第八节 一般周期函数的傅立叶级数

第八节

一般周期的函数的傅里叶级数

一、周期为 2 l 的周期函数的 傅里叶级数

二、傅里叶级数的复数形式

第十二章

一、周期为 2 l 的周期函数的傅里叶级 数

周期为 2l 的函数 f (x)

周期为 2 的函数 F (z)

变量代换 l z  x

将 F(z) 作傅氏展开

f (x) 的傅氏展开式

狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件

1) :在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2) 在一个周期内只有有限个极值点

n  a

l x x x n

l f

b ^l

n  1



_l ( )sin  d l

1 x

l x x n

l f

l ( )cos  d



_ ^{(n  0,1, 2,)}

) ,

2 , 1

(n  

设周期为 2l 的周期函数 f (x) 满足收敛定理条 件 ,

则它的傅里叶级数展开式为



^

 



 



   





1

0 cos sin

) 2 (

n n n

l x b n

l x a n

x a f

( 在 f (x) 的连续点

处 ) 其中

定理 .

证明 : 令

l

z   x ^, _则x [l , l ] z [,  ], 令 F(z)  ( ) ,

 lz

f _则

)) 2 ( (

) 2

( 



 



 l z

f z

F ( l z 2l )

f 

  )

( 

 l z

f  F(z)

所以F(z) _{且它满足收敛定} 理条件 ,将它展成傅里叶级数 :

 



^









1

0 cos sin

) 2 (

n

n

n nz b nz

a a z

F

( 在 F(z) 的连续点处 )

(x f

变成

是以 2 为周期的周期函数 ,

z z n z

F

a_n ^{ 1}



_^_ ( ) cos d 其中 b_n ^{ 1}



_^_F(z)sin nz dz

令 l z   x

a_n  1l

l x x x n

l f

b ^l

n  1



_l ( )sin  d

 

l x b n

l x a n

x a

f _{n n}

n

 

 





^



sin 2 cos

) (

1 0

) ,

2 , 1 , 0

(n  

) ,

3 , 2 , 1

(n  

) ,

2 , 1 , 0

(n  

) ,

3 , 2 , 1

(n  

( 在 f (x) 的 连续点处 l x

x x n

l f

l ( )cos  d



_

证毕

说明

:



^





1

) (

n bn

x f

) ,

2 , 1 (

d sin

)

(   





^{f x n} _l ^{x x n}

b_n 其中

( 在 f (x) 的连续点 处 )

l x n sin

l 2

0

l

如果 f (x) 为偶函数 , 则 有

( 在 f (x) 的连续点 处 )



 2 )

( a⁰

x f

) ,

2 , 1 , 0 (

d cos

)

(   





^{f x n} _l ^{x x n}

a_n 其中



^

1 n an

l n x cos

注 : 无论哪种情况

, ¹₂[ f (x^)  f (x^)].

在 f (x) 的间断点 x 处 , 傅里叶 都收敛于 级数

l 2

0 l

如果 f (x) 为奇函数 , 则有

) (t f

O t

 



₀^{π sin(n 1) t  sin(n 1) t d t}

例 1. 交流电压 E(t)  E sin t 经半波整流后负压消 失 , 试求半波整流函数的

解 : 这个半波整流函数

^π

2 , 它在

 ) (t f



a_n



₀^{π E sin t cosn t d t}

, sin t

E 

, 0 傅里叶级数 .

] ,

[

^_^π _^π _{上的表达式为}

π   0

_ t

^π

0  t 

π 2

 E

的周期是

π

2

2 

π 

 ^^π ^π

0

π

  0



^₀^{π sin 2 t d t}

π

1 2



a  E  



 E  t



 cos2 2

1 π

2 时

 1 n

 



₀^{π sin(n 1) t  sin(n 1) t d t}



 2 a_n  E



 n  t

n 

 ^{cos( 1)} )

1 (

1



 2 π

 E

0 π

 

 

 n t

n 

 ^{cos( 1)} )

1 (

1



 



 

 



 

  ^

1 1 1

) 1 ( 1 1 1

) 1 ( π 2

1

n n

n n

E ^{n n}

 

π ) 1 (

1 )

1 (

2 1





  ^

n

n E

 ^{0 , n  2k  3} π ,

) 4

1 (

2 k2

E



) ,

1 , 0

(k  

k n  2

t t t

E

b sin sin d

π

π

1 _  0_  _ 





^{n t n t}



^t

E cos( 1) cos( 1) d

π 2

π



0 ^{  }

  ^  





 







) 1 (

) 1 sin(

π

2 n

t n

b_n E 0

) 1 (

) 1 sin(

0 π

 





  ^



 n

t n

t t n t

E

b_n sin sin d

π

π

0  

 _{ }





t E t

d ) 2

cos 1

π (

2 _^0 _ 





0 π

2 2 sin π

2  ^



 

 

 t

E t

2

 E

n > 1 时

由于半波整流函数 f ( t ) ,

) ,

( 上连续

在   



 π )

( E

t

f E sin t 

2 k t

k E

k

 2 4 cos

1

1 π

2

1 2



^

 

) ( t  

直流部分 说明 :

交流部分 由收

收敛定理可得

2 k 次谐波的振幅为 , 1 4

1 π

2

2 

 k

A_k E k 越大振幅越小 ,

因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f (x) 了 .

