PDF 107 年學測 趨勢預測

1 ^{前 言}

民國

102

年開始，「學科能力測驗數學考科」開始依照「99課綱」命題，縱觀這幾屆的學 測考題，難度仍然往中間方向靠攏，不過由於大學選才的需求，及參考學測成績入學的名額逐年 的提高，這幾年的試題難度比學測初辦時的難度已有大大的提升。

大考中心在「學科能力測驗數學考科」裡揭櫫測驗的目標包括：

1.

概念性知識：能辨認某概念；能確認概念中的基本數學原理。

2.

程序性知識：能讀圖、查表、或運用適當的公式與步驟解題。

3.

解決問題的能力：能應用數學知識、選擇有效策略及推理能力解決問題，並能檢驗結果的合

理性與正確性。

由以上測驗目標可知，學測試題的解題所需的概念、步驟一般較少，計算也不致於太複雜。

題目趨向於生活化，考題簡單中亦附有靈活思考的啟發作用。

2 ^{學測試題分析}

(一) 各單元在

102

年到

106

年試題分布所占的分數

冊別 單 元 102年 103年 104年 105年 106年 合計

數與式 5 10 0 5 0 20

多項式函數 10 10 5 10 10 45

第 一

冊 指數、對數函數 10 5 15 5 10 45

數列與級數 5 5 5 5 5 25

排列、組合 10 10 10 5 10 45

機率 5 5 10 10 5 35 第

二 冊

數據分析 5 5 5 10 10 35

三角 10 10 10 10 10 50

直線與圓 10 15 5 10 5 45

第 三

冊 平面向量 5 10 10 5 10 40

空間向量 0 10 10 0 5 25

空間中平面與直線 10 0 5 15 10 40

矩陣 5 5 5 5 5 25 第

四 冊

二次曲線 10 0 5 5 5 25

由上表知各冊所占分數大致平均；雖然每一年所考單元中的重點內容都會改變，不過第二冊 及第三冊的的分量還是占多一些。

年學測 ^{趨 勢 預 測}

107 數 學 科

文／ 吳泓誼老師

(二) 基本觀念試題所在多有

仔細分析這些試題，我們發現其中有太多容易取分的題目，這可能是出題教授要大家不要緊 張並且給那些真的有讀書不放棄的同學而設計的吧！所以筆者建議同學們的基本觀念應多加強，

課本、復習講義的重點值得一看再看。今舉

106

年與

105

年的簡單試題如下：

〈106 年 單選 1〉

已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為

r

1，而學生玩過的比率為

r

2，其中

r

1≠r2。由下列選項中 的資訊，請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項。

(1) 全校老師與學生比率 (2) 全校老師人數

(3) 全校學生人數

(4) 全校師生人數

(5) 全校師生玩過「寶可夢」人數

【答案】(1)

〈106 年 單選 2〉

某個手機程式，每次點擊螢幕上的數

a

後，螢幕上的數會變成

a

²。當一開始時螢幕上的數

b

為 正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近

81

³。試問實數

b

最接近下列哪一個選項？

(1) 1.7 (2) 3 (3) 5.2 (4) 9 (5) 81

【答案】(3)

〈105 年 單選 1〉

設

f ( x )

為二次實係數多項式，已知

f ( x )

在

x＝2

時有最小值

1

且

f ( 3 )＝3。請問 f ( 1 )

之值為 下列哪一選項？

(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 條件不足，無法確定

【答案】(3)

〈105 年 單選 2〉

請問

sin 73°、sin 146°、sin 219°、sin 292°、sin 365°

這五個數值的中位數是哪一個？

(1) sin 73° (2) sin 146° (3) sin 219° (4) sin 292° (5) sin 365°

【答案】(5)

(三) 數據解讀能力還要再提升

數據解讀能力是

99

課綱學測永不缺席的題型，同學們看到又臭又長的題目有時真的會失去 耐性，看到後面往往忘記前面，更甚者還有陷阱在其中，同學們的確要打起精神應付這類型的題 目。今舉

106

年與

105

年的相關試題如下：

〈106 年 單選 5〉

右圖是某城市在

2016

年的各月最低溫 ( 橫軸

x )

與最高溫 ( 縱軸

y )

的散佈圖。今以溫差 ( 最高溫減最低溫 ) 為橫軸且最高溫為縱軸重新 繪製一散佈圖。

試依此選出正確的選項。

(1) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (2) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (3) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (4) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (5) 最高溫與溫差為零相關

【答案】(4)

