Gr. 11 Totaal: 100 Tyd: 2 uur Vraag 1 - LitNet

Gr. 11 Totaal: 100 Tyd: 2 uur

November-eksamen, Vraestel 2, 2022-Memorandum

Vraag 1

1.1 Die volgende tabel is ’n opname van 15 konstruksiewerkers se weeklikse loon by maatskappy AB.

1.1.1 Bereken die gemiddelde weeklikse loon van die 15 werkers. (2) 𝑥̅ = ^{50 530}

15 √ 𝑥̅ = 𝑅3 368,67√

1.1.2 Bepaal die standaardafwyking van die weeklikse lone. (1) 𝜎𝑥 = 1381,06√

1.1.3 Bepaal die persentasie werkers wat buite EEN standaardafwyking

vanaf die gemiddeld lê. (4)

𝑥̅ + 𝜎𝑥 = 4749,73√

𝑥̅ − 𝜎𝑥 = 1987,61√

Persentasie werkers wat buite EEN standaardafwyking lê:

5

15√× 100 = 33,33%√

1.1.4 Bepaal die variansie van die data. (2)

(𝜎𝑥)² = (1381,06)²√ (𝜎𝑥)² = 1 907 326,72 √

1.1.5 Is die data normaal versprei?

Gee ’n rede vir jou antwoord. (2)

100% − 33,33% = 66,67%√

Ja, die data is normaal versprei, ±68% van die data lê binne een standaardafwyking vanaf die gemiddeld.√

1.2 Die mond-en-snordiagram hieronder toon die punte (uit 90) wat ’n klas van 12 leerders behaal het in ’n Wiskunde-toets.

R2 100 R3 150 R2 350 R4 700 R2 950 R2 390 R4 900 R2 550 R5 850 R1 550 R4 350 R5 400 R2 650 R4 290 R1 350

20 00

30 40

0

50 0

60 70 80 90

1.2.1 Lewer kommentaar op die skeefheid van die data.

(1) Data is skeef na regs/Positief skeef√

1.2.2 Skryf die interkwartiel-variasiewydte neer van die punte wat

behaal is. (2)

𝐼𝐾𝑉 = 70 − 30√

𝐼𝐾𝑉 = 40√

1.2.3 Indien die leerders 30 punte moes behaal om die toets te slaag,

hoeveel leerders in die klas het die toets geslaag? (2)

= 0,75√× 12

= 9 leerders het geslaag.√

[16]

Vraag 2

In die gegewe diagram is 𝐴(−1 ; −2) ; 𝐵(−2 ; 3); 𝐶(2 ; 4); en 𝐷(6 ; 𝑎).

2.1 Bepaal die lengte van AB. Laat jou antwoord in vereenvoudigde wortelvorm. (3) 𝐴𝐵 = √(−2 − (−1))² + (3 − (−2))²√√

𝐴𝐵 = √26 eenhede√

2.2 Bepaal die gradiënt van BC. (2)

𝑚_𝐵𝐶 = ⁴⁻³

2−(−2) √ 𝑚_𝐵𝐶 = ¹

4 √

2.3 Bepaal die waarde van 𝑎, indien B, C en D kollineêr is. (4) 𝑚_𝐵𝐶 = 𝑚_𝐶𝐷√

1

4√= ^𝑎−4

6−2 √ 4𝑎 − 16 = 4 4𝑎 = 20 𝑎 = 5√

2.4 Bepaal die koördinate van E, indien ABCE ’n parallelogram vorm. (2) 𝐸(3√; −1√)

𝐹 O

𝐴(−1; −2) 𝐵(−2; 3)

𝐶(2; 4)

𝐷(6; 𝑎)

2.5 Bepaal die vergelyking van BF, indien BF ⊥ AC. (4) 𝑚_𝐴𝐶 =⁴⁻⁽⁻²⁾

2−(−1) = 2 √

∴ 𝑚_𝐵𝐹 = ⁻¹

2 [BF ⊥ AC]√ 𝑦 = ⁻¹

2 𝑥 + 𝑐 ; stel in 𝐵(−2; 3) 3 = ⁻¹

2 (−2)√+𝑐 2 = 𝑐

∴ 𝑦 = ⁻¹

2 𝑥 + 2 √

[15]