上述级数可分解为直流部分与交流部分的和 .

) (t f

O ² t

2 

π 

 ^^π ^π

O y

2 x 例 2.

把 f (x)  x (0  x  2) 展开成 (1) 正弦级数 ; (2) 余弦级数 解 : (1) . 将 f (x) 作奇周期延拓 ,

则有a_n  0 (n  0,1, 2,)



 ₂²



₀^2x

b_n n x x

2 d sin 

   

0 2 2

sin 2 2

cos 2

2 n x

n x

x n n



 



 



 



 n

n4 cos

) ,

2 , 1 (

) 1

4 ( ₁

 

 

 ^ n

n

n



^

 





1

) 4 (

n

x

f ( 1) ¹ sin n 2 x n

n 

 ^ (0  x  2)

在 x = 2 k 处 级数收敛于何 值 ?

O 2 y

x (2) 将 f (x) 作偶周期延拓 ,

) ,

2 , 1 (

0  

 n

b_n



^

 ² 2 0

2 x

a_n cos d

2 π

n x x

  

²



²

0

2 2

sin cos

2 2

ππ ππ

n x n x

n x n

 

 

2 2

4 ( 1) 1 π

n

  n   

x x

f 

 ( )



 ²

0 0 d

2

2 x x

a  2

k n 2 ,

0 

2 2

8 ,

(2k 1) π



 (k  1, 2,) 则有

2 2

1

8 1 (2 1)

1 cos

(2 1) 2

π π _k

k x

k





  





) 2 0

(  x  1 2 

 k n

O 2 y

x 说明 : 此式

对

 0

x 也成立 ,

2 1 2

1

(2 1) 8

π

k k





 



由此还可导出



^

1 2

1

n n

2

8

 π



^





1 2

1 4

1

n n

2 1 2

1

6 π

n n













^

1(2 )2

1

k k

2 2

1

8 1 (2 1)

( ) 1 cos

(2 1) 2

π π _k

k x

f x x

k





   



 ^{( 0  x  2 )}

 





^

1(2 1)2

1

k k

据此有

当函数定义在任意有限区间上时 , 方法 1 f (x) , x [a,b]

令 ,

2 a z b

x    即

2 a x b

z   

 





 b a z

z f x

f z

F ),

( 2 )

( )

(

 

, 2 2

a b

a

b  



在

 

, 2 2

a b

a

b  

 _{上展成傅里叶级数} )

(z F

周期延拓

将 2

a x b

z    )

(x

f 在 [a,b]

代入展开式 上的傅里叶级数

其展开方法为 :

a b x

2b a

方法 2 f (x) , x [a,b]

令 x  z  a ,







 f x f z a z z

F( ) ( ) ( ),



^{0 , b  a}



在



^{0 , b  a}



^{上展成正弦或余弦级数}

) (z F

奇或偶式周期延拓

将 代入展开式z  x  a )

(x

f _在 [a,b]

即 z  x  a

上的正弦或余弦级数

a b x

例 3. 将函数f (x) 10  x (5  x 15) 展成傅里叶级数 解 : 令z  x 10 , 设 .

) 5 5

( )

10 (

) ( )

(z  f x  f z   z   z  F

将 F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数

理条件, .由于 F(z) 是奇函数 , 故 )

, 2 , 1 , 0 (

0  

 n

a_n



^

 ⁵ 5 0

2 z

b_n ^{sin d}

5 π

n z z

 n

n 10 )

1 (



) ,

2 , 1

(n  

则它满足收敛定

1

10 ( 1)

( ) sin

5 π π

n

n

F z n z

n









 ^{(5  z  5)}

1

10 ( 1)

10 sin

5 π π

n n

x n x

n





  



 ^{(5  x 15)} ) (z F

z

5

 5 O

利用欧拉公式

二、傅里叶级数的复数形式

设 f (x) 是周期为 2 l 的周期函数 ,

则 ⁰

 

1

( ) cos sin

2

ππ

n n

n

a n x n x

f x a b

l l





 