〈105 年 多選 8〉

下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：

甲商場奇異果價格「35元／一袋

2

顆」表示每一袋有

2

顆奇異果，價格

35

元。

甲商場售價

奇異果價格 20元／一袋

1

顆 35元／一袋

2

顆 80元／一袋

5

顆 100元／一袋

6

顆 蘋果價格 45元／一袋

1

顆 130元／一袋

3

顆

260

元／一袋

6

顆 340元／一袋

8

顆 乙商場售價

奇異果價格 18元／一袋

1

顆 50元／一袋

3

顆 65元／一袋

4

顆 95元／一袋

6

顆 蘋果價格 50元／一袋

1

顆 190元／一袋

4

顆

280

元／一袋

6

顆 420元／一袋

10

顆 依據上述數據，請選出正確的選項。

(1) 在甲商場買一袋 3

顆裝的蘋果所需金額低於買三袋

1

顆裝的蘋果

(2) 乙商場的奇異果售價，一袋裝越多顆者，其每顆單價越低

(3) 若只想買奇異果，則在甲商場花 500

元最多可以買到

30

顆奇異果

(4) 如果要買 12

顆奇異果和

4

顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額

(5) 無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額

【答案】(1)(2)(4)

(四) 作圖能力不可忽視

學測試題當中，並不是所有的題目都需要計算，概念清楚的同學，有些題目當你畫出圖形時 答案已然知曉。今舉

106

年與

105

年的相關試題如下：

〈106 年 單選 3〉

設Γ：

y

²

a

²－

x

²

b

²＝1為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為

。考慮動點 ( t , t

²

)，

從時間

t＝0

時出發。當

t＞0

時，請選出正確的選項。

(1) 此動點不會碰到Γ，也不會碰到  (2) 此動點會碰到Γ，但不會碰到 

(3) 此動點會碰到 ，但不會碰到Γ (4) 此動點會先碰到Γ，再碰到 

(5) 此動點會先碰到 ，再碰到Γ

〈105 年 單選 3〉

坐標平面上兩圖形Γ1，Γ2的方程式分別為Γ1：( x＋1 )²＋y²＝1，Γ2：( x＋y )²＝1。請問 Γ1，Γ2共有幾個交點？

(1) 1

個

(2) 2

個

(3) 3

個

(4) 4

個

(5) 0

個

【答案】(2)

〈105 年 多選 9〉

下列各直線中，請選出和

z

軸互為歪斜線的選項。

(1) L

1：





x＝0

z＝0

(2) L

2：





y＝0

x＋z＝1

(3) L

3：





z＝0

x＋y＝1

(4) L

4：





x＝1

y＝1

(5) L

5：





y＝1

z＝1

【答案】(3)(5)

3 ^{學測準備方向}

高三上，當我把復習講義上完後，我會建議學生在家復習時，將講義闔上，一個單元一個單 元的默想其中的重點並用紙筆寫出來，目的就是要他們了解這個單元的重點在哪裡？自己是不是 還遺漏了甚麼重要觀念？如此，學生在做題目時對觀念的熟悉度將更深刻！

1.

掌握各單元的重要觀念。例如：

(1)

多項式函數中的奇函數、偶函數定義。

(2)

單利與複利的定義。

(3)

條件機率與獨立事件的關係，迴歸直線與相關係數的關係是什麼？

(4) 三角函數中和角公式、倍角公式、半角公式與三倍角公式是否熟悉？

(5)

二次曲線中的拋物線、橢圓、雙曲線的定義如何？

2.

熟悉課程中出現過的圖形。例如：

(1) 關於平面圖形：直線、二次函數、指數、對數、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等。請了解

這些圖形的特徵，例如：對稱性、遞增或遞減、奇偶函數特性、圖形如何受方程式的影 響，包括 開口大小、平移、對稱等。

(2) 關於空間的圖形：空間中直線、平面、正四面體、四角錐 ( 金字塔型 ) 等。其中正四面

體是出題教授的最愛，它的高如何算？

3.

多做應用問題。例如：

(1) 指數與對數函數中的複利問題、地震問題、半衰期問題。

(2) 三角函數中的測量問題。

(3) 生活中的排列組合問題、機率問題。

(4) 空間中的測量問題常常需要坐標化，並利用平面的法向量以解決交角問題。

4 ^{結 語}

目前，利用學測成績申請進入大學的學生有愈來愈多的比例，學測已經成為大學取才的重要

標準。最初學測主要檢定考生是不是具有基本的學科知識，而指定科目考試是要清楚區隔各個考 生的程度，故命題的層次有所不同，但是隨著申請名額愈來愈多，命題方向已經改變這個初衷。

但難題會增加很多嗎？不會的，也就是那兩三題罷了！所以，同學們的準備仍是要「一步一腳 印、永不放棄」！

以上考題趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆一再提及，並要同學多加留心注意，

「智慧型復習講義」一書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，今年又新加入許多筆者所蒐集 的國外考題以供同學釐清觀念用。另外本書的範例、演練皆留有空格以利於老師上課講解、同學 演練，並適時比較觀念差異，參酌同學的意見刪去較難的題目，讓同學們做起題目來更有信心、

