中值定理

) )(

( b a

f  

牛顿 – 莱布尼茨公式

2.

变限积分求导公式

(11)

作业

第三节

P243 3 ; 4 ; 5

⁽³⁾

; 6

(8) , (11) , (12) ;

9

⁽²⁾

; 12

(12)

3 2 3

) 4

(x  x²  x  f

备用题

解：

1.

设

( ) ² ( )d 2 ( )d ,

0

1 0

2 ^



^



 x x f x x f x x x

f

_求

f (x).

定积分为常数

, , d

)

1 (

0 f x x  a



设 

0² f (x) d x  b a

bx x

x

f ( )  ²   2

,

则



 ¹

0 f (x)d x

a



3 x3

 2

bx2

 ^ ²^ax



₀¹



 ²

0 f (x)dx

b



3 x3

 2

bx2

 ^ ²^ax



0 2

b a 2 2 3

1  



a b 4 3 2

8  

 3,

 1

a 3

 4 b

故应用积分法定此常数

.

(13)

2. _设

证：

, d sin

, d

tan 0

3 0

2



^

 ^x t t  ^x t t



_试证

_:

_当





0

xlim

x x x

x x

2 0 sin ³² 1

2 lim tan



 

 

 0

x

时

,  = o(  ) .

x x x

x x

2 0 ³² 1

lim 2



 

 

x x

x 21

2 0

lim 2

 

  0

所以

 = o(  ) .

x x

x

~ sin

~ tan

0

时

洛



(14)

3. ^求

解

:

由于



 ^π²

0 d

sin 2

sin x

x

I_n nx

_{的递推公式}

⁽ⁿ

_为正整数

^{) .}

, sin d

) 1 (

2

2 sin

π

1 ^



0 ^

 x

x

I_n n

_因此



 _n_1

n I

I



^

 ^π²

0 cos(2 1) d

2 n x x



₀^π² ^cos(² _sin^¹⁾ ^sin ^d

2 x

x

x x

n

1 2

) 1 (

2 ¹



  ^ n

n

1

 _n

n I

I 2 1

) 1 (

2 ¹



  ^ n

n

所以

(n  2,3,) 2

d cos

2 2

π

1 



0 ^x ^x 

其中

I

第二节 微积分基本公式

二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式

一、引例

第二节

微积分的基本公式

第五章

一、引例

在变速直线运动中

已知位置函数

与速度函数

之间有关系

物体在时间间隔

内经过的路程为



这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

是 的原函数

这里

二、积分上限的函数及其导数

则变上限函数



证

则有











定理

若

在 上的一个原函数 是

说明

定理

证明了连续函数的原函数是存在 的

其他变限积分求导





同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路







例

求



解

原式

例

确定常数

的值

使



解

时

原式

c

故

又由

～

得

洛

洛



例

设

在

内连续

且

证明





在

内为单调递增函数

证

 





 





在 （ ，

内为单调增函数

第二节微积分基本公式

二、积分上限的函数及其导数三、牛顿 – 莱布尼茨公式

_{与速度函数}

_{内经过的路程为}

是的原函数

_{则变上限函数}

_则有

在上的一个原函数是

证明了连续函数的原函数是存在的

同时为通过原函数计算定积分开辟了道路

_又由

_～

_得

^证明

_{内为单调递增函数}

在（，

上的一个原在

^牛顿

^{莱布尼茨公}

^故

令得

再令得

 ^记作 ^

^

轴所围成的面积

_{则此时刻汽车速度}

_即

_得

^

^

刹车 , 问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度

设则有