Contoh berikut ini menggambarkan cara menganalisis suatu peralatan sederhana yang terdiri atas pegas-pegas dan batang-batang Solusinya

membutuhkan penggunaan diagram benda bebas, persamaan keseimbangan,

dan persamaan untuk perubahan panjang. Soal-soal di akhir bab dapat

digunakan sebagai contoh tambahan.

• Contoh 2-1

Sebuah rangka kaku ABC yang berbentuk L terdiri atas batang horizontal AB

(panjang b = 1 1 ,0 in) dan batang vertikal BC (panjang c = 9,5 in) ditahan di titik

B, seperti terlihat dalam Garnbar 2-7 a. Titik B terse but terhubung pada rangka luar BCD yang terletak di atas bangku laboratorium. Posisi penunjuk di C dikontrol

oleh sebuah pegas (kekakuan k = 4,2 lb/in.) yang terpasang pada batang berulir. Posisi batang berulir dapat disesuaikan dengan cara memutar mur. Pitch pada

uliran (yaitu jarak dari satu ulir ke ulir berikutnya) adalah p = 1/16 in, yang berarti

bahwa satu putaran penuh dari mur akan menggerakkan batang sama besarnya. Pada awalnya, mur diputar hingga penunjuk di ujung batang BC tepat berada di

atas tanda referensi rangka luar.

Jika suatu benda yang beratnya W = 2 lb diletakkan pada penggantung di A, berapa putaran mur yang dibutuhkan untuk membawa penunjuk kembali ke posisi tanda? (Deformasi bagian-bagian metal dapat diabaikan karena biasanya kecil dibandingkan perubahan panjang pegas.)

(a)

Gambar 2-7 Contoh 2-1. Rangka

ABC yang berbentuk _L yang ber­ tumpuan di B Solusi w --- b w F (b)

Pemeriksaan alat ini menunjukkan bahwa bobot W yang bekerja ke bawab akan menyebabkan penunjuk C bergerak ke kanan. Apabila penunjuk bergerak ke kanan,

maka pegas akan memanjang sejauh tertentu yang dapat dihitung dari gaya F yang beketja di pegas. Gaya F dapat dihitung dari diagram benda bebas rangka dalam Gambar 2-7b. Perhatikan bahwa reaksi di titik B ditunjukkan dengan garis panab yang dicoret (lihat pembahasan tentang reaksi di akhir Subbab 1 .8).

Dengan mengambil momen terhadap titik B,

F = Wb

c (a)

Perpanjangan

o

yang berkaitan dengan gaya terse but (dari Persamaan 2-l a) adalah (b) Untuk mengembalikan penunjuk ke posisi tanda, kita hams memutarkan mur agar batang berulir dapat bergerak ke kiri sedemikian hingga besarnya gerakan sama dengan perpanjangan pegas. Karena setiap satu putaran mur menggerakkan batang sejauh sama dengan pitch p, maka gerakan total batang akan sama dengan np, di mana n adalah banyaknya putaran. Jadi

np = O = Wb _ck

sehingga kita mendapatkan rumus untuk banyaknya putaran mur:

Wb n = -

ckp

(c)

(d) •

Untuk mendapatkan hasil numerik, kita memasukkan data yang ada ke dalam Persamaan (d), sebagai berikut

Wb (2 lb)( l l ,O in.)

n = - = = 8,8 putaran

ckp (9,5 in.)(4,2 lb/in.)(l/l6 in.)

Hasil ini menunjukkan bahwa jika kita memutar mur sampai 8,8 putaran, maka batang berulir akan bergerak ke kiri sejauh sama dengan perpanjangan pegas yang diakibatkan oleh beban 2 lb, sehingga mengembalikan penunjuk ke tanda referensi.

• Contoh 2.2

Suatu struktur yang terlihat dalam Gambar 2-8a terdiri atas balok horizontal ABC

yang ditumpu oleh dua batang vertikal BD dan CE. Batang CE mempunyai sendi di kedua ujungnya tetapi batang BD adalah jepit di pondasi di ujung bawahnya.

Jarak dari A ke B adalah 450 mm dan dari B ke C adalah 225 mm. Batang BD

dan CE mempunyai panjang masing-masing 480 mm dan 600 mm. Batang-batang

ini terbuat dari baja yang mempunyai modulus elastisitas E = 205 GPa. Dengan

mengasumsikan bahwa balok ABC adalah kaku, carilah beban izin maksimum

Pmaks

jika peralihan di titik A dibatasi I ,0 mm.

Solusi

Untuk mencari peralihan titik A, kita perlu mengetahui peralihan titik B dan C.

Dengan demikian, kita harus mencari perubahan panjang batang BD dan CE,

dengan menggunakan persamaan umum 8 = PUEA (Persamaan 2-3). Kita mulai dengan mencari gaya-gaya di batang dari diagram benda bebas (Gambar 2-8b). Karena batang CE mempunyai sendi di kedua ujungnya, maka ini merupakan

elemen "dua-gaya" dan hanya menyalurkan gaya vertikal _{F CE} ke balok. Sedangkan batang BD dapat menyalurkan baik gaya vertikal maupun gaya horizontal. Dari

keseimbangan balok ABC di arah horizontal, kita melihat bahwa gaya-gaya hori­

zontal haruslah no!.