更容易進入復習狀況。期望各位先進可參考並不吝加以選用、指教。

107 學年度學科能力測驗模擬試題

數學科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：

^●

單選題共 6 題

●

多選題共 6 題

●

選填題共 8 題

作答方式：選擇題答案請填入後面之作答欄中

◎註：1. 答錯不倒扣

2. 此份試題本為模擬學科能力測驗之測驗形式，

作答方式仍以未來實際之測驗形式為準

版權所有 請勿翻印

教 師 用

第壹部分：選擇題（占 60 分）

一、單選題（占

30

分）

說明：第

1

題至第

6

題，每題有

5

個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請作答於

「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題答對者，得

5

分；答錯、未作答或作答多於一個選項 者，該題以零分計算。

(3) 1.

如右圖，橢圓的兩焦點和下列哪一個選項的雙曲線焦點位置

最有可能相同？

(1) (2)

(3) (4)

(5)

(4) 2.

如右圖，以

AC

為直徑作一半圓，過

B

作

AC

垂直線交半圓

於

D，已知 AB

＝

3 －1， BC

＝

3 ＋1，則 BD

長度為

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 2 (5) 3

橢圓的焦點與中心的距離為 6²－5² ＝ 11 ，且為橫橢圓

∴ 雙曲線亦為左右開口型雙曲線且c＝ 11 故選(3)。

BD ＝ AB × BC ＝ ( 3 －1 ) ( 3 ＋1 ) ＝ 2 ， 故選(4)。

(4) 3.

設點

( a , b ) 在圖形 y＝3x

²上，則下列何者在圖形

y＝3 ( x＋2 )

²＋4上？

(1) ( 3a , b ) (2) ( 3a , b－4 ) (3) ( 3a－2 , b ) (4) ( a－2 , b＋4 ) (5) ( a＋2 , b＋4 )

(2) 4.

聲音的強度是每平方公尺多少瓦特

( 單位：W/m

²，W為瓦特

)，若某一發聲體的強度為

I ( W/m

²

)，將它換算成分貝 d

表示時，其公式為

d ( I )＝10 log I

I

0，I0＝10^－12

( W/m

²

)。

若有一支

50

分貝的汽笛和二十支

40

分貝的汽笛齊響，則測得的音量最接近多少分貝？

(1) 50

分貝

(2) 55

分貝

(3) 60

分貝

(4) 90

分貝

(5) 130

分貝

(2) 5.

甲、乙兩學生參加同一場數學測驗，甲做錯全部試題的六分之五，乙做錯九題，事後兩人

合對一下答案，有三分之二的題目兩人同時做錯，同時做對的題目為一題，請問這次數學 測驗考試共出了幾道題目？

(1) 9 (2) 12 (3) 15 (4) 18 (5) 24

(3) 6.

下列哪一條直線被兩平行線

L

1：3x－4y＋3＝0與

L

2：3x－4y－6＝0所截出的線段長最長？

(1) y＝0 (2) 4x＋3y＝－4 (3) 4x－3y＝8 (4) 12x－5y＝－2 (5) 12x＋5y＝4

所截線段愈長表示直線與L1，L2方向向量夾角愈小  | cosθ| 愈大，

(1) | cosθ1 |＝ | ( 3 ,－4 )．( 0 , 1 ) 5×1 | ＝ 4

5 (2) | cosθ2 |＝ | ( 3 ,－4 )．( 4 , 3 )

5×5 | ＝ 0

25 ＝0 (3) | cosθ3 |＝ | ( 3 ,－4 )．( 4 ,－3 )

5×5 | ＝ 24

25 (4) | cosθ4 |＝ | ( 12 ,－5 )．( 3 ,－4 )

13×5 | ＝ 56

65 (5) | cosθ5 |＝ | ( 12 , 5 )．( 3 ,－4 )

13×5 | ＝ 16 65

∵ 24

25 最大 ∴ 4x－3y＝8與L1之夾角最小，所截線段最長，故選(3) y＝3 ( x＋2 )²＋4表示由y＝3x²向左移2單位，再向上移4單位而得，

點亦由 ( a , b ) 左移2，上移4，得 ( a－2 , b＋4 )，

故選(4)。

50＝10．log I50

10^－12  I₅₀＝10^－7，40＝10．log I40

10^－12  I₄₀＝10^－8

∴ 所求d＝10．log 10^－7＋20．10^－8

10^－12 ＝10．log 3×10^－7 10^－12 ＝10．log ( 3×10⁵ )＝10．( log 3＋log 10⁵ ) ＝10 ( 0.4771＋5 )＝54.771  55 ( 分貝 ) 故選(2)。

設共出n道題目，則 2

3 n ， 5

6 n  n是6的倍數，

乙做錯9題

 9＝ 2

3 n＋( n－ 5

6 n－1 )  5

6 n＝10  n＝12，

故選(2)。

二、多選題（占

30

分）

說明：第

7

題至第

12

題，每題有

5

個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 作答於「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得

5

分；

答錯

1

個選項者，得

3

分；答錯

2

個選項者，得

1

分；答錯多於

2

個選項者或所有選 項均未作答者，該題以零分計算。

(2)(4) 7.