Vraag 3

3.1 Indien 𝑐𝑜𝑠42° = 𝑥, bepaal elk van die volgende in terme van 𝑥:

3.1.1 𝑠𝑖𝑛132° (3)

= 𝑠𝑖𝑛48°√

= 𝑥√

3.1.2 𝑡𝑎𝑛318° (2)

= −𝑡𝑎𝑛42°√

= ^{−√1−𝑥2}

𝑥 √

3.2 Vereenvoudig die volgende uitdrukkings sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.

Toon alle bewerkings.

cos(90°+𝑥) sin(−𝑥)+sin (180°+𝑥)²

2 cos(720°−𝑥)sin (90°+𝑥) (8)

= −𝑠𝑖𝑛𝑥√.−𝑠𝑖𝑛𝑥√+𝑠𝑖𝑛²𝑥√

2 𝑐𝑜𝑠 𝑥√.𝑐𝑜𝑠𝑥√

=

^{𝑠𝑖𝑛2𝑥√+𝑠𝑖𝑛2𝑥}

2𝑐𝑜𝑠²𝑥√

=

^{2𝑠𝑖𝑛2𝑥}

2𝑐𝑜𝑠²𝑥

= 𝑡𝑎𝑛

²

𝑥

√

48°

√1 − 𝑥²√ 1

𝑥 42°

3.3 Indien 2 + 3𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 en 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 0, bepaal met behulp van ’n skets, die waarde

van √5𝑡𝑎𝑛𝜃 − 9𝑐𝑜𝑠²𝜃. (5)

√kwadrant

𝑠𝑖𝑛𝜃 = ⁻²

3

= √5(⁻²

√5)√−(^√5

3)²√×⁹

1

= −2 −⁵

9×⁹

1

= −7√

3.4 Bewys die volgende identiteit:

𝑠𝑖𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 1 – 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 (3) LK:

= 𝑠𝑖𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥.^{𝑠𝑖𝑛𝑥}

𝑐𝑜𝑠𝑥√

= 𝑠𝑖𝑛²𝑥√

RK:

= 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 √

∴LK=RK

3.5 Bepaal die algemene oplossing van die vergelyking:

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = sin (𝑥 + 30°) vir 𝑥 ∈ [−180°; 180°] (7) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(90° − (𝑥 + 30°))√

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(60° − 𝑥) √ Kwadrant 1:

2𝑥 = 60° − 𝑥 + 360°𝐾; 𝐾𝜖𝑍 √ 3𝑥 = 60° + 360°𝐾

𝑥 = 20° + 120°𝐾 √ Kwadrant 4:

2𝑥 = 360° − (60° − 𝑥) + 360°𝐾; 𝐾𝜖𝑍√

𝑥 = 300° + 360°𝐾 √

∴ 𝑥 = −100°; −60°; 20°; 140°√

[28]

√5√

3 -2

𝜃

Vraag 4

Gegee: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛^𝑥

2 en 𝑔(𝑥) = cos(𝑥 − 30°) + 1

4.1 Skets beide funksies op dieselfde assestelsel vir 𝑥𝜖[−180°; 180°].

Toon duidelik alle draaipunte en afsnitte met die asse. (6)

√𝑓(𝑥) se vorm; √𝑔(𝑥) se vorm Elke punt op die grafiek = ¹₂

4.2 Skryf die periode van 𝑓 neer. (1)

720°√

4.3 Skryf die waardeversameling van 𝑔 neer. (2)

0 ≤ 𝑦 ≤ 2√interval; √notasie

4.4 Bereken sonder ’n sakrekenaar en laat jou antwoord in die eenvoudigste wortel-

vorm: 𝑔(120°) − 𝑓(120°) (4)

= cos(120° − 30°) + 1 − 𝑠𝑖𝑛^120°

2 √

= cos(90°) + 1 − sin (60°)√

= 0 + 1 −^√3

2 √

= ^2−√3

2 √

4.5 Bepaal die koördinate van die 𝑦-afsnit van 𝑘, indien:

𝑘(𝑥) = 𝑓(2𝑥 + 60°) (4)