Dua persamaan keseimbangan lainnya memungkinkan kita menyatakan gaya F _BD dan _{F CE} dalam beban P. Jadi, dengan mengambil momen terhadap titik B dan

menjumlahkan gaya-gaya dalam arah vertikal, maka kita dapatkan

FeE = 2P (e) Perhatikan bahwa gaya F _CE bekerja ke bawah di batang ABC dan gaya F _BD bekerja ke atas. Dengan demikian, elemen struktur CE mengalami tarik dan elemen struktur BD mengalami tekan.

Perpendekan elemen BD adalah FBDLBD

:=

EABD

= (3

P)(

480 mm) = 6 887 p x 10--6 mm (P = newton) (f) (205 GPa)(l020 mm2 ) '

Perhatikan bahwa perpendekan 8_{BD dinyatakan dalam mm asalkan beban P}

dinyatakan dalam newton. Dengan cara sama, perpanjangan elemen CE adalah

8_CE = FCELCE

EAcE

= _{(205 GPa)(520 mm2 )} (2 ?)(600 mm) = 1 1 ,26

P

x 10--6 mm (P = newton) (g) Peralihan di sini pun dinyatakan dalam mm asalkan beban

P

dinyatakan dalam newton. Dengan diketahuinya perubahan panjang kedua batang, maka kita dapat mencari peralihan di titik A.

Diagram peralihan yang menunjukkan posisi relatif titik A, B, dan C

ditunjukkan dalam Gambar 2-8c. Garis ABC menunjukkan posisi awal ketiga titik.

Sesudah beban

P

dikeljakan, elemen BD memendek sebesar 8_BD dan titik B bergerak

ke B'. Selain itu, elemen CE memanjang sebesar 8CE, dan titik C bergerak ke C'.

Karena balok ABC diasumsikan kaku, maka titik A � B', dan C' terletak pada

sebuah garis lurus.

Agar lebih jelas, semua peralihan digambar dengan sangat dibesarkan. Pada kenyataannya garis ABC berotasi dengan sudut yang sangat kecil ke posisi baru A 'B 'C' (lihat Catatan 2 di akhir contoh ini).

Gambar 2-8 Contoh 2-2. Balok horizontal ABC yang ditumpu oleh dua batang vertikal

450 mm 225 mm 600 mm 120 _E (a) FeE 450 mm 225 mm (b) A" � - - -- - - -- - B" A : ()CE {)A A'

I

450 mm 225 mm (c)

Dengan menggunakan segitiga yang sama, kita sekarang dapat mencari hubungan antara peralihan di titik A, B, dan C. Dari segitiga A J1 "C' dan B'B"C'kita peroleh

A'A" B'B" 8A + _DcE

-- = -- atau =

A"C' B"C' 450 + 225 225 (h) di mana semua suku dinyatakan dalam mm. Dengan memasukkan _8BD dan _8cE dari Persamaan _(f) dan (g) didapatkan

8 A + 1 1,26? X 10-6 _ 6,887 P X 10-6 + 1 1,26? X 10-6

450 + 225 225

Akhimya, kita substitusikan _8A dengan harga batas sebesar 1 ,0 mm dan kita pecahkan persamaan tersebut untuk mendapatkan beban P. Hasilnya adalah

P = P _{maks =} 23.200 N (atau 23,2 kN)

Apabila beban mencapai harga ini, maka peralihan ke bawah di titik A adalah

Catatan 1 : Karena struktur ini berpelilaku secara elastis Jinier, maka peralihan

akan sebanding dengan besamya beban. Misalnya, jika bebannya setengah P maks' artinya jika P = 1 1 ,6 kN, maka peralihan titik A ke bawah adalah 0,5 mm.

Catatan 2: Untuk menyelidiki kebenaran bahwa garis ABC berotasi dengan

sudut yang sangat kecil. kita dapat menghitung sudut rotasi a dali diagram peralihan (Gambar 2-8c) sebagai belikut:

A' A" +

tan a = -- =

A"C' 675 mm (i)

Peralihan

��

titik A ada1ah 1 .0 mm. dan perpanjangan DcE batang CE didapat dari (g) dengan memasukkan P = 23.200 N; hasi1nya adalah 8CE = 0,26 1 mm. Dengan

demikian, dari Persamaan (i l kita peroleh

tan a = 1 ,0 mm

+ 0.261 mm = 1 ,261 mm ₌ 0,001 868

675 mm 675 mm

di mana a = 0, 1 1 °. Sudut ini sedemikian k.eci1nya sehingga jika kita mencoba untuk menggambar diagram peralihan dengan ska1a, kita tidak dapat membedakan antara galis semula ABC dan garis yang telah berotasi A 'B'C'. Jadi, dalam bekerja

dengan diagram peralihan. kita biasanya dapat memandang peralihan sebagai besaran yang sangat kecil sehingga dapat menyederhanakan geometri. Dalam contoh ini, kita dapat mengasumsikan bahwa titik A, B, dan C bergerak hanya dalam arah

vertikal, sedangkan jika peralihan sangat besar, maka kita mungkin harus memandang titik-titik tersebut bergerak pada alur yang lengkung.

L_

PERUBAHAN PANJANG BATANG YANG TIDAK SERAGAM

Apabila suatu batang prismatis dari bahan elastis linier dibebani hanya di