設

f (x)，r (x)，g (x) 為三個實係數多項式函數，其中 deg f (x)＝3

且滿足

f (1)＝2016，

(5) f (2)＝－2017，f (3)＝2018，r (x) 為 f (x) 除以 ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 ) 的餘式，而 g (x)＝2016． ( x－2 ) ( x－3 )

( 1－2 ) ( 1－3 )

＋(－2017 )．

( x－1 ) ( x－3 )

( 2－1 ) ( 2－3 )

＋2018．

( x－1 ) ( x－2 ) ( 3－1 ) ( 3－2 )

， 則下列選項哪些正確？

(1) f (x) 的領導係數為正 (2) r (1)＝2016

(3) g (4)＜0 (4) 方程式 f (x)＝g (x) 恰有三相異實根 (5) r (x)＝g (x)

(2)(3) 8.

右圖為

y＝f (x)＝2

^x與

y＝g (x)＝x＋2

的圖形，兩圖形交於

(α, 2

^α

)

(5)

與

(β, 2

^β

) 兩點，其中α＞β，令函數 h (x)＝f (x)－g (x)，則下列

選項哪些正確？

(1) α＝4 (2) β＞－2

(3) h (x)＝0

恰有兩實根α，β

(4) 2

^{α＋β 2} ＞

α＋β

2

＋2

(5) h (β－1 )＞0

f (x)＝a ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 )＋r (x)  f (1)＝r (1)，f (2)＝r (2)，f (3)＝r (3)，

即r (x) 不超過二次且g (x) 為滿足g (1)＝2016，g (2)＝－2017，g (3)＝2018之拉格朗日插值多項式，

由多項式恆等定理可得r (x)＝g (x) ∴ f (x)＝a ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 )＋g (x) (1) ×：無法判斷a之正負。

(2) ○：r (1)＝g (1)＝f (1)＝2016。

(3) ×：g (4)＝2016×1＋(－2017 )×(－3 )＋2018×3＞0。

(4) ○：f (x)－g (x)＝a ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 )＝0  x＝1，2，3。

(5) ○。

故選(2)(4)(5)。

(1) ×：f (2)＝4，g (2)＝4 ∴ α＝2

(2) ○：∵ y＝x＋2通過 (－2 , 0 ) ∴ β＞－2

(3) ○：∵函數圖形有二個交點 ∴ h (x)＝f (x)－g (x)＝0 有兩相異實根

(4) ×：由右圖知： α＋β

2 ＋2＞2 ^{α＋β 2} 。

(5) ○：h (β－1 )＝f (β－1 )－g (β－1 )，

由於在β附近y＝f (x) 與y＝g (x) 交會 ∴ g (β－1 )＜f (β－1 ) ∴ h (β－1 )＞0 故選(2)(3)(5)。

(1)(2) 9.

在△ABC中，設

a，b，c

分別為∠A，∠B，∠C的對邊長，則下列哪些選項中的條件恰

(4)(5)

可決定唯一三角形？

(1) b＝1，c＝2，∠A＝60° (2) a＝2，∠A＝30°，∠B＝45°

(3) a＝1，b＝2，∠A＝60° (4) a＝ 3 ，b＝2，∠A＝60°

(5) a＝3，b＝2，∠A＝60°

(2)(3)10.

正四面體

ABCD

的邊長為

2 ，今從四個頂點中任取兩個頂點決定一向量，例： AB

，

(5) CD

，…，則任兩個如此形成的向量，其內積的可能值為何？

(1) －2 (2) 1 (3) －1 (4) 2 (5) 0

(3)(4)11.

在空間中，下列選項中的方程組，哪些圖形為一直線？

(1)





x＝2t＋1

y＝3t－2

，t

(2)





3x－2y＋z＝1

6x－4y＋2z＝5

(3)





y＝1 z＝2

(4) x－1＝y＋1＝z＋3 (5)



  x＋y－z＝1 x＋2y＋3z＝2 2x＋3y＋2z＝3

(1) ○：SAS唯一解。

(2) ○：AAS唯一解。

(3) ×：由餘弦定理：

1²＝2²＋c²－2．2．c．cos 60°  c²－2c＋3＝0  c無實數解。

(4) ○：由餘弦定理：

( 3 )²＝2²＋c²－2．2．c．cos 60°  c²－2c＋1＝0  c＝1。

(5) ○：由餘弦定理：

3²＝2²＋c²－2．2．c．cos 60°  c²－2c－5＝0  c＝1± 6 ( 負不合 ) ∴ c＝1＋ 6 故選(1)(2)(4)(5)。

(1) ×：



x＝2t＋1

y＝3t－2，t  3x－2y＝7 3x－2y＋0z＝7，

為法向量是( 3 , －2 , 0 )，且通過( 1 , －2 , 0 ) 之平面。

(2) ×：兩平行平面之交集為無圖形。

(3) ○：為兩平面之交集為一直線。

(4) ○： x－1

1 ＝ y－(－1 )