𝑘(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛^2𝑥+60°

2 √ 𝑘(𝑥) = sin (𝑥 + 30°)√

∴ 𝑘(0) = sin(30°) = ¹

2 𝑦-afsnit van 𝑘: (0√; ¹

2√)

[17]

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛^𝑥

2

𝑔(𝑥) = cos(𝑥 − 30°) + 1

√ (−180°; 0,13)√

(−180°; −1)√

(180°; 1)√

(−150°; 0√)

(0°; 1,87)√

(30°; 2)√

(180°; 0,13)√

Vraag 5

O is die middelpunt van die sirkel met AC as die middellyn.

B is ’n punt op die omtrek van die sirkel.

5.1 Bewys dat: 𝐵𝐶 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃. (3)

𝐵̂ = 90° [L in semi sirkel]√ 𝐴̂ = 90° − 𝜃 [Binne L’e van ∆]

𝐴𝐶 = 2𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐵𝐶

2𝑎 √ 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐵𝐶

∴ 𝐵𝐶 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃√

5.2 Bewys vervolgens dat die oppervlakte van ∆𝐴𝐵𝐶 = 2𝑎²𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃. (3) 𝐴 = ¹

2. 𝐵𝐶. 𝐴𝐶. 𝑠𝑖𝑛𝜃√

Stel in 𝐵𝐶 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴 = 1

2. 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃. 2𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝜃√

𝐴 = 2𝑎²𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃√

[6]

Vraag 6

In die onderstaande diagram is PT die middellyn van die sirkel met middelpunt O.

M en S is punte op die omtrek van die sirkel. MP, MT, MS en OS word verbind.

𝑀̂₂ = 37°

Bereken, met redes, die grootte van:

6.1 𝑇𝑃̂𝑆 (2)

𝑇𝑃̂𝑆 = 37° √ [L’e in dieselfde sirkelsegment] √

6.2 𝑂̂₂ (2)

𝑂̂₂ = 74°√ [Middelpuntshoek = 2 x Omtrekshoek] √

6.3 𝑂̂₁ (2)

𝑂̂₁ = 106° √ [L’e op ’n reguitlyn]√

6.4 𝑀̂₁ (2)

𝑀̂₁ = 53° √ [Middelpuntshoek = 2 x Omtrekshoek]√

[8]

Vraag 7

In die onderstaande diagram is BD ’n raaklyn aan die sirkel, by C. O is die middelpunt van die sirkel en BO⊥AD.

Bewys, met redes, dat:

7.1 CFOE ’n koordevierhoek is. (4)

𝐴𝐶̂𝐸 = 90° √ [L in ’n semisirkel]√ 𝐹𝑂̂𝐸 = 90° [L’e op ’n reguitlyn]√

∴ 𝐹𝑂̂𝐸 + 𝐴𝐶̂𝐸 = 180°

∴ 𝑂𝐸̂𝐶 + 𝑂𝐹̂𝐶 = 180° [Binne L’e van ’n vierhoek]

∴ CFOE is’n koordevierhoek [2 pare teenoorstaande L’e is supplimentêr]√

7.2 FB = BC (3) 𝐵𝐹̂𝐶 = 𝐴𝐸̂𝐶 [Buite L van koordevierhoek CFOE]√

𝐵𝐶̂𝐹 = 𝐴𝐸̂𝐶 [L tussen raaklyn en koord]√

∴ 𝐵𝐹̂𝐶 = 𝐵𝐶̂𝐹

∴ FB = BC [Sye teenoor gelyke L’e]√

7.3 𝐴𝑂̂𝐶 = 2𝐵𝐹̂𝐶 (3)

𝐴𝑂̂𝐶 = 2𝐴𝐸̂𝐶 [Middelpuntshoek = 2 x Omtrekshoek]√ 𝐴𝐸̂𝐶 = 𝐵𝐹̂𝐶 [Bewys]√

∴ 𝐴𝑂̂𝐶 = 2𝐵𝐹̂𝐶√

[10]

Totaal: [100]