1



cos 2

π n x

l  ^{ein xππl  ein xl}



i



sin 2

π n x

l

  ^{ei n xππl  ei n xl}





^



 





1 0

2 ) 2

(

n

an

x a

f

e

^{i n xππl}

 e

^{i n xl}

  

_^

2 ib_n



e

^{i n xππl}

 e

^{i n xl}



^



 



 



1 0

2 i

2 _n

n

n b

a a

2 i _n

n b

a 

 



i 

e ^{n xπl}

e

^{i n xπl}

c0

c c



_

 ^l

l f x l ( ) 2

1



_

 ^l

l f x x l ( ) d 2

1 2

0 0

c  a

1 1



( ) cos d 2

π

l l

f x n x x

l ^ l





2 i _n

n n

b c  a 

i



( )sin π d

l l

f x n x x

l ^ l





 

1 ( ) cos i sin d

2

ππ

l l

n x n x

f x x

l ^ l l









_

 ^l

l f x l ( ) 2

1 e ⁱ dx (n 1,2,)

π n x

 l

注意到

2

i _n

n n

b

c_  a  dx

同理 eⁱ (n 1, 2,)

π n x

l

傅里叶级数的复数形式 :

x x

l f

c ^T

x l n

n l ( ) e d

2

1 ^{i 2 }







T x n n cn

x f

 











i 2

e )

(

) ,

2 ,

1 ,

0

(n    

因此得

式的傅里叶级数 .

例 4. 把宽为  , 高为 h , 周期为 T 的矩形波展成复 数形

解 : 在一个周期[  ₂^T , ₂^T ]

 ) (t u

它的复数形式的傅里叶系数为



_

 ²

2

1 ^ d

 h t

T T

h

 内矩形波的函数表达式为



_

0  ²

2

d ) 1 ^T (

T u t t c T

2

,  ^2  t  ^ h

2 2

2

2 ,

,

0  ^T  t   ^{ }  t  ^T

2



2 T

y

x

2

 2

 T

h

O

t t

T u ^T

t T n

T ( )e d

1 ^{2 i 2 π}

2





 n 

c





 ²  2

π i 2

d 1 ^ e

 h t

T ^T

t n

T n n

h π

πsin

 (n  1,  2 , )





 T

t h

u 

)

( π

h ⁿ_T ^t

n T

n n

π i 2

π e 1 sin 



^



 0

n , 0, 1, )

(t   2  kT k   





 i

π 2n

T T

h 



 

 2i 1 π

n

T h

t n i2

e^{ 2}



 2



T n T

n  π 

π i

i e

e^ 

为正弦 级 数 .

内容小结

1. 周期为 2l 的函数的傅里叶级数展开公 式f (x) 

2

a0

 

l x b n

l x

a_n n _n

n

sin π cos π

1







^

 (x  间断

点 ) 其中

n 

a x

l x x n

l f

l

l π d

cos )

1 (



 n 

b x

l x x n

l f

l

l π d

sin )

1 (





) ,

1 , 0

(n   ) ,

2 , 1

(n   当 f (x) 为奇 函数

时 ,

( 偶 ) ( 余

弦 )

2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 变换 延拓 3. 傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出

思考与练习

1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形 ?

答 : 易看出奇偶性及间断点 ,

2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算

答? : 用系数公式计算 如分母中出现因子 n － k

作业 :

P319 1

(1) , (3) ;

2

^{(2) ;}

*3

从而便于计算系数和写出 收敛域

.

, , _n时

n b a

k

k b

a 或

则 必须单独计算 .

备用题

将 ^{f (x)  2  x (1 x  1)} 期的傅立叶级数 , 并由此求级数



^

1 2

1

n n ⁽¹⁹⁹¹ _{研 )} ^考 解 :

y

O 1 ^x

1 2

) (x

f _为偶函数 ,b_n  0



^

 ¹

0 2 0(2 x) dx

a  5

x x

n x

a_n 2 ¹(2 )cos( π )d

0 







^{( 1) 1}



π 2

2

2  

 ⁿ

n

因 f (x) 偶延拓后 在

, )

,

(   上连续



 x

2 2

5 cos(2 1) π ,

) 1 2

(

1 π

4

1 2

2 k x

k k

 





^



展开成以 2 为周

] 1 , [1

 x 的和 .

故得

,

 0

令 x ^得



^

 





1 2

2 (2 1)

1 π

4 2

2 5

k k

故 8

π )

1 2

(

1 ²

1 2 



^ 



k k



^

1 2

1

n n



^

 



1 (2 1)2

1

n n



^





1 (2 )2

1

n n



^

1 2

1 4

1

n n



^





1 2

1

n n



^

 



1(2 1)2

1 3

4

n n ⁶

π²