1 ＝ z－(－3 )

1 為一直線之比例式。

(5) ○：

 



x＋y－z＝1 ………○¹ x＋2y＋3z＝2 ………○²

2x＋3y＋2z＝3 ………○³

○²－○¹ 得y＋4z＝1 ………○⁴ ○²×2－○³ 得y＋4z＝1 ……○⁵

○⁵－○⁴ 得0＝0，令z＝t，y＝1－4t，代入○¹ 得x＝5t，表一直線。

就AB而言，AC與其夾60°，

CA與其夾120°，

CD與其夾90°

∴ 內積可能為AB．AC＝ 2 ． 2 ．cos 60°＝1，

AB．CA＝ 2 ． 2 ．cos 120°＝－1，

AB．CD＝ 2 ． 2 ．cos 90°＝0 故選(2)(3)(5)。

(5)

(1)(3)12.

有

30

對數據

( x

i

, y

i

)，i＝1，2，…，30，其算術平均數μ

x＝6，μy＝8，x與

y

的相關係

(5)

數

r＝0.75，且 y

對

x

的迴歸直線過點

( 3 , 3 )，則下列敘述哪些正確？

(1) y

對

x

的迴歸直線必過點

( 6 , 8 ) (2) y

對

x

的迴歸直線為

y＝ 2

5 x－7 (3) x

的標準差小於

y

的標準差

(4) 若將數據經線性調整為 ( 2 x

i＋3 , －5 yi＋4 )，i＝1，2，…，30，則新數據的相關係數

為

0.75

(5) 若將數據標準化所得之標準化數據為 ( x

i

′ , y

i

′ )，i＝1，2，…，30，則 y′

對

x′迴歸直線

的斜率

m′＝0.75

第貳部分：選填題（占 40 分）

說明：1. 第

A

至

H

題，將答案作答於「選擇(填)題答案區」所標示的列號 (13 ~ 33)。

2.

每題完全答對給

5

分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.

阿珠出門渡假前，請阿花幫忙照顧魚缸裡的魚，已知沒有餵食飼料魚會死亡的機率是

0.9，

有餵食飼料魚會死亡的機率是

0.2，若阿花七成會記得餵魚，試問當阿珠渡假回來後魚缸裡

的魚是活的機率為 ○¹³

.○

¹⁴○¹⁵ 。

B.

設有甲、乙兩支瓶子，開始時，甲瓶裝有

a

公升的水，乙瓶裝有

b

公升的水。每一輪操作 都是先將甲瓶水量的三分之一倒入乙瓶，然後再將乙瓶水量的三分之一倒回甲瓶。第一輪、

第二輪、第三輪、…不斷操作下去，求穩定狀態時，甲瓶中有

○

¹⁶

○

¹⁷ 公升的水。

(1) ○：迴歸線必過 (μx ,μ_y )＝( 6 , 8 )。

(2) ×：m＝ 8－3 6－3 ＝ 5

3 ∴ 迴歸線為y－3＝ 5

3 ( x－3 )  y＝ 5 3 x－2 (3) ○：m＝r． σy

σx  5 3 ＝ 3

4 ． σy

σx  σy

σx＝ 20

9 ∴ σ_y＞σ_x (4) ×：∵ 2與－5異號 ∴ r′＝－r＝－0.75

(5) ○：標準化數據m′＝r＝0.75

故選(1)(3)(5)。

所求＝0.7×0.8＋0.3×0.1＝0.59。

甲瓶原有a公升的水，乙瓶原有b公升的水，

一輪後，甲有 2 3 a＋ 1

3 ( 1

3 a＋b )＝ 7 9 a＋ 1

3 b；乙有 2 3 ( 1

3 a＋b )＝ 2 9 a＋ 2

3 b

∵

 

 

 

 

7 9 a＋ 1

3 b 2 9 a＋ 2

3 b

＝

 

 

 

 

7 9

1 3 2 9

2 3

 

^ab ∴ 轉移矩陣A＝

 

 

 

 

7 9

1 3 2 9

2 3 令穩定狀態為X＝

 

 

x

1－x ，則AX＝X 

  

 

7



9 1 3 2 2

 

 

x 1－x ＝

 

 

x

1－x  7 9 x＋ 1

3 ( 1－x )＝x  x＝ 3 5 。 記得餵魚

忘記餵魚

活 死 活 死

0.8 0.2 0.1 0.9 0.7

0.3

C.

如右圖，拋物線

y

²＝4x的頂點

V

與焦點

F

正好是另一橢圓的 頂點與焦點，若此橢圓的短軸長為

3，則橢圓的長軸長為

○

¹⁸○¹⁹

○

²⁰ 。

D.

數列

〈a

n

〉

各項均為實數，且滿足

( a

2＋2a1

)

²＋(

a

3＋2a2

)

²＋(

a

4＋2a3

)

²＋…＋(

a

10＋2a9

)

²＝0 及

a

1＝1，則

a

10＝ ○²¹○²²○²³○²⁴ 。

E.

本校社團成果發表，共有熱舞社、熱音社、民吉社、康輔社等

8

個社團要登臺表演。若康 輔社要求要在熱舞社、熱音社和民吉社都表演過後才能登臺表演，則

8

個社團共有

○²⁵○²⁶○²⁷○²⁸○²⁹ 種登場次序。

F.

某次期中考後，兩位同學對話如下：

阿珠：「阿花，你這次期中考成績如何？」

阿花：「我國文

70

分，英文

74

分，物理

84

分，化學

72

分，數學我忘記幾分，不過我記得

這五科的算術平均數與中位數相等！」。

根據上述對話推斷，阿花的數學成績為 ○³⁰○³¹ 分。

設阿花的數學x分，則五科為x，70，72，74，84，

算術平均數μ＝ 1

5 ( x＋70＋72＋74＋84 )＝ x 5 ＋60；

(1) 當x＜72時，中位數為72  x

5 ＋60＝72  x＝60 ( 合 ) (2) 當72 ≤ x ≤ 74時，中位數為x  x

5 ＋60＝x  x＝75 ( 不合 ) (3) 當x＞74時，中位數為74  x

5 ＋60＝74  x＝70 ( 不合 ) 由(1)(2)(3)得x＝60，故阿花的數學為60分。

y²＝4x＝4．1．x ∴ 拋物線之焦距為1 VF ＝橢圓中的a－c  a－c＝1，

又b＝ 3

2 代入a²＝b²＋c²得a²＝ 9

4 ＋( a－1 )²  a＝ 13 8

∴ 長軸長為2a＝ 13 4

∵ a2＋2a1＝0，a3＋2a2＝0，a4＋2a3＝0，…，a10＋2a9＝0

 a₂＝－2a1，a3＝－2a2，…，a10＝－2a9

∴〈an〉為首項a1＝1，公比r＝－2的等比數列

∴ a10＝a1．r⁹＝1．(－2 )⁹＝－512

將熱舞社、熱音社、民吉社、康輔社視作同物 8！

4！ ×3！＝10080 ( 種 )。

G.

已知

x，y

滿足



  3x＋2y ≤ 14 x＋2y ≥ k x ≥－2

，若

x－y

有最大值

3，則 k

＝ ○³² 。

H.

右圖是將兩個邊長為

1

的正六邊形，共用一邊連接而成 的平面圖形，若

A，B，C

為其中三個頂點，則內積

AB

．

AC

的值為 ○³³ 。



x＝－2

3x＋2y＝14 A (－2 , 10 )，



x＝－2

x＋2y＝k B (－2 , k＋2 2 )，



3x＋2y＝14

x＋2y＝k  C ( 14－k

2 , 3k－14

4 )，

由目標函數P＝x－y得知平行線x－y＝t往右下方移動會有最大值

∴ C產生最大值，即 ( 14－k

2 )－( 3k－14

4 )＝3  k＝6

AB．AC

＝AB．( AD＋DC )

＝AB．AD＋AB．DC

＝2．3．cos 60°＋2．1．cos 180°

＝6． 1

2 ＋2．(－1 )＝3－2＝1。

答 案

第壹部分：選擇題

1. 3 2. 4 3. 4 4. 2 5. 2 6. 3 7. 245 8. 235 9 1245 10. 235

11. 345 12. 135

第貳部分：選填題

13. 0 14. 5 15. 9 16. 3 17. 5 18. 1 19. 3 20. 4 21.

－

22. 5

23. 1 24. 2 25. 1 26. 0 27. 0 28. 8 29. 0 30. 6 31. 0 32. 6

33. 1

解 析

第壹部分：選擇題

1.

^答案

3

解析 橢圓的焦點與中心的距離為 6²－5² ＝ 11 ， 且為橫橢圓

∴ 雙曲線亦為左右開口型雙曲線且c＝ 11 故選(3)。

2.

^答案

4

解析 BD ²＝ AB ²× BC ²

＝ ( 3 －1 ) ( 3 ＋1 ) ＝ 2 ， 故選(4)。

3.

^答案

4

解析 y＝3 ( x＋2 )²＋4表示由y＝3x²

向左移2單位，再向上移4單位而得，

點亦由 ( a , b ) 左移2，上移4，

得 ( a－2 , b＋4 )，

4.

^答案

2

解析 50＝10．log I50

10^－12

 I₅₀＝10^－7， 40＝10．log I40

10^－12

 I₄₀＝10^－8

∴ 所求d＝10．log 10^－7＋20．10^－8 10^－12 ＝10．log 3×10^－7

10^－12 ＝10．log ( 3×10⁵ ) ＝10．( log 3＋log 10⁵ ) ＝10 ( 0.4771＋5 ) ＝54.771

 55 ( 分貝 ) 故選(2)。

學 科 能 力 測 驗 模 擬 試 題 數學科

5.

^答案

2

解析 設共出n道題目，

則 2

3 n ， 5 6 n

 n是6的倍數，

乙做錯9題

 9＝ 2 3 n＋

( n－ 5 6 n－1 )

 5

6 n＝10  n＝12，故選(2)。

6.

^答案

3

解析 所截線段愈長表示直線與L1，L2方向向量夾角 愈小  | cosθ| 愈大，

(1) | cosθ1 |＝ | ( 3 ,－4 )．( 0 , 1 )

5×1 | ＝ 4

5 (2) | cosθ2 |＝ | ( 3 ,－4 )．( 4 , 3 )

5×5 | ＝ 0

25 ＝0 (3) | cosθ3 |＝ | ( 3 ,－4 )．( 4 ,－3 )

5×5 | ＝ 24

25 (4) | cosθ4 |＝ | ( 12 ,－5 )．( 3 ,－4 )

13×5 | ＝ 56

65 (5) | cosθ5 |＝ | ( 12 , 5 )．( 3 ,－4 )

13×5 | ＝ 16

65

∵ 24

25 最大

∴ 4x－3y＝8與L1之夾角最小，所截線段最長

故選(3)

7.

^答案

245

解析 f (x)＝a ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 )＋r (x)

 f (1)＝r (1)，f (2)＝r (2)，f (3)＝r (3)，

即r (x) 不超過二次且g (x) 為滿足 g (1)＝2016，g (2)＝－2017，g (3)＝2018 之拉格朗日插值多項式，由多項式恆等定理可 得r (x)＝g (x)

∴ f (x)＝a ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 )＋g (x) (1) ×：無法判斷a之正負。

(2) ○：r (1)＝g (1)＝f (1)＝2016。

(3) ×：g (4)＝2016×1＋(－2017 )×(－3 )＋

2018×3＞0。

(4) ○：f (x)－g (x)＝a ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 ) ＝0

 x＝1，2，3。

(5) ○。

故選(2)(4)(5)。

8.

^答案

235

解析 (1) ×：f (2)＝4，g (2)＝4 ∴ α＝2 (2) ○：∵ y＝x＋2通過 (－2 , 0 )

∴ β＞－2

(3) ○：∵函數圖形有二個交點

∴ h (x)＝f (x)－g (x)＝0有兩相異實根

(4) ×：由下圖知：

α＋β

2 ＋2＞2 ^{α＋β 2} 。

(5) ○：h (β－1 )＝f (β－1 )－g (β－1 )，

由於在β附近y＝f (x) 與y＝g (x) 交會

∴ g (β－1 )＜f (β－1 ) ∴ h (β－1 )＞0

故選(2)(3)(5)。

9.

^答案

1245

解析 (1) ○：SAS唯一解。

(2) ○：AAS唯一解。

(3) ×：由餘弦定理：

1²＝2²＋c²－2．2．c．cos 60°

 c²－2c＋3＝0  c無實數解。

(4) ○：由餘弦定理：

( 3 )²＝2²＋c²－2．2．c．cos 60°

 c²－2c＋1＝0  c＝1。

(5) ○：由餘弦定理：

3²＝2²＋c²－2．2．c．cos 60°

 c²－2c－5＝0  c＝1± 6 ( 負不合 ) ∴ c＝1＋ 6

故選(1)(2)(4)(5)。

10.

^答案

235

解析 就AB 而言，

AC 與其夾60°，

CA與其夾120°，

CD與其夾90°

∴ 內積可能為

AB ．AC ＝ 2 ． 2 ．cos 60°＝1，

AB ．CA ＝ 2 ． 2 ．cos 120°＝－1，

AB ．CD＝ 2 ． 2 ．cos 90°＝0

故選(2)(3)(5)。

11.

^答案

345

解析 (1) ×：



x＝2t＋1

y＝3t－2，t

^{ 3x－2y＝7}

^3x－2y＋0z＝7，

^{為法向量是}( 3 , －2 , 0 )，

^{且通過( 1 ,} －2 , 0 ) 之平面。

(2) ×：兩平行平面之交集為無圖形。

(3) ○：為兩平面之交集為一直線。

(4) ○： x－1

1 ＝ y－(－1 )

1 ＝ z－(－3 ) 1

為一直線之比例式。

(5) ○：

 



x＋y－z＝1 ………○¹ x＋2y＋3z＝2 ………○²

2x＋3y＋2z＝3 ………○³

○²－○¹ 得y＋4z＝1 ………○⁴ ○²×2－○³ 得y＋4z＝1 ……○⁵ ○⁵－○4 得0＝0，

令z＝t，y＝1－4t，代入○¹ 得x＝5t 表一直線。

故選(3)(4)(5)。

12.

^答案

135

解析 (1) ○：迴歸線必過 (μx ,μ_y )＝( 6 , 8 )。

(2) ×：m＝ 8－3 6－3 ＝ 5

3 ∴ 迴歸線為y－3＝ 5

3 ( x－3 )  y＝ 5

3 x－2 (3) ○：m＝r． σy

σx

 5 3 ＝ 3

4 ． σy

σx  σy

σx＝ 20 9 ∴ σ_y＞σ_x

(4) ×：∵ 2與－5異號 ∴ r′＝－r＝－0.75

(5) ○：標準化數據m′＝r＝0.75

故選(1)(3)(5)。

第貳部分：選填題

A.

^答案

0.59

解析

所求＝0.7×0.8＋0.3×0.1＝0.59。

B.

^答案

3 5

解析 甲瓶原有a公升的水，

乙瓶原有b公升的水，

一輪後，

甲有 2 3 a＋ 1

3 ( 1

3 a＋b )＝ 7 9 a＋ 1

3 b；

乙有 2 3 ( 1

3 a＋b )＝ 2 9 a＋ 2

3 b

∵

 

 

 

 

7 9 a＋ 1

3 b 2 9 a＋ 2

3 b

＝

 

 

 

 

7 9

1 3 2 9

2 3

 

^ab

∴ 轉移矩陣A＝

 

 

 

 

7 9

1 3 2 9

2 3

令穩定狀態為X＝

 

 

x

1－x ，則

AX＝X



 

 

 

 

7 9 1

3 2 9

2 3

 

 

x 1－x ＝

 

 

x 1－x

 7 9 x＋ 1

3 ( 1－x )＝x  x＝ 3 5 。

C.

^答案

13 4

解析 y²＝4x＝4．1．x

∴ 拋物線之焦距為1

VF ＝橢圓中的a－c  a－c＝1，

又b＝ 3

2 代入a²＝b²＋c²得 a²＝ 9

4 ＋( a－1 )²  a＝ 13 8

∴ 長軸長為2a＝ 13 4

D.

^答案 －512

解析 ∵ a2＋2a1＝0，a3＋2a2＝0，a4＋2a3＝0，…，

a10＋2a9＝0

 a₂＝－2a1，a3＝－2a2，…，a10＝－2a9

∴〈an〉為首項a1＝1，公比r＝－2的等比數列

∴ a10＝a1．r⁹＝1．(－2 )⁹＝－512

E.

^答案

10080

解析 將熱舞社、熱音社、民吉社、康輔社視作同物 8！

4！ ×3！＝10080 ( 種 )。

F.

^答案

60

解析 設阿花的數學x分，

則五科為x，70，72，74，84，

算術平均數 μ＝ 1

5 ( x＋70＋72＋74＋84 )＝ x 5 ＋60；

(1) 當x＜72時，

中位數為72

 x

5 ＋60＝72  x＝60 ( 合 ) (2) 當72 ≤ x ≤ 74時，

中位數為x  x

5 ＋60＝x  x＝75 ( 不合 ) (3) 當x＞74時，

中位數為74

 x

5 ＋60＝74  x＝70 ( 不合 ) 由(1)(2)(3)得x＝60，

60分。

記得餵魚 忘記餵魚

活 死 活 死

0.8 0.2 0.1 0.9 0.7

0.3

G.

^答案

6

解析 x＝－2 3x＋2y＝14

 A (－2 , 10 )，



x＝－2

x＋2y＝k

 B (－2 , k＋2 2 )，



3x＋2y＝14

x＋2y＝k

 C ( 14－k

2 , 3k－14

4 )，

由目標函數P＝x－y得知平行線x－y＝t 往右下方移動會有最大值

∴ C產生最大值，

即 ( 14－k

2 )－( 3k－14

4 )＝3  k＝6

H.

^答案

1

解析

AB ．AC

＝AB ．( AD＋DC )

＝AB ．AD＋AB ．DC

＝2．3．cos 60°＋2．1．cos 180°

＝6． 1

2 ＋2．(－1 )＝3－2＝